Círculo Trigonométrico centro na origem raio 1 Ângulo central Unidades de medidas de ângulos; grau Grau: Grado: Radiano:

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1 Círculo Trigonométrico A circunferência trigonométrica é de extrema importância para o nosso estudo da Trigonometria, pois é baseado nela que todos os teoremas serão deduzidos. Trata-se de uma circunferência com centro na origem do sistema de eixos coordenados e de raio 1, como é mostrado na figura abaixo: Veja que os eixos dividem a circunferência em 4 partes iguais denominados quadrantes. Convenciona-se que o sentido anti-horário é o sentido positivo na circunferência trigonométrica. Ângulo central Qualquer ângulo cujo vértice é o centro da circunferência chamamos de ângulo central. Como exemplo temos o ângulo (AÔB). Unidades de medidas de ângulos; Existem algumas unidades conhecidas com as quais podemos medir um ângulo. A mais conhecida é o grau, mas há algumas outras que podem aparecer no nosso vestibular!!!! Vamos entender como cada uma dessas unidades foram definidas. Grau: Dividindo uma circunferência em 60 partes iguais, ligamos o centro a cada um desses pontos marcados nessa circunferência. Com essa operação conseguimos determinar 60 ângulos centrais.cada um desses ângulos é chamado de 1 grau. Grado: Da mesma forma que foi feita a definição de um grau, faremos para definir um grado. A única diferença entre essas medidas é que para o grau dividimos a circunferência em 60 arcos iguais e para o grado dividiremos essa mesma circunferência em 400 partes iguais. Radiano: Outra unidade é chamada de radiano. Essa é uma das mais importantes e é a que maisfaremos uso no nosso curso de trigonometria. Sejamos práticos: Desenhamos no chão umacircunferência de raio r. Agora fazemos uma formiga andar sobre essa circunferência (sobre a curva) oequivalente a r. Marcamos o lugar que ela para. Agora marcamos o ângulo central que corresponde aesse arco que a formiga andou. Esse ângulo central formado mede 1 radiano (1 rd).

2 Faça a seguinte experiência!!!! 1. Com o auxílio de um compasso, desenhe uma circunferência de raio R = cm.. Pegue um pedaço de barbante e cubra essa circunferência por inteiro.. Estique esse barbante e meça o seu tamanho (L) com uma régua. 4. Calcule o valor da razão expressa por k L/ R 5. Anote o resultado em uma tabela. 6. Repita esse procedimento para circunferências de raios 4cm e 6cm. 7. Compare a sua tabela com a tabela abaixo. Faça o experimento e anote os resultados obtido: R= cm R= 4cm R= 6cm Repare que não importa o valor de R que você use, quando você calcular o valor de k = L/R o resultado surpreendentemente, é sempre o mesmo e aproximadamente igual à 6,8. Essa constante pode ser calculada com exatidão, mas para isso é necessário o uso de uma matemática mais pesada, essa constante chamamos de π. Assim, o comprimento de qualquer circunferência é dado por L = πr. No caso do nosso estudo, o raio vale 1 por definição. Assim, a nossa circunferência mede π. Como foi dito acima, 1(um) radiano é o valor de um ângulo que equivale à um arco que mede r (no nosso caso r = 1). Como nossa circunferência mede π, cabem nela π radianos. Assim, dizemos que na circunferência inteira temos: 60º equivale à π radianos, que equivale à 400 grados Para efeito de conversões, temos a seguinte relação: 180º πrad 00gd Vejamos alguns exemplos. 1 exemplo: Expressar 00 em rad. Resolução: Estabelecemos a seguinte regra de três: 180 rad x rad180 x = 00 x = = 180

3 exemplo: Expressar 4 rad em graus. 180 Resolução: Substituímos por 180, daí = = 45º 4 4 Quando marcamos dois pontos A, B sobre uma circunferência, esta fica dividida em duas partes. Podemos ainda definir arco como sendo a porção da circunferência delimitada por um ângulo central qualquer. Veja!!!! Tanto a parte I como a parte II são chamadas de arcos de circunferência. Se A coincide com B, diz-se que temos o arco nulo (I) e o arco de volta inteira (II). Muito importante: se não for mencionado qual dos arcos se está falando, assume-se que se trata do menor arco. - Unidades de medidas de arcos Vamos medir um arco: Acabamos de ver que para qualquer circunferência, o seu comprimento é dado pela expressão: C = πr. Vamos achar uma expressão que dá o comprimento de um arco sobre uma circunferência de raio R. Relações 1º exemplo: Qual o comprimento de uma circunferência que possui raio 5cm. Usar =,14 (para efeito de cálculo) C= r =.,14. 5= 1,4 O comprimento é aproximadamente 1,4 º exemplo: Qual o comprimento do arco AB de 45º de uma circunferência de 8cm de raio? Como sabemos que o C= r = 60º podemos determinar uma relação entre o comprimento e a medida (grau) Comprimento medida(grau)comprimento medida(grau) r C C Assim: 60 c= c= 45º ,14 60º ,8 cm

4 Exercícios básicos 1. Resolva os problemasabaixo: a) Um atleta corria em uma pista circular de 48m de raio. Quando faltava a quarta parte para completar a primeira volta, ele teve de interromper a corrida. Quantos metros aproximadamente ele percorreu? R=6m b) Qual o comprimento de uma circunferência que possui raio 4cm? R:5,1cm c) Qual o comprimento do arco AB de 50º de uma circunferência de cm de raio?r=1,74cm. Transforme de graus para radianos: a) 0º b)6º c)90º d)180º e)00º f)70º 10 Resp: rad, rad, rad, rad, rad e rad Transforme de radianos para graus: 4 a) rad b) rad c) 6 rad d) rad e) rad f) rad 6 Resp: 60, 40, 1080, 10, 540 e 0 Ciclo trigonométrico 90 = 1 volta inteira no sentido anti- horário e sobra 0 (determinação positiva), já a determinação negativa será 0-60 = = voltas inteira no sentido horário e sobra -145 (determinação negativa), já a determinação positiva será = 15 Quando acontecem de termos dois arcos diferentes que terminam na mesma posição da circunferência,dizemos que esses arcos são arcos côngruos. Exemplos nos balões ao lado: Exercício:

5 1. De a primeira determinação positiva e negativa dos arcos: (trabalhe em graus se preferir) 5 47 a) 460º b)-840º c) rad d) rad 4 Respostas 1: 00º e -60º, 10º e -40º, 4 - rad e - 7 rad ( 40º -10º ) e rad e rad (15º -45º) 4 4 CICLO TROGONOMÉTRICO: seno e cosseno Seja x o ângulo correspondente ao arco AP. Se observarmos a figura 1 veremos que temos o triângulo retângulo de lados a, b e 1, temos: senx =b/1=b e cosx=a/1=a Desta forma o eixo das abscissas é chamado eixo dos cossenos e o eixo das ordenadas do seno.

6 Primeiro vamos determinar o sinal do seno e cosseno em cada um dos quadrantes abaixo: Seno Cosseno 1º quadrante º quadrante º quadrante 4º quadrante 0º<x<90º 90º<x<180º 180º<x<70º 70º<x<60º Agora vamos encontrar os valores de seno e cosseno nos valores que estão em cima dos eixos x e y e demais valores que estão marcados no ciclo Seno Cosseno 0º 90º 180º 70º 60º Seno Cosseno 0º 10º 10º 15º

7 Redução de Quadrantes Todos os valores do seno, do cosseno e do tangente de ângulos até 90 foram tabelados, mas como encontrar o valor de ângulos maiores do que 90? Utilizando a Redução de Quadrantes. Ângulo obtuso = ângulo maior do que 90 (do segundo para o primeiro) Senos de ângulos obtusos são exatamente iguais aos senos dos suplementos desses ângulos: Exemplo: Sen 10 = Cosseno de ângulos obtusos são opostos aos cossenos dos suplementos desses ângulos. Exemplo:

8 Redução do Quadrante para o 1 Quadrante Exemplo: reduzir para o primeiro quadrante: sen 145 cos 145 Redução do 4 Quadrante para o 1 Quadrante Exemplo: reduzir para o primeiro quadrante: sen 15 cos 15

9 Redução do para o 1 quadrante: Resumindo temos: Redução do para o 1 quadrante: Redução do 4 para o 1 quadrante: Exercício: Obtenha o valor de reduzindo para o primeiro quadrante: cos 15 b) ) cos 5 c)sen 150 d) cos 150 e) f) sen 00 g) cos 00 h)cos 0 i)sen 10 j)sen 5 k) cos 10 Respostas: a ) b) 1 c) d) e) f ) 1 g) h) i) 1 j) e Relações trigonométricas: tangente, cotangente, secante e cossecante CO tg CA sen tg cos g cos cot sen

10 Sinais do Seno Sinais do Cosseno Sinais da Tangente e cotangente Secante de um arco de medida x é a razão 1 sec x cos x Observe que o sinal da secante será o mesmo do cosseno. Cossecante de um arco de medida x é a 1 razão cos sec x sen x Observe: que o sinal da Cossecante é o mesmo do Seno. Exemplos: 1) Calcule o valor da tangente, cotangente, secante e cossecante para o ângulo de 90

11 ) Resolva o valor da expressão: sen10. cos tg 45 + cossec 5 - sec 15 Exercícios : 1) Em que quadrante temos simultaneamente: sen x < 0 e cos x < 0; sen x > 0 e cos x > 0; sen x < 0 e cos x > 0. ) o valor de é: Resposta: a ) Assinale a alternativa correta sen 00 < sen 0 < sen 00 sen 0 < sen 00 < sen 00 sen 0 < sen 00 < sen 00 sen 00 < sen 0 < sen 00 sen 00 < sen 00 < sen 0 Resposta: a 4) O valor da expressão Resposta:d 5) O valor de sen 0 - cos 60 é Respostas:a

12 6) Calcule o valor das expressões. Respostas: ) Determine o valor das expressões: Respostas: 6 1 8) Calcule o valor das expressões: 4 1 Respostas: - 4 9) Dê o valor das expressões: Respostas: ) Calcule: 8-1 Respostas: 8

13 11) Encontre o valor de: Respsotas: ) Calcule o valor da expressão, sabendo que Respostas: 6 1) Calcule: sec 15 cossec 150 cotg cossec 40 cotg 0 Respostas:,,,, e 14)Calcule: Resposta

14 RELAÇÃO FUNDAMENTAL DA TRIGONOMETRIA No círculo trigonométrico, o eixo horizontal é representado pelo seno e o eixo vertical, pelo cosseno. A determinarmos um ponto qualquer sobre a extremidade do círculo, temos sua projeção no eixo dos senos e dos cossenos. Ao traçarmos um segmento de reta do eixo das origens do círculo até o ponto determinado, formamos um ângulo Ө, como mostram os esquemas a seguir: Com base no triângulo retângulo formado, vamos aplicar os fundamentos do teorema de Pitágoras: Exemplo 1: sen² Ө + cos² Ө = 1 Considerando que, com, determine cos x.

15 Exemplo : Considerando que, com, determine sen x. Exercícios 1) Sabendo que cos e que, calcular: sen tg sec Respostas: 5 5 4,,, e ) Sabendo que cossec x = e que x pertence ao 1 Quadrante, determine tg x. resposta: 15 7 ) Sendo sen x = e, calcule: cos tg sec Respostas: ,,, e