MEDINDO ÂNGULO. Uma das dificuldades que alguns alunos demostram é fazer a relação entre graus e radianos.

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1 MEDINDO ÂNGULO Uma das dificuldades que alguns alunos demostram é fazer a relação entre graus e radianos. Grau ( ) e radiano (rad) são diferentes unidades de medida de ângulo que podem ser relacionadas por meio do círculo. Sabe-se que 1 é a fração correspondente a de um círculo, portanto, um círculo, em graus, corresponde ao ângulo de 360 (I). Sabemos ainda, da definição de radiano, que a medida de ângulo θ em radianos é dada por: E que o comprimento, c, do perímetro de um círculo de raio r é C = 2πr. Desta forma, podemos escrever: Portanto, um círculo em radianos corresponde ao ângulo: (I) De (I) e (II) podemos concluir então que: Então, através da regra de três simples, temos: Portanto, podemos concluir que para obter um ângulo α, em graus, a partir de um ângulo, em radianos, basta aplicar a relação:

2 E para obter um ângulo, em radianos, a partir de um ângulo α, em graus, aplicamos a seguinte relação: Vejamos um exemplo: Para obter o valor do ângulo α, em graus, correspondente ao ângulo, aplicamos a relação (V), obtendo: Para obter o ângulo aplicamos a relação (VI), obtendo:, em radianos, correspondente ao ângulo 1 - Ache a medida exata do ângulo em radianos a) 150º b) 450º c) -135º 2 - Ache a medida exata do ângulo em graus: 11 a) 6 4 b) 3

3 c) Um atleta percorre 1/3 de uma pista circular, correndo sobre uma única raia. Qual é a medida do arco percorrido em graus? E em radianos? Resposta: 120º, 0, Qual é a medida do ângulo entre os ponteiros das horas de dos minutos, que um relógio descreve em 6h37min? Calcule o ângulo em graus e em radianos. Resposta: 5 - Ache o comprimento do arco que subtende um ângulo central θ = 50º em círculo de diâmetro d = 16 cm. Resposta: 6,98 cm Relações Trigonométricas do Triângulo Retângulo As principais relações Trigonométricas são: Seno e Cosseno. Há outras 4: Tangente, Cotangente, Secante e Cossecante. Seno de um ângulo É dado pela razão entre os lados que formam o outro ângulo agudo, dado pela ordem: Cosseno de um ângulo

4 Cosseno: É a razão entre a medida do cateto e a medida da hipotenusa e é dado pela razão entre os lados que formam o próprio ângulo agudo, dado pela ordem: Tangente de um ângulo É dado pela razão entre o Seno e o Cosseno de um ângulo, ou entre os catetos, dado pela seguinte ordem: Exercícios de Trigonometria 1 - Em cada caso, calcule sen, cos e tg dos ângulos agudos dos triângulos retângulos abaixo. Resposta: 2 - Calcule o valor de x em cada caso, sendo o cm a unidade de medida de cada lado a) b) c) Resposta: a) 2,12 b) 11,49 c) 2,65

5 3 - Um barco atravessa um rio de 80 m de largura, seguindo uma direção que forma 70 com a margem de partida. Qual a distância percorrida pelo barco? Quantos metros, em relação ao ponto de partida, ele se desloca rio abaixo? Resposta: 4 - Um avião levanta vôo em B e sobe fazendo um ângulo constante de 15 com a horizontal. A que altura estará e qual a distância percorrida quando alcançar a vertical que passa por uma igreja situada a 2 km do ponto de partida? Resposta: 5 - Um guarda florestal, postado numa torre de 20 m no topo de uma colina de 500 m de altura, vê o início de um incêndio numa direção que forma com a horizontal um ângulo de 17º. A que distância aproximada da colina está o fogo? Resposta: 6 - Um avião levanta voo sob um ângulo constante de 20º. Qual será a altura atingida após percorrer 2 km em linha reta? Resposta: 684 m. 7 - Se os raios solares formam um ângulo 36,9º com o solo, qual é o comprimento da sombra de um edifício de 10 m de altura? Resposta: 13,3 m. 8 - Uma rampa lisa de 10 m de comprimento faz ângulo de 30º com o plano horizontal. Uma pessoa sobe essa rampa inteira. Quantos metros ela se elevou? Resposta: 5 m. 9 - Para determinar a altura de uma torre, um topógrafo coloca o teodolito a 100 m da base e obtém um ângulo de 30º, em relação à horizontal. Sabendo que a luneta do teodolito está a 1,70 m do solo, qual é a altura da torre? Resposta: 59,4 m Uma escada com 10 m de comprimento foi apoiada em uma parede que é perpendicular ao solo. Sabendo que o pé da escada está afastado 6 m da base da parede, determine a altura alcançada pela escada. Resposta: 8 m.

6 11 - Dois pontos A e B, situados no chão, distam 11,25 m e 20 m, respectivamente de um poste. Do topo do poste até A e B foram esticados dois fios com inclinações de 58º e 42º, em relação à horizontal. Determine a altura do poste e o comprimento de cada fio. R.: 18,0 m; 21,2 m; 26,9 m. 12 Para vencer o desnível de 4,25 m, vai ser construída uma rampa com inclinação de 15. Qual será o comprimento da rampa? Resposta: 16,42 m 13 - Um homem puxa uma caixa, com uma força de F = 200 N, inclinada com um ângulo θ = 30º. Calcule as componentes da força Fx e Fy. Fy F θ Fx 14 - (R. C Hibbeler Mecânica - Estática exemplo 2.6 p.27) O elo mostrado na figura abaixo está sujeito a duas forças F1 e F2. Determine o as componentes das forças.