MATEMÁTICA SEGUNDO ANO PROGRESSÃO

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1 E. E. E. M. O único lugar onde o sucesso vem antes do trabalho é no dicionário Albert Einstein MATEMÁTICA SEGUNDO ANO PROGRESSÃO NOME COMPLETO: TURMA: TURNO: ANO: PROFESSORA:

2 OBJETIVO GERAL DA ÁREA DO CONHECIMENTO Identificar os conhecimentos matemáticos como meio para compreender e transformar o mundo a sua volta; Perceber que a disciplina estimula o interesse, a curiosidade, o espírito de investigação e o desenvolvimento da capacidade para resolver problemas; Desenvolver a autoestima e a perseverança na busca de soluções durante o processo de ensino e aprendizagem; Interagir com os colegas de modo cooperativo, aprendendo a trabalhar em conjunto na busca de soluções; Utilizar os conceitos estudados em Matemática para analisar, interpretar, formular, comparar e resolver situações problemas sejam elas contextualizadas ou não, favorecendo a estrutura do pensamento e o desenvolvimento do raciocínio lógico. Estabelecer relações entre esses conceitos e os conhecimentos adquiridos em outras áreas do conhecimento. CONTEÚDOS ABORDADOS NESTE MÓDULO. Sequências Numéricas. Progressão Aritmética (P.A) 3. Progressões Geométricas (P.G) 4. Trigonometria

3 Sequência Uma sequência numérica é uma função f cujo domínio está contido em N * e cujo contradomínio é. Uma sequência finita de n termos é indicadapor (a, a,..., an). Uma sequência infinita é indicada por (a, a, a3,..., an,...). Atenção: a é chamado primeiro termo, a segundo termo e assim por diante... Exemplos se sequências numéricas: a) números primos (,,3,7,,...) b) números naturais (0,,,3,4,...) c) números pares positivos maiores que zero (,4,6,8..) Exemplos de como determinar uma sequência a partir de uma lei de formação ou termo geral: ) Encontre os cinco primeiros termos da sequência cujo termo geral é an =3.n+6, n an =3.n+6, n N a =3.+6=3+6=9 a =3.+6=6+6= a3 =3.3+6=9+6=5 a4 =3.4+6=+6=8 * Atenção: * N significa que n= (,,3,4...) a5 =3.5+6=5+6=3 logo a sequência fica descrita como: (9,,5,8,3) N * )A lei de formação de uma sequência é an =3.n+6, n N *. O número 76 pertence a esta sequência? Se sim qual sua posição? an =3.n+6 76= 3.n =3.n 60/3=n 0=n Sim faz parte da sequência e ocupa á vigésima posição 3

4 3) Dada a sequência definida por: a a n. a n, para n N. Escreva os 4 primeiros termos: Exercícios: (fazer no caderno) ) Escreva os 5 primeiros termos da sequência definida por: a 0 a n. a n, n N * Resp: (0,-,,,) ) Seja an =-37+6.n, n N * verifique se os números abaixo pertencem ou não a sequência, se sim qual sua posição? a) -7 b)46 c)3 d)5 Resp: a)sim é o 5º termo b) não c)não d)sim é 48º termo 3) Seja a sequência definida por: an =3+.n +n², n a) Encontre os 4 primeiros termos Resp: (6,,8,7) b)calcule a + a4. Resp: 38 N * 4) Encontre os 5 primeiros termos da sequência definida por: a, n a n 3. a n N * Resp: (,6,8,54,6) ************************************************ Há duas sequências muito conhecidas com características definidas elas são chamadas progressões aritméticas e geométricas, sobre elas que vamos abordar. Observe as sequências abaixo: 4

5 Exemplos: A = ( 3,,, 30, 39, 48,...) O que está acontecendo nesta sequência? Se fosse classifica-la seria: Crescente ( ) decrescente ( ) constante ( ) B = (,,,,,...) O que está acontecendo nesta sequência? Se fosse classifica-la seria: Crescente ( ) decrescente ( ) constante ( ) C = (00, 90, 80, 70,...) razão = O que está acontecendo nesta sequência? Se fosse classifica-la seria: Crescente ( ) decrescente ( ) constante ( ) D= (, 6, 8, 54,...) O que está acontecendo nesta sequência? Se fosse classifica-la seria: Crescente ( ) decrescente ( ) constante ( ) oscilante ( ) E= (3, 6, 8, 4) O que está acontecendo nesta sequência? Se fosse classifica-la seria: Crescente ( ) decrescente ( ) constante ( ) oscilante ( ) F= (5, 5, 5, 5) O que está acontecendo nesta sequência? Se fosse classifica-la seria: Crescente ( ) decrescente ( ) constante ( ) oscilante ( ) G= (, -6, 8, -54) O que está acontecendo nesta sequência? Se fosse classifica-la seria: Crescente ( ) decrescente ( ) constante ( ) oscilante ( ) Analisando: As sequências A, B e C representam progressões aritméticas (P.A), já as sequências D, E,F e G são chamadas progressões geométricas (P.G). Toda a P.A ou P.G é formada a partir de uma razão. A razão da P.A é representada pela letra r, para encontrar basta escolher um termo qualquer que não seja o primeiro e subtrair pelo anterior, por exemplo: r =a-a ou r= a3-a. Porem a razão da P.G é representada pela letra q e para encontrar a razão basta escolher um termo qualquer que não seja o primeiro e dividir pelo anterior, por exemplo: q=a/a ou q= a3/a Quanto à classificação: Progressão aritmética (P.A) crescente r > 0 decrescente r < 0 constante r = 0. Progressão geométrica (P.G) 5

6 crescente q > e a> 0 ou 0 < q < e a< 0 decrescente q > e a< 0 ou 0 < q < e a> 0 constante q = oscilante razão é negativa, o que fará que o sinais vão se alternando. Exercícios: ) Complete a sequência abaixo, sabendo que são uma P.A e determine a razão e classifique as em crescente, decrescente e oscilante: a) ( 6, 6, 6, ) b) (,, 5, 0, 5) c) (, 3, 5,, 9,, 3, ) ) Complete a sequência abaixo, sabendo que são uma P.G e responda qual a razão e classifique as : a)(3,,, 9, ) b)(5, -5,, ) c)(,, 6, 8, 4) d)(,,, ) PROGRESSÃO ARITMÉTICA PA Ex:) Encontre o décimo termo da P.A onde o primeiro termo é 6 e a razão é 0: Montando a sequência teríamos: (6,6,6,36,46,56,66,76,86,96) Logo o décimo termo, isto é a0=96 mas ainda: Se a=6 logo: = + r = + r, ou seja, + r + r que é o mesmo que = +.r = + r, ou seja, + r + r + r que é o mesmo que = + 3.r e assim por diante... Então para qualquer termo de uma P.A temos: podemos definir que = + ( n ).r Onde: é otermo de ordem n (n-ésimo termo) é o primeiro termo r é a razão Voltando ao exemplo: r=0 a=6 a0=? Se a sequência vai de a até a0 significa que temos 0 termos, isto n=0 = + ( n ).r a0= 6 + (0-).0 a0= a0= a0= 96 6

7 Uma progressão aritmética qualquer onde os termos são desconhecidos pode ser representado por: (..., x r, x, x + r,... ) Ex: ) Três números estão em P.A A soma deles é e o produto 48. Determine os termos: (x r) + x + (x + r) = (x r). x. (x + r) =48 (x r) + x + (x + r) = (4 r). 4. (4 + r) =48 3.x= (4 r). (4 + r) =48/4 x=/3=4 6 +4r - 4r r²= 6-= r² 4=r² ±=r Assim se: r= (,4,6) se r=- (6,4,) Ex: 3)Se numa P.A, o a5= 30 e a0= 60: a)qual a razão? b)interpole os números que estão entre a5 e a0? Resolvendo: a)primeiro, vamos pensar quantos termos tem entre a5= 30 e a0= 60? 6 termos, logo n=6. Se estamos considerando um pedaço da sequência podemos dizer que a=30 e a0=60 que neste caso seria an=60 e r=? = + ( n ).r 60= 30 + (6-).r 60-30=5r 30/5=r = r Logo a razão é b) se r= interpolar é escrever entre a5 e a0 temos 4 termos, logo: (30,3,34,36,38,40,4,44,46,48,50,5,54,56,58,60) Ex:4) Encontre quantos múltiplos de estão entre 6 e 00? r= a=8 an=98 n=? = + ( n ).r 98= 8 + (n-). 98-8=n- 90=n- 90+=n 9/=n 46=n Temos então 46 termos entre 6 e 00 7

8 Exercícios: 0) Achar o número de múltiplos de 5 compreendidos entre e 63. Resp: 0 0) As raízes da equação x 7x +0 = 0 são o º e º termos de uma P.A crescente. Determina o 0º termo dessa P.A. Resp: 9 03) Determinar a razão e o º termo da PA na qual a8= 4 e a= 0. Resp: e 04) Quantos termos têm a PA finita ( 0, 4,..., 44)? Resp: 0 05) Interpolar cinco meios aritméticos entre 6 e 30. PA interpolada é (6,0,4,8,,6,30) 06) Numa PA em que a razão é igual ao dobro do º termo, sabe-se que a0 =38. Calcular o valor de a e a razão da PA. Resp: 4 e 07) Três números estão em P.A A soma deles é 5 e o produto 80. Determine os termos, sabendo que a sequência é decrescente: Resp: (8,5,) 08) O triângulo retângulo seguinte tem perímetro 96 cm e área 384 cm². Quais são as medidas de seus lados se (a, b, c) é, nessa ordem, uma P.A crescente? (4, 3, 40) 09) Ao financiar uma casa no total de 0 anos, Carlos fechou o seguinte contrato com a financeira: para cada ano, o valor das prestações deve ser igual e o valor da prestação mensal em um determinado ano é R$ 50,00 a mais que o valor pago, mensalmente, no ano anterior. Considerando que o valor da prestação no primeiro ano é de R$ 50,00, determine o valor da prestação no último ano. Resp: 00 0) O financiamento de um imóvel em dez anos prevê, para cada ano, doze prestações iguais. O valor da prestação mensal em um determinado ano é 0 reias a mais do que o valor pago, mensalmente, no ano anterior. Sabendo que, no primeiro ano, a prestação mensal era de 00, determine: a) O valor da prestação a ser paga no 5º ano? Rep: 80,00 b) O total a ser pago no quinto ano? Resp:

9 PROGRESSÃO GEOMÉTRICA P.G. Primeiro vamos relembrando a razão da P.G (, 8, 3, 8,...) a razão da P.G é representada pela letra q e para encontra-la, basta escolher um termo qualquer que não seja o primeiro e dividir pelo anterior, por exemplo: q=a/a ou q= a3/a então: q=a/a q= 8/=4 Ex: ) Sabendo que é uma P.G, qual o décimo primeiro termo da sequência (,,4...) q=4/= (,,4,8,6,3,64, 856,5,04) logo o a= 04 Pensando um pouco mais: a= a=a. q a3=a. q que é o mesmo que a3=a. q. q ou ainda a3=a. q² a4=a3. q que é o mesmo que a4=a. q. q.q ou ainda a4=a. q³ e assim por diante... Então para qualquer termo de uma P.G temos: an = a. q n Onde: a é o primeiro termo an é o enésimo termo n é o número de termos q é a razão da P.G. Voltando ao exemplo: Sabendo que é uma P.G, qual o décimo primeiro termo da sequência (,,4...) a= q= a0=? Se a sequência é de a até a temos termos isto é n= an = a. q n a=. (-) a=. 0 a=. 0 = 04 atenção: 0 =...=04 Ex: 3) Interpole 6 meios geométricos entre e e Então temos 8 termos n=8 a= an=4374 q=? an = a. q n 4374=. q (8-) 4374/=q 7 87 = q =q 7 3=q Interpolar é escrever então: (, 6, 8, 54,6,486, 458, 4374) Ex: 4) Determine os valores de x afim que a sequência (x+, x, x+) seja uma P.G. a3 a a a x x x x x x x x x² = x²+x+x+ x² = x²+3x+ x²-x²-3x= x= - /3 9

10 Uma progressão geométrica qualquer onde os termos são desconhecidos pode ser representado por: (..., x q, x, x.q,... ) Ex: 5) A soma de três números em uma P.G é 7 e o produto deles é 8. Determine os elementos da sequência. x q. x. x.q = 8 x q + x + x.q = 7 x q. x. x.q = 8 q + + q = 7 x³= 8 q q 7q q x= q² -5q+=0 resolvendo temos: q² -5q+=0 a= b=-5 c= b b 4. a. c. a = e /4=/ Assim temos: q= ( x q, x, x.q) (,,.) (,,4) q=/ ( /,,. ) (4,, ) Atenção: = =. 4 e. / = Exercícios: 0) Encontre os três termos de uma P.G crescente, sabendo que a soma é 3 e o produto deles é 7. Resp: (,3,9) 0) Qual é o sétimo termo da PG ( Resp: 3 03) Determina o número de termos da PG (,,..., 56). Resp: 9 04) A seqüência (, 3a - 4, 9a 8) é uma P.G. Calcula a. Resp: 05) Numa P.G. de quatro termos, a razão é o 5 e o último termo é 375. Calcular o primeiro termo. Resp: 3 0

11 06) Insira quatro termos geométricos entre e 43. Resp: (,3,9,7,8,43) 07) O número de consultas a um site de comércio eletrônico aumenta semanalmente (desde a data em que o portal ficou acessível), segundo uma PG de razão 3. Sabe-se que na 6ª semana foram registradas 458 visitas, determine o número de visitas ao site registrado na 3ª semana. Resp: 54 08) Uma dívida deverá ser paga em sete parcelas de modo que constituam termos de uma PG. Sabe-se que os valores das 3ª e 6ª parcelas são respectivamente R$ 44,00 e R$ 486,00. Determina: a) O valor da ª parcela. R$ 64,00 b) O valor da última parcela. R$ 79,00 09) Calcular a razão da P.G. de seis termos onde o primeiro termo é e o último termo e 486. Resp: 3 0) Sabe-se que numa PG,a razão é 9, o primeira termo é e o último termo é 79. Qual o número de termos dessa PG? Resp: 5 ************************************* Fórmula da soma dos n primeiros termos de termos de uma P.A Onde: Sn é a soma dos n termos, n é o número de termos a é o primeiro termo a né o enésimo termo

12 Ex:) Calcule a soma dos 0 primeiros termos da P.A. (-3; ; 5;...). n=0 a=-3 r= 5-=4 Sn=? antes precisamos encontrar a0=? = + ( n ).r a0= -3+ (0-).4 a0= a0= =33 S 0 ( 3 33).0 S S Ex: ) Um teatro possui poltronas na primeira fileira, 4 na segunda fileira e 6 na terceira fileira; As demais fileiras se compõem na mesma sequência. a) Quantas fileiras são necessárias para o teatro ter um total de 60 poltronas? b) Quantas poltronas terá a última fileira? Dados: (,4,6,...) r=6-4- Sn=60 n=? a) = + ( n ).r an= + (n-). an= +n- an= n+0 ( n 0). n 60 (n ). n 60 n². n n² n 0 n² n 60 resolvendo: b b 4. a. c. a = 0 e -3 São 0 fileiras b) Sendo n=0 e sabendo que an= n+0 a0=. 0+0 =40+0=50 Tem 50 poltronas na última fileira

13 Exercícios: 0) Calcula a soma: a) Dos n primeiros números pares positivos. Resp: n + n b) Dos trinta primeiros termos da PA(4, 0,...) Resp: 730 0) Com o objetivo de clarear um ambiente, um arquiteto projetou parte de uma parede de tijolos com 80 tijolos de vidro. Estes tijolos devem ser dispostos sob a forma de um triângulo, de modo que, a partir da segunda fileira, cada tijolo se apoie sobre dois tijolos da fileira anterior até a última, que terá apenas um tijolo, conforme figura que apresenta as três ultimas fileiras. O número de tijolos da primeira fileira deve ser: Resp:40 03) Um corpo em queda livre percorre 3m no primeiro segundo, m no segundo, m no terceiro segundo e assim por diante. Continuando essa sequência, quantos metros terá percorrido após 0 segundo? Resp: 435m 04) No primeiro dia de abril, os operários de uma fábrica produziram 00 bicicletas. A meta era produzir em cada um dos dias seguintes desse mês 0 bicicletas a mais que no dia anterior. De acordo com essa meta: Quantas bicicletas seriam produzidas nos vinte primeiros dias de abril? Resp:5900 bicicletas 05) A fim de organizar a convocação dos funcionários de uma empresa para o exame médico, decidiu-se numerá-los de a 500. Na primeira semana, foram convocados cujos números representavam múltiplos de e, na segunda semana, foram convocados os múltiplos de 3 e que ainda não haviam sido chamados. Qual é o número de funcionários que não haviam sido convocados após estas duas semanas? Resp:67 funcionários 06) Para a compra de uma TV pode-se optar por um dos seguintes planos: Plano alfa: entrada de 400 e mais 3 parcelas mensais crescente, sendo a primeira de 35 reais, a segunda de 50 reais, a terceira de 65 reias e assim por diante. Plano beta: 5 prestações mensais iguais de 30 reais cada. a) Em qual dos planos o total é maior? Resp:Alfa (Beta = R$950,00 e Alfa: R$ 05,00) b) Qual deveria ser o valor da entrada do plano alfa para que, mantida as demais condições, os desembolsos totais fossem. iguais? Resp:35,00 3

14 07) Marcos recebia de seu Pai uma mesada de 00. Muito esperto, o garoto propôs que a mesada passasse a ser paga aos poucos: R$,00 no º dia,r$,50 no º dia e assim por diante, até o 30º dia. Qual passaria a ser o novo valor da mesada? Resp:47,50 08) Em uma cidade, 00 famílias carentes inscreveram-se em um programa social desenvolvido pela prefeitura. Por não haver a verba total imediata necessária para implantar o programa, decidiu-se atender 80 famílias no primeiro mês e, em cada mês subsequente, 5 famílias a menos que o número de famílias assistidas no mês anterior. Quantas famílias foram atendidas nos primeiro semestre do programa? Resp: 855 pessoas 09) A soma dos 40 primeiros números naturais é igual a: (A) 400 (B) 40 (C) 670 (D) 780 (E) 800 R=D 0) A soma dos n primeiros termos de uma PA é dada por Sn=3n +5n. a razão dessa PA é: (A) 7 (B) 6 (C) 9 (D) 8 (E) 0 R=B ************************************* FÓRMULA DA SOMA DOS n PRIMEIROS TERMOS DE UMA P. G. P.G. finita : podemos obter a soma dos n termos através da fórmula: n termos a é o primeiro termo q é razão da P.G n é o número de termos Sn é a soma dos q S n n. a q Fórmula da Soma para um P.G. infinita também chamada de LIMITE DA SOMA P.G. infinita : podemos obter a soma dos n termos através da fórmula: a é o primeiro termo S n = - < q < q é a razão da P.G. Sn é a soma dos n termos. 4

15 Ex:) Sendo a P.G (,6,8...) quantos termos deve ser considerado para que a soma seja 968. Dados: Sn= a= q=6/= n n n n. 3 n n= (3 n ) São 9 termos para a soma ser 968 Ex:) Qual n primeiros termos de uma PG na qual o º termo é e a razão é /. S n = S n Sn S n. 4 Ex: 3)(OBMEP) No início de janeiro de 006, Tina formou com colegas um grupo para resolver problemas de Matemática. Eles estudaram muito e por isso a cada mês, conseguiam resolver o dobro do número de problemas resolvidos no mês anterior. No fim de junho de 006 o grupo havia resolvido um total de 34 problemas. Quantos problemas o grupo resolveu em janeiro? Resp:8 q= Sn= 34 janeiro até julho são 6 meses n=6 a=? n 6 a a.(64 ) 34 63a 34 a a ( ) a a 5

16 EXERCÍCIOS: ) Determine a soma dos oito primeiros termos da PG: (,, 4...) Resp:55 ) Resolva a equação: x + x/ + x/4 + x/8 + x/ =00 Resp:50 3) Qual é a quantidade de elementos da PG finita (,, 4, ), sabendo que a soma dos termos dessa PG é 03? Resp:0 4) A soma dos infinitos termos da PG (x, x/, x/4,...) é 5. Determine x. Resp: 5/ 5) Nos 4 dias de inscrição para um concurso público o número diário de candidatos inscritos aumentou em progressão geométrica. No primeiro dia foram 3 inscrições, e no último, Quantos candidatos se inscreveram para esse concurso? Resp:4949 6) Seja a PG de seis termos no qual a = 8, o último é 89 e a soma dos termos é 090. Obter sua razão Resp:4 7) Quantos termos devemos considerar na PG (3,6,...) para obter uma soma igual a 765? Resp:8 8) A soma dos seis primeiros termos iniciais de uma PG é 456. Sendo q = 3, calcula a. Resp: 4 9) A solução da equação x =5 é: Resp:0 0) Calcule a soma dos 0 primeiros termos da PG (,,4,8,...) Resp:03 TRIGONOMETRIA - PARTE Encontrar caminhos matemáticos para a resolução de problemas de astronomia, agrimensura, navegação e construção sempre despertou o interesse humano. Desse tipo de especulação nasceu a Trigonometria, parte da matemática que se dedica ao estudo das relações entre as medidas dos lados e ângulos de um triângulo. O grego Aristarco de Samos (30-30 a.c), considerado por muitos o primeiro grande astrônomo da história, fez uso das ideais da Trigonometria ao estabelecer um método geométrico para investigar a razão entre distancias Terra-Sol e Terra-Lua. INTRODUÇÃO maneiras: Triângulo é um polígono com 3 ângulos internos, logo 3 lados. Podemos classificá-los de duas 6

17 quanto aos tamanhos dos lados: equilátero - 3 lados de mesmo comprimento, isósceles - lados de mesmo comprimento, escaleno - 3 lados de comprimentos diferentes; quanto às medidas dos ângulos: acutângulo - 3 ângulos agudos (menores que 90 graus), retângulos - ângulo reto (90 graus), obtusângulo - ângulo obtuso (maior que 90 graus). TRIÂNGULO RETÂNGULO Em um triângulo retângulo, os lados que formam o ângulo reto são denominados catetos e o lado oposto ao ângulo reto é chamado hipotenusa. Os comprimentos da hipotenusa e dos catetos estão relacionados pelo Teorema de Pitágoras Teorema de Pitágoras (hipotenusa) = (cateto) + (cateto). (a) = (b) + (c). Exemplo: ) A figura mostra um edifício que tem 5 m de altura. Qual o comprimento da escada que está encostada na parte superior do prédio? ) Determinar a medida dos segmentos indicados nas figuras: 7

18 Exercícios: ) Determinar a medida dos segmentos indicados nas figuras: ) A figura mostra uma antena retransmissora com 7 m de altura. Ela é sustentada por 3 cabos de aço que ligam o topo da antena ao solo, em pontos que estão a 30 m do pé da antena. Qual a quantidade, aproximada de cabo, em metros, gasta para sustentar a antena? 3) Qual a distância percorrida pela bolinha de tênis? RAZÕES TRIGONOMÉTRICAS Tomando por base os elementos de um triângulo retângulo, podemos definir as seguintes razões trigonométricas: Seno de um ângulo agudo é a razão entre a medida do cateto oposto a esse ângulo e a medida da hipotenusa. 8

19 Cosseno de um ângulo agudo é a razão entre a medida do cateto adjacente a esse ângulo e a medida da hipotenusa. Tangente de um ângulo agudo é a razão entre a medida do cateto oposto e a medida do cateto adjacente a esse ângulo. Para efeito de cálculos usar a tabela: Exemplos:. No triângulo ABC abaixo, é um ângulo agudo, localizado no ponto C. Aplicando as definições, podemos escrever: 9

20 sen cos tg Respostas: sen 3 3 cos tg 3. Ao calcular a distância entre as margens de um rio, um topógrafo fez o seguinte esquema. Com base nas medições realizadas por esse topógrafo, qual é a largura nesse trecho do rio? 3. Num campeonato de asa-delta, um participante se encontra a uma altura de 60 m e vê o ponto de chegada a um ângulo de 60, conforme mostra a figura. Calcular a componente horizontal x da distância aproximada em que ele está desse ponto de chegada. 4. Um ajudante de pedreiro estava descarregando areia de um caminhão através de uma rampa de madeira apoiada a uma caçamba e que tem uma rampa de 4,6m de comprimento formando com o caminhão um ângulo de 45. Qual a altura da caçamba até o chão? 0

21 Exercícios:. Por segurança, vai ser necessário ligar a ponta de um poste de m de altura a um gancho no chão. Quando esticado, o cabo deverá fazer ângulo de 45 com o chão. Qual é o comprimento do cabo? A que distância do poste está o gancho?. Um avião decola, percorrendo uma trajetória retilínea, formando com o solo um ângulo de 30(supondo que a região sobrevoada pelo avião seja plana). Depois de percorrer 000 metros, a altura atingida pelo avião, em metros, é? 3. Qual o comprimento da sombra de uma árvore de 5m de altura quando o sol está 30 acima da horizonte? 4. Um ajudante de pedreiro estava descarregando areia de um caminhão através de uma rampa de madeira apoiada à caçamba. Se a rampa tem 3 m de comprimento e forma com o solo um ângulo de 300, qual é a altura entre a caçamba e o solo, representado por h? 5. Um recipiente com forma de bloco retangular, com 8 cm de altura, foi tombado como mostra a figura. Determine a altura aproximada h entre o solo e o nível da água contida no recipiente tombado. Resposta: 5,57cm 6. Um triângulo equilátero tem 8 cm de altura. Determine a medida aproximada de seus lados. Resposta: aprox: 0,76cm 7. Jorginho estava empinando pipa. Quando ele soltou os 50m de linha, o vento estava tão forte que a linha ficou inclinada 60 em relação ao solo. Nesse momento qual a altura da pipa? 8. Qual a área e o perímetro do retângulo. Usar =,73

22 9. Uma antena de 5m de altura é presa ao chão por 4 cabos de aço. O ângulo formado por cada um deles com a ponta da antena mede 45º. Quantos metros de cabo de aço foram usados, aproximadamente para prender essa antena? Resposta: aprox 84,6m 0. Em um shopping, uma pessoa sai do primeiro pavimento para o segundo através de uma escada rolante, conforme a figura. A altura H, em metros, atingida pela pessoa ao chegar ao segundo pavimento é: *************************** Círculo Trigonométrico A circunferência trigonométrica é de extrema importância para o nosso estudo da Trigonometria, pois é baseado nela que todos os teoremas serão deduzidos. Trata-se de uma circunferência com centro na origem do sistema de eixos coordenados e de raio, como é mostrado na figura abaixo: Ângulo central é qualquer ângulo cujo vértice é o centro da circunferência chamamos de ângulo central. Como exemplo temos o ângulo (AÔB). Unidades de medidas de ângulos; Os eixos dividem a circunferência em 4 partes iguais denominados quadrantes. Convenciona-se que o sentido anti-horário é o sentido positivo na circunferência trigonométrica.

23 Existem algumas unidades conhecidas com as quais podemos medir um ângulo. A mais conhecida é o grau, mas há algumas outras que podem aparecer no nosso vestibular!!!! Vamos entender como cada uma dessas unidades foram definidas. Grau: Dividindo uma circunferência em 360 partes iguais, ligamos o centro a cada um desses pontos marcados nessa circunferência. Com essa operação conseguimos determinar 360 ângulos centrais. Cada um desses ângulos é chamado de grau. Radiano: Outra unidade é chamada de radiano. Essa é uma das mais importantes e é a que mais faremos uso no nosso curso de trigonometria. Sejamos práticos: Desenhamos no chão uma circunferência de raio r. Agora fazemos uma formiga andar sobre essa circunferência (sobre a curva) o equivalente a r. Marcamos o lugar que ela para. Agora marcamos o ângulo central que corresponde à esse arco que a formiga andou. Esse ângulo central formado mede radiano ( rd). 360º rad 80º rad Comprimento de um arco Faça a Faça a seguinte experiência!!!!. Com o auxílio de um compasso, desenhe uma circunferência de raio r =0cm.. Pegue um pedaço de barbante e cubra essa circunferência por inteiro. 3. Estique esse barbante e meça o seu tamanho (C) com uma régua. Os eixos dividem a circunferência em 4 partes iguais denominados quadrantes. Convenciona-se que o sentido anti-horário é o sentido positivo na circunferência trigonométrica. 4. Calcule o valor da razão expressa por 5. Anote o resultado em uma tabela. C k r 6. Repita esse procedimento para circunferências de raios 5cm e 8cm. 7. Compare a sua tabela com a tabela abaixo. r = 0cm r = 8cm R= 5 cm C = 6,8cm C = 50,4 cm C = 3,4cm C 6, 8 C 50, 4 C 3, 4 k = k = k = r 0 r 8 r 5 K=6,8 K=6,8 K=6,8 3

24 Repare que não importa o valor de r que você use, quando você calcular o valor de k surpreendentemente, é sempre o mesmo e aproximadamente igual à 6,8. Essa constante pode ser calculada com exatidão, mas para isso é necessário o uso de uma matemática mais pesada, essa constante chamamos de π. Assim, o comprimento de qualquer circunferência é dado por C = π.r. No caso do nosso estudo, o raio vale por definição. Assim, a nossa circunferência mede π. Como foi dito acima, (um) radiano é o valor de um ângulo que equivale à um arco que mede r (no nosso casor = ). Como nossa circunferência mede π, cabem nela π radianos. Assim, dizemos que na circunferência inteira temos: Exemplos: º: Qual o comprimento de uma circunferência que possui raio 5cm. Usar =3,4 (para efeito de cálculo) C= r =. 3,4. 5= 3,4 O comprimento é aproximadamente 3,4 cm º : Qual o comprimento do arco AB de 45º de uma circunferência de 8 cm de raio? C= r C=. 3,4. 8 = 50,4 ( comprimento total da circunferência ) Sabemos que: r = 360º Comprimento medida(grau) Comprimento medida(grau) r 360º 50,4 360 Parte da circunferência ângulo x 45 Assim: 360. x = 50,4. 45 x= 50, º 50,4. x = 6,8 cm 8 3º:Transformando: 3 a) 90 equivale e quantos radianos? b) rad x Simplifiquei 45 e 360 por 45 equivale a quantos graus? x = x = = rad = = 70 4

25 ARCOS CÔNGRUOS Cada número real x corresponde um só ponto P do ciclo trigonométrico tal que AP mede x. Onde P é chamado imagem de x no ciclo. No entanto, para cada ponto P existem infinitos arcos de origem A e extremidade P e por consequência existem infinitos valores de x. a) 390 b)5 Logo: 390 é côngruo a 30 DETERMINAÇÃO POSITIVA E NEGATIVA Vejamos quatro exemplos: ) 4º ) - 5º 4º é um arco que está no º determinação positiva. Determinação negativa 4º - 360º= -38 Logo: -38º negativa e a positiva 4 Determinação negativa é -45º e a determinação positiva 360º - 45º = 5º Logo: 5º é a positiva e -45 negativa Exercícios: 5

26 ) Transforme os ângulos abaixo para radianos. a) 0º b) 70º c) 45º d) 60º ) Transforme os ângulos abaixo para graus. a) rad b) rad c) rad d) rad 3) Dê a determinação positiva e e negativa dos arcos abaixo: a) 460º b)-3840º c) 4680 d) -5 Repostas: 300º e -60º, 0º e -40º, 40º e -0º e (- 35º +45º) 4) Resolva os problemas abaixo: a) Qual o comprimento de uma circunferência que possui raio 4cm? b) Um atleta corria de bicicleta em uma pista circular de 5m de raio. Quando faltava a quarta parte para completar a primeira volta, ele teve de interromper a corrida. Quantos metros aproximadamente faltou para terminar o percurso? c) Qual o comprimento do arco AB de 50º de uma circunferência de cm de raio? d) Um atleta corria em uma pista circular de 48m de raio. Quando faltava a quarta parte para completar a primeira volta, ele teve de interromper a corrida. Quantos metros aproximadamente ele percorreu? e) Uma circunferência tem raio 4 m, nela foi marcado um seguimento AB que forma um ângulo de 30, qual o comprimento deste arco? Respostas: 5,cm 7,85m aprox,74cm 6,08m aprox,093m SENO E COSSENO Seja x o ângulo correspondente ao arco AP. Se observarmos a figura veremos que temos o triângulo retângulo de lados a, b e, temos: co b sen x= b H logo: eixo y = representa seno ca a cos x= a H logo:eixo x = representa cosseno 6

27 Qual o sinal do seno e cosseno em cada um dos quadrantes: º quadrante º quadrante 3º quadrante 4º quadrante 0º<x<90º 90º<x<80º 80º<x<70º 70º<x<360º Seno Cosseno Qual o valor de seno e cosseno nos arcos abaixo: Seno Cosseno 0º 90º 80º 70º 360º 7

28 Exemplo: Resolver a expressão:. sen. sen.cos 6 4 Exercícios:. Em que quadrante simultaneamente temos: a) sen x < 0 e cos x < 0; b) sen x > 0 e cos x > 0; c) sen x < 0 e cos x > 0.. Calcule o valor das expressões: a) sen 90º cos 0º 3. sen 70º cos 80º b). sen 0º 3. sen80º 5.cos 90º c).cos 70º 4. sen80º 5.cos 0º 3 3 d)cos cos cos sen Respostas: a) b)0 c) 5 d) 3. O valor de sen 30 - cos 60 é 4. Localize os arcos dados no ciclo ao lado e assinale a alternativa correta: sen 300 < sen 30 < sen 00 sen 30 < sen 300 < sen 00 sen 30 < sen 00 < sen 300 sen 00 < sen 30 < sen 300 sen 300 < sen 00 < sen 30 8

29 REDUÇÃO DE ARCOS PARA O PRIMEIRO QUADRANTE Segundo para primeiro quadrante 80 x Terceiro para o primeiro quadrante x- 80 sen x = sen x cos x = - cos x sen x = -sen x cos x = - cos x Quarto para o primeiro quadrante 360 x sen x = - sen x cos x = cos x Exemplos: Obtenha o valor de reduzindo para o primeiro quadrante: a) sem 35 b)cos 40º Exercício:. Obtenha o valor de reduzindo para o primeiro quadrante: sen 35 cos 5 sen 50 cos 50 sen 40 sen 300 cos 300 cos 330 sen 0 sen 5 cos 0 Respostas: a ) b) c) d) 3 e) 3 3 f ) 3 g) h) 3 i) j) k) 3. O valor da expressão é: 3. Calcule o valor das expressões. 9

30 Respostas: TANGENTE E COTANGENTE NO CICLO TRIGONOMÉTRICO Como já fizemos com as noções de seno e cosseno, vamos ampliar o conceito de tangente. tg = co ca sen cos Como a cotangente é o inverso da tangente logo: g cos cot sen s ec cos cos sec sen Exemplos: 30

31 a) cotg 70º b)tg 0 +. sec 60º b). cossec 45º + cotang 45 Exercícios:. Calcular: a) tg 90º b)cotg 360º c)sec 80 d)cossec 360º. Determine o valor das expressões: 3. Dê o valor das expressões: Respostas: Calcule: Respostas: Encontre o valor de: Respostas:

32 Respsotas: Calcule: Resposta 3 7. O valor da expressão RELAÇÃO FUNDAMENTAL DA TRIGONOMETRIA No círculo trigonométrico, o eixo horizontal é representado pelo seno e o eixo vertical, pelo cosseno. A determinarmos um ponto qualquer sobre a extremidade do círculo, temos sua projeção no eixo dos senos e dos cossenos. Ao traçarmos um segmento de reta do eixo das origens do círculo até o ponto determinado, formamos um ângulo Ө, como mostram os esquemas a seguir: Com base no triângulo retângulo formado, vamos aplicar os fundamentos do teorema de Pitágoras: sen² Ө + cos² Ө = Ou seja, para um arco de medida, é válida a seguinte relação: 3

33 Exemplos: ) Considerando que, com, determine cos x. ) Considerando que, com, determine sen x. Exercícios. Sabe-se que é a medida de um arco de quadrante e que tg = -,4. Calcular sen e cos. Dica: Usar 5 Resposta: sen cos Sabendo que cos e que, calcular: sen tg sec Respostas: ,,, e Sabendo que cossec x = e que x pertence ao Quadrante, determine tg x. Resposta: Sendo sen x = e, calcule: 3 cos tg sec Respostas: ,,, e