GOVERNO DO ESTADO DE MATO GROSSO SECRETARIA DE ESTADO DE CIÊNCIA E TECNOLOGIA UNIVERSIDADE DO ESTADO DE MATO GROSSO

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1 0) Responda aos itens. GOVERNO DO ESTADO DE MATO GROSSO SECRETARIA DE ESTADO DE CIÊNCIA E TECNOLOGIA UNIVERSIDADE DO ESTADO DE MATO GROSSO FACET Faculdade de Ciências Exatas e Tecnológicas Avaliação 5/04/06 Resolução a) A área da região, inscrita na circunferência trigonométrica, que tem como vértices as extremidades dos arcos que verificam a equação sen(x) + sen(x) = 0 no intervalo de [0, ], em unidades de área, é: senx senx 0 senx cos x senx 0 senx cos x 0 Portanto, as raízes possíveis da equação são: sen x 0 x 80 π rad ou x 0 0 rad π cos x x 0 rad Percebe-se que há três raízes possíveis dentro do intervalo [0, ]. Desenhando as extremidades dos arcos que resolvem a equação numa circunferência de raio igual a, tem-se: Assim, a área delimitada pelos vértices das extremidades dos arcos que verificam a equação é um triângulo retângulo em B. Sua área pode ser escrita como sendo: b h ( ) h S S h Analisando o triângulo COB, percebe-se que este é equilátero e que sua altura h é correspondente altura do triângulo retângulo ABC. Logo, sua altura será dada por: L h h ; onde L foi substituído por (raio). Assim, a área da região que tem como vértices as extremidades dos arcos que verificam a equação dada é igual a.

2 b) A quantidade de soluções que a equação trigonométrica, sen 4 (x) cos 4 (x) =, admite no intervalo [0, ] é: Sabendo que sen y cos y, para todo y real, vem 4 4 sen x cos x (sen x cos x)(sen x cos x) sen x sen x 4 sen x. π π 7π 8 π Para x [0, π], a equação sen x possui as raízes,, e, enquanto que a equação sen x possui as raízes 4 5 π e. Desse modo, a resposta é 6. π 0) Suponha que, em determinado lugar, a temperatura média diária T, em C, possa ser expressa, em função do tempo t, em dias decorridos desde o início do ano, por T(t) = 4 + sen [ π(t 05) ]. Nessa região a umidade relativa do ar é inversamente proporcional a temperatura ambiente. Segundo esse modelo matemático, o mês de menor umidade relativa do ar foi o mês de: A temperatura média máxima ocorre quando π(t 05) π(t 05) π sen sen sen π(t 05) π kπ 64 t k t 96 64k, k. 64 Assim, tomando k = 0, concluímos que a temperatura média máxima ocorre 96 dias após o início do ano, ou seja, no mês de julho. 0) Por razões técnicas, um armário de altura,5 m e largura,5 m está sendo deslocado por um corredor, de altura h m, na posição mostrada pela figura.

3 a) Calcule h para o caso em que = 0 o. Sendo os vértices do retângulo (armário): Considerando o triângulo AEB, pode-se escrever: y 5 sen0 y,5 4 Considerando o triângulo BFC, pode-se escrever: x cos0 x,5 4 Logo, a altura h será: 5 h m 4 b) Calcule h para o caso em que x =, m. Considerando o triângulo BFC, pode-se escrever:, 4 cosα,5 5 Assim, pode-se escrever: 4 9 sen α sen α sen α Considerando o triângulo AEB, pode-se escrever: y y senα y,5,5 5,5 Logo, a altura h será: h,,5 h,7 m 04) Suponha que, durante certo período do ano, a temperatura T, em graus Celsius, na superfície de um lago possa ser descrita pela funçãof(t) = 4cos ( tπ ), sendo t, o tempo em horas, medido a partir das 06h00 da manhã. a) Qual a variação de temperatura num período de 4 horas? π valor máximo ocorre para cos t F(máx) 4( ) 5 π F(t) 4cos t π valor mínimo ocorre para cos t F(máx) 4( ) 7 Portanto, a temperatura varia de 7 C a 5 C na superfície do lago.

4 b) A que horas do dia a temperatura atingirá o C? π π π F(t) 4cos t 4cos t 4cos t π cos t Logo : π π π 4π t ou t t 8h ou t 6h Porém, o tempo em horas foi medido a partir das 06h da manhã, o que nos permite afirmar que a temperatura de C foi atingida às: t 6h 8h 4h e t 6h 6h h 05) Demonstre que: a) [ + sen(x)]. [cossec(x) ]. sec(x) = cotg(x); U = {x R/sen(x). cos (x) 0} [ + sen(x)]. [ sen(x) ]. [ + sen(x)]. [ sen(x) ]. sen(x) [ sen (x) sen(x) ]. [ cos (x) sen(x) ]. [ cos(x) sen(x) ] = cotg(x) cotg(x) = cotg(x) b) sen(x)+sen(x) sen(x) sen(x + x) + sen(x) sen(x) sen(x) cos(x) + sen(x)cos(x) + sen(x) sen(x) sen(x). [cos (x) sen (x)] + [sen(x)cos(x)]. cos(x) + sen(x). sen(x)cos(x) sen(x). [cos (x) sen (x)] + sen(x). cos (x) + sen(x). sen(x)cos(x) sen(x). [cos (x) sen (x) + cos (x) + ]. sen(x)cos(x) cos (x) sen (x) + cos (x) + cos(x) 4cos (x) cos(x) cos(x)

5 06) Seja f uma função que tem como domínio o conjunto dos números reais e é dada por f(x) = a. sen(ωx + b) com a, e b constantes reais. A figura abaixo ilustra o gráfico de f, restrito ao intervalo fechado [ π, 5π ]. A função f tem período e seu conjunto imagem é o intervalo fechado [-5, 5]. 6 6 Determine as constantes a e e o menor valor positivo de b. Sabendo que o período fundamental da função seno é e que o período de f é, temos π π ω. ω Além disso, como a imagem da função seno é o intervalo [-, ] e a imagem de f é o intervalo [-5, 5], temos [ 5, 5] a [,] a 5 (supondo sen (b) > 0) Finalmente, como f π 0, temos: 6 π π 0 5 sen b sen b sen0, 6 donde concluímos que o menor valor positivo de b que satisfaz a igualdade é b = π 07) Esboce o gráfico da função f(x) = sen(x), para o intervalo 0 x π. - / / x F(x) 0 /4 - / /4