CURSO ANUAL DE FÍSICA AULA 1 Prof. Renato Brito

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1 CURSO ANUAL DE FÍSICA AULA 1 Prof. Renato Brito BREVE REVISÃO DE GEOMETRIA PARA AJUDAR NO ESTUDO DOS VETORES É importante que o aluno esteja bem familiarizado com as propriedades usuais da geometria plana, tais como Lei dos senos, Lei dos cossenos, Teorema de Pitágoras, Propriedades dos triângulos retângulos, a fim de operar com os vetores sem maiores dificuldades. Vamos a uma pequena revisão: Geometria no triângulo retângulo: Hipotenusa: lado oposto ao ângulo de 90º num triângulo retângulo. Somente triângulos retângulos tem hipotenusas. Catetos: lados opostos aos ângulos agudos no triângulo retângulo. Relações matemáticas que você deve saber Pitágoras: a² = b² + c² (válido só para triângulos retângulos) a a hipotenusa c b cateto adjacente ao ângulo a cateto oposto ao ângulo a cateto oposto b sena hipotenusa a cateto oposto tga b cateto adjacente c cateto adjacente c cosa hipotenusa a (sen a) (cos a) 1 Todo estudante deve saber memorizado o seno, o cosseno e a tangente dos ângulos mais comuns que aparecem na tabela abaixo. Normalmente o aluno acaba memorizando exercícios: x sen x cos x tg x com o uso e a prática, fazendo

2 Geometria no triângulo qualquer Lei dos Cossenos: calcula o º lado de um triângulo, do qual se conhecem dois lados e um ângulo. c a b a esse é o lado oposto a esse ângulo a = b + c.b.c. cosa Note que, na lei dos cossenos, o lado a que aparece no 1º membro da fórmula é sempre o lado oposto ao ângulo a. Para exemplificar o uso da Lei dos cossenos, determinaremos, a seguir, o comprimento do º lado de um triângulo do qual conhecemos dois lados e um ângulo. 5 cm? 60 o 8 cm esse é o lado oposto a esse ângulo a = b + c.b.c. cosa Chamaremos de a o ângulo de 60 o do triângulo. O lado oposto ao ângulo a é sempre o lado a na lei dos cossenos e, nesse exercício, será nessa incógnita. Os lados b e c podem ser escolhidos em qualquer ordem. Assim, temos: a =? a = b + c.b.c. cosa b = 8 cm a = (8) + (5) x 8 x 5. cos(60 o ) c = 5 cm a = a = 60 0 a = 49 a = 7 Assim, o lado a desconhecido tem um comprimento de 7 cm.

3 Exemplos resolvidos em vídeo Questão 1 Um observador, estando a x metros da base de uma torre, vê o topo sob um ângulo de 60º. Afastando-se 100 m em linha reta, passa a vê-lo sob um ângulo de 0º. A altura da torre corresponde, em metros, a: a) 40. b) 40. c) 50. d) 50. e) 50. Questão Abílio (A) e Gioconda (G) estão sobre uma superfície plana de uma mesma praia e, em um dado instante, veem, sob respectivos ângulos de 0º e 45º, um pássaro (P) voando, conforme é representado a seguir. Considerando desprezível as medidas das alturas de Abílio e Gioconda e sabendo que, naquele instante, a distância entre A e G era de 40m, a quantos metros de altura o pássaro distava da superfície da praia? a) m b) m c) m d) 10 1 m e) m Questão Dois pontos A e B, estão situados na margem de um rio e distantes 40 m um do outro. Um ponto C, na outra margem do rio, está situado de tal modo que o ângulo CAB ˆ mede 75º e o ângulo ACB ˆ mede 75º. A largura do rio, em metros, corresponde a: a) 15. b) 0. c) 5. d) 0. e) 5.

4 4 Questão 4 A extremidade A de uma planta aquática encontra-se 10 cm acima da superfície da água de um lago (figura 1). Quando a brisa a faz balançar, essa extremidade toca a superfície da água no ponto B, situado a 10 cm do local em que sua projeção ortogonal C, sobre a água, encontrava-se inicialmente (figura ). Considere OA, OB e BC segmentos de retas e o arco AB uma trajetória do movimento planta. Pode-se afirmar que a profundidade do lago no ponto O em que se encontra a raiz da planta, em centímetros, é: a) 9. b) 9. c) 10. d) 10. e) 11. Questão 5 A figura abaixo mostra que duas circunferências que se tangenciam interiormente. A circunferência maior tem centro em O. A menor tem raio r = 5 cm e é tangente a OA e OB. Sabendo-se que o ângulo AOB mede 60º, a medida do raio da circunferência maior corresponde a: a) 10 cm. b) 1 cm. c) 15 cm. d) 18 cm. e) 0 cm. Questão 6

5 5 Dois irmãos herdaram um terreno em forma de um paralelogramo ABCD, conforme ilustrado. Como pretendem dividi-lo ao meio, resolveram passar uma cerca AC de comprimento y. O valor de y, em metros, corresponde a: a) 10. b) 10. c) 5. d) 5. e) 5. Questão 7 Observando o ângulo a no triângulo isósceles abaixo, determine o valor de sena sabendo que é válida a relação 4sena = cosa : a) 0,1 b) 0, c) 0,4. d) 0,5. e) 0,6. a 0 0

6 6 EXERCÍCIOS PROPOSTOS 1) Leia o enunciado da questão e tente resolver. ) Caso não consiga resolve, não tem problema, veja a resolução da questão no final dessa apostila. ) Em todas as questões abaixo, o aluno deve consultar os valores dos senos, cossenos e tangentes de 0º, 45º e 60º que aparecem na tabela da nossa primeira página do resumo teórico. Questão 01 (UFPI) Um avião decola, percorrendo uma trajetória retilínea, formando com o solo, um ângulo de 0º (suponha que a região sobrevoada pelo avião seja plana). Depois de percorrer metros, qual a altura atingida pelo avião? Questão 0 (Cefet PR) A rua Tenório Quadros e a avenida Teófilo Silva, ambas retilíneas, cruzam-se conforme um ângulo de 0º. O posto de gasolina Estrela do Sul encontra-se na avenida Teófilo Silva a m do citado cruzamento. Portanto, determine em quilômetros, a distância entre o posto de gasolina Estrela do Sul e a rua Tenório Quadros? Tenório quadros 0 o Teófilo Silva B posto C Questão 0 Determine o valor do lado oposto ao ângulo de 60º. Observe figura a seguir: Questão 04 Um pescador quer atravessar um rio, usando um barco e partindo do ponto C. A correnteza faz com que ele atraque no ponto B da outra margem, 40 m abaixo do ponto A. Se ele percorreu 00 m, qual a largura do rio?

7 7 Questão 05 Ao empinar uma pipa, João percebeu que estava a uma distância de 6 m do poste onde a pipa engalhou. Renata notou que ângulo a formado entre a linha da pipa e a rua era 60, como mostra a figura. Calcule a altura do poste. Questão 6 Uma pessoa encontra-se num ponto A, localizado na base de um prédio, conforme mostra a figura abaixo: Se ela caminhar 10 metros em linha reta, chegará a um ponto B, de onde poderá ver o topo C do prédio, sob um ângulo de 60. Quantos metros ela deverá se afastar do ponto A, andando em linha reta no sentido de A para B, para que possa enxergar o topo do prédio sob um ângulo de 0? Questão 7 Um avião está a 600 m de altura quando se vê a cabeceira da pista sob um ângulo de declive de 0. A que distância o avião está da cabeceira da pista? Questão 8 Determine os valores de x, y, w e z em cada caso:

8 8 Questão 9 Em um triângulo retângulo, determine as medidas dos ângulos agudos e da hipotenusa, sabendo que um dos catetos mede cm e o outro mede cm. Questão 10 (Cesgranrio) Uma rampa plana, de 6 m de comprimento, faz ângulo de 0 com o plano horizontal. Uma pessoa que sobe a rampa inteira eleva-se verticalmente de: a) 6 m. b) 1 m. c) 1,6 m. d) 9 m. e) 18 m. Questão 11 (UFAM) Se um cateto e a hipotenusa de um triângulo retângulo medem a e 4a, respectivamente, então a tangente do ângulo oposto ao menor lado é: a) b) c) 6 d) 0 0 e)

9 9 GABARITOS e RESOLUCOES Questão 1 x sen x 1000 x 1000 x 500m A altura será de 500 metros. Questão A Tenório quadros 0 o 4000 m Teófilo Silva B x posto C BC 1 x sen0 x 000 m km AC 4000 Questão Aplicaçao da lei dos cossenos x² = 6² + 8² * 6 * 8 * cos 60º x² = * ½ x² = x² = 5 x² = 5 x = 1 Questão 4 00 = x = x = x x = 400 x = 400 x 180m

10 10 Questão 5 C.O tga C.A h tg60 6 h 6 h 6 m Questão 6 h tg60 10 h 10 h 10 m h tg0 x 10 x x 60 x 60m Questão sen0 x x x 100m Questão 8 a) Através do cosseno de 0, temos: cos0 16 x x 16 x cat. adjacente a 0 hipotenusa Portanto, a hipotenusa mede unidades.

11 11 b) Através do seno de y: seny cat.oposto a y hipotenusa sen y 1 6 sen y 1 O seno de y é ½. Podemos então concluir que y = 0. c) Pelo seno de 60 : sen60 cat.oposto a 60 hipotenusa w 18 w 9 Concluímos que w 9 unidades. d) Através do cosseno de 45 : cat.adjacente a 45 0 cos 45 z 0 hipotenusa z z x x 0 Portanto, a hipotenusa mede 0 unidades. Questão 9 Como sabemos apenas as medidas dos catetos, vamos utilizar o Teorema de Pitágoras para determinar a medida da hipotenusa (h): (hipotenusa)² = (cateto)² + (cateto)² h² = ² + ( )² h² = 9 + h = 1 h = cm Considere um ângulo α oposto ao lado de cm. Calculando sua tangente, temos: cat. oposto a a tga cat. adjacente a a a tg tga tga Se tga, logo α = 60. Sabendo que a soma dos ângulos internos de um triângulo qualquer é 180 e que esse é um triângulo retângulo, podemos determinar a medida de outro ângulo agudo β: β + α + 90 = 180 β = 180 β = 180 β = = 0 Portanto, os ângulos agudos desse triângulo valem 0 e 60. Questão 10 Podemos representar no triângulo ilustrado a seguir a situação descrita no problema. A hipotenusa representa a rampa percorrida pela pessoa citada: Representação geométrica da questão Na figura, a altura que a pessoa foi elevada está representada pelo lado vermelho (cateto oposto ao ângulo de 0 ). Vamos chamar esse lado do triângulo de x para determinar seu valor. Para tanto, utilizaremos a fórmula do seno: cat.oposto 1 x sen0 x 6 x 18m hipotenusa 6 Portanto, ao subir a rampa, a pessoa eleva-se verticalmente 18 m. Logo, a alternativa correta é a letra e.

12 1 Questão 11 Pelo enunciado do exercício, sabemos que a hipotenusa mede 4a e um dos catetos mede a, mas não sabemos de qual cateto se trata. Precisamos determinar a medida do segundo cateto. Chamando-o de c, pelo Teorema de Pitágoras, temos: (hipotenusa)² = (cateto)² + (cateto)² (4a)² = (a)² + c² 16a² = 4a² + c² c² = 16a² 4a² c² = 1a² c = 1 a c = a Agora que conhecemos o terceiro lado da figura, podemos esboçar o triângulo com o qual estamos trabalhando: Representação geométrica da questão 4 Vamos chamar de α o ângulo oposto a a, que é o menor cateto. Agora podemos determinar a tangente de α: a tga cat.oposto a tga a 1 cat.adjacente a a a Portanto, a alternativa que indica a resposta correta é a letra b.