FNT AULA 6 FUNÇÃO SENO E COSSENO

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1 FNT AULA 6 FUNÇÃO SENO E COSSENO

2 CIRCUNFERÊNCIA TRIGONOMÉTRICA Chama-se circunferência trigonométrica a circunferência de raio unitário (R=1), com centro na origem de um sistema cartesiano. +1 R = 1 360º = 2π rad = π rad 1º = π/ 180 rad -1 1 rad = 180º/π

3 SENO E COSSENO Tomando uma reta qualquer que vai da origem até um ponto qualquer da circunferência trigonométrica temos que cos(a) =x / R e sen(a) = y / R +1 R =

4 SENO E COSSENO Tem-se que: cos(a) = x / R cos(a) = cateto adjacente hipotenusa sen(a) = y / R sen (a) = cateto oposto hipotenusa R = 1 a O x P y Como na circunferência trigonométrica R =1, temos apenas que o valor de cos(a) como sendo a componente do ponto P em x e o valor de sen(a) como sendo a componente do ponto P em y.

5 FUNÇÃO SENO Na figura abaixo, o segmento Oy' que mede sen(x), é a projeção do segmento OM sobre o eixo OY. +1-1

6 FUNÇÃO SENO Periodicidade: A função é periódica de período 2π. A função seno é periódica de período fundamental T=2π. -1 < sen(x) < 1

7 PERÍODO E FREQUÊNCIA DE UM SINAL SENOIDAL PERÍODO E FREQUÊNCIA O TEMPO QUE A FUNÇÃO NECESSITA PARA COMPLETAR UM CICLO CHAMA-SE PERÍODO, DADO EM SEGUNDOS (s) O NÚMERO DE VEZES QUE UM CICLO SE REPETE CHAMA-SE FREQUÊNCIA (f), É DADO EM Hertz (Hz) OU, AINDA, ABREVIADO POR cps V ou i 1 Hertz V ou i 2 Hertz ¾ ¼ ½ 1 (s) ¼ ½ ¾ 1 (s) f = 1 / T e T = 1 / f

8 FUNÇÃO COSSENO O segmento Ox, que mede cos(x), é a projeção do segmento OM sobre o eixo horizontal OX.

9 FUNÇÃO COSSENO Periodicidade: A função é periódica de período 2π. A função cosseno é periódica de período fundamental T=2π. -1 < cos(x) < 1

10 RESUMINDO SENO E COSSENO GRAUS SENO COSSENO 0 =

11 RESUMINDO SENO E COSSENO 90 2º. Q 1º. Q º. Q 4º. Q GRAUS SENO COSSENO 30 0,5 0, ,866 0, ,866-0, ,5-0, ,5-0, ,86-0,5 300 (-60 ) -0,866 0,5 330 (-30 ) -0,5 0,

12 RESUMINDO SENO E COSSENO SENO 2 1/2

13 RESUMINDO SENO E COSSENO COSSENO 1/2 1/2

14 EXERCÍCIOS 1. EXPRESSE EM GRAUS: A) 10π rad B) π rad C) π rad D) 4π rad Resp.: A) 200 B) 20 C) 9 D) DETERMINE, EM RADIANOS, A MEDIDA DE MENOR ÂNGULO FORMADO PELOS PONTEIROS DE UM RELÓGIO ÀS 4 HORAS. 360 / 12 = (12 a 3) + 30 (3 a 4) = 120 Em radianos: π tem-se : x = 2π rad x

15 EXERCÍCIOS 3. DETERMINE OS VALORES DE: A) y = 3cos540-2sen90 cos540 = cos180 = -1 sen90 = 1 y = 3. (-1) 2. (1) = (-3) 2 = -5 B) y = 4sen900-2cos630 + cos720 sen900 = sen180 = 0 cos630 = cos270 = 0 y = 4. (0) 2. (0) + 1 = 1 cos720 = cos0 = 1

16 EXERCÍCIOS 4. DETERMINE OS VALORES MÁXIMO E MÍNIMO DAS EXPRESSÕES: A) y = 4cosx +1 B) y = 2 5senx C) y = -3sen²x IMPORTANTE

17 EXERCÍCIOS

18 EXERCÍCIOS 5. SENDO x UM ARCO DO 2º. QUADRANTE E senx = 3/5, DETERMINE cosx

19 APLICAÇÃO - REPRESENTAÇÃO MATEMÁTICA MATEMÁTICAMENTE, OS GRÁFICOS DA TENSÃO SENOIDAL NOS DOMÍNIOS TEMPORAL E ANGULAR PODEM SER REPRESENTADOS POR: v(t) = Vp. sen ῳt e v(θ) = Vp. sen ϴ ONDE: v (t) = v (ϴ), valor da tensão no instante t ou para o ângulo ϴ (em v) Vp = valor de pico ou amplitude máxima da tensão (em v) ῳ = frequência angular (em rd/s) ϴ =ângulo (em rd) FREQUÊNCIA ANGULAR OU VELOCIDADE ANGULAR: ῳ corresponde à variação do ângulo ϴ do sinal em função do tempo. ϴ = ῳt, portanto quando ϴ = 2π, tem se que t = T, então 2π = ῳt ῳ = 2π T ou ainda ῳ = 2π.f

20 EXEMPLO APLICATIVO 5v 2,94-5v (s) 0,25 0,5 0,75 1,0 0,6 Vp = 5v ; Vpp = 10v T = 0,25s f = 4Hz ou 4cps ῳ = 2π. f = 2π. 4 = 8π rd/s v (t) = Vp. sen ῳt portanto v (t) = 5. sen 8πt PARA SE SABER O VALOR DA TENSÃO, POR EXEMPLO, EM t = 0,6s: v (t) = 5. sen (8π.0,6) = 2,94v

21 IMPORTANTE NEM SEMPRE UM SINAL SENOIDAL INICIA O SEU CICLO NO INSTANTE t =0, NESTE CASO A EXPRESSÃO COMPLETA DEVE INCLUIR ESSA FASE INICIAL: v (t) = Vp. sen (ῳt + ϴ0) SE O SINAL INICIA O SEU CICLO ADIANTADO, ϴ0 É POSITIVO; SE O SINAL INICIA O SEU CICLO ATRASADO, ϴ0 É NEGATIVO SINAL ADIANTADO SINAL ATRASADO

22 EXERCÍCIOS 1. REPRESENTAR, GRAFICAMENTE, O SINAL v1(t) = 10.sen (20000πt + π/3) a) ῳ = 2π. f portanto f = ῳ / 2π f = 20000π / 2π f = Hz = 10kHz b) T = 1 / f = 1 / 10k = 0,1 ms T = 100μs c) para t =0, v1(0) = 10. sen π/3 v1 = 8,66v d) O sinal inicia o seu ciclo adiantado de π/3 rd x = π/3 rd 8,66v x 10v v t (μs)

23 EXERCÍCIOS 2. REPRESENTAR, GRAFICAMENTE, O SINAL v2(t) = 15.sen (8000πt - 30 ) a) ῳ = 2π. f portanto f = ῳ / 2π f = 8000π / 2π f = 4000 Hz = 4kHz b) T = 1 / f = 1 / 4k = 0,25 ms T = 250μs c) para t =0, v2(0) = 15. sen (-30 ) v2 = -7,5v d) O sinal inicia o seu ciclo atrasado de 30 ou π/6 rd v 15v 250 t(μs) y = -30-7,5v y -15v

24 DEFASAGEM É MUITO COMUM CONHECER A DIFERENÇA DE FASE (DEFASAGEM) ENTRE DOIS SINAIS DE MESMA FREQUÊNCIA, TOMANDO-SE UM DOS SINAIS COMO REFERÊNCIA a) v1 (t) = sen(ῳt + π/2) volts v2 (t) = 5000.sen ῳt volts A DEFASAGEM DE v1 EM RELAÇÃO A v2 É DE ϴ = π/2 rd OU A DEFASAGEM DE v2 EM RELAÇÃO A v1 É DE ϴ = -π/2 rd

25 DEFASAGEM b) v1 (t) = sen(ῳt + 90 ) volts v2 (t) = 5000.sen (ῳt + 90 ) volts A DEFASAGEM ENTRE OS SINAIS É ZERO, OU SEJA, OS SINAIS ESTÃO EM FASE

26 DEFASAGEM c) v1 (t) = 10 sen(ῳt) volts v2 (t) = 5 sen (ῳt ) v A DEFASAGEM É DE 180

27 t EXERCÍCIO 1. Dado o gráfico das tensões senoidais, pedem-se para ambos os sinais: A) O valor de pico e o valor de pico a pico B) Período, frequência e frequência angular; C) Defasagem entre as senóides; D) Expressão matemática

28 t EXERCÍCIOS DE REVISÃO 1) DETERMINAR OS VALORES DE : A) seno 4290 e desenhar no círculo trigonométrico onde está localizado este ângulo. B) cos 3555 e sen 3555 e desenhar no círculo trigonométrio onde está localizado este ãngulo. C) sen -17π / 6 D) cos 9π / 4

29 t EXERCÍCIOS DE REVISÃO 2) Se x está no segundo quadrante e cos(x)=-12/13, qual é o valor de sen(x)? 3) Quais são os valores de m que satisfazem à igualdade cos(x)=2m-1 e sen(x)=2m-5? 4) Quando o ângulo de elevação do sol é de 65 º, a sombra de um edifício mede 18 m. Calcule a altura do edifício. 5) Um avião levanta vôo sob um ângulo de 30º. Depois de percorrer 8 km, qual altura o avião se encontra?

30 t EXERCÍCIOS DE REVISÃO 6) Para as seguintes tensões senoidais, v1(t) e v2(t) pedem-se: a) freqüência angular (w), freqüência (f), período (T) b) angulo de fase inicial c) obter a soma das duas tensões. v 1 (t) = 15.sen(2π10 3.t ) volts v 2 (t) = 20.sen(2π10 3.t + π/2 ) volts ). a) Da expressão de v1 obtemos que w1=2π10 3 rd/s e como w=2πf, obtemos f1=1000hz=1khz e T1=1ms=0,001s. O valor de pico desta tensão é V p =15V, angulo de fase inicial ϴ=0º b) Para v2 temos que w=2π10 3 rd/s e portanto f2=1000hz=1khz, e T2=1ms=0,001s o valor de pico desta tensão é 20V, angulo de fase inicial ϴ=90º=π/2. A defasagem entre os dois sinais é de 90º

31 t EXERCÍCIOS DE REVISÃO 7) Representar as seguintes tensões senoidais: v1( t ) = 155 sen (120πt π/4) volts v2 ( t ) = 155 sen (120πt) volts Tensão v1: V p =155V, w1=120π rd/s, f1= 60Hz logo T1=1/f1 =1/60=16,66ms, angulo de fase inicial ϴ= -45º= -π/4 t = 0 v1(0) = 155. sen (-π/4) = - 108,5 volts Tensão v2: V p =155V, w2=120π rd/s, f2=60hz logo T2=1/f2 =1/60=16,66ms, angulo de fase inicial ϴ=0º.

32 t EXERCÍCIOS DE REVISÃO