Professor Dacar Lista de Exercícios - Revisão Trigonometria

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1 1. Obtenha a medida, em graus, de um arco AB de comprimento π metros, sabendo que ele está contido em uma circunferência de diâmetro igual a metros. Resposta:. (UFPR) Em uma circunferência de 1 dm de comprimento, um arco de medida dm determina um ângulo central, em radianos, igual a: a) π b) π c) π d) π. Ao descrever o tipo de salto de uma ginasta, um entendido a ele referiu: "Era como se seus dedos dos pés descrevessem no espaço um arco de circunferência de 1 cm de comprimento." Considerando que cada perna dessa ginasta, juntamente com seu pé esticado, estejam em linha reta e perfazem 60 cm, determine o valor do cosseno do ângulo de abertura de suas pernas da ginasta. (Adote: π =, 1) Resposta: 1. A Terra pode ser representada por uma esfera cujo raio mede 6.00 km. Na representação abaixo, está indicado o trajeto de um navio do ponto A ao ponto C, passando por B. Qualquer ponto da superfície da Terra tem coordenadas (x;y), em que x representa a longitude e y, a latitude. As coordenadas dos pontos A, B e C estão indicadas na tabela a seguir. e) π 6. (UFPR) No círculo a seguir, o raio vale cm e o arco AB vale cm. Usando π =,1, o valor aproximado, em graus, do ângulo α será: a) 78 b) 8 c) 86 d) 90 e) 9 Considerando π=, a distância mínima, em km, a ser percorrida pelo navio no trajeto ABC é igual a: a) b).800 c) d).600 e) 6.00 Resposta: A 1

2 6. (UFPR) O valor de y = cos1 + cos + cos + + cos177 + co178 + cos179 + cos180 é: a) b) 0 c) 1 d) 1 e) determinável apenas com o uso de uma calculadora ou de uma tabela trigonométrica. 1. Calcule senx e cosx, sabendo que: senx = cosx, no intervalo π < x < π Resposta: 1. Calcule: e sen 90 + cos 00 sen sen + cos 0 Resposta: 7. Resolva a equação cos³x cosx = 0, no intervalo 0 x < π, dê a soma de suas raízes. Resposta: π 8. (UFV-MG) O número de soluções da equação cos²x cosx = 0, para 0 x < π, é: a) b) c) 0 d) 1 e) 9. Resolva, no intervalo 0 x < π, a equação 1 + sen x - sen²x - 8sen³x = 0 Resposta: S= { π 6, π 6, 7π 6, 11π 6 }. Resolva a equação sen²x 1 = 0, no intervalo 0 x < π, e dê a soma de suas raízes. Resposta: π 1. A expressão senx + 1+cosx 1+cosx senx condições de existência, é igual a: a) senx b) 1 cosx c) senx d) senx e) cosx, verificadas as 1. Resolva, no intervalo 0 x < π, a equação: cosx = 1 + sen x Resposta: S = { π, π, π, 7π } 11. (FGV-SP) Os valores de m que satisfazem simultaneamente as relações senx = m+1 e cosx = m 1 são tais que seu produto vale: a) b) c) 1 d) 0 e) n.d.a. 16. (Fuvest) Dê o número de soluções da equação cos x + sen x = 1, resolvida no intervalo 0 x < π. Resposta: soluções. Resposta: B

3 17. (FATEC-SP) A expressão tem valor igual a: a) cos( π )+cosπ tg( π ) 0. (UFES) A soma das raízes da equação tg²x tgx = 0, 0 < x < π, é: a) 0 b) π b) 6 c) π c) 1 d) π d) 1 e) 1 e) π 18. (FAAP-SP) Se senx =, com x pertencente ao º quadrante, então, tgx é: a) b) 1 c) 1. Sendo0 < x < π, simplificando a expressão secx + senx cosecx + cosx, obtém-se: a) senx b) cosx c) tgx d) cotgx e) 1 d) e) Resposta: A 19. (PUC-RS) Se tga = 1 e a [0, π ], então, cosa é igual a: a) b) 6 c) 6 d). (FATEC-SP) Se f(x) = 1. secx +. sec (x ), então f ( π )é igual a: a) b) c) d) e) Resposta: E e)

4 . (UFV-MG) Sabendo que senx = 1 eπ < x < π, o valor de a) b) c) d) e) cosecx secx cotgx 1 é: 6. (UFPA) Um arco côngruo de 1π a) π rad b) π rad c) π rad d) π rad e) 7π rad Resposta: B rad é:. Resolva, no intervalo 0 x < π, as inequações: a) sen x 1 < 0 Resposta: {0 x < π ou π < x < π ou 7π < x < π} 7. (UMSP-SP) Assinale a alternativa correta. a) sen1>sen b) sen<sen c) sen>sen6 d) sen6>sen7 e) sen7>sen π Resposta: A b) sen x + senx Resposta: {0 x 7π 6 ou 11π 6 c) sen x cosx 1 0 Resposta: {0 x π ou π x < π} x < π ou x = π} 8. Qual dos números é o maior? Justifique. a) sen80º ou sen1.19º? b) cos( º) ou cos190º? Respostas: a) O maior é sen 80º. b) O maior é cos 190º.. (UFPA) Qual a 1ª determinação positiva de um arco de 1.000º? a) 70º b) 80º c) 90º d) 00º e) º Resposta: B

5 9. Os polígonos inscritos nas circunferências trigonométricas a seguir são regulares. Dê a expressão dos números reais com imagens nos vértices dos polígonos: 1. (FATEC-SP) Se x é um número real tal que sen²x senx =, então x é igual a: a) π + hπ, h Z b) π + hπ, h Z c) π + hπ, h Z d) π + hπ, h Z e) π + hπ, h Z. (UNIFEB-SP) A solução da equação: tg²x + secx + 1 = 0 é: a) kπ + π 6, k Z b) kπ + π, k Z c) kπ, k Z d) kπ + π, k Z e) n.d.a. Respostas: a) { πn, n Z} b) { πn, n Z} c){ πn, n Z} 6. (UFUbe-MG) O conjunto solução da equação: sen²x = cos²x é: a) { (k+1)π, k Z} b){kπ + π, k Z} 0. Resolva, no intervalo0 x < π, a equação: tg (x + π ) = 1 Resposta: {0, π} c){kπ π, k Z} d) { kπ, k Z} e) { kπ, k Z} Resposta: A

6 . (UNESP) Para todo x R, a expressão: cos (x + π ) sen(π x) é equivalente a: a) cos x b) 0 c) sen x cos x d) sen x e) sen x Resposta: E 8. (UMSP-SP) O valor de cos 7º.cos 1º é: a) 1 b) 1 c) d) 1. (CESGRANRIO-RJ) Seja a um arco do 1º quadrante e b um arco do º quadrante, tal que cos a = 0,8 e sen b = 0,6. O valor de sen(a + b) é: a) 1,00 b) 0,96 c) 0,70 d) 0,8 e) 0,00 Resposta: E 6. A expressão sen(1º + x) + sen(1º x) é igual a: a) senx b) cos x c) 1 d) cosx e) senx e) 9. (UNIFOR-CE) A expressão (sen x + cos x ) é equivalente a: a) 1 b) 0 c) cos x d) 1 + senx e) 1 + cosx 0. Se sen x. cos x = k, então os possíveis valores de k pertencem à qual intervalo? Resposta: 1 k 1 1. O valor de (tgº + cotgº).sen 0º é: 7. (FEI-SP) Sendo: sen(8π a). cos ( π a) + sec(π) = cosn a Determine n. Resposta: a) 1 b) 1 c) d) e) 6

7 . (UNIFOR-CE) O número de soluções da equação sen(x) = senx, no intervalo [0, π ], é: a) b) c) d) e) 6 7. (PUC-SP). (UMSP-SP) No intervalo [0, π], o número de valores de x tais que sen²x + cos(x) = 1 é: a) 0 b) 1 c) d) e) maior do que Resposta: E (A equação é verificada por qualquer valor do intervalo dado).. Determine k tal que senx = k+ Resposta: k. (UNISINOS-RS) Seja f (x) = senx. O valor máximo da imagem desta função é: a) 1 b) 1 c) d) e) A figura acima é parte do gráfico da função: a) f(x) =. sen ( x ) a) f(x) = sen(x) c) f(x) = 1 + sen(x) d) f(x) =. cos ( x ) e) f(x) =. cos(x) Resposta: A 8. (UFES - adaptada) A imagem I e o período P da função real de variável real f(x) = senx. cosx,são: a) I = [ 1, 1 ] e P = π 6. (PUCCamp-SP) Na função trigonométrica y = + sen (x π ), o período e o conjunto imagem são iguais a, respectivamente: b) I = [ 1, 1 ] e P = π c)i = [ 1, 1 ] e P = π a) π e [, ] d) I = [ 1, 0] e P = π b) π e [, ] c) π e [ 1, 1] d) 9π e [ 1, 1] e) I = [ 1, 0] e P = π Resposta: Alternativa E e) π e [, ] Resposta: E 7

8 9. (AMAN-RJ) O gráfico que melhor representa a função y = senx, para π < x < π é: 0. Uma empresa prevê que a quantidade demandada de um produto para os próximos meses pode ser determinada por: Q(t) = sen ( t.π ), em que t=1 6 representa o mês de janeiro, t= representa o mês de fevereiro e assim por diante e Q(t) é o número de unidades demandadas. Responda: a) Qual o período e o conjunto imagem dessa função? b) Para que valores de t a quantidade é máxima? c) Para que valores de t a quantidade é mínima? Resposta: a) P = 1 / I = [0,00], b) t = 9 ou t = 1, c) t = ou t = 1 Resposta: Alternativa A 8

9 Lista Fuvest I.(Fuvest ª fase) Um arco x está no terceiro quadrante do círculo trigonométrico e verifica a equação cosx + senx =. Determine os valores de senx e cosx. Resposta: senx= 1 e cosx= 6 II.(Fuvest 008) Para se calcular a altura de uma torre, utilizou-se o seguinte procedimento ilustrado na figura: um aparelho (de altura desprezível) foi colocado no solo, a uma certa distância da torre, e emitiu um raio em direção ao ponto mais alto da torre. O ângulo determinado entre o raio e o solo foi de α = π radianos. A seguir, o aparelho foi deslocado metros em direção à torre e o ângulo então obtido foi de β radianos, com tgβ =. IV.(Fuvest ª fase) A medida x, em radianos, de um ângulo satisfaz π < x < π e verifica a equação sen x + sen x + sen x = 0. Assim, a) determine x. b) calcule cos x + cos x + cos x. Respostas: a) x = π / b) cos x + cos x + cos x = 0 V.(Fuvest ª fase) Seja x no intervalo ]0, π [ satisfazendo a equação tg x + sec x =. Assim, calcule o valor de a) sec x. b) sen (x + π ) Respostas: a) / b) É correto afirmar que a altura da torre, em metros, é a) b) c) 6 d) 7 e) 8 Resposta: Alternativa C III. (Fuvest ª fase) No triângulo ABC, tem-se que AB >AC, AC = e cosc = 8. Sabendo-se que o ponto R pertence ao segmento BC e é tal que AR = AC e BR BC = 7, calcule a) a altura do triângulo ABC relativa ao lado BC. b) a área do triângulo ABR. VI.(Fuvest 0 - ª fase) Sejam x e y dois números reais, com 0 < x < π e π < y < π, satisfazendo sen y = e 11 senx + cos(y x) =. Nessas condições, determine a) cos y b) sen x. Respostas: a) / b) 169 (Fuvest 011) Sejam x e y nu meros reais positivos tais que x + y = π. Sabendo-se que sen(y x) = 1, o valor de tg y tg x e igual a a) b) c) 1 d) 1 Respostas: a) unidades comprimento / b) unidades de área de e) 1 8 Resposta: Alternativa A 9

10 VII.(Fuvest 01 - ª fase) No triângulo acutângulo ABC, ilustrado na figura, o comprimento do lado BC mede 1, o ângulo interno de vértice C mede α, e o ângulo interno de vértice B mede α. Sabe-se, também, que cos(α) + cosα + 1 = 0. IX.(Fuvest 01 - ª fase) Um guindaste, instalado em um terreno plano, tem dois braços articulados que se movem em um plano vertical, perpendicular ao plano do chão. Na figura, os pontos O, P 1 e P representam, respectivamente, a articulação de um dos braços com a base, a articulação dos dois braços e a extremidade livre do guindaste. O braço OP 1 tem comprimento 6 e o braço P 1P tem comprimento. Num dado momento, a altura de P é, P está a uma altura menor do que P 1 e a distância de O a P é. Sendo Q o pé da perpendicular de P ao plano do chão, determine Nessas condições, calcule a) o valor de sen α; b) o comprimento do lado AC. Respostas: a) 1 1 / b) 1 VIII.(Fuvest 01) Um caminhão sobe uma ladeira com inclinação de 1º. A diferença entre a altura final e a altura inicial de um ponto determinado do caminhão, depois de percorridos 0 m da ladeira, será de, aproximadamente, a) o seno e o cosseno do ângulo P ÔQ entre a reta OP e o plano do chão; b) a medida do ângulo OP 1P entre os braços do guindaste; c) o seno do ângulo P 1ÔQ entre o braço OP 1 e o plano do chão. Respostas: a) sen(p ÔQ) = cos(p ÔQ) = sen(p 1ÔQ) = e / b) OP 1P = 90 / c) a) 7 m b) 6 m c) 0 m d) m e) 67 m Resposta: Alternativa B