Estudando Trigonometria com applets desenvolvidos no software GeoGebra
|
|
- Amanda Melgaço Branco
- 6 Há anos
- Visualizações:
Transcrição
1 Estudando Trigonometria com applets desenvolvidos no software GeoGebra Elaborada por: Larissa de Sousa Moreira e Cíntia da Silva Gomes Orientada por: Gilmara Teixeira Barcelos e Silvia Cristina Freitas Batista NOVEMBRO/ 008
2 Estudando Trigonometria com applets desenvolvidos no software GeoGebra Esta apostila de atividades foi elaborada por Cíntia da Silva Gomes e Larissa de Sousa Moreira sob orientação das professoras Gilmara Teixeira Barcelos e Silvia Cristina Freitas Batista. ATIVIDADE Clique em Triângulo Retângulo I no menu. Observando o applet, anote o valor das razões entre: a) a medida do cateto oposto a α e a medida da hipotenusa: a b = b) a medida do cateto adjacente a α e a medida da hipotenusa: a c = c) a medida do cateto oposto a α e a medida do cateto adjacente: c b = 1.- Mova o seletor k e observe, inicialmente, o triângulo. Mova, novamente, o seletor k e observe as razões apresentadas. A seguir, anote o valor de: a) a b = b) a c = c) c b = 1.3- Movimente o seletor correspondente ao ângulo α. Observe o triângulo e as razões. Considere um determinado valor de e anote o valor de: α = b c b a) = b) = c) = a a c 1.4- Mantendo o mesmo valor de considerado no item 1.3, mova o seletor k, observe as razões e anote seus valores: a) a b = b) a c = c) c b = 1.5- Em um triângulo retângulo, do que depende o valor das razões entre seus lados? 1.6- Marque as três caixas no applet e visualize o nome dessas razões.
3 3 Razões Trigonométricas As razões consideradas na atividade 1 não dependem das medidas dos lados do triângulo retângulo, e sim do ângulo agudo α. Estas são chamadas razões trigonométricas e cada uma recebe um nome, conforme já visto no applet e mostrado, novamente, a seguir: b = a c = a medida do cateto oposto a = sen α (lê-se seno de α) medida da hipotenusa medida do cateto adjacente a = cos α (lê-se cosseno de α) medida da hipotenusa b = c medida do cateto oposto a medida do cateto adjacente a = tg α (lê-se tangente de α) 1.7- No menu principal do applet, clique em Exibir e, a seguir, em Janela de álgebra (ativando-a). Utilizando o campo de entrada (na parte inferior do applet), solicite e anote o valor de: a) sen 47º (para tanto digite t = sin(47 )). b) cos 18º (para tanto digite u = cos(18 )). c) tg 31º (para tanto digite v = tan(31 )) No menu principal do applet, clique em Exibir e, a seguir, em Janela de álgebra (desativando-a). Movendo o seletor adequado, identifique: a) um ângulo agudo cujo seno seja aproximadamente 0,34. b) um ângulo agudo cujo cosseno seja aproximadamente 0,88. c) o ângulo agudo cuja tangente é 1.
4 4 Relações As duas relações a seguir decorrem das razões trigonométricas: a) tg = sen cos Para demonstrar essa relação vamos considerar o triângulo ABC a seguir e que sen α = a b, cos α = a c e tg α = c b. Dessa forma, temos que: sen = cos b a b a b =. = = tg α c a c c a b) sen² α + cos² α = 1 Para demonstrar essa relação vamos considerar o triângulo retângulo ABC abaixo. A partir dele podemos afirmar que: sen α = a b, cos α = a c ; a² = b² + c² (teorema de Pitágoras). Dessa forma, temos que:
5 5 b c b c b c sen² α + cos² α = a a a a a Como a² = b² + c², podemos afirmar que: c a a 1 Ou seja, sen² α + cos² α = 1, que é chamada de relação fundamental b a 1.9- Sem utilizar os recursos do applet, calcule tg x, sabendo que cos x = 5 4 ( 0 < x < 90º). ATIVIDADE.1- Clique em Triângulo Retângulo II no menu. Observando o applet, anote os valores das razões trigonométricas, abaixo: a) sen α = b) cos α = c) tg α = d) sen β = e) cos β = f) tg β = Compare os valores encontrados nos itens acima..- Mova o seletor k, observe as razões e anote seus valores: a) sen α = b) cos α = c) tg α = d) sen β = e) cos β = f) tg β = Compare os valores encontrados nos itens acima..3- Movimente o seletor correspondente ao ângulo α, observe o triângulo e as razões. Considere um determinado valor de α, e anote o valor de: α = β = a) sen α = b) cos α = c) tg α = d) sen β = e) cos β = f) tg β =
6 Compare os valores encontrados nos itens acima Descreva o que você observou a partir da resolução dos itens.1,. e.3. Conclusão: Se dois ângulos α e β são complementares (α + β = 90º), então: sen α = cos β = a b cos α = sen β = a c tg α = 1 tg.5- Sem utilizar os recursos do applet, sabendo que sen (90 - a) = 1, calcule tg a, sendo 0º < a < 90º. ATIVIDADE Clique em Medidas de Ângulo no menu (a medida do ângulo, que aparece na tela, está com aproximação de uma casa decimal) e: a) observando o applet, complete a tabela abaixo: comprimento do arco medida do raio comprimento do arco medida do raio b) considerando a medida de do item anterior, movimente o seletor correspondente à medida do raio e complete a tabela, para dois raios diferentes: comprimento do arco medida do raio comprimento do arco medida do raio 57,3º
7 7 c) descreva o que você observou a partir da resolução dos itens a e b 3.- No applet, marque a caixa que está ao lado dos seletores e observe o texto Altere a medida do ângulo, movendo o seletor correspondente. Para o valor de considerado preencha a tabela abaixo, utilizando três raios diferentes (para tanto, movimente o seletor correspondente ao raio). Comprimento do arco Medida do raio comprimento do arco medida do raio 3.4- Considerando três valores diferentes para e uma medida fixa para o raio, preencha a tabela abaixo: Comprimento do arco Medida do raio comprimento do arco medida do raio 3.5- Descreva o que você observou a partir da resolução dos itens 3.3 e Mova o seletor correspondente à medida do raio até obter raio = 1. a) Compare o comprimento do arco com a sua medida em radianos. b) Altere a medida do ângulo, movendo o seletor correspondente. Compare novamente o comprimento do arco com a sua medida em radiano. c) Descreva o que você observou a partir da resolução dos itens a e b Utilizando o campo de entrada do applet e observando a razão apresentada na tela, converta para radianos a medida dos seguintes ângulos: a) = 150º b) = 31º
8 8 Conclusões: 1- Dado um ângulo central, é constante a razão entre o comprimento do arco determinado e a medida do raio. Logo, podemos definir que a medida de um ângulo em radianos é a razão entre o comprimento do arco determinado por um ângulo central de uma circunferência e a medida do raio dessa circunferência. Sendo assim, quando o comprimento do arco for igual à medida do raio, podemos afirmar que o ângulo central mede 1 radiano (1 rad). - Quando R = 1, a medida do ângulo central, em radianos, coincide com o comprimento do arco. Conversão grau/radiano Como o comprimento de uma circunferência é R (sendo R o raio), a medida em radianos de um ângulo de 360º é dada por π R, ou seja, rad. A medida do ângulo central em graus é R diretamente proporcional a sua medida em radianos. Isto nos permite fazer a conversão de unidades por meio de regra de três simples: Medida em graus Medida em radianos 180 x α Para 1 rad, temos: 180º ---- rad x = x rad , 57,3º
9 3.8 Utilizando regra de três, complete a tabela abaixo: 9 Medida do ângulo em graus 45º 90º Medida do ângulo em radianos º Tabela Trigonométrica Ao longo da história, os matemáticos determinaram as razões trigonométricas por variados processos. Com os valores encontrados foram construídas tabelas ou tábuas trigonométricas para serem consultadas sempre que a resolução de um problema exigisse o conhecimento de um desses valores. Atualmente, as calculadoras e os computadores permitem obter as razões trigonométricas com várias casas decimais. No estudo da Trigonometria, os ângulos de 30º, 45º e 60º são freqüentemente utilizados. Para estes é comum utilizar os valores exatos das razões trigonométricas. O seno, o cosseno e a tangente de 30º e 60º são obtidos a partir de um triângulo eqüilátero, e o seno, o cosseno e a tangente de 45º, a partir de um quadrado. Para facilitar, colocamos estes valores na tabela abaixo:
10 ATIVIDADE Clique em Circunferência Trigonométrica no menu. Marque a caixa 1, leia atentamente o texto correspondente e observe o applet. Repita o procedimento para as demais caixas, executando as ações solicitadas. 4.- Sem utilizar o applet, identifique os quadrantes da circunferência trigonométrica a que pertencem as extremidades dos arcos cujas medidas são: a) 18º d) 141º g) 3 rad 5 b) rad e) rad h) rad c) - 5 rad f) 100º i) - rad 4.3- Determine, em radianos, a medida dos arcos com origem em A e extremidades nos vértices dos polígonos regulares inscritos nas circunferências trigonométricas abaixo. a) b) c)
11 11 Função de Euler Até aqui, o seno e o cosseno foram definidos para ângulos maiores que 0º e menores que 90º. Como esses ângulos podem ser medidos em radianos estão definidos o seno e o cosseno de números reais maiores que zero e menores que estudadas para todos os números reais.. Agora, vamos estender as definições Para isto imagine a circunferência trigonométrica C como um carretel no qual se enrola a reta IR, de modo que o zero fique sobre o ponto (1, 0). Assim, a reta real está sendo imaginada como um longo fio, que deverá ser enrolado no carretel considerado. Ao enrolar o fio no carretel, este coincidirá com algum arco da circunferência. Se convencionarmos que o zero da reta real estará no ponto (1, 0) e que, ao enrolar o fio no sentido anti-horário ele representará um número positivo (no sentido horário o fio representará um número negativo), poderemos associar o número real 1 (fio de comprimento 1) ao arco de comprimento 1 e também ao ângulo que subentende esse arco de comprimento 1. Como o raio da circunferência é unitário (mede 1 também), então cada arco de comprimento 1 mede 1 radiano, assim como o ângulo que o subentende. Dessa forma, conseguimos associar cada número real a um ângulo da circunferência. O número 1 associa-se ao ângulo de 1 rad, o número associa-se ao ângulo de rad, o número associa-se ao ângulo que mede rad, e assim por diante. O número associa-se ao ângulo de comprimento, que coincide com o ponto inicial (lembre-se de que o comprimento da circunferência unitária é ). Clique em Função de Euler no menu. Movimente o seletor e observe a correspondência entre números reais e pontos da circunferência trigonométrica no intervalo de [0, ]. A maneira mais natural de definir as funções trigonométricas tem como ponto de partida a função de Euler E: IR C, cujo contradomínio é a circunferência C de raio 1 e centro na origem do plano cartesiano. Esta função faz corresponder a cada numero real t o ponto E (t) = (x, y) da circunferência unitária obtido do seguinte modo (LIMA 1, 001): E (0) = (1, 0). Se t > 0, percorremos sobre a circunferência C, a partir do ponto (1, 0), um caminho de comprimento t, sempre andando no sentido positivo. O ponto final do caminho será chamado E (t). Se t < 0, E (t) será a extremidade final de um caminho sobre C, de comprimento t, que parte do ponto (1, 0) e percorre C sempre no sentido negativo. 1 LIMA, E. L., Carvalho, P. C. P., WAGNER, E., MORGADO, A. C. A Matemática do Ensino Médio, v. 1. Rio de Janeiro: SBM, 001.
12 1 Sendo t um número real e P = E (t) na circunferência trigonométrica, defini-se nesta circunferência: sen t = ordenada de P; cos t = abscissa de P. P = (cos t, sen t) ATIVIDADE Clique em Seno e Cosseno (sentido anti-horário) no menu. Observe o applet. Altere a medida do ângulo, movendo o seletor correspondente, e complete, corretamente, com > ou <, os itens abaixo: a) Considerando no primeiro quadrante: sen 0 cos 0 c) Considerando no terceiro quadrante: sen 0 cos 0 b) Considerando no segundo quadrante: sen 0 cos 0 d) Considerando no quarto quadrante: sen 0 cos No campo de entrada digite = 0º, observe os valores de sen e cos que aparecem no applet e preencha a coluna correspondente da tabela abaixo. Repita o procedimento, alterando os valores de, de forma a preencher toda a tabela. 0º 90º 180º 70º 360º sen cos
13 Movimente o seletor, observe o valor de sen e cos e responda: a) Qual o valor máximo assumido pelo seno? E o mínimo? b) Qual o valor máximo assumido pelo cosseno? E o mínimo? Conclusão: O seno de um número real é a ordenada do seu ponto correspondente na circunferência trigonométrica. Como os pontos de ordenadas positivas são os do 1º e os do º quadrante e os pontos de ordenadas negativas são os do 3º e os do 4º quadrante, temos o seguinte quadro de sinais para o seno: O cosseno de um número real é a abscissa da extremidade desse arco. Como os pontos de abscissas positivas são os do 1º e os do 4º quadrante e os pontos de abscissas negativas são os do º e os do 3º quadrante, temos o seguinte quadro de sinais para o cosseno: Como, para todo x IR temos sen x entre [-1, 1]. Então o valor mínimo para sen x é -1 e o máximo é 1. O mesmo ocorre para o cos x.
14 5.4- Identifique a quais quadrantes podem pertencer o ângulo apresentado em cada item (utilize o applet, se necessário): 14 a) sen = b) cos = 1 4 c) sen = 3 d) cos = Identifique o sinal de (utilize o applet, se necessário): c) sen 1,4 a) sen 5 d) cos b) cos 5 e) sen 4 f) cos 3, Nos parênteses, coloque V para as afirmações verdadeiras e F para as afirmações falsas: 5 a) ( ) cos < cos 7 6 b) ( ) cos 4 > cos 1 c) ( ) cos 4 < 0 d) ( ) sen 3 > sen e) ( ) sen > 0 ATIVIDADE Clique em Seno e Cosseno (sentido horário) no menu. Movimentando o seletor, identifique o sinal de: a) sen, -90º < < 0º b) sen, -180º < < -90º c) sen, -70º < < -180º d) sen, -360º < < -70º e) cos, -90º < < 0º f) cos, -180º < < -90º g) cos, -70º < < -180º h) cos, -360º < < -70º 6.- Apresente um valor para, -360º < < 0º tal que: a) sen > 0 e cos < 0 b) sen < 0 e cos < 0
15 ATIVIDADE Clique em Seno e Cosseno de Ângulos Complementares no menu. Observe o applet e anote o valor de: a) sen = b) cos = c) sen = sen (90º - ) = d) cos = cos (90º - ) = Compare os valores encontrados nos itens acima. 7.- Mova o seletor correspondente à medida do ângulo até obter = 37º e anote o valor de: a) sen = b) cos = c) sen = sen (90º - ) = d) cos = cos (90º - ) = Compare os valores encontrados nos itens acima Escolha um outro valor para, movendo o seletor correspondente e anote o valor de: = a) sen = b) cos = Compare os valores encontrados nos itens acima. c) sen = sen (90º - ) = d) cos = cos (90º - ) = 7.4- Descreva o que você observou.
16 16 Conclusão: Na atividade, no estudo de Trigonometria no triângulo retângulo, foi verificado que quando dois ângulos e são complementares, sen = cos ou sen = cos (90º - ) cos = sen ou cos = sen (90º - ) É possível provar que essa relação é verdadeira também na circunferência trigonométrica. Para tanto se observa na figura abaixo que o triângulo ABO é congruente ao triângulo CDO pelo caso LAA o. (Lado, Ângulo adjacente e Ângulo oposto). Essa relação pode ser escrita como: sen x = cos x, para x IR, ou cos x = sen x, para x IR. ATIVIDADE Clique em Seno e Cosseno de Ângulos Suplementares no menu. Observe o applet e anote o valor de: a) sen = b) cos = c) sen = sen (180º - ) = d) cos = cos (180º - ) = Compare os valores encontrados nos itens acima. 8.- Mova o seletor correspondente à medida do ângulo até obter = 7º e anote o valor de: a) sen = b) cos = c) sen = sen (180º - ) = d) cos = cos (180º - ) =
17 Compare os valores encontrados nos itens acima Escolha um outro valor para, movendo o seletor correspondente e anote o valor de: = a) sen = b) cos = Compare os valores encontrados nos itens acima. c) sen = sen (180º - ) = d) cos = cos (180º - ) = 8.4- Descreva o que você observou a partir da resolução dos itens anteriores desta atividade. ATIVIDADE Clique em Seno e Cosseno de Ângulos Explementares no menu. Observe o applet e anote o valor de: a) sen = b) cos = c) sen = sen (180º + ) = d) cos = cos (180º + ) = Compare os valores encontrados nos itens acima. 9.- Mova o seletor correspondente à medida do ângulo até obter = 35º e anote os valores representados na tela de: a) sen = b) cos = c) sen = sen (180º + ) = d) cos = cos (180º + ) = Compare os valores encontrados nos itens acima Escolha um outro valor para, movendo o seletor correspondente e anote o valor de: = a) sen = b) cos = c) sen = sen (180º + ) = d) cos = cos (180º + ) = Compare os valores encontrados nos itens acima Descreva o que você observou.
18 ATIVIDADE Clique em Seno e Cosseno de Ângulos Replementares no menu. Observe o applet e anote o valor de: a) sen = b) cos = c) sen = sen (360º - ) = d) cos = cos (360º - ) = Compare os valores encontrados nos itens acima Mova o seletor correspondente à medida do ângulo até obter = 43º e anote os valores representados na tela de: a) sen = b) cos = c) sen = sen (360º - ) = d) cos = cos (360º - ) = Compare os valores encontrados nos itens acima Escolha um outro valor para, movendo o seletor correspondente e anote o valor de: = a) sen = c) sen = sen (360º - ) = b) cos = d) cos = cos (360º - ) = Compare os valores encontrados nos itens acima Descreva o que você observou.
19 19 Simetrias Em uma circunferência trigonométrica, se um arco tiver sua extremidade no º, 3º ou 4º quadrante, sempre existirá um arco com extremidade no 1º quadrante e cujas funções trigonométricas terão, em módulo, o mesmo valor das do arco considerado. Simetria em relação ao eixo dos senos Dado o ângulo tal que 90º < < 180º, seja P a extremidade de na circunferência trigonométrica. Seja P o ponto simétrico de P em relação ao eixo dos senos, o ângulo correspondente ao arco e o ângulo correspondente ao arco. Observando a figura podemos afirmar que Além disso, + = 180º (I). Substituindo (II) em (I) temos que = (II), pois, P é simétrico de P em relação ao eixo dos senos. + = 180º (no sentido anti-horário). Portanto + = 180º ou = 180º - (III) Como P(cos, sen ) e P (cos, sen ) são simétricos em relação ao eixo dos senos estes pontos têm mesma ordenada e abscissas simétricas. Ou seja: sen = sen (IV) cos = - cos Substituindo (III) em (IV) temos que: sen (180º - ) = sen cos (180º - ).= - cos.
20 0 Logo, dois ângulos suplementares têm senos iguais e cossenos simétricos. Essas relações podem ser escritas como: sen x = sen x cos x = - cos x, para x IR, e, para x IR. Simetria em relação à origem Dado o ângulo tal que 180º < < 70º, seja P a extremidade de na circunferência trigonométrica. Seja P o ponto simétrico de P em relação à origem e o ângulo correspondente ao arco. Observando a figura podemos afirmar que Além disso, - = 180º (I). Substituindo (II) em (I) temos que = (II), pois, P é simétrico de P em relação à origem. - = 180º (no sentido anti-horário). Portanto - = 180º ou = 180º + (III) Como P(cos, sen ) e P (cos, sen ) são simétricos em relação à origem estes pontos possuem ordenadas e abscissas simétricas. Ou seja: sen = - sen sen = - sen cos = - cos cos = - cos (IV)
21 1 Substituindo (III) em (IV) temos que: sen (180º + ) = - sen cos (180º + ).= - cos. Logo, dois ângulos que somam 180º têm senos e cossenos simétricos. Essas relações podem ser escritas como: sen x = - sen x cos x = - cos x, para x IR, e, para x IR. Simetria em relação ao eixo dos cossenos Dado o ângulo tal que 70º < < 360º, seja P a extremidade de na circunferência trigonométrica. Seja P o ponto simétrico de P em relação ao eixo dos cossenos e o ângulo correspondente ao arco. Observando a figura podemos afirmar que Além disso, + = 360º (I). = (II), pois, P é simétrico de P em relação ao eixo dos cossenos. Substituindo (II) em (I) temos que + = 360º (no sentido anti-horário). Portanto + = 360º ou = 360º - (III)
22 Como P(cos, sen ) e P (cos, sen ) são simétricos em relação ao eixo dos cossenos estes pontos têm mesma abscissa e ordenadas simétricas. Ou seja: sen = - sen cos = cos (IV) Substituindo (III) em (IV) temos que: sen (360º - ) = - sen cos (360º - ).= cos. Logo, dois ângulos que somam 360º têm senos simétricos e cossenos iguais. Essas relações podem ser escritas como: sen x = - sen x cos x = cos x, para x IR, e, para x IR ATIVIDADE 11 No menu, clique em Definição da Função Seno e marque as caixas numeradas Clique em Transformação da Função Seno no menu. O applet apresenta o gráfico da função f(x) sen x. Observando-o, determine o conjunto imagem (Im) e o período (p) da função f. Im = p = 11.- Mova o seletor d até encontrar d =. Observando o gráfico determine o conjunto imagem e o período da função g. Im = p = Mova o seletor d até encontrar d = -3. Observando o gráfico determine o conjunto imagem e o período da função g. Im = p = Movimente o seletor d e observe a modificação ocorrida no gráfico. Descreva a transformação que o parâmetro d, das funções da forma função f(x) sen x. g (x)=d + sen x, causa sobre o gráfico da
23 Mova o seletor d até encontrar d = 0, para que o gráfico da função f coincida novamente com o gráfico da função g. Mova o seletor c até encontrar c =,9. Observando o gráfico, determine o conjunto imagem e o período da função g. Im = p = Mova o seletor c até encontrar c = - 3,7. Observando o gráfico determine o conjunto imagem e o período da função g. Im = p = Movimente o seletor c e observe a modificação ocorrida no gráfico. Descreva a transformação que o parâmetro c, das funções da forma g (x)= sen (x + c), causa sobre o gráfico da função f(x) sen x Mova o seletor c até encontrar c = 0, para que o gráfico da função f coincida novamente com o gráfico da função g. Mova o seletor a até encontrar a = 0,5. Observando o gráfico, determine o conjunto imagem e o período da função g. Im = p = Mova o seletor a até encontrar a =. Observando o gráfico determine o conjunto imagem e o período da função g. Im = p = Movimente o seletor de forma que a assuma apenas valores positivos e observe os gráficos. Descreva a transformação que o parâmetro a, das funções da forma g (x)= a sen x, causa sobre o gráfico da função f(x) sen x, quando 0 < a < 1 e quando a > Mova o seletor a até encontrar a = -1. Observando o gráfico determine o conjunto imagem e o período da função g. Im = p = Compare os gráficos das funções f(x) sen x e g(x) sen x e descreva o que você observou Movimente o seletor de forma que a assuma apenas valores negativos e observe os gráficos. Descreva a transformação que o parâmetro a, das funções da forma causa sobre o gráfico da função f(x) sen x, quando -1 < a < 0 e quando a < - 1. g (x)= a sen x,
24 Mova o seletor a até obter a = 1, para que o gráfico da função f coincida novamente com o gráfico da função g. Mova o seletor b até encontrar b = 0,5. Observando o gráfico, determine o conjunto imagem e o período da função g. 4 Im = p = Mova o seletor b até encontrar b = 0,5. Observando o gráfico determine o conjunto imagem e o período da função g. Im = p = Mova o seletor b até encontrar b =. Observando o gráfico determine o conjunto imagem e o período da função g. Im = p = Mova o seletor b até encontrar b = 4. Observando o gráfico determine o conjunto imagem e o período da função g. Im = p = Movimente o seletor de forma que b assuma apenas valores positivos e observe os gráficos. Descreva a transformação que o parâmetro b, das funções da forma causa sobre o gráfico da função f(x) sen x, quando 0 < b < 1 e quando b > 1. g (x)=sen bx, Mova o seletor b até encontrar b = -1. Observando o gráfico determine o conjunto imagem e o período da função g. Im = p = Compare os gráficos das funções f(x) sen x e g(x) sen ( x) e descreva o que você observou Mova o seletor de forma que b assuma apenas valores negativos e observe os gráficos. Descreva a transformação que o parâmetro b, das funções da forma g (x)=sen bx, causa sobre o gráfico da função f(x) sen x, quando -1 < b < 0 e quando b < - 1.
25 5 Conclusões: Funções na forma g (x) = d + sen x A imagem é [-1 + d, 1 + d] e o período é π. Em relação à função f(x) = sen x: - quando d > 0, estas funções sofrem uma translação vertical de d unidades para cima. - quando d < 0, estas funções sofrem uma translação vertical de d unidades para baixo. Funções na forma g (x) = sen (x + c) A imagem é [-1, 1] e o período é π. Em relação à função f(x) = sen x: - quando c > 0, estas funções sofrem uma translação horizontal de c unidades para a esquerda. - quando c < 0, estas funções sofrem uma translação horizontal de c unidades para a direita. Funções na forma g (x) = a sen x A imagem é [-a, a] e o período é π. Em relação à função f(x) = sen x: - quando 0 < a < 1, estas funções sofrem uma contração vertical. - quando a > 1, estas funções sofrem uma dilatação vertical. - quando -1 < a < 0, estas funções sofrem uma contração vertical e uma reflexão em relação ao eixo x. - quando a < -1, estas funções sofrem uma dilatação vertical e uma reflexão em relação ao eixo x Funções na forma g (x) = sen bx A imagem é [-1, 1] e o período é Em relação à função f(x) = sen x: π. b - quando 0 < b < 1, estas funções sofrem uma dilatação horizontal. - quando b > 1, estas funções sofrem uma contração horizontal. - quando -1 < b < 0, estas funções em relação à função f(x) = sen x, sofrem uma dilatação horizontal e uma reflexão em relação ao eixo x. - quando b < -1, estas funções em relação à função f(x) = sen x, sofrem uma contração horizontal e uma reflexão em relação ao eixo x.
26 De acordo com o que foi estudado até aqui, determine o que se pede em cada item, sem utilizar o applet. a) Dadas as funções abaixo, determine o conjunto imagem e o período de cada uma: f: IR IR / f (x) = 3 sen x f: IR IR / f (x) = 1 sen x f: IR IR / f (x) = sen 3x f: IR I R / f (x) = + sen x b) Determine o valor de b sabendo que o período da função f(x)=1+cos b x é igual a 8 π : c) Determine o valor de a sabendo que a imagem da função f (x) =a sen x é [-3, 3]. EXERCÍCIOS 1- Uma pessoa está a 80 3 m de um prédio e vê o topo do prédio sob um ângulo de 30º. O aparelho que mede o ângulo está a 1,6m do solo. Determine a altura do prédio. - (F. E. Edson Queiroz CE) É dada a expressão cos x = m 6. Os números reais m, de modo que existam x satisfazendo essa igualdade, são tais que: a) 5 m 7 b) -7 m 5 c) -1 m 5 d) -7 m 1 e) -1 m 1 3- (Unifor-CE) O valor de sen (-10º) é: a) 3 b) - c) d) e) 3 4- (Unifor CE) O valor de tg 150º + sen10º - cos 330º é igual a: a) 3 b) 3 c) 3 d) 3 - e) 6 3 6
27 5- (Fuvest) A figura a seguir mostra parte do gráfico da função: 7 a) y = sen x x b) y = sen c) y = sen x d) y = sen x e) y = sen x 6- (Puccamp) Na figura a seguir tem-se parte do gráfico da função f, de IR em IR, dada por f(x)=k.cos(tx). Nessas condições, calculando-se k - t obtém-se: a) - 3 b) -1 c) 0 d) 3 e) 5
FUNÇÕES TRIGONOMÉTRICAS. Teorema de Pitágoras Razões trigonométricas Circunferência trigonométrica
FUNÇÕES TRIGONOMÉTRICAS Teorema de Pitágoras Razões trigonométricas Circunferência trigonométrica Teorema de Pitágoras Em qualquer triângulo retângulo, o quadrado da medida da hipotenusa é igual à soma
Leia mais1. Com o auxílio de régua graduada e transferidor, calcular sen 42, cos 42 e tg 42. Resolução Traçamos uma perpendicular a um dos lados desse ângulo:
Atividades Complementares 1. Com o auxílio de régua graduada e transferidor, calcular sen 4, cos 4 e tg 4. Traçamos uma perpendicular a um dos lados desse ângulo: Medimos, com auxílio da régua, os lados
Leia mais1. Trigonometria no triângulo retângulo
UNIVERSIDADE DO ESTADO DE MATO GROSSO CAMPUS UNIVERSITÁRIO DE SINOP FACULDADE DE CIÊNCIAS EXATAS E TECNOLÓGICAS CURSO DE ENGENHARIA CIVIL DISCIPLINA: FUNDAMENTOS DE MATEMÁTICA Trigonometria I Prof.: Rogério
Leia maisTrigonometria. Trigonometria no Triângulo Retângulo. Pré-Cálculo. Trigonometria. Humberto José Bortolossi. Parte 7. trigonometria
Pré-Cálculo Humberto José Bortolossi Departamento de Matemática Aplicada Universidade Federal Fluminense Trigonometria Parte 7 Parte 7 Pré-Cálculo 1 Parte 7 Pré-Cálculo 2 Trigonometria trigonometria Trigonometria
Leia maisa a a a a a c c c Trigonometria I Trigonometria I E dessa semelhança podemos deduzir que:
UNIVERSIDADE DO ESTADO DE MATO GROSSO CAMPUS UNIVERSITÁRIO DE SINOP FACULDADE DE CIÊNCIAS EXATAS E TECNOLÓGICAS CURSO DE ENGENHARIA CIVIL DISCIPLINA: FUNDAMENTOS DE MATEMÁTICA. Trigonometria no triângulo
Leia maisProposta de correcção
Ficha de Trabalho Matemática A - ºano Temas: Trigonometria (Triângulo rectângulo e círculo trigonométrico) Proposta de correcção. Relembrar que um radiano é, em qualquer circunferência, a amplitude do
Leia maisCUFSA - FAFIL Graduação em Matemática TRIGONOMETRIA (Resumo Teórico)
1 INTRODUÇÃO CUFSA - FAFIL Graduação em Matemática TRIGONOMETRIA (Resumo Teórico) ARCOS: Dados dois pontos A e B de uma circunferência, definimos Arco AB a qualquer uma das partes desta circunferência
Leia maisPROGRAMA INSTITUCIONAL DE BOLSA DE INICIÇÃO Á DOCENCIA PROJETO MATEMÁTICA 1 TRIGONOMETRIA
PROGRAMA INSTITUCIONAL DE BOLSA DE INICIÇÃO Á DOCENCIA PROJETO MATEMÁTICA 1 TRIGONOMETRIA Curitiba 2014 TÓPICOS DE GEOMETRIA PLANA Ângulos classificação: Ângulo reto: mede 90. Med(AôB) = 90 Ângulo agudo:
Leia maisAcadêmico(a) Turma: Capítulo 5: Trigonometria. Definição: Todo triângulo que tenha um ângulo de 90º (ângulo reto)
1 Acadêmico(a) Turma: 5.1. Triangulo Retângulo Capítulo 5: Trigonometria Definição: Todo triângulo que tenha um ângulo de 90º (ângulo reto) Figura 1: Ângulos e catetos de um triangulo retângulo. Os catetos
Leia maisMAT111 - Cálculo I - IF TRIGONOMETRIA. As Funçoes trigonométricas no triângulo retângulo
MAT111 - Cálculo I - IF - 010 TRIGONOMETRIA As Funçoes trigonométricas no triângulo retângulo Analisando a figura a seguir, temos que os triângulos retângulos OA 1 B 1 e OA B, são semelhantes, pois possuem
Leia maisTrigonometria I. Círculo Trigonométrico. 2 ano E.M. Professores Cleber Assis e Tiago Miranda
Trigonometria I Círculo Trigonométrico ano E.M. Professores Cleber Assis e Tiago Miranda Trigonometria I Círculo Trigonométrico b) 6 1 Exercícios Introdutórios Exercício 1. Qual dos arcos abaixo é côngruo
Leia maisRelembrando: Ângulos, Triângulos e Trigonometria...
Relembrando: Ângulos, Triângulos e Trigonometria... Este texto é apenas um resumo. Procure estudar esses assuntos em um livro apropriado. Ângulo é a região de um plano delimitada pelo encontro de duas
Leia maisRevisão de Matemática
UNIVERSIDADE FEDERAL DO CEARÁ - UFC DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA AGRÍCOLA DENA TOPOGRAFIA BÁSICA Revisão de Matemática Facilitador: Fabrício M. Gonçalves Unidades de medidas Unidade de comprimento (METRO)
Leia maisMódulo de Círculo Trigonométrico. Relação Fundamental da Trigonometria. 1 a série E.M.
Módulo de Círculo Trigonométrico Relação Fundamental da Trigonometria a série EM Círculo Trigonométrico Relação Fundamental da Trigonometria Exercícios Introdutórios Exercício Se sen x /, determine Exercício
Leia maisApostila de Matemática 06 Trigonometria
Apostila de Matemática 06 Trigonometria.0 Triângulo Retângulo. Introdução Quanto mais o ângulo ou o índice, mais íngreme o triângulo retângulo é. ÍNDICE Altura Afastamento Área do Triângulo Retângulo:
Leia maisNotas de Aula de Matemática Básica I
UFF/GMA Notas de aula de MB-I Maria Lúcia/Marlene 015-1 IME Instituto de Matemática e Estatística GMA Departamento de Matemática Aplicada Notas de Aula de Matemática Básica I Maria Lúcia Tavares de Campos
Leia maisAS QUESTÕES OBRIGATORIAMENTE DEVEM SER ENTREGUES EM UMA FOLHA À PARTE COM ESTA EM ANEXO.
ENSINO MÉDIO Conteúdos da 1ª Série 1º/2º Bimestre 2015 Trabalho de Dependência Nome: N. o : Turma: Professor(a): Daniel/Rogério Data: / /2015 Unidade: Cascadura Mananciais Méier Taquara Matemática Resultado
Leia maisLISTA DE EXERCICIOS TRIÂNGULOS QUAISQUER. 1) Na figura ao abaixo calcule o valor da medida x. 2) No triângulo abaixo, determine as medidas x e y.
LISTA DE EXERCICIOS TRIÂNGULO RETÂNGULO 1) Um caminhão sobe uma rampa inclinada de 10º em relação ao plano horizontal. Se a rampa tem 30 m de comprimento, a quantos metros o caminhão se eleva, verticalmente
Leia maisTaxas Trigonométricas
Taas Trigonométricas Obs.: Com é mais difícil (confere a resolução). 1) A intensidade da componente F é p% da intensidade da força F. Então, p vale (a) sen(α) (b) 1sen(α) (c) cos(α) (d) 1cos(α) (e) cos(α)/1
Leia maisRelações Trigonométricas nos Triângulos
Relações Trigonométricas nos Triângulos Introdução - Triângulos Um triângulo é uma figura geométric a plana, constituída por três lados e três ângulos internos. Esses ângulos, tradicionalmente, são medidos
Leia maisFunções Trigonométricas
Funções Trigonométricas 1) Na figura abaixo, a área do triângulo ABC é 5 A 120 3 C B (a) (15 3) / 4 (b) (15 3) / 2 (c) 15/2 (d) (15 2) / 4 (e) 15 / 4 2) Sabendo-se que tan(x) = - 4/3 e que x é um arco
Leia maisDo estudo dos triângulos e em especial do triângulo retângulo, temos as propriedades:
Trigonometria Trigonometria Introdução A trigonometria é um importante ramo da Matemática. Derivada da Geometria (o termo trigonometria significa medida dos triângulos) é uma importante ferramenta para
Leia maisEsta é só uma amostra do livro do Prof César Ribeiro.
Esta é só uma amostra do livro do Prof César Ribeiro Para adquirir este (e outros livros do autor) vá ao site: http://wwwescolademestrescom/dicasemacetes Conheça também nosso Blog: http://blogescolademestrescom
Leia maisRoteiro. Tela de entrada. Texto: Deive Barbosa Alves. Carlos Roberto Lopes Edinei Leandro dos Reis. Construindo Relações trigonométricas
Roteiro Título da animação: Construindo Relações Tela de entrada Construindo Relações Botão entrar: o aluno irá para a próxima tela. No rodapé da página conterá o nome do objeto. 1 Tela de apresentação
Leia maisTrigonometria e relações trigonométricas
Trigonometria e relações trigonométricas Em trigonometria, os lados dos triângulos retângulos assumem nomes particulares, apresentados na figura ao lado. O lado mais comprido, oposto ao ângulo de 90º (ângulo
Leia maisMATEMÁTICA CADERNO 3 CURSO E. FRENTE 1 Álgebra. n Módulo 11 Módulo de um Número Real. 5) I) x + 1 = 0 x = 1 II) 2x 7 + x + 1 0
MATEMÁTICA CADERNO CURSO E ) I) + 0 II) 7 + + 0 FRENTE Álgebra n Módulo Módulo de um Número Real ) 6 + < não tem solução, pois a 0, a ) A igualdade +, com + 0, é verificada para: ọ ) + 0 ou ọ ) + + + +
Leia maisA Determine o comprimento do raio da circunferência.
Lista de exercícios Trigonometria Prof. Lawrence 1. Um terreno tem a forma de um triângulo retângulo. Algumas de suas medidas estão indicadas, em metros, na figura. Determine as medidas x e y dos lados
Leia maisEBS DA GRACIOSA - ENSINO SECUNDÁRIO 11.º ANO
EBS DA GRACIOSA - ENSINO SECUNDÁRIO.º ANO M A T E M Á T I C A : RES O L U Ç Ã O D A F I C H A D E AV A L I A Ç Ã O P R O F E S S O R C A R L O S MI G U E L SA N T O S GRUPO I. Pelo facto de o triângulo
Leia maisProva Escrita de MATEMÁTICA A - 12o Ano Época especial
Prova Escrita de MATEMÁTICA A - o Ano 0 - Época especial Proposta de resolução GRUPO I. Temos que A e B são acontecimentos incompatíveis, logo P A B 0 Como P A B P B P A B, e P A B 0, vem que: P A B P
Leia mais4 Trigonometria no círculo trigonométrico
37 4 Trigonometria no círculo trigonométrico Com o surgimento do cálculo infinitesimal e posteriormente da análise matemática as noções básicas da trigonometria ganharam uma nova dimensão. Passaremos a
Leia maisAno: 2º ano Ensino Médio Data: / /2017 Disciplina: Matemática Professor: Sergio Monachesi ROTEIRO DE ESTUDO REGULAÇÃO CONTEÚDO DO 2º BIMESTRE
Nome: Nº: Ano: 2º ano Ensino Médio Data: / /2017 Disciplina: Matemática Professor: Sergio Monachesi a) Conteúdos : ROTEIRO DE ESTUDO REGULAÇÃO CONTEÚDO DO 2º BIMESTRE Razões trigonométricas no triângulo
Leia maisMEDINDO ÂNGULO. Uma das dificuldades que alguns alunos demostram é fazer a relação entre graus e radianos.
MEDINDO ÂNGULO Uma das dificuldades que alguns alunos demostram é fazer a relação entre graus e radianos. Grau ( ) e radiano (rad) são diferentes unidades de medida de ângulo que podem ser relacionadas
Leia maisCONTEÚDO: Razões trigonométricas no Triangulo Retângulo e em Triângulo qualquer.
LISTA DE EXERCICIOS - ESTUDO PARA A PROVA PR1 3ºTRIMESTRE PROF. MARCELO CONTEÚDO: Razões trigonométricas no Triangulo Retângulo e em Triângulo qualquer. (seno, cosseno e tangente; lei dos senos e lei dos
Leia mais1. Arcos de mais de uma volta. Vamos generalizar o conceito de arco, admitindo que este possa dar mais de uma volta completa na circunferência.
UNIVERSIDADE DO ESTADO DE MATO GROSSO CAMPUS UNIVERSITÁRIO DE SINOP FACULDADE DE CIÊNCIAS EXATAS E TECNOLÓGICAS CURSO DE ENGENHARIA CIVIL DISCIPLINA: FUNDAMENTOS DE MATEMÁTICA Trigonometria II Prof.: Rogério
Leia maisMedir um arco ou ângulo é compará-lo com outro, unitário.
Trigonometria A palavra trigonometria vem do grego (tri+gonos+metron, que significa três+ângulos+medida) e nos remete ao estudo das medidas dos lados, ângulos e outros elementos dos triângulos. Historicamente,
Leia maisPET-FÍSICA TRIGONOMETRIA NATÁLIA ALVES MACHADO TATIANA DE MIRANDA SOUZA FREDERICO ALAN DE OLIVEIRA CRUZ
PET-FÍSICA TRIGONOMETRIA Aula 5 NATÁLIA ALVES MACHADO TATIANA DE MIRANDA SOUZA FREDERICO ALAN DE OLIVEIRA CRUZ AGRADECIMENTOS Esse material foi produzido com apoio do Fundo Nacional de Desenvolvimento
Leia maisElementos de trigonometria
Escola de Ciências e Tecnologia Departamento de Matemática Curso de preparação para a Prova Específica de Matemática ******* Elementos de trigonometria 1. O triângulo [BC] é rectângulo no ponto B e os
Leia maisAlgumas Possibilidades do Uso do GeoGebra nas Aulas de Matemática
UNIVERSIDADE FEDERAL DE VIÇOSA III Semana Acadêmica de Matemática Algumas Possibilidades do Uso do GeoGebra nas Aulas de Matemática Profª Lahis Braga Souza Profª Thais Sena de Lanna Profª Cristiane Neves
Leia maisTrigonometria. Reforço de Matemática Básica - Professor: Marcio Sabino - 1 Semestre 2015
Trigonometria Reforço de Matemática ásica - Professor: Marcio Sabino - 1 Semestre 015 1. Trigonometria O nome Trigonometria vem do grego trigo-non triângulo + metron medida. Esta é um ramo da matemática
Leia maisEstudo da Trigonometria (I)
Instituto Municipal de Ensino Superior de Catanduva SP Curso de Licenciatura em Matemática 3º ano Prática de Ensino da Matemática III Prof. M.Sc. Fabricio Eduardo Ferreira fabricio@fafica.br Estudo da
Leia maisCírculo Trigonométrico centro na origem raio 1 Ângulo central Unidades de medidas de ângulos; grau Grau: Grado: Radiano:
Círculo Trigonométrico A circunferência trigonométrica é de extrema importância para o nosso estudo da Trigonometria, pois é baseado nela que todos os teoremas serão deduzidos. Trata-se de uma circunferência
Leia maisAula 5 - Soluções dos Exercícios Propostos
Aula 5 - Soluções dos Exercícios Propostos Trigonometria I Solução. : (a A cada um minuto completado, o ponteiro dos segundos percorre uma volta completa de π radianos. Isso se o ponteiro dos segundos
Leia maisFazendo a decomposição dessas forças, um aluno escreveu o seguinte sistema de equações: log cotg 10º + log cotg 80º é:
Módulos 9, 0, 7 e 8 Matemática º EM 1) (Exame de Qualificação UERJ 00) Um corpo de peso P encontra-se em equilíbrio, suspenso por três cordas inextensíveis. Observe, na figura, o esquema das forças T 1
Leia maisMatemática Ensino Médio Anotações de aula Trigonometira
Matemática Ensino Médio Anotações de aula Trigonometira Prof. José Carlos Ferreira da Silva 2016 1 ÍNDICE Trigonometria Introdução... 04 Ângulos na circunferência...04 Relações trigonométricas no triângulo
Leia mais3. (Ufscar) O gráfico em setores do círculo de centro O representa a distribuição das idades entre os eleitores de uma cidade.
LISTA DE RECUPERAÇÃO ÁLGEBRA º ANO º TRIMESTRE. (G - ifce) Considere um relógio analógico de doze horas. O ângulo obtuso formado entre os ponteiros que indicam a hora e o minuto, quando o relógio marca
Leia maisProfessor Dacar Lista de Exercícios - Revisão Trigonometria
1. Obtenha a medida, em graus, de um arco AB de comprimento π metros, sabendo que ele está contido em uma circunferência de diâmetro igual a metros. Resposta:. (UFPR) Em uma circunferência de 1 dm de comprimento,
Leia maisunções Trigonométricas? ...
III TRIGONOMETRIA Por que aprender Funçõe unções Trigonométricas?... É importante saber sobre Funções Trigonométricas, pois estes conhecimentos vão além da matemática. Você encontra a utilidade das funções
Leia mais3ª Igor/ Eduardo. Competência Objeto de aprendizagem Habilidade
Matemática 3ª Igor/ Eduardo 9º Ano E.F. Competência Objeto de aprendizagem Habilidade C3 - Espaço e forma Números racionais. Números irracionais. Números reais. Relações métricas nos triângulos retângulos.
Leia maisPROFORM Programa de Formação Diferenciada Curso Introdutório de Matemática para Engenharia CIME
PROFORM Programa de Formação Diferenciada Curso Introdutório de Matemática para Engenharia CIME 2012.2 Parte II Kerolaynh Santos e Tássio Magassy Engenharia Civil Identidades Trigonométricas Definição:
Leia mais10. OUTRAS FUNÇÕES TRIGONOMÉTRICAS
0. OUTRAS FUNÇÕES TRIGONOMÉTRICAS Consideremos um triângulo retângulo ABC e seja t um dos seus ângulos agudos. Figura Relembremos que, sendo 0 < t < π/, temos tg t = b c (= cateto oposto cateto adjacente)
Leia maisCoordenadas Cartesianas
1 Coordenadas Cartesianas 1.1 O produto cartesiano Para compreender algumas notações utilizadas ao longo deste texto, é necessário entender o conceito de produto cartesiano, um produto entre conjuntos
Leia maisAssinale as questões verdadeiras some os resultados obtidos e marque na Folha de Respostas:
PROVA DE MATEMÁTICA - TURMAS DO O ANO DO ENSINO MÉDIO COLÉGIO ANCHIETA-BA - MAIO DE 0. ELABORAÇÃO: PROFESSORES OCTAMAR MARQUES E ADRIANO CARIBÉ. PROFESSORA MARIA ANTÔNIA C. GOUVEIA Assinale as questões
Leia maisFig.6.1: Representação de um ângulo α.
6. Trigonometria 6.1. Conceitos Iniciais A palavra trigonometria vem do grego [trigōnon = "triângulo", metron "medida"], ou seja, está relacionada com as medidas de um triângulo, sendo estas medidas de
Leia maisEAD TRIGONOMETRIA NO CICLO TRIGONOMÉTRICO DEFINIÇÃO:
EAD TRIGONOMETRIA NO CICLO TRIGONOMÉTRICO DEFINIÇÃO: Ângulo Sejam r e s duas semirretas com mesma origem. Definimos ângulo entre elas a cada uma das duas regiões do plano delimitadas por elas, incluindo
Leia maisPontos correspondentes: A e D, B e E, C e F; Segmentos correspondentes: AB e DE, BC e EF, AC e DF.
Teorema de Tales O Teorema de Tales possui diversas aplicações no cotidiano, que devem ser demonstradas a fim de verificar sua importância. O Teorema diz que retas paralelas, cortadas por transversais,
Leia maisGABARITO PROVA B GABARITO PROVA A. Colégio Providência Avaliação por Área 2ª SÉRIE ENSINO MÉDIO
Colégio Providência Avaliação por Área Matemática e suas tecnologias 1ª ETAPA Data: 11/05/2015 2ª SÉRIE ENSINO MÉDIO GABARITO PROVA A GABARITO PROVA B A B C D 1 XXXX xxxxx xxxxx xxxxx 2 4 5 6 7 8 9 10
Leia maisMATEMÁTICA APLICADA À AGRIMENSURA PROF. JORGE WILSON
MATEMÁTICA APLICADA À AGRIMENSURA PROF. JORGE WILSON PROFJWPS@GMAIL.COM DEFINIÇÕES GEOMETRIA PLANA Ponto: Um elemento do espaço que define uma posição. Reta: Conjunto infinito de pontos. Dois pontos são
Leia maisFICHA de AVALIAÇÃO de MATEMÁTICA A 11.º Ano Versão 1
FICHA de AVALIAÇÃO de MATEMÁTICA A 11º Ano Versão 1 Nome: Nº Turma: Apresente o seu raciocínio de forma clara, indicando todos os cálculos que tiver de efetuar e todas as justificações necessárias Quando,
Leia mais1. As funções tangente e secante As expressões para as funções tangente e secante são
CÁLCULO L1 NOTAS DA SETA AULA UNIVERSIDADE FEDERAL DE PERNAMBUCO Resumo. Nesta aula definiremos as demais funções trigonométricas, que são obtidas a partir das funções seno e cosseno, e determinaremos
Leia maisExercícios sobre Trigonometria
Universidade Federal Fluminense Campus do Valonguinho Instituto de Matemática e Estatística Departamento de Matemática Aplicada - GMA Prof Saponga uff Rua Mário Santos Braga s/n 400-40 Niterói, RJ Tels:
Leia maisIntrodução à Astronomia Semestre:
Introdução à Astronomia Semestre: 2015.1 Sergio Scarano Jr 22/10/2013 Horário de Atendimento do Professor Professor: Sergio Scarano Jr Sala: 119 Homepage: http://www.scaranojr.com.br/ * E-mail: scaranojr.ufs@gmail.com**
Leia maisMATEMÁTICA A - 11o Ano Geometria -Trigonometria Propostas de resolução
MTEMÁTI - o no Geometria -Trigonometria ropostas de resolução Eercícios de eames e testes intermédios. bservando que os ângulos e RQ têm a mesma amplitude porque são ângulos de lados paralelos), relativamente
Leia mais5) [log 5 (25 log 2 32)] 3 = [log 5 (5 2 log )] 3 = = [log 5 (5 2 5)] 3 = [log ] 3 = 3 3 = 27
MATEMÁTICA CADERNO CURSO E ) [log ( log )] = [log ( log )] = = [log ( )] = [log ] = = 7 FRENTE ÁLGEBRA n Módulo 7 Logaritmos: Definição e Existência ) a) log 8 = = 8 = = b) log 8 = = 8 = = c) log = = (
Leia maisTESTES. 5. (UFRGS) Os ponteiros de um relógio marcam duas. horas e vinte minutos. O menor ângulo entre os ponteiros é
TESTES (UFRGS) O valor de sen 0 o cos 60 o é 0 (Ufal) Se a medida de um arco, em graus, é igual a 8, sua medida em radianos é igual a ( /) 7 (6/) (6/) (UFRGS) Os ponteiros de um relógio marcam duas horas
Leia maisPara mais exemplos veja o vídeo:
Resumo de matemática: Frente 1: Critério 01: Função: Função é uma relação do conjunto A para o conjunto B, em que os elementos do conjunto A sempre serão x e os elementos do conjunto B sempre serão y (ou
Leia maisCapítulo I Geometria no Plano e no Espaço
Resumo Té CaPítulo ICddf º ANO MATEMÁTICA RESUMO TEÓRICO Capítulo I Geometria no Plano e no Espaço (A) REVISÕES TEOREMA DE PITÁGORAS a e b são atetos é a hipotenusa Num triângulo retângulo verifia-se sempre
Leia maisT E S T E D E A V A L I A Ç Ã O GRUPO I VERSÃO 1
1º T E S T E D E A V A L I A Ç Ã O COLÉGIO INTERNACIONAL DE Disciplina Matemática A VERSÃO 1 VILAMOURA INTERNATIONAL Ensino Secundário Ano 11º - A e B Duração 90 min SCHOOL Curso CCS e CCT Componente de
Leia maisSENO do ângulo agudo é o quociente entre a medida do cateto oposto ao ângulo e a medida da hipotenusa, e assim o representamos: sen = e sen =.
IFSP - EAD_- TRIGONOMETRIA RAZÕES TRIGONOMÉTRICAS NO TRIÂNGULO RETÂNGULO CONCEITUAÇÃO: No capítulo anterior foram aordadas as relações métricas no triângulo retângulo, e você deve ter perceido que em nenhuma
Leia maisProf André Costa de Oliveira. 1 Ano do Ensino médio; Trigonometria: Introdução: ângulos e arcos na circunferência;
Prof André Costa de Oliveira. 1 Ano do Ensino médio; Trigonometria: Introdução: ângulos e arcos na circunferência; Ângulo central: É todo ângulo que possui o seu vértice no centro da circunferência, o
Leia maisPOTENCIALIDADES DO SOFTWARE GEOGEBRA NO ENSINO E APRENDIZAGM DE TRIGONOMETRIA
1 UNIVERSIDADE FERDERAL DO RIO GRANDE DO NORTE UFRN CENTRO DE ENSINO SUPERIOR DO SERIDÓ CERES Departamento de Ciências Exatas e Aplicadas DCEA Programa Institucional de Iniciação à Docência PIBID/UERN
Leia maisNOTAÇÕES. R : conjunto dos números reais C : conjunto dos números complexos
NOTAÇÕES R : conjunto dos números reais C : conjunto dos números complexos i : unidade imaginária: i = 1 z : módulo do número z C Re(z) : parte real do número z C Im(z) : parte imaginária do número z C
Leia maisTeste Intermédio de MATEMÁTICA - 9o ano 11 de maio de 2009
Teste Intermédio de MATEMÁTICA - 9o ano 11 de maio de 009 Proposta de resolução 1. 1.1. Como na gaveta 1 existem três maillots (1 preto, 1 cor-de-rosa e 1 lilás), são 3 os casos possíveis, dos quais são
Leia maisExercícios de Aplicação do Teorema de Pitágoras
Exercícios de Aplicação do Teorema de Pitágoras Prof. a : Patrícia Caldana 1. Um terreno triangular tem frentes de 12 m e 16 m em duas ruas que formam um ângulo de 90. Quanto mede o terceiro lado desse
Leia maisTrigonometria Básica e Relações Métricas
1. Em um triângulo isósceles, a base mede 6 cm e o ângulo oposto à base mede 120. Qual é a medida dos lados congruentes do triângulo? 2. Um triangulo tem lados iguais a 4cm, 5cm e 6cm. Calcule o cosseno
Leia maisAv. João Pessoa, 100 Magalhães Laguna / Santa Catarina CEP
Disciplina: Matemática Curso: Ensino Médio Professor(a): Flávio Calônico Júnior Turma: 3ª Série E M E N T A II Trimestre 2013 Conteúdos Programáticos Data 21/maio 28/maio Conteúdo FUNÇÃO MODULAR Interpretação
Leia maisFUNÇÕES TRIGONOMÉTRICAS NÉBIA MARA DE SOUZA
FUNÇÕES TRIGONOMÉTRICAS NÉBIA MARA DE SOUZA Vamos lembrar um pouco o ciclo trigonométrico? O eixo y é chamado de eixo das ordenadas e também conhecido como seno, a função seno é positiva no 1º e 2º quadrantes
Leia maisConstruindo o Ciclo Trigonométrico
MINISTÉRIO DA EDUCAÇÃO UNIVERSIDADE FEDERAL DO RIO GRANDE DO NORTE PROGRAMA INSTITUCIONAL DE BOLSA DE INICIAÇÃO À DOCÊNCIA (PIBID) MATERIAL CONCRETO Construindo o Ciclo Trigonométrico Autores: Francisco
Leia maisFICHA de AVALIAÇÃO de MATEMÁTICA A 11.º Ano Versão 4
FICHA de AVALIAÇÃO de MATEMÁTICA A º Ano Versão Nome: Nº Turma: Apresente o seu raciocínio de forma clara, indicando todos os cálculos que tiver de efetuar e todas as justificações necessárias Quando,
Leia maisPlano de Ensino. Dados de Identificação. Clarice Fonseca Vivian
CAMPUS CAÇAPAVA DO SUL CURSO DE LICENCIATURA EM CIÊNCIAS EXATAS PIBID MATEMÁTICA Plano de Ensino Escola Disciplina Bolsista Dados de Identificação Matemática Clarice Fonseca Vivian Conteúdos Funções trigonométricas:
Leia maisMedida de Ângulos em Radianos
UNIVERSIDADE DO ESTADO DE MATO GROSSO CAMPUS UNIVERSITÁRIO DE SINOP FACULDADE DE CIÊNCIAS EXATAS E TECNOLÓGICAS CURSO DE ENGENHARIA CIVIL DISCIPLINA: CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL I Medida de Ângulos
Leia mais= a = x x ) Se a 75%b então. x x 3x + 12 x 12 e x Logo, a divisão deverá ser feita a partir de 01/01/2016.
MATEMÁTICA 1 c Um supermercado adquiriu detergentes nos aromas limão e coco. A compra foi entregue, embalada em 10 caixas, com 4 frascos em cada caixa. Sabendo-se que cada caixa continha frascos de detergentes
Leia maisAutores: Anderson L.G.Quilles, Cláudio H.Bitto, Sônia F.L.Toffoli e Ulysses Sodré Adaptado pelo Prof. Ardemirio de Barros
Autores: Anderson L.G.Quilles, Cláudio H.Bitto, Sônia F.L.Toffoli e Ulysses Sodré Adaptado pelo Prof. Ardemirio de Barros Seno: No plano cartesiano, consideremos uma circunferência trigonométrica, de centro
Leia maisSEGUNDO ANO - PARTE UM
MATEMÁTICA SEGUNDO ANO - PARTE UM NOME COMPLETO: Nº TURMA: TURNO: ANO: 1 Revisão pitágoras: Teorema de Pitágoras (hipotenusa) 2 = (cateto) 2 + (cateto) 2. (a) 2 = (b) 2 + (c) 2. Exemplos: 1. Encontre o
Leia maisQuestão 1. Questão 2. Lista de Exercícios - 9º ano - Matemática - 3º trimestre Aluno: Série: Turma: Data:
Lista de Exercícios - 9º ano - Matemática - 3º trimestre Aluno: Série: Turma: Data: Questão 1 Demonstre que, em um triângulo equilátero de lado l, a área é dada por. Questão 2 Faça o que se pede nos itens
Leia maisFICHA de AVALIAÇÃO de MATEMÁTICA A 11.º Ano Versão 2
FICHA de AVALIAÇÃO de MATEMÁTICA A.º Ano Versão Nome: N.º Turma: Apresente o seu raciocínio de forma clara, indicando todos os cálculos que tiver de efetuar e todas as justificações necessárias. Quando,
Leia maisMAT001 Cálculo Diferencial e Integral I
1 MAT001 Cálculo Diferencial e Integral I RESUMO DA AULA TEÓRICA 4 Livro do Stewart: Apêndice D e Seção 16 FUNÇÕES TRIGONOMÉTRICAS O círculo trigonométrico e arcos orientados Num plano cartesiano, considere
Leia maisAdilson Ortiz Bittencourt. O Ensino da Trigonometria no Ciclo Trigonométrico, por meio do Software Geogebra
PRÓ-REITORIA DE PÓS-GRADUAÇÃO, PESQUISA E EXTENSÃO ÁREA DE CIÊNCIAS TECNOLÓGICAS CURSO DE MESTRADO PROFISSIONALIZANTE EM ENSINO DE FÍSICA E DE MATEMÁTICA Adilson Ortiz Bittencourt O Ensino da Trigonometria
Leia maisComplemento Matemático 04 Ciências da Natureza I RAZÕES TRIGONOMÉTRICAS NO TRIÂNGULO RETÂNGULO Física - Ensino Médio Material do aluno
A Trigonometria é a parte da Matemática que estuda os triângulos e seus elementos, como ângulos, lados e alturas. Atualmente ela não fica limitada ao estudo dos triângulos. E podemos observar a presença
Leia maisMATEMÁTICA BÁSICA II TRIGONOMETRIA Aula 03
UNIVERSIDDE ESTDUL VLE DO CRÚ CENTRO DE CIÊNCIS EXTS E TECNOLOGI CURSO DE LICENCITUR EM MTEMÁTIC MTEMÁTIC ÁSIC II TRIGONOMETRI ula 03 Prof. Márcio Nascimento marcio@matematicauva.org 204. Razões Trigonométricas
Leia maisTodos os exercícios sugeridos nesta apostila se referem ao volume 2. MATEMÁTICA I 1 FUNÇÕES TRIGONOMÉTRICAS
INTRODUÇÃO... FUNÇÃO SENO... FUNÇÃO COSSENO... 8 FUNÇÃO TANGENTE... EQUAÇÕES TRIGONOMÉTRICAS... 5 RESPOSTAS... 5 REFERÊNCIA BIBLIOGRÁFICA... 5 No final das séries de exercícios podem aparecer sugestões
Leia maisTECNÓLOGO EM CONSTRUÇÃO DE EDIFÍCIOS
1 TECNÓLOGO EM CONSTRUÇÃO DE EDIFÍCIOS Aula 8 Funções Trigonométricas Professor Luciano Nóbrega 2º Bimestre GABARITO: 1) 20 m TESTANDO OS CONHECIMENTOS 1 (UFRN) Observe a figura a seguir e determine a
Leia maissen(α)=-sen(360-α) cos(α)=cos(360-α) sen(α)=cos(90-α) cos(α)=sen(90-α) α α sen(α)=-sen(180+α) cos(α)=-cos(180+α) Prof. Gabriel Cremona Parma
Prof. Gabriel Cremona Parma = = = á í. = = = á í. = TA= = Raio do círculo trigonométrico sempre o raio unitário (igual á uma unidade). X X X tan(x) Simulação online das Funções Trigonométricas: http://alexsanderam.brinkster.net/geogebra/.html
Leia maisEstudando Números Complexos com Applets
DIRETORIA DE PESQUISA E PÓS-GRADUAÇÃO/GERÊNCIA DE PESQUISA PROJETO: TECNOLOGIAS DE INFORMAÇÃO E COMUNICAÇÃO NO PROCESSO DE ENSINO E APRENDIZAGEM DE MATEMÁTICA Estudando Números Complexos com Applets Débora
Leia maisa) Triângulo retângulo: É o triângulo que possui um ângulo reto (90 ).
Geometria Analítica Módulo 1 Revisão de funções trigonométricas, Vetores: Definições e aplicações Módulo, direção e sentido. Igualdades entre vetores 1. Revisão de funções trigonométricas a) Triângulo
Leia maisTRIGONOMETRIA. Ponto Móvel sobre uma curva
TRIGONOMETRIA A palavra Trigonometria é formada por três radicais gregos: tri (três), gonos (ângulos) e metron (medir). Daí vem seu significado mais amplo: Medida dos Triângulos, assim através do estudo
Leia maisO conhecimento é a nossa propaganda.
Lista de Exercícios 1 Trigonometria Gabaritos Comentados dos Questionários 01) (UFSCAR 2002) O valor de x, 0 x π/2, tal que 4.(1 sen 2 x).(sec 2 x 1) = 3 é: a) π/2. b) π/3. c) π/4. d) π/6. e) 0. 4.(1 sen
Leia mais