CIRCUNFERÊNCIA TRIGONOMÉTRICA
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- Geraldo Cruz Pinto
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1 CIRCUNFERÊNCIA TRIGONOMÉTRICA A circunferência trigonométrica ou ciclo trigonométrico é de extrema importância para o estudo da Trigonometria, pois é baseado nela que todos os teoremas são deduzidos. Trata-se de uma circunferência com centro na origem (O) do sistema de eixos coordenados e de raio 1. Os eixos dividem a circunferência em 4 partes congruentes denominadas quadrantes. Convenciona-se que o sentido anti-horário é o sentido positivo na circunferência trigonométrica, a partir de um ponto fixo (A), como é mostrado na figura abaixo: A extremidade de um arco α, localizado no primeiro quadrante (I), satisfaz à A extremidade de um arco α, localizado no segundo quadrante (II), satisfaz à A extremidade de um arco α, localizado no terceiro quadrante (III), satisfaz à
2 A extremidade de um arco α, localizado no quarto quadrante (IV), satisfaz à Esquematizando, temos: Quando dois arcos diferentes terminam na mesma posição da circunferência trigonométrica, dizemos que esses arcos são arcos côngruos. Assim, podemos ver que qualquer arco é côngruo com outros infinitos arcos definidos pela soma de α com múltiplos de 2π, ou seja, se estamos sobre o arco β e andamos mais 2π sobre a circunferência voltamos para a mesma posição e assim
3 sucessivamente. Desse modo, podemos escrever que qualquer arco côngruo de é da forma: Essa é a expressão geral de todos os arcos côngruos α. Da fórmula temos que: k é o número de voltas e o sinal de k indica o sentido (negativo ou positivo) do giro. Α é a primeira (menor) determinação não negativa ( ou determinação positiva ) do arco. EXERCÍCIOS RESOLVIDOS 1. Dê a primeira determinação não negativa dos seguintes arcos: a) 1275º b) 18π/4 rad c) 805º d) -25π/6 rad Resolução: Para calcular a primeira determinação não negativa de um arco, é necessário dividir a sua medida por 360º, para encontrar o número de voltas, dadas na circunferência trigonométrica, e o resto. O resto é quem indicará a primeira determinação não negativa do arco, ou seja a sua extremidade na primeira volta dessa circunferência. a) 1275: 360 é igual a 3 voltas e resto 195º Logo, 195º é a primeira determinação não negativa do arco de 1275º cálculo. b) Primeiro, vamos transformar 18π/4 rad em graus, pois fica mais fácil o
4 810º:360º é igual a 2 voltas e resto 90º. Logo, 90º é a primeira determinação não negativa do arco de 810º = 18π/4 rad. c) -805º: 360º é igual a 2 voltas e resto -85º -85º é a primeira determinação negativa do ângulo. Para passar da determinação negativa para a determinação positiva, fazemos: 360º - 85º = 275º Logo, 205º é a primeira determinação não negativa do arco de -805º cálculo. d) Primeiro, vamos transformar -25π/6 rad em graus, pois fica mais fácil o -750º : 360 é igual a 2 voltas e resto -30º. -30º é a primeira determinação negativa do ângulo. Para passar da determinação negativa para a determinação positiva, fazemos: 360º - 30º = 330º. Logo, 330º é a primeira determinação não negativa do arco de -750º = -25π/6 rad 2. Verifique se os pares de arcos são côngruos: Para verificar se dois ou mais ângulos são côngruos, é necessário dividir as suas medidas por 360º, e verificar o resto das divisões. Se estes restos forem iguais, na mesma determinação, positiva ou negativa, então os referidos arcos são côngruos. Vamos, então, encontrar a primeira determinação não negativa de cada um dos pares de arcos.
5 675º: 360º é igual a 1 volta e resto 315º (primeira determinação não negativa) º: 360º é igual a 1 volta e resto 45º Fazendo 360º - 45º = 315º (primeira determinação não negativa). Logo, a primeira determinação positiva de ambos os arcos é a mesma: 315º. Assim, os arcos são côngruos. -570º:360 é igual a 1 volta e resto -210º. Fazendo 360º - 210º = 150º (primeira determinação não negativa). 780º:360º é igual a 2 voltas e resto 60º (primeira determinação não negativa). Logo, a primeira determinação positiva dos arcos não é a mesma: 150º e 60º. Assim, os arcos não são côngruos. c) 1515º e 1155º 1515º:360º é igual a 4 voltas e resto 75º (primeira determinação não negativa). 1155º:360º é igual a 3 voltas e resto 75º (primeira determinação não negativa). Logo, a primeira determinação positiva de ambos os arcos é a mesma: 75º. Assim, os arcos são côngruos.
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