Funções Trigonométricas

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1 Funções Trigonométricas 1) Na figura abaixo, a área do triângulo ABC é 5 A C B (a) (15 3) / 4 (b) (15 3) / 2 (c) 15/2 (d) (15 2) / 4 (e) 15 / 4 2) Sabendo-se que tan(x) = - 4/3 e que x é um arco do 2 quadrante, o valor de cos(x) é (a) 4/5 (b) - 4/5 (c) - 3/5 (d) 5/3 (e) 3/5 3) Se é um ângulo compreendido estritamente entre /2 e radianos, é correto afirmar que (a) 2 é um ângulo do 4 quadrante (b) sen 2 0 (c) sen 2 0 (d) cos 0 (e) tan 2 0 4) Para K inteiro, seja o maior arco negativo da família de arcos cujas medidas algébricas são dadas por 2 /3 + 2k. O valor de cos ( ) é (a) - 2/2 (b) 1/2 (c) 3/2 (d) - 3/2 (e) -1/2 1

2 5) O conjunto solução em R da equação sen(2x) + 1 = 0 é (a) {3 /4 + k / K Z} (b) {3 /2 + 2k / K Z} (c) { /2 + 2k / K Z} (d) { /4 + k / K Z} (e) { /2 + k / K Z} 6) Se x [0, ], então y = 2sen 3 (x) + 1 pertence ao intervalo (a) [1, 3] (b) [0, 1] (c) [-1, 1] (d) [-1, 3] (e) [0, 3] 7) A relação entre y e x que melhor representa a curva da figura é y a (a) y = a sen(x) (b) y = 2 sen(ax) (c) y = a sen(2x) (d) y = a sen(x/2) (e) y = 2a sen(2x) /2 3 /2 2 x 8) A lei da função que melhor se adapta ao gráfico da figura é y 10 (a) y = 5 cos( x/10) + 10 (b) y = 10 cos( x/10) + 5 (c) y = 5 cos( x) (d) y = 10 sen( x/10 + /2) + 10 (e) y = 5 sen( x/10 + /2) x 2

3 9) A afirmação falsa é (a) Existe x tal que sen(x) = log(9,9) (b) Existe x tal que tan(x) = (c) sen(7 + 2k ) = sen(7), k Z (d) tan(2 + k ) = tan(2), k Z (e) sen(1) < sen(3) 10) (FUVEST) Quantos pontos de mínimo tem a função definida por f(x)=sen 2 (x) sen (x) + 1, no intervalo [0, ]? (a) 0 (b) 1 (c) 2 (d) 3 (e) 4 11) (UFGRS) Considere as afirmativas abaixo: I. tan 92 = - tan 88 II. tan 178 = tan 88 III. tan 268 = tan 88 IV. tan 272 = - tan 88 Quais estão corretas? (a) Apenas I e III. (b) Apenas III e IV. (c) Apenas I, II e IV. (d) Apenas I, III e IV. (e) Apenas II, III e IV. 12) (UFRGS) As soluções da desigualdade 2sen 2 (x) - sen (x) > 0, no intervalo [0,2 ], são os valores de x, tais que (a) x > /6 (b) /6< x <5 /6 (c) x < /6 ou x > 5 /6 (d) /6 < x < 5 /6 ou < x < 2 (e) 5 /6 < x < 2 3

4 13) (UFRGS) Analisando os gráficos das funções definidas por f(x)=2 -x e g(x)=sen(2x), representadas no mesmo sistema de coordenadas cartesianas, podemos afirmar que a equação 2 -x = sen(2x), para x [0, 12 ], possui (a) 2 raízes (b) 4 raízes (c) 6 raízes (d) 12 raízes (e) 24 raízes 14) (PUC) A equação ay 2 + by + c = 0 tem como solução y=1/2 ou y=1. Podemos, então, afirmar que o conjunto solução da equação a sen 2 (x) + b sen(x) + c = 0, com x [0 ; 2 ] (a) é vazio (b) é unitário. (c) possui exatamente 2 elementos. (d) possui exatamente 3 elementos. (e) possui exatamente 4 elementos. 15) (UFRGS) O número real cos(3) está entre (a) -1 e - 3/2 (b) - 3/2 e - 2/2 (c) - 2/2 e 0 (d) 0 e 2/2 (e) 2/2 e 1 16) O Gráfico mostra a quantidade de animais que uma certa área de pastagem pode sustentar ao longo de 12 meses. (a) 100 (b) 97 (c) 95 (d) 92 (e) 90 Propõe-se a função Q(t) = a sen(b+ct)+d para descrever essa situação. De acordo com os dados, Q(0) é igual a 4

5 17) Se f(x) = a + b sen(x) tem o gráfico abaixo, então (a) a=1 e b=-2 (b) a=-1 e b=2 (c) a=1 e b=-1 (d) a=2 e b=2 (e) a=-1 e b=-2 18) Suponha que o gráfico abaixo represente o movimento oscilatório da parte superior do braço de um corredor, tendo como ponto fixo o ombro. O gráfico representa a função y=f(x), em que x indica, em segundos, o tempo decorrido desde o início da observação, e y, o ângulo, em graus, entre a parte superior do braço e a posição vertical do corpo. Considera-se y > 0 quando o braço está à frente do corpo e y < 0 quando o braço está atrás. A função y = f(x) pode ser representada pela equação (a) y = sen x. (b) y = 30 sen x. (c) y = 30 sen (2 x). (d) y = 30 sen ( x) (e) y = 30 sen (2x) y x 5

6 19) (UFRGS) Na figura o círculo é unitário e BC é tangente ao círculo no ponto P. y C P B O A x Se o arco AP mede, BC vale (a) tan + cot (b) sen + cos (c) sec + csc (d) tan + sen (e) cot + cos 20) Se x (1,6;3) e csc(x)=3, então cos(x) é (a) 2 2 (b) 2 2 /3 (c) (d) (e)

7 Resolução 1) 5 A C B Vamos desenhar o triângulo em outra posição: h No triângulo retângulo à esquerda, sen( ) = h/5. 3/2 = h/5 h = 5 3/ b h A ) Vamos supor que x seja agudo. Então, tan(x) = 4/ a x( 3 Por Pitágoras, a=5. Logo, cos(x)=3/5. Como x está no segundo quadrante, cos(x)=-3/5. 3) Se /2< <, então 2( /2)< 2 < 2. < 2 < 2, ou seja, 2 está no terceiro ou quarto quadrante. No terceiro ou quarto quadrante o seno é negativo. Logo, sen(2 ) 0. 4) 2k representa k voltas completas. Logo, cos(2 /3 + 2k )=cos(2 /3)=cos(120 ). cos(120 ) = cos( ) = cos(-60 ) = cos(60 ) =1/2. Como 120 está no segundo quadrante, cos(120 )=-1/2. 5) sen(2x) + 1 = 0 sen(2x) = -1 2x = 3 /2 + 2k ( 2) x = 3 /4 + k 7

8 6) Se 0 x, então 0 sen(x) 1. Elevando ao cubo um número entre 0 e 1, o resultado também está entre 0 e 1: 0 sen 3 (x) sen 3 (x) sen 3 (x) sen 3 (x) sen 3 (x) ) A função do gráfico tem período. y a T=2 /b =2 /b b=2 Logo, a equação é y=a sen(2x). 2 x y a O gráfico ao lado tem equação é y= a sen(2x). /2 3 /2 2 x 8) O período da função é 20. T=2 /b 20 = 2 /b b= /10. A amplitude é a=5 e é deslocada d=5 unidades para cima. x Assim, poderá ser y 5cos( c) Como não há esta alternativa, poderá ser uma função seno deslocada 5 para a ( x 5) x 5 esquerda: y 5sen( ) 5 y 5sen( ) x 5 y 5sen( ) x 5 x y 5sen( ) 5 y 5sen( )

9 9) (a) é V: Observando a tabela abaixo, concluímos que log(9,9) está entre 0 e 1. x log(x) Desta forma, existe x tal que sen(x)=log(9,9). (b) é V: Como a imagem da função tangente é R, existe x tal que tan(x) seja qualquer valor real. (c) é V: 2k representa k voltas completas. Logo sen(7+2k ) = sen(7), k Z. (d) é V: k representa k meias-voltas. Como a tangente repete de meias em meia volta, tan(2 + k ) = tan(2), k Z (e) é F: Quando a unidade de ângulo é omitido, considera-se radianos. 1 rad 57 e 3 rad 171. sen(1) sen(3) Observa-se que sen(1) sen(3). 10) Vamos fazer sen(x)=t. Então, temos a nova função g(t)=t 2 t +1. b 1 1 O ponto de mínimo ocorre na abscissa do vértice t V. 2a Mas como sen(x)=t, temos sen(x)=1/ Em [0, ] há 2 valores para x tais sen(x)=1/2. 9

10 11) Vamos verificar se ocorrem as igualdades em módulo e em sinal. I. tan 92 = - tan 88 : Verdade. tan(92 ) = tan( ) = tan(-88 ) = tan(88 ). Como 92 pertence ao 2 quadrante, tan(92 ) é negativa. Como 88 pertence ao 1 quadrante, tan(88 ) é positiva. Logo, tan (92 ) = - tan (88 ). II. tan (178 ) = tan (88 ): Falso. 178 pertence ao 2 quadrante, logo tan(178 ) é negativa. 88 pertence ao 1 quadrante, logo tan(88 ) é positiva. Logo, não pedem ser iguais. III. tan (268 ) = tan (88 ): Verdade. tan(268 ) = tan( ) = tan(88 ). Como 268 pertence ao 3 quadrante, tan(268 ) é positiva. 88 pertence ao 1 quadrante, logo tan(88 ) é positiva. Logo, tan (268) = tan (88 ). IV. tan (272 ) = - tan (88 ): Verdade. tan(272 ) = tan( ) == tan(92 )= tan( )= tan(-88 ) = tan(88 ). Como 272 pertence ao 4 quadrante, tan(272 ) é negativa. 88 pertence ao 1 quadrante, logo tan(88 ) é positiva. Logo, tan (272) = -tan (88 ). 10

11 12) 2sen 2 (x) - sen (x) > 0 Seja sen(x)=t. Temos: 2t 2 - t > 0 Vamos achar as raízes de 2t 2 - t = 0. t(2t - 1) =0 t =0 e t =1/ /2 2t 2 - t > 0 para t< 0 ou t > 1/2. sen(x)<0 ou sen(x)>1/2 sen(x)>0 no 3 e 4 quadrantes, ou seja, para < x < 2. Vamos verificar quando sen(x)>1/2: sen(x)>1/ 2 x 150 1/2 30 Se x está entre 30 e 150, sen(x)>1/2 (veja no círculo trigonométrico acima). Logo, para sen(x)>1/2, entre 0 e 2, deve ocorrer /6<x<5 /6. Resposta: /6 < x < 5 /6 ou < x < 2 11

12 13) A função definida por f(x)=2 -x =(1/2) x é exponencial decrescente: A função definida por g(x)=sen(2x) tem período T. b Em um mesmo sistema de eixos, fica: 1-1 Em [0, ] há duas soluções. Em [0, 12 ] há 2 12=24 soluções. 14) Em asen 2 (x) + b sen(x) + c = 0 vamos fazer y=sen(x). Temos: ay 2 + by + c =0. No enunciado foi dito que as soluções desta equação são y=1/2 ou y=1. Mas como y=sen(x), temos: sen(x)=1/2 ou sen(x)=1. Em [0; 2 ]: sen(x)=1/2 quando x=30 ou x=150. sen(x)=1 quando x=90. Logo, há 3 soluções: 30, 90 e ) 3 rad está entre /2 1,5 e 3,1. cos(3) está entre cos( /2)=0 e cos( )=-1. Se está entre -1 e 0, então está entre -1 e 3 2 0,8. 12

13 16) A questão se refere à função Q(t) = a sen(b + ct) + d Amplitude: A imagem da função é [20, 120], com comprimento 100. Logo a amplitude a=50. Constante c: O período T é obtido por T = 2π (Observe que as letras b e c estão em c posições não usuais). Logo, 12 = 2π c = 2π = π c 12 6 Deslocamento vertical: d= = 70 (observe o gráfico). Constante b: A função já está na forma Q(t) = 50 sen(b + πt 6 ) + 70 O ponto (2, 120) pertence ao gráfico. Substituindo, temos: 120 = 50 sen( b + 2π 6 ) = sen(b + π 3 ) b + π 3 = π 2 b = π 2 π 3 = π 6 A função será Q(t) = 50 sen( π 6 + πt 6 ) + 70 Q(0) = 50 sen( π ) + 70 = 50 x 0, =

14 17) y = b sen(x) + a a: deslocamento vertical, que é 1 para baixo. Logo, a =-1 Temos: y = b sen(x) 1 b : amplitude, que é o comprimento do intervalo [-1, 1] b = 2 b=2 ou b=-2 Temos duas possibilidades: y = 2 sen(x) - 1 ou y = -2 sen(x) - 1. O ponto (3 /2, 1) pertence ao gráfico. Substituindo este ponto em y = -2 sen(x) 1, temos: 1 = -2 sen(3 /2) -1 1 = -2 (-1) -1 1 = = 1, que é verdade. Logo, a lei da função é y = -2 sen(x) 1, sendo, portanto, a = -1 e b = ) y x -30 A lei da função é y = a sen(bx). A amplitude da onda é a = 30. O período da onda é T = 2. T = 2 /b 2 = 2 /b b = Logo, a lei da função é y = 30 sen( x) 14

15 19) y C α P B O A x No triângulo retângulo OBP, tan( ) = PB PO = PB 1 = PB. No triângulo retângulo OPC, tan( ) = PO = 1 PC PC PC = 1 tan ( ) = ctg( ) BC = PB + PC = tan(α) + ctg(α). 20) Inicialmente vamos calcular tan(x) em módulo pelo triângulo retângulo: csc(x) = 1/sen(x) 3 = 1/sen(x) sen(x) = 1/3 1 3 b x ( Por Pitágoras, 3 2 = b 2 b 2 = 8 b = 8 = 2 2 cos(x) = 2 2/3 Agora vamos verificar o sinal de acordo com o quadrante: Se x (1,6;3), então x pertence ao segundo quadrante, onde o cosseno é negativo. x 1,6 /2 1,5 3 3,14 Logo, cos(x) = -2 2/3. 15

16 Respostas 1) A 2) C 3) B 4) E 5) A 6) A 7) C 8) E 9) E 10) C 11) D 12) D 13) E 14) D 15) A 16) C 17) E 18) D 19) A 20) B 16