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1 III TRIGONOMETRIA Por que aprender Funçõe unções Trigonométricas?... É importante saber sobre Funções Trigonométricas, pois estes conhecimentos vão além da matemática. Você encontra a utilidade das funções seno, cosseno e tangente na eletricidade, na acústica e na música, por eemplo. Onde usar os conhecimentos os sobre Funçõe unções Trigonométricas?... Dedilhar as cordas de um violão nada mais é do que fazer vibrar as cordas, pressionando o ar e gerando as ondas sonoras, as quais podem ser bem traduzidas nos gráficos das funções trigonométricas, por eemplo. 168

2 Capítulo 1 INTRODUÇÃO À TRIGONOMETRIA Trigonometria é o ramo da Matemática que vem do (grego trigono = triangular e metria = medida). Ela estabelece relações entre medidas de ângulos e segmentos. Seu objetivo é o cálculo das medidas dos lados de um triângulo ou de seus ângulos. Na atualidade, a trigonometria não se limita ao estudo de triângulos. Estendese a outros ramos como Eletricidade, Engenharia, Acústica, Astronomia etc. Há problemas que envolvem aplicações das razões trigonométricas, como, por eemplo: 169

3 Determine o comprimento da sombra projetada por uma torre com 0 m de largura, sob ângulo de elevação do sol de 60º. 0 60º 0 0 tg 60º = = = 0 0 = = 0 m Portanto, o comprimento da X sombra projetada é 0 m. Razões Trigonométricas no Triângulo Retângulo Considerando o triângulo retângulo da figura: C cateto b C hipotenusa a c B A cateto B a c sen B = sen C = b a c b cos B = cos C = a a b c tg B = tg C = c b Seno de um ângulo agudo é a razão entre a medida do cateto oposto a esse ângulo e a medida da hipotenusa. Cosseno de um ângulo é a razão entre a medida do cateto adjacente a esse ângulo e a medida da hipotenusa. 170

4 Tangente de um ângulo é a razão do cateto oposto a esse ângulo e a medida do cateto adjacente. Eemplos: No triângulo ABC, determine o seno, o cosseno e a tangente dos ângulos agudos. a) 8 C A C 6 10 B B b) B 8 6 sen B = = sen C = = cos B = = cos C = = tg B = = tg C = = 6 8 a B C C A Nesse caso, devemos calcular a medida a da hipotenusa aplicando o teorema de Pitágoras. Podemos estabelecer relações entre as medidas dos ângulos e as medidas dos lados de um triângulo. Assim, podemos aplicar a trigonometria na construção de viadutos e pontes, na navegação, no levantamento topográfico de terrenos etc. 171

5 Lembrando: Teorema de Pitágoras define-se como o quadrado da hipotenusa é igual à soma dos quadrados das medidas dos catetos. a = b + c a = + a = a = 5 a = 5 sen B = sen C = 5 5 cos B = cos C = 5 5 tg B = tg C = c) A 1 B B 5 C C seno B = = seno C = = cos B = = cos C = = tg B = tg C = = 1 17

6 Valores Notáveis Manual de Matemática Há alguns ângulos que merecem importância maior, por isso são chamados ângulos notáveis (0º, 5º e 60º). Assim, podemos construir a seguinte tabela: Eemplos: 1) Com auílio da tabela, calcule o valor de nos triângulos retângulos abaio: a) sen 60º = = = = = 60º = b) 5º 8 8 tg 5º = 8 1= = 8 17

7 c) cos 0º = 0º = = 8 8 = 8 = ) Sabendo que o cateto e a hipotenusa de um triângulo retângulo medem n e n, respectivamente, calcule a tangente do ângulo oposto ao menor lado. Aplicando o teorema de Pitágoras, temos: C (n) = n + AB n n ( AB) ( AB) ( AB) ( ) ( ) 9n = n + AB = 8n A B = n O menor cateto é AC. n tg B 1 = tg B = = n ) Sendo DC = cm, determine AB : A = 8n h 17 B 0º 60º D cm C

8 No triângulo ACD, temos: h tg 60º = h = h = cm No triângulo ABD, temos: h sen 0º = AB 1 = AB = 8 cm AB Obs.: Se o ângulo não for notável, devemos consultar a tabela com valores do seno, cosseno e tangente dos ângulos agudos epressos em graus. Eemplo: Com auílio da tabela, calcule o valor de nos triângulos retângulos abaio. a) 5 50º sen 50º = 5 0,766 = 5 = 5 0,766 =,8 b) cos = cos = 0,75 1º 175

9 Tabela de Razões Trigonométricas de Ângulos Agudos Graus Sen Cos Tg Cotg 1º 0,0175 0,9998 0, ,900 89º º 0,09 0,999 0,09 8,66 88º º 0,05 0,9986 0,05 19, º º 0,0698 0,9976 0,0699 1,007 86º 5º 0,087 0,996 0, ,01 85º 6º 0,105 0,995 0,1051 9,51 8º 7º 0,119 0,995 0,18 8,1 8º 8º 0,19 0,990 0,105 7,115 8º 9º 0,156 0,9877 0,158 6,17 81º 10º 0,176 0,988 0,176 5,671 80º 11º 0,1908 0,9816 0,19 5,15 79º 1º 0,097 0,9781 0,16,706 78º 1º 0,50 0,97 0,09,1 77º 1º 0,19 0,970 0,9, º 15º 0,588 0,9659 0,679,70 75º 16º 0,756 0,961 0,867,87 7º 17º 0,9 0,956 0,057,708 7º 18º 0,090 0,9511 0,9,0776 7º 19º 0,56 0,955 0,,90 71º 0º 0,0 0,997 0,60,77 70º 1º 0,58 0,96 0,89, º º 0,76 0,97 0,00,750 68º º 0,907 0,905 0,5,558 67º º 0,067 0,915 0,5,60 66º 5º 0,6 0,906 0,66,15 65º 6º 0,8 0,8988 0,877,050 6º 7º 0,50 0,8910 0,5095 1,966 6º 8º 0,695 0,889 0,517 1,8807 6º 9º 0,88 0,876 0,55 1,805 61º 0º 0,5000 0,8660 0,577 1,70 60º Cos Sen Cotg Tg Graus 176

10 Graus Sen Cos Tg Cotg 1º 0,5150 0,857 0,6009 1,66 59º º 0,599 0,880 0,69 1,600 58º º 0,56 0,887 0,69 1,598 57º º 0,559 0,890 0,675 1,85 56º 5º 0,576 0,819 0,700 1,81 55º 6º 0,5878 0,8090 0,765 1,76 5º 7º 0,6018 0,7986 0,756 1,70 5º 8º 0,6157 0,7880 0,781 1,799 5º 9º 0,69 0,7771 0,8098 1,9 51º 0º 0,68 0,7660 0,891 1, º 1º 0,6561 0,757 0,869 1,150 9º º 0,6691 0,71 0,900 1,1106 8º º 0,680 0,71 0,95 1,07 7º º 0,697 0,719 0,9657 1,055 6º 5º 0,7071 0,7071 1,0000 1,0000 5º Cos Sen Cotg Tg Graus USANDO A TRIGONOMETRIA NO TRABALHO Na construção do telhado de uma casa, os pedreiros costumam usar a linguagem caimento do telhado. Imagine uma casa com um telhado com 0% de inclinação. Dizemos que a tangente do ângulo que as telhas fazem com a horizontal é 0,. O triângulo formado pode ser medido por meio das relações trigonométricas. 177

11 Relações Trigonométricas num Triângulo Qualquer Considere o triângulo abaio: C b a A c B Em todo triângulo, as medidas dos seus lados são proporcionais aos senos dos lados opostos. Com a definição acima, obtemos a lei dos senos, em que: a b c r sen A = sen B = sen C = Eemplos: 1) No triângulo abaio, calcule BC : C A 0º 5º a B a = sen 0º sen 5º a = a = 1 a= a= ) Num triângulo ABC, BC =, AC = y, Â = 60º e B = 0º, calcule e y, onde + y =. 178

12 A y 60º C y = sen 60º sen 0º y 1 y = = = y 1 0º B Substituindo = y em + y =, temos: + y = y+ y= y( + 1) = 1 ( 1) y= y= ( ) 1 ( 1) y= ou Lei dos Cossenos Em todo triângulo, o quadrado de qualquer um dos lados é igual à soma dos quadrados das medidas dos outros dois, subtraído do dobro do produto das medidas desses dois lados pelo cosseno do ângulo correspondente. a = b + c ^ bc. cos A b = a + c ac. cos B c = a + b ab. cos C 179

13 Eemplos: 1) Determine a medida do lado AC do triângulo. c = A b b a c ac cosb = + 1 b = B 60º a = 9 C b = + = b 6 b= 7 ) Num triângulo ABC, tem-se AB = cm, AC = 5 cm e B =A B C. Se BC = cm, calcule cos Â. A A cm 5 cm B C B cm a = b + c bc cos A = cos A 16 = cos A 0cos A = 5 C 5 5 cos A = cos A = 0 8 Área de um Triângulo A c b B a C 180

14 A área de um triângulo qualquer pode ser definida por: a b sen C a c sen B b c sen A A = ou A = ou A = Eemplo: Determine a área do triângulo ABC. B c = cm 60º A a = 6 cm C a csenb A = 6 A = A = 6 cm Trigonometria na Circunferência Arcos de Circunferência Define-se arco de circunferência AB como cada parte em que a circunferência fica dividida. Indicação: AB B ( A A B A e B são etremidades e determinam dois arcos. A e B coincidem, determinando um arco nulo e outro de uma volta. Ângulo Central É o ângulo cujo vértice coincide com o centro da circunferência, e os lados são raios dessa circunferência. 181

15 r B 0 ( Observe que a medida de um arco de circunferência é igual à medida do ângulo central correspondente: m( AB ) = m(a O B) Unidade de Medida de Arcos Grau ( º ) 1 Define-se grau como o arco unitário que corresponde a da circunfe- 60 rência. O comprimento de uma circunferência em graus é 60º. Submúltiplos do grau são: o minuto ( ) e o segundo ( ), onde há a seguinte correspondência. 1º = 60 1 = 60 1º = 600 Radiano (rad) Radiano é um arco unitário, que corresponde à medida do raio da circunferência. A medida em radianos de uma circunferência completa equivale a rad. Grado (gr) Cada arco unitário que corresponde a 1 da circunferência definimos 00 como grado. Relação entre as unidades. r A 18

16 Conversão de Unidades Manual de Matemática A conversão de unidades pode ser por meio de uma regra de três simples. 60º rad ou 180º rad Eemplos: a) Epresse 10º em radianos. Usando a relação: 180º rad 10º 180 = = 180 = rad b) Converta rad em graus. 180º rad rad = 180º 180º = = 15º Podemos converter radianos em graus usando uma regra prática. Assim: 180º rad = = 15º 18

17 Comprimento de um Arco Considere a circunferência da figura. Definimos comprimento de um arco a seguinte relação: A O r α l α= l ou l = α. r r α é medido em radianos. B Por eemplo, se o ângulo central A O B, determine numa circunferência de r = cm um arco AB de medida l = 6 cm, então a medida de A O B será 6 α= α= 1,5 rad. ( Qual a medida do raio de uma circunferência cujo arco mede rad e o seu comprimento,,15 cm? l = α. r Lembrete: rad =,1,15 =,1 r,1 r =,15,15 r =,1 r = 1, cm Calcule o menor ângulo formado pelos ponteiros de um relógio quando marca:

18 Relacionando: minutos graus α 60 0 = 15 α 0 15 α= α= 7,5 α= 7º 0' 60 θ =10º α θ = 10º 7º 0 θ= 11º 0 Ciclo Trigonométrico Manual de Matemática Considerando um plano cartesiano, representamos nele um círculo com centro na origem dos eios e raios 1. Dividimos o ciclo trigonométrico em quatro arcos, obtendo quatro quadrantes. y + º quadrante 1º quadrante º quadrante º quadrante r = 1 A (1, 0) 185

19 Dessa forma, obtemos as relações: Em graus: 90º Em radianos: 180º 0 = 60º 0 = 70º Epressão Geral dos Arcos Quando medidos em graus, a epressão é obtida por: α = α º. k, sendo que k α 0 é denominada 1ª determinação positiva (0 α 0 60º) k é o número de voltas. 186 Quando medidos em radianos, a epressão geral dos arcos é obtida por: α = α 0 + k k Eemplos: Determine a 1ª determinação positiva e dê a epressão geral dos arcos: a) 160º 160º 60º 190º 160º = 190º + 60º numeros número de de voltas completas 190º é a primeira determinação positiva.

20 b) 60º 60º 60º 00º 6 Para obter a 1ª determinação positiva, devemos fazer 60º 00º = 160º A primeira determinação positiva é 160º e a epressão geral é α = 160º + k. 60º c) 1 rad Devemos dividir 1 rad por = = + = = 1+ = é a primeira determinação positiva e a epressão geral é 5 α= + k. Arcos Côngruos São aqueles que possuem a mesma origem e a mesma etremidade, em que a diferença entre eles é um múltiplo de 60º (ou rad). Eemplos: a) 180º e 0º são côngruos, pois 180º 0º = 1800º = 5. 60º b) 1 são côngruos, pois rad e rad rad rad = rad = rad = rad

21 Eercício Resolvido Determine em quais quadrantes estão os seguintes arcos: a) 6º Para verificarmos em que quadrante os arcos se encontram, devemos determinar a 1ª determinação positiva. 6º está no primeiro quadrante, pois 0º < 6º < 90º. b) 160º 60º 190º 190º está no º quadrante, pois 180º < 190º < 70º. c) 0º 0º está na primeira volta negativa, então 0º + 60º = 10º 10º está no º quadrante, pois 90º < 10º < 180º. d) rad Devemos converter rad em graus.. 180º = 0º 0º está no º quadrante, pois 180º < 0º < 70º. Razões Trigonométricas na Circunferência Função Seno Marcamos um ponto B, no qual determinamos um arco AB, cuja medida é um número real a. O seno desse arco é definido como o valor da ordenada do ponto B. ( N sen 0 eio dos senos B a A sen =ON 188

22 Variação de sinal da função seno Manual de Matemática + + O seno será positivo no 1º e º quadrantes e negativo no º e º quadrantes. Domínio da função seno O domínio da função seno é o conjunto dos números reais. D = Imagem Im = [ 1, 1] ou 1 sen 1 Período O valor do seno se repete a cada volta, sendo uma função periódica. Seu período é rad ou P = Valores importantes: 189

23 Gráfico y O gráfico da função seno é chamado de senóide. O MEIO AMBIENTE AGRADECE!!! O cálculo é fundamental em todos os aspectos da Matemática, como, por eemplo, para que as funções trigonométricas sejam realizadas. Também é necessário o uso do cálculo para que haja uma relação equilibrada entre o meio ambiente e o homem. A vida pode ser melhorada se calcularmos precisamente as mudanças causadas na natureza. É necessário pensar na sustentabilidade das atividades humanas, para alcançarmos a melhoria da qualidade de vida para as atuais e futuras gerações. Calcular a preservação do meio ambiente é uma forma de eercer a cidadania. Qualquer ato incalculado dos seres humanos contra a natureza terá refleo na própria vida das pessoas. Eemplos: Construa o gráfico das seguintes funções, dando o domínio, a imagem e o período. 190

24 a) y = sen Construindo a tabela, temos: y 0 Em que: D = Im = [, ] P = b) y = sen 191

25 y Em que: D = Im = [ 1, 1] P = c) y= sen + y Em que: D = Im = [0, 1] P =

26 De uma maneira prática, o período é determinado por P =, em que k é k coeficiente de. Eemplos: Para y = sen, k = 1, portanto P= = 1 Para y = sen, k =, portanto P = = Determine o domínio da função: y= sen Para que a função eista, temos: sen Na reta real: D= / 19

27 Determine m para que eista sen = m. 1 sen 1 1 m 1 m 1 m S = {m / 1 m } Função Cosseno É a abscissa da etremidade do ponto B no ciclo trigonométrico. Variação de sinal da função cosseno y + + O cosseno é positivo no 1º e º quadrantes e negativo no º e º quadrantes. 19

28 Domínio da função cosseno O domínio da função cosseno é o conjunto dos números reais. Imagem Im = [ 1,1] ou 1 cos 1. Período Como na função seno, o período da função cosseno é P =. k Valores Notáveis Gráfico 1 y

29 O gráfico da função cosseno é chamado cossenóide. Representação dos valores notáveis no círculo trigonométrico: y Eemplos: 1) y = cos = y Em que: D = Im = [, ] P = 0 196

30 ) Determine K para que satisfaça a igualdade cos = k 1 1 k k 0 k S= k /0 k Função Tangente O eio das tangentes é a reta t, paralela ao eio y, traçada pelo ponto M. y t P T tg M tg =MT sen Relacionando: tg =. cos Domínio da função tangente D= / + k,k Imagem Im = ], + [ ou Im = Período O período da função tangente é P = 197

31 Variação do sinal da função tangente y + + A tangente é positiva no 1º e º quadrantes e negativa no º e º quadrantes. Valores Notáveis Gráfico 198

32 O gráfico da função tangente é chamado tangentóide. Representação dos valores notáveis no ciclo trigonométrico: y Eemplos: 1) Determine os domínios das funções: a) y = tg A condição que devemos impor para obter o domínio é + k, então: + k k + k Logo: D = / + 199

33 b) y= tg k + k + k 6 k + 18 K Logo: D= / + 18 ) Determine o período da função y = tg. As funções da forma y = tg k têm período P =. k Assim temos: k= P= Cotangente de um Ângulo cateto adjacente Podemos relacionar cotg = cateto oposto No ciclo trigonométrico, o eio das cotangentes é o eio paralelo ao eio das abscissas e perpendicular ao eio das ordenadas pelo ponto A. y A T 00

34 Variação do sinal da função cotangente No 1º e º quadrantes, a cotg tem sinal positivo. No º e º quadrantes, a cotg tem sinal negativo. y + + Valores notáveis Podemos definir cotangente sendo o inverso da tangente, cos ou cotg = sendo sen 0. sen D={ / +k} Im = P = Eemplo: Dê o valor de: cos 5º a) cotg 5º = = = 1 sen 5º 1 cotg = tg 0 cos 0 0 sen b) cotg 0 = = = = c) cotg 0º = não é definida 01

35 Função Secante Definimos secante de como a abscissa OA do ponto A. y 0 A eio dos cossenos Variação do sinal da função secante A variação de sinal é a mesma da função cosseno. No 1º e º quadrantes, a secante tem sinal positivo. No º e º quadrantes, a secante tem sinal negativo. y + + Valores notáveis sec 1 A função secante é o inverso do cosseno: sec = e + k, cos com k. Im = {y / y 1 ou y 1} P= 0

36 Eemplo: Determine: 1 1 a) sec 60º = = = cos 60º b) sec 90º = = a função não se define para = 90º ou = 70º cos 90º 0 Função Cossecante Definimos cossecante de como a ordenada OB do ponto B. B eio dos senos O B Variação do sinal da função cossecante A variação do sinal é a mesma da função seno. No 1º e º quadrantes, a cossecante tem sinal positivo. No º e º quadrantes, a cossecante tem sinal negativo. y + + 0

37 Valores notáveis A função cossecante é o inverso da função seno: cossen que k, com k. Im = {y / y 1 ou y 1} P= 1 =, em sen Eemplo: Determine cossec 60º. 1 1 cossec 60º = = = = sen 60º Relações Trigonométricas Relação Fundamental Considerando o ciclo trigonométrico, temos: eio do seno sen 1 cos eio do cosseno 0

38 Aplicando o teorema de Pitágoras: Manual de Matemática Então: 1 cos sen sen + cos = 1 sen + cos = 1 Outras Relações Fundamentais sen tg = cos cos 1 cotg = ou cotg = sen tg 1 sec = cos 1 cossec = sen Relações Trigonométricas Derivadas sec = 1 + tg 1 + cotg = cossec ou cossec = 1 + cotg Eemplos: 1) Determine o valor da epressão: sec cos cotg 6 05

39 Temos: 1 1 sec = = = = 6 cos 6 cos= cotg = = = tg 06 Substituindo na epressão: 6 ( 1) = = 9 1 ) Sabendo que sen = e que 0< <, calcule as demais funções trigonométricas. Aplicando a relação fundamental: sen + cos = cos = 1 1 cos = 1 cos = cos =± Como cos ao 1º quadrante, ele será positivo. 1 sen 1 1 tg = = = = = cos

40 cos cotg = = = = sen 1 1 sec = = = 1 cossec = = 1 Manual de Matemática ) Para que valores de y temos, simultaneamente, sen = y e cos = y + 1? Substituindo os valores na relação fundamental: sen + cos = 1 y + (y+1) = 1 y + y + y + 1 = 1 y + y = 0 y (y + ) = 0 y = 0 ou y + = 0 y = y = 1 Portanto, y = 0 ou y = 1 ) Calcule sen e cos sabendo que: sen + cos = 1. Montando o sistema, temos: sen + cos = 1 sen + cos = 1 Isolando cos : cos = 1 sen 07

41 08 Substituindo na relação fundamental: sen + ( 1 sen ) = 1 sen sen + 9 sen = 1 10 sen + 6 sen = 0 sen (10 sen + 6) = 0 sen = 0 ou 10 sen + 6 =0 sen= 6 sen= 10 5 Como cos = 1 sen : cos = 1 ou cos = cos = 1+ cos = 1 5 cos = 5 Identidades Trigonométricas Por meio das funções trigonométricas, podemos demonstrar as identidades trigonométricas tornando-as verdadeiras. Para provar que uma identidade trigonométrica é verdadeira, procuramos trabalhar com um membro até chegarmos ao outro membro. Eemplos: Prove a eistência das identidades trigonométricas: a) (1 sen ). (1 + cotg ) = cotg Substituindo (1 sen ) por cos e 1 + cotg por cossec, temos: cos (cossec ) = cotg 1 cos = cotg sen cos = cotg sen

42 b) tg + cotg = sec. cossec sen cos = cos sen cos sen sen + cos 1 = sen cos sen cos Como sen + cos = = sen cos sen cos Portanto, a igualdade é verdadeira. c) tg. sen + cos = sec sen sen + cos = sec cos sen + cos = sec cos sen + cos = sec cos 1 = sec cos Redução do º Quadrante ao 1º Quadrante Manual de Matemática Se dois ângulos a + b =, eles são chamados ângulos suplementares. Nesse caso faremos a redução do º quadrante para o 1º quadrante, pois são arcos suplementares. Então: sen ( ) = sen cos ( ) = cos tg ( ) = tg cotg = cotg ( ) sec = sec ( ) cossec = cossec ( ) 09

43 Redução do º Quadrante para o 1º Quadrante sen ( + ) = sen cos ( + ) = cos tg ( + ) = tg cotg = cotg ( ) sec = sec ( ) cossec = cossec ( ) Redução do º Quadrante para o 1º Quadrante Arcos Complementares sen ( ) = sen cos ( ) = cos tg ( ) = tg cotg = cotg ( ) sec = sec ( ) cossec = cossec ( ) Se a+ b=, são chamados arcos complementares em que e são complementares. Temos: sen = cos cos = sen tg = cotg Eemplos: 1) Calcule o valor da epressão, reduzindo ao 1º quadrante: 1 sen 150º = sen(180º 150º) = sen 0º = 10

44 ) Reduza do º quadrante para o 1º quadrante sec ( ) 1 1 sec ( ) = sec cos ( ) = cos = ) Reduza 0º para um arco do 1º quadrante. Fazemos 60º 0º = 0º. Assim, temos: sen 0º = sen 0º cotg 0º = cotg 0º cos 0º = cos 0º sec 0º = sec 0º tg 0º = tg 0º cossec 0º = cossec 0º ) Simplifique a epressão: y = cos cotg sen( ) cos = sen cotg = tg sen = sen ( ) Substituindo na epressão, temos: y = sen. tg. ( sen ) y = sen. tg Transformações Trigonométricas Adição e Subtração de Arcos Dados dois arcos a e b, aplique as seguintes identidades: sen (a + b) = sen a. cos b + sen b. cos a sen (a b) = sen a. cos b sen b. cos a cos (a + b) = cos a. cos b sen a. sen b 11

45 cos (a b) = cos a. cos b + sen a. sen b tg a + tg b tg(a + b) = 1 tga tgb tg a tg b tg(a b) = 1 + tga tgb cotg a cotg b 1 cotg(a + b) = cotg a + cotg b cotg a cotg b + 1 cotg(a b) = cotg b cotg a Eemplos: 1) Calcule: a) sen 75º sen (0º + 5º) = sen 0º. cos 5º + sen 5º. cos 0º 1 sen (0º + 5º) = + 6 sen (0º + 5º) = sen (0º + 5º) = b) cos 15º cos (5º 0º) = cos 5º. cos 0º + sen 5º. sen 0º 1 cos (5º 0º) = + 6 cos (5º 0º) = + 6+ cos (5º 0º) = 1

46 c) Manual de Matemática tg + tg + tg tg + = 1 tg tg 1+ tg + = 1 1 ( 1+ ) ( 1+ ) ( 1+ ) ( ) tg + = = = ) Sabendo que sen =, 0 < <, calcule cos + 5. Aplicando a relação fundamental: sen + cos = 1 + cos = = cos = 5 cos = 5 cos cos + = cos cos sen sen 1

47 cos + = 5 5 cos + = cos + = 10 Arco Duplo As fórmulas do arco duplo decorrem das fórmulas de adição de arcos. sen a =. sen a cos a cos a = cos a sen a ou cos a = cos a 1 ou cos a = 1 sen a tga tg a = 1 tg a Eemplos: 1) Determine sen a, cos a e tg a, sabendo que cos a = e 0< a<. sen a + cos a = 1 sen a + = 1 9 = sen a 1 16 sen a 7 = 16 7 sen a = 7 7 cos a = sen a = sen a = =

48 9 7 cos a = sen a = = tg a = tg a = = tg a = tg a = = tg a = 7 9 = 7 ) Simplifique a epressão: y = sen a + cos a y = sen a + (cos a sen a) y = sen a + cos a sen a y = cos a Arco Metade A partir das funções trigonométricas do arco que mede a, podemos calcular sen a, cos a e tg a. a 1 cos a sen =± a 1+ cos a cos =± tg a 1 cos a =± 1 + cos a 15

49 Eemplos: 1 1) Dado cos a =, 0 < a <, calcule sen a, cos a e tg a. 1 1 a 1 a 1+ sen = cos = 1 a a sen = cos = a 1 1 a sen = = cos = = 1 1 a tg = a 1 tg = a 1 tg = = ) Dado cos 5º =, calcule sen º0. 5º 1 cos 5º sen = sen º0' = 1 16

50 1 sen º0' = sen º0' = = Transformação em Produto Sendo p e q, podemos obter: Eemplos: p+ q p q sen p + sen q = sen cos p q p+ q sen p sen q = sen cos p+ q p q cos p + cos q = cos cos p+ q p q cos p cos q = sen sen 1) Transforme em produto cos 70º + cos 0º. 70º + 0º 70º 0º cos 70º + cos 0º = cos cos 90º 50º cos 70º + cos 0º = cos cos cos 70º + cos 0º = cos5º cos5º cos70º + cos0º = cos5º cos70º + cos0º = cos5º 17

51 ) Fatore a epressão: sen sen + sen sen = sen cos 6 sen sen = sen cos sen sen = sen. cos sen + sen ) (FGV) A epressão cos cos equivale a: a) cotg c) cotg e) n.d.a. b) tg d) tg + sen + sen = sen cos 6 sen + sen = sen cos sen + sen = sen cos + cos cos = sen sen 6 cos cos = sen sen cos cos = sen sen Substituindo, temos: sen + sen = cos cos sen cos cos = = cotg sen sen sen Resposta: c 18

52 Equações Trigonométricas Toda equação que apresenta uma função trigonométrica com arco desconhecido é chamada de equação trigonométrica. Eemplos: 1 a) cos = c) tg = 1 b) sen = sen 5º 1º Tipo sen = a ou cos = a ou tg = a Eemplos: a) sen = sen = sen 5º = 5º Como f() = sen é positivo no primeiro e segundo quadrantes, temos: y 5º Logo, a equação tem solução igual a: /= + k ou = + k Epressão geral: sen = sen a S = { = a + k ou = ( a) + k} 19

53 b) 1 cos = y cos = cos 60º = 60º S= /=± + k 60º 60º Epressão geral: cos = cos a S = { = ± a + k} c) tg = tg = tg A tangente é negativa = ou no º e º quadrantes. = = 5 tg = tg tg = 5 = = 5 = Representando no ciclo trigonométrico, as duas soluções podem ser epressas: 10º ou y = + k 60º 60º 00º ou 5 0

54 Logo: S= / =, k Epressão geral: tg = tg a S = { = a + k} Equações Redutíveis ao º Grau Eemplo: Resolva a equação sen + cos 1 = 0 Partindo da relação fundamental: sen + cos = 1 ou sen = 1 cos Substituindo na equação dada: sen + cos 1 = 0 (1 cos ) + cos 1 = 0 1 cos + cos 1 = 0 cos cos = 0 cos (cos 1) = 0 cos = 0 ou cos 1 = 0 cos = 1 cos = 0 + k ou cos = 1 = k Solução S= /= + k ou = k Equações Redutíveis a um Sistema de Equações Dada a equação sen + cos = 1. Sabemos que sen + cos = 1. Podemos formar o seguinte sistema: sen + cos = 1 (equação dada) sen + cos = 1 (relação fundamental) 1

55 Isolando sen = 1 cos na 1ª equação e substituindo na ª equação: sen + cos = 1 (1 cos ) + cos = 1 1 cos + cos + cos = 1 cos cos = 0 cos ( cos ) = 0 cos = 0 ou cos = 0 cos = cos = 1 Então, para: cos = 0 sen = 1 cos = 1 sen = 0 S= /= + k ou = k Equação Transformada em Produto Para resolvermos esse tipo de equação nos baseamos na transformação de uma adição ou subtração de funções trigonométricas em um produto. Eemplo: Resolva a equação: cos + cos 7 cos 5 = 0 Transformando cos + cos 7 em produto, temos: cos + cos7 = cos cos cos 7 + cos = cos 5. cos Substituindo na equação: cos 5. cos cos 5 = 0 Colocando cos 5 em evidência: cos 5( cos 1) = 0 cos 5 = 0 ou cos 1 = 0 5 = k cos = 1 k 1 = cos= 5

56 5 cos = cos ou cos = cos 5 = = 5 = = 6 6 k 5 S= / = ou = + k ou = + k Inequações Trigonométricas Inequações trigonométricas relacionam funções trigonométricas por meio de uma desigualdade. Eemplos: Resolva as inequações: a) sen y = ou sen = = b) S= / < < 1 cos > = 1 cos = 5 = ou 5 S= /0 < ou <, k y 1 5

57 c) cos > 5 = 6 cos = 7 = 6 ou 5 7 S= /0 < ou < y d) tg 1 = tg = 5 = ou 5 S= / ou EXERCÍCIOS PROPOSTOS 1) Calcule sen, cos e tg em cada um dos triângulos abaio: 5 y t a) 1 c) 1 1 b)

58 ) Um avião está a 00 m de altura quando vê a cabeceira da pista sob um ângulo com declive de 0º. A que distância o avião está da cabeceira da pista? ) A que altura de uma parede uma escada de 1 m se apóia, se a escada e a parede formam um ângulo de 0º? ) Calcule Â, dados os lados de um triângulo qualquer a = 8, b = 8 e c= 8. 5) Calcule a área do triângulo ABC, sabendo que a = cm, b = cm e C = 5º. 6) (FGV-SP) A área do triângulo da figura é: a) 18 b) 9 6 c) 10 d) 6 0º e) 0 1 7) Em um triângulo ABC, AB =, BC = 5 e B = 60º. Determine o lado AC. 8) Um dos ângulos internos de um paralelogramo de lados 6 e 8 mede 10º. Calcule a maior diagonal. 9) (FAAP-SP) A seguir está representado um esquema de uma sala de cinema, com piso horizontal. Qual deve ser a medida de AT para que um espectador sentado a 15 m da tela, com os olhos 1, m acima do piso, veja o ponto mais alto da tela, T, a 0º da horizontal? T Dados : = 1,1 e = 1,7 0º B 1, m A 15 m 5

59 10) Considerando o triângulo da figura, calcule AB. A 5º B 11) Calcule nos triângulos retângulos a seguir: a) b) C 0º 60º 5 0º 1) (UNICAMP-SP) A água utilizada na casa de um sítio é captada e bombeada do rio para uma caia d água a 50 m de distância. A casa está a 80 m de distância da caia d água e o ângulo formado pelas direções caia d água bomba e caia d água casa é 60º. Se a idéia é bombear água do mesmo ponto de captação até a casa, quantos metros de encanamento serão necessários? 1) Converta em radianos: a) 90º c) 00º e) 0º b) 10º d) 10º f) º 1) Determine o menor ângulo formado pelos ponteiros de um relógio: a) 1h 15min b) 16h 0min 15) Converta em graus: a) rad 10 b) 7 rad c) rad d) 5 rad e) 5 rad 6 f) rad 8 6

60 16) Determine em radianos a medida de um arco de circunferência cujo comprimento mede 0 m e o diâmetro dessa circunferência, 0 m. 17) (FUVEST) Um arco de circunferência mede 00º e seu comprimento é km. Qual o número inteiro mais próimo da medida do raio, em metros? a) 157 c) 8 e) 76 b) 8 d) 68 18) Considerando a figura, preencha a tabela abaio com valores de r e l (dados em cm) e α (em graus ou radianos). l 0 α l r 19) As rodas de um automóvel tem 80 cm de diâmetro. Determine o número de voltas efetuadas pelas rodas quando o automóvel percorre 16,8 km. Adote =,1 0) Numa circunferência de raio 15 cm, um arco mede 0º. Qual é o comprimento desse arco? 1) Determine o quadrante onde estão situadas as etremidades dos seguintes arcos: 1 11 a) 50º b) rad c) 00º d) rad 5 ) Identifique em cada caso se os arcos são côngruos: a) 160º e 90º c) 5 rad e 19 rad 6 6 b) 16 rad e rad 7

61 ) Calcule a 1ª determinação positiva e escreva a epressão geral dos arcos: a).190º b) 11 c) 1 ) Determine k para que eista o arco que satisfaz as seguintes igualdades: k + a) sen = k c) sen = b) cos = k + k + 1 5) Determine a imagem e o período que representa cada uma das funções: a) y= cos b) y = + cos c) y = sen 6) Determine o domínio das funções: a) y= tg b) f() = sen 7) Indique o valor de: 5 a) sen c) tg e) sec 15º b) tg d) cossec 60º f) 1 sec 6 8) Simplifique as epressões: a) y= sen + cos c) cos sen b) y = cos0 tg + cos y = sen 8

62 9) Calcule: a) cos, sabendo que < < e tg = 1 1 b) sec, sabendo que sen = e < < 1 c) cotg, sabendo que cossec = e < < 5 d) sen, sabendo que cotg = 1 e < < 0) Calcule y: cos 1 y = +, sendo = sec + cos 1) Simplifique as seguintes epressões: sen sen( + ) a) sen cos ( ) ( ) 11 cos + sen b) ( ) ( ) ( ) ( ) sen tg + cos c) cos tg( ) Manual de Matemática sen + cotg cos ) (MACK-SP) Se =, então: é igual a: tg cossec + sec a) b) 0 c) 1 d) e) ) Sabendo que cos =, com < <, calcule as demais funções trigonométricas. 9

63 ) Dado sec = e 0< <, calcule: a) cos b) sen c) tg d) cotg e) cossec 5) Sendo sen = m + e cos = m +, determine o valor de m. 6) Calcule o valor de que verifica, simultaneamente, as igualdades sen a = + e cos a = ) Aplicando as fórmulas de adição e subtração de arcos, calcule o valor de: a) sen 105º b) sen 15º c) tg 15º d) tg 75º e) cos + 1 8) Sendo cos α=, sen β= e α e β do 1º quadrante, calcule: 5 1 a) sen (α + β) b) cos (α β) 9) Sabendo que tg (a + b). tg a = e sen b = com < b <, calcule 5 0) Sabendo que sen = e º quadrante, calcule: 5 a) cos b) sen 1 1) (FEI-SP) Se sen cos =, calcule sen. 5 ) Se sen = e < <, calcule: a) sen b) cos c) cotg ) Se cos a =, calcule: a a) sen b) a cos c) a tg 0

64 ) (FUVEST) Calcular y = (sen º0 + cos º0 ) Manual de Matemática ) (UC-PR) Sabendo que cos 6º =, então cos 7º vale: a) c) 5 1 e) 1 5 b) 5 1 d) 1 5 6) Transforme em produto: a) sen 80º sen 0º c) cos. cos b) sen 0º + sen 70º sen 10º + sen 50º d) cos 10º + cos 50º 7) (MACK) Fatore sen 68º + cos 8º. 8) Resolva as equações: a) sen = e) tg = 0 b) cos = f) sen + cos = c) cos = 0 d) sen = 1 g) cos 5 cos + 6 = 0 h) sen 5 sen + = 0 9) Resolva as inequações trigonométricas: a) sen 1 d) sen 1 1 b) cos e) sen + sen 1 > 0 c) tg > 1 f) tg tg > 0 1

65 Respostas 1) a) sen = 6 b) sen = 5 c) cos = cos = 5 tg = tg = sen = cos = tg = 1 ) 600 m ) 10,8 m ) 0º 5) cm 6) a 7) 19 8) 7 9) 9,86 m 10) 10 11) a) 16 b) = 0 1) a) rad b) rad 1) 70 m c) d) 5 rad 7 rad 6 e) 11 rad 6 f) rad 90 1) a) 8º 0 b) 100º 15) a) 18º c) 0º e) 150º b) 15º d) 5º f) º 0 16) rad 17) 8 (c) 18) r l α 1,0 0º 19, º 661, 18

66 19) ) 6,8 cm 1) a) º quadrante c) º quadrante b) º quadrante d) º quadrante ) a) sim b) sim c) não ) a) 50º e = 50º + k. 60º b) e = + k c) 5 e = 5 + k ) a) S= k /1 k c) S= k / k b) S = {k / k 0} 5) a) Im(y) = [ 1, 1] P = b) Im(y) = [, 1] P = c) Im(y) = [, ] P = k 6) a) D= / +, k b) D = { / k +k, k } 7) a) 1 c) não é definida e) b) 0 d) 8) a) b) 5 9) a) cos = b) 0) 8 8 c) 1 5 f) c) d) 1) a) 1 b) cos c) cos

67 ) d 6 ) sen =,tg=,cotg =,sec=, 6 cossec = ) a) 1 c) e) b) d) 5) 6) = 1 7) a) 6+ b) 6 c) d) + e) 8) a) ) 1) 17 5 ) a) ± b) 6 b) ) a) 7 5 b) 5 ) a) 1 b) 0 c) ± c) ± ( ) + ) 5) b 6) a) sen 0º. cos 60º c) b) sen 55º cos 15º d) cos 5 + cos

68 7) cos 8º 8) a) S= = + k, ou = + k, k 8 8 b) S= =± + k, k k c) S= = d) S= /= + k, com k 8 k e) S= = +, com k 6 f) S= = k ou = + k, com k g) S = 5 h) S= = + k ou = + k 6 6 9) a) S = { / 0 } b) S= / + k + k c) S= / + k< < + k 7 11 d) S= /0 < ou e) S= / < < f) S= / < < ou < < 5

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