Funções Trigonométricas e Trigonometria

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1 Unidade E Funções Trigonométricas e Trigonometria Débora Bastos IFRS CAMPUS RIO GRANDE FURG

2 76 0. Resumo Trigonometria no triângulo retângulo, resolução de triângulos quaisquer. Todos os resultados da trigonometria do triângulo retângulo continuam válidos. Por exemplo: Por definição se + =90º: (a) cos BC AC sen (b) sen AB AC cos (c) tan AB 1 cot an BC tan E também por definição: sen cos 1 (d) tan (d) cot an (e) sec (f) cos sec cos sen cos 1 sen Alguns resultados consequências dessas definições: (a) sen² + cos²=1 (b) tan² + 1 = sec² (c) cotan² + 1 = cossec² Alguns resultados bastante importantes são as leis dos cossenos e senos, que basicamente resolvem triângulos quaisquer, além do Teorema de Pitágoras, que só se aplica aos triângulos retângulos e seno e cosseno dos arcos soma. a b c (a) Lei dos Senos: sen sen sen (b) Lei dos Cossenos: c² = a² + b² - ab. cos (c) Relação entre ângulos suplementares: cosx = - cos(180 o x) e senx = sen(180 o - x) (d) Seno da adição/subtração: 1 sen(a b) = sena. cosb senbcosa (e) Cosseno da adição/subtração: cos(a b) = cosacosb senasenb Sabemos inicialmente seno e cosseno dos arcos notáveis: 0º, 45º e 60º. A partir das fórmulas agora do seno e cosseno da soma de arcos é possível encontrar o valor exato para mais alguns ângulos, incluindo ângulos obtusos. Exemplos: 1. Calcule: (a) sen15º (b) cos15º 1 Veja vídeo com a demonstração das fórmulas seno e cosseno da soma em:

3 77 (c) sen75º (d) tan75º (f) sen 105º (g) sen(x) (h) cos(x) (i) tan(x) (j) x cos (k) cos(x - 180º)

4 78 (l) sen(-x) (m) sen90º (n) cos180º (o) cos(x-180º) 1. Introdução à trigonometria no círculo Círculo Já sabemos que o círculo é o conjunto de todos os pontos de um plano que estão a uma mesma distância de um ponto dado chamado centro. Essa distância é denominada medida do raio do círculo e denotamos pela letra r. O ponto O é o centro do círculo. A medida do comprimento do círculo é chamada de sua circunferência e denotada pela letra C é calculado pela fórmula: O C= r Observação: Não há necessidade nos cálculos de substituir o valor de, pois qualquer representação decimal finita, por exemplo,,14, será uma aproximação e não o valor real. Fazemos essa substituição apenas quando queremos ter noção da medida envolvida. 1.. Ângulo central e arco de circunferência. B É a parte do círculo compreendida entre dois de seus pontos, por exemplo, A e B na figura. Usamos o sentido anti-horário para diferenciar as duas partes formadas que são ambas arcos de circunferência. Destinaremos a letra S para a medida de um arco de circunferência. Então, na figura, AB é o arco menor e o arco BA é o arco maior. Cada arco subentende um ângulo central. O A O arco AB está relacionado com o ângulo Os ângulos centrais podem ser medidos em graus ou em radianos. Assim para calcularmos o valor do arco de circunferência basta calcular uma fração do todo. Como existe a proporção podemos usar regra de três. Estamos mais acostumados com as medidas em graus, mas para termos funções trigonométricas precisaremos relacionar ângulos com números reais e arcos em radianos fazem esse papel. Grau 1- O que é 1 o? O ângulo central correspondente ao arco de circunferência se dividirmos o círculo em 60 partes iguais e tomarmos uma. Portanto o ângulo central total é de 60 o.. O que faz o arco BA, da figura anterior, estar relacionado com o ângulo Qual o valor de um arco de circunferência subentendido por um ângulo central medido em graus? 60 o r S r Chega-se ao resultado S 180

5 79 Exemplo: Na figura abaixo, indique a medida, em graus, do arco PQ. Em seguida calcule o comprimento do arco QP sabendo que o círculo tem 10 cm de raio. PQ.= 60 0 P O 100 o Q S cm Radiano 1- O que é 1 rad? É a medida do ângulo central subentendido por um arco de circunferência, cujo comprimento coincide com a medida do raio da circunferência. Ou seja, se AP = r, então = 1 rad. - Quantos radianos possui o ângulo central total? É o mesmo que responder quantos raios cabem na circunferência, pois cada comprimento de arco que mede r, subentende um ângulo central de 1 rad. Como a circunferência mede r, quantos raios cabem? Bom, basta dividir o valor da circunferência por r, logo rad. Agora podemos converter uma medida em graus para radianos e vice-versa, usando a relação que acabamos de obter. Exemplos: 1. Determine em radianos, a medida dos arcos notáveis: 0 o, 45 o, 60 o e Segundo a regra de três sabemos que: rad 0 x rad Chegamos a 180x = (A) Portanto se queremos transformar um ângulo em graus para radianos, devemos isolar x. x = 180 = 0 o = 90 o 0 rad = 45 o rad rad = 60 o rad 180. Quantos graus tem 1 rad? Agora se queremos transformar um ângulo em radianos em graus, devemos isolar na expressão definida por (A). 180x = rad x = 1 rad 57,9 Observação: Para determinar o comprimento de um arco se este é dado em radianos, é mais complicado passar para graus e calcular o comprimento. Façamos uma nova regra de três para encontrar a "fórmula" do comprimento de arco, se é dado em radianos: Se está em radianos: S = r rad r S. Circunferência trigonométrica. Para as funções trigonométricas precisamos de domínio real, assim, os ângulos serão convertidos em radianos para equivaler a uma unidade de medida, ou seja, um número real. Se inserirmos numa circunferência de raio unitário (r = 1) os eixos do sistema cartesiano ortogonal, de maneira que a origem do plano cartesiano coincida com o centro da circunferência, que seja fixado um ponto A (1,0) chamado de origem dos arcos, de onde, como o nome sugere, são determinados arcos com início nesse ponto. Podemos visualizar os arcos com o ponto A fixo e o ponto P móvel. Se o ponto P se

6 80 desloca no sentido anti-horário o arco AP é positivo e se o ponto P se desloca no sentido horário o arco tem medida negativa. Observações: Todos os arcos têm origem em A, o que determinará se o arco determinado no sentido anti-horário ou horário é o sinal do arco; Para converter um ângulo em graus em radianos ou vice-versa, basta uma regra de três simples, fazendo a correspondência rad 180º; Os eixos coordenados dividem a circunferência (e o plano) em quatro quadrantes, numerados segundo o sentido positivo dos arcos. Os limites dos arcos de acordo com os quadrantes estão dispostos na figura a seguir (complete): Em graus: Em radianos: IQ: < < IQ: < < IIQ: < < IIIQ: < < IVQ: < < IIQ: < < IIIQ: < < IVQ: < < Atribuindo sentido a arcos positivos e negativos atribuímos sentido também a arcos maiores que 60º ou rad, basta imaginarmos o ponto P "móvel" completando mais de uma volta. A todo arco maior que uma volta corresponde a um arco da primeira volta. Arcos que começam e terminam no mesmo lugar, diferenciando-se apenas por um número inteiro de voltas, chamam-se de arcos côngruos. Se e são côngruos: Em radianos: - = n, n Z. Em graus: - = 60ºn, n Z. Exemplos: 54º, 414º e 06º são congruentes 11 1 rad, rad, rad são congruentes Função Cosseno. Para determinar a função cosseno: f: R R y = cosx Façamos uma perpendicular do ponto P até encontrar o eixo ox. A intersecção da perpendicular com o eixo ox, será o ponto C. A medida do cosx é a abscissa do ponto C, ou seja, IIQ IIIQ O IVQ I Q cosx = x c Observação: A definição de cosseno na circunferência trigonométrica não contradiz a definição no triângulo retângulo, mas torna esse conceito mais abrangente. No triângulo retângulo só aparece ângulos agudos, só existia sentido cosseno de ângulos entre 0º e 90º. Agora podemos definir cosseno para qualquer arco, seja positivo ou negativo, maior que 60º ou menor que 60º, ou melhor, qualquer ângulo em radianos. Veja:

7 81 Assim o valor de cosseno de um ângulo pode assumir o sinal positivo se o ponto C estiver a direita da origem ou negativo se o ponto C estiver à esquerda da origem. Fazendo a construção no programa GeoGebra observamos: Quadrante I II III IV Sinal positivo negativo negativo positivo Crescimento decrescente decrescente crescente crescente Variação cosx ]0,1[ cosx ]-1,0[ cosx ]-1,0[ cosx ]0,1[ E o gráfico da função cosseno é:.1 Redução ao primeiro quadrante Podemos relacionar os valores de cosseno de arcos em qualquer quadrante com, cosseno de arcos de qualquer outro quadrante. Essas relações nos dão subsídios para manipular algebricamente expressões que envolvam cossenos. Faremos o mesmo com outras funções trigonométricas. Exemplo: Determine o valor dos cossenos abaixo em relação a arcos do primeiro quadrante na primeira volta do sentido positivo. Trabalharemos em graus para facilitar o processo, mas para as funções trigonométricas é importantíssimo que arcos sejam em radianos. (a) cos10º (b) cos45º (c) cos78º (d) cos5º Download gratuito, disponível em várias plataformas, no site:

8 8 Generalizando: cos(180º - x) = - cosx ou cos( - x) = - cosx cos( x 180º) = - cosx ou cos( x - ) = - cosx cos( 60º - x) = cosx ou cos( - x ) = cosx Esses resultados podem ser igualmente definidos pela fórmula do cosseno da soma/subtração. Observação: Todas as relações trigonométricas válidas no triângulo retângulo, vistos anteriormente continuam valendo, já que a matemática não define conceitos com nomes iguais que se contradiriam nas suas propriedades e essência. 4. Variações Função Cosseno. As funções trigonométricas são ditas periódicas, pois existe um número real p, tal que: f(x)=f(x+p), já que ao completar uma volta a função passa a assumir os mesmos valores da primeira volta, o mesmo acontece com o sentido horário. O menor valor de p possível, válido para todo x é chamado de período. Também podemos pensar, que é o tamanho do menor segmento do domínio em que o gráfico não contém repetição. A metade da maior variação horizontal do gráfico é chamada de amplitude. Frequência de uma função periódica é o número de ciclos numa determinada unidade de tempo. Na função cosseno básica: p = A = 1 f = 1 Qualquer variação na função cosseno, esses parâmetros são alterados: f: R R y = acos(bx+c)+d Novamente, com o auxílio do programa GeoGebra, podemos concluir facilmente as alterações que a composição da função cosseno com a função afim produz. 1 No GeoGebra, esboce as funções y = cosx, y = cosx, y=0,5cosx e y = -4cosx. Observe o que acontece com o período, amplitude, frequência e imagem. - No GeoGebra, esboce as funções y = cos(x), y = cos(x), y=cos(0,5x) e y = cos(-4x). Observe o que acontece com o período, amplitude, frequência e imagem. - No GeoGebra, esboce as funções y = cos(x+), y = cos(x-), y=cos(x-4) e y = cos(x+1). Observe o que acontece com o período, amplitude, frequência e imagem e se há um deslocamento em relação ao gráfico da função básica. 4 - No GeoGebra, esboce as funções y = cosx +, y = cosx -, y = cosx - 4 e y = cosx + 1. Observe o que acontece com o período, amplitude, frequência e imagem e se há um deslocamento em relação ao gráfico da função básica. Período Amplitude Frequência Imagem 1- y = acos(x) a 1 ciclo/volta [- a, a ] 1 b ciclo/volta [-1,1] - y = cos(bx) b - y = cos(x+c) 1 1 ciclo / volta [-1,1] 4 - y = cos(x) + d 1 1 ciclo/volta [-1+d,1+d] Observações: O item gera uma translação no sentido horizontal. Direita se c é negativo e esquerda se c é positivo. Já no item 4, há uma translação vertical. Para cima se c é positivo e para baixo se c é negativo. Exemplo: Esboce o gráfico da função f: R R y cosx 1 4 Faremos uma alteração por vez, até chegar na função f. 1- a = mudará essencialmente a amplitude. Im = {-,].

9 8 b = mudará a frequência e período. Serão dois ciclos a cada rad (observe o destaque do segmento vermelho) e por isso o período será p =. c = o gráfico se deslocará unidades para direita d = 1, inserirá no gráfico um translação de uma unidade para cima. Assim a imagem ficará Im = [-,4]. Último passo para o gráfico definitivo. Gráfico da função f:

10 84 5. Função Seno. Para determinar a função cosseno: f: R R y = senx Façamos uma perpendicular do ponto P até encontrar o eixo oy. A intersecção da perpendicular com o eixo oy, será o ponto S. A medida do senx é a abscissa do ponto S, ou seja: senx = y s A definição de seno na circunferência trigonométrica não contradiz a definição no triângulo retângulo, mas torna esse conceito mais abrangente, assim como na função cosseno. Assim o valor de seno de um ângulo pode assumir o sinal positivo se o ponto S estiver acima da origem ou negativo se o ponto S estiver abaixo da origem. Quadrante I II III IV Sinal Crescimento Variação Exemplo: Determine o valor dos senos abaixo em relação a arcos do primeiro quadrante na primeira volta do sentido positivo. Trabalharemos em graus para facilitar o processo, mas para as funções trigonométricas é importantíssimo que arcos sejam em radianos. (a) sen145º (b) sen05º (c) sen8º (d) sen45º

11 Gráfico Função Seno. Na função seno básica: p = A = 1 f = 1 Observe a diferença entre os gráficos da função seno e cosseno na imagem abaixo. Dizemos que há uma diferença de fase em relação aos gráficos das funções seno e cosseno, fazendo c = em uma das funções, os gráficos coincidem. Qualquer variação na função seno, esses parâmetros são alterados: f: R R y = asen(bx+c)+d y = asen(x) Período Amplitude Frequência Imagem y = sen(bx) y = sen(x+c) y = sen(x) + d y = asen(bx+c)+d Exemplo: Esboce o gráfico da função f: R R

12 86 y x sen Deveríamos estudar tão profundamente como as funções seno e cosseno, as funções tangente, cossecante, secante, cotangente. Pela escassez de tempo, deixamos a cargo do estudante usar os conhecimentos aqui vistos para deduzir as propriedades destas outras funções. 19 Exercícios. 1- Um dos catetos de um triângulo retângulo mede 10 cm e a hipotenusa mede 1 cm. Determine o valor do cosseno de cada ângulo agudo do triângulo. 7 - Seja o ângulo agudo x tal que cosx =, determine senx, cossecx, secx, tanx 5 e cotanx. - Calcule o comprimento da sombra projetada por um poste de 6 metros de altura no instante em que os raios solares que incidem sobre ele formam com o solo, horizontal, um ângulo de 60º. 4- Uma telha de um galinheiro quebrou. Em dias chuvosos, uma goteira produz no chão, embaixo da telha quebrada, uma pequena poça de água a 1,85 metros de uma das paredes do galinheiro, conforme a figura. Considerando que a espessura dessa parede é de 15 cm e que d é a distância entre o ponto mais alto do telhado e a quebra da telha, calcule, d em metros.

13 87 5- Um túnel reto AB deverá ser construído a partir da perfuração de uma montanha. De um ponto C situado a 65 metros de A, na perpendicular ao traçado do túnel avistam-se as futuras extremidades do túnel sob ângulo de 60º. Qual o comprimento do túnel a ser construído? 6- Dois homens, H 1 e H, com metros e 1,50 metros de altura, respectivamente, estão em pé numa calçada, em lados opostos de um poste de 5 m de comprimento, iluminados por uma lâmpada desse poste, como mostra a figura. Determine a distância entre os homens. 0. Exercícios. 1- Dê o sinal de cada um dos seguintes números reais: (a) cos 99º (b) cos01º 17 (c) cos 18 (d) cos195º 7 (e) cos 5 (f) cos610º 1 (g) cos -Preencha a tabela abaixo: x (rad) x (º) 45º 90º 10º 150º 40º 70º 15º 0º cosx senx - Verdadeiro ou Falso? Corrija os falsos: (a) cos10º cos50º = 0 (b) cos66º = cosº (c) cos 955º > cos 5º (d) cos 1º < cos 49º (e) cos 18º < cos179º (f) cos 0º > cos 61º 1 (g) cos = cos 7 7 (h) cosº = cos147º

14 88 (i) cos161º = cos19º (j) cos58º = cosº 4- Dê o sinal de cada um dos seguintes números reais: (a) sen45º (b) sen 17º (c) sen 56º (d) sen 87º 5- Associe o valor de cada seno, com um arco do primeiro quadrante: (a) sen4º (b) sen 156º (c) sen8º (d) sen01º (e) sen10º (g) sen15º (h) sen 150º (i) sen 10º (j) sen 5º (k) sen 40º (l) sen00º (m) sen15º (n) sen 0º 6-Preencha as lacunas com >, < ou = : (a) sen 15º sen 67º (b) sen 15º sen 186º (c) sen 1º sen 19º (d) sen 171º sen 05º 5 5 (e) sen sen 6 (f) sen 1º sen 690º 11 5 (g) sen sen 6 (h) sen 1º sen 84º (i) sen 4º sen 80º (j) sen 79º sen 101º (k) sen 5 4 sen Determine amplitude, frequência, período e imagem das funções reais de variável real abaixo: (a) y = 5cos(x) + (b) y = 6sen(5x)-6 (c) y x cos 7 (d) y x 5 7sen 4 4

15 89 1. Respostas dos exercícios item (a) A = [4,+[ 1 1 (b) A =,, (c) A = 1, (d) A = R - (a) A = R. É função, porque qualquer reta vertical interseciona o gráfico apenas uma vez, satisfazendo a definição de função. Im = ]0,+[. (b) A = [6,6[. É função, porque qualquer reta vertical em A intersecciona o gráfico apenas uma vez, satisfazendo a definição de função. Im=[4,7[. (c) A = R. Não, há três intersecções com o eixo oy, ou seja, para x = 0 existem três valores de y relacionado a ele. (d) A = R - {1}. É função, porque qualquer reta vertical em A intersecciona o gráfico apenas uma vez, satisfazendo a definição de função. Im= R. - (a) Sim, no caso em que a = 0 (reta horizontal). (b) Não, uma reta vertical não é função. 4- (a) 1 S x lr / x ou S 1,

16 90 (b) (c) (d) (e) (f) S x lr / x 1 ou x ou S, 1 5, 5 5 x lr / x ou x S ou S,, 4 x lr / x ou x 6 S ou S, 6, S x lr / x ou x ou S,, S x lr / x ou x ou (g) S x lr / x 1 ou S 1, (h) x lr / x 1 ou x ou x 4 S,, S ou S,1,,. Respostas dos Exercícios item S x lr/x ou x 5 5- ou S,, S x lr/ x ou S 1,1, S, 0, 9- S = [,] S,,1, 4 S 5 lr 11- S 1,, 1- S x lr/x -1 ou 0 x 1 ou S, 1 0,1 1- S,. Respostas dos exercícios do item 1.

17 91 1- gof e fog : lr* y - gof e fog 1 f : lr lr 5-5 y x 1 1 f : lr 7- y x 4 4 x x lr * lr fog : lr - e y 7 7x lr 9x x gof : 1, 1, 4- e y x 1 1 g 1 : lr 6- x 1 y h 1 8- y : lr x x 1 1 lr lr y gof : lr y x fog : lr 1 g : lr lr 9- x y Não existe a inversa, pois para f, por exemplo, y=0, está relacionado com x= 0 e x = -1. (0,0) f e (-1,0) f, ou seja, (0,0) f -1 e (0,-1) f -1, para f -1 temos dois y para o mesmo x, logo não é função. 11- f=f -1 1 a 14 e 17- Não existe, pois há mais de um x para o mesmo y, assim na inversa teria mais de um y para o mesmo x, não sendo função. 15- Existe, e o gráfico é idêntico. 16- Existe, gráfico em vermelho. x lr lr 4. Respostas dos exercícios do item (a) Decrescente (b) Crescente (c) Crescente (d) Decrescente (e) Crescente (a) > (b) < (c) < (d) < (a) S = {6} (b) S = {4} (c) S = (d) S = {-5} (e) S = {} (f) S = {} (g) S = {0,} (h) S = {} 4 (a) S = ]5, +[ (b) S = R-{1} (c) S = ]-4, +[ (d) S = ]-,-] (e) S = ]-, [ 5 (a) A = ]-, 0] [,+[ (b) A = ]6, +[ 6 (a) y > 0 x 1 1, ; y = 0 x = e y < 0 x 1, 1 (b) Não, pois depende da solução da equação 0, que não existe. (c) A reta y = -1 é assíntota da função (resultado de (b), poderemos generalizar o conceito de assíntota quando estudarmos limites), desta forma Im = ]-1, +[ (d) P(0,) (e) x 1

18 9 5. Respostas dos exercícios do item A = ], 5[ - A=]-,[],+[ - A = ]-1,1[]1,[ 4-5- f: ]-9,+[ R g: ]4,+[ R y 1 1 x 4 logx 9 y 5 log x log 7- x log x = 9- S= x = 1- S = {,16} 1- S = {-1,5} S = log 7, S= 0, 17- S= 18- S= ]8,+[

19 9 19- f>0 x,, ; f=0 x = 16 ou x = ; f<0 1 16, 6. Respostas dos exercícios do item senx =, cossecx =, secx =, tanx =, cotanx = Respostas dos exercícios item (a) (b) + (c) (d) (e) (f) (g) 0 - x(rad) x(º) 0 0º 45º 60º 90º 10º 15º 150º 180º 10º 5º 40º 70º 00º 15º cosx 0º 60º senx (a) V (b) F, cosx cosx (c) F cos955º=cos5º (d) F, cos1º > cos49º. No IQ, cosseno é decrescente. (e) F, cos18º > cos179º. No IIQ, cosseno é decrescente. (f) F, cos0º < cos61º. No IIIQ, cosseno é crescente. (g) V, arcos congruentes. (h) V, 180º - 147º = º.

20 94 (i) F, cos161º= - cos19º, 180º - 161º = 19º. (j) V, 60º - 58º= º. 4-(a) (b) + (c) (d) + 5-(a) sen4º= - sen54º (b) sen156º = sen4º (c) sen8º = - sen77º (d) sen01º = - sen59º (e) sen10º = sen60º (f) sen15º = sen45º (g) sen150º = sen0º (h) sen10º = - sen0º (i) sen5º = - sen45º (j) sen10º = -sen0º (k) sen40º = - sen60º (l) sen00º= - sen60º (m) sen15º = -sen45º (n) sen0º = - sen0º 6-(a) < (b) > (c) < (d) > (e) < (f) > (g) > (h) = (i) > (j) = (k) = 7- Amplitude frequência período Imagem (a) 5 [-,8] (b) 6 5 [0,1] 5 (c) 1 14 [-,] 7 (d) 7 [-11,]