( ) Interbits SuperPro Web. senα. hsenα. 3. Se tgθ = 1eθ pertence ao primeiro quadrante, então cosθ é igual a: 2 e) 1

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1 1. Ao decolar, um avião deixa o solo com um ângulo constante de 15. A,8 km da cabeceira da pista existe um morro íngreme. A figura abaixo ilustra a decolagem, fora de escala. Podemos concluir que o avião ultrapassa o morro a uma altura, a partir da sua base, de a),8 tan (15 ) km. b),8 sen (15 ) km. c),8 cos (15 ) km. d),8 sec (15 ) km.. Em uma das primeiras tentativas de determinar a medida do raio da Terra, os matemáticos da antiguidade observavam, do alto de uma torre ou montanha de altura conhecida, o ângulo sob o qual se avistava o horizonte, tangente à Terra, considerada esférica, conforme mostra a figura. Segundo esse raciocínio, o raio terrestre em função do ângulo α é dado por: ( ) sen α h a) R = 1 sen α hsenα b) R = 1 sen α hsenα c) R = sen α 1 1 senα d) R = hsenα 1+ senα e) R = hsenα. Se tgθ = 1eθ pertence ao primeiro quadrante, então cosθ é igual a: a) 0 b) 1 c) d) e) 1 Página 1 de 4

2 4. Um esqueitista treina em três rampas planas de mesmo comprimento a, mas com inclinações diferentes. As figuras abaixo representam as trajetórias retilíneas AB = CD = EF, contidas nas retas de maior declive de cada rampa. Sabendo que as alturas, em metros, dos pontos de partida A, C e E são, respectivamente, h,h 1 e h, conclui-se que h1+ hé igual a: a) h b) h c) h d) h 5. Na figura abaixo, ABC e BDE são triângulos isósceles semelhantes de bases a e a, respectivamente, e o ângulo CAB ˆ = 0. Portanto, o comprimento do segmento CE é: 5 a) a 8 b) a 7 c) a d) a 6. Um satélite orbita a km da superfície da Terra. A figura abaixo representa uma seção plana que inclui o satélite, o centro da Terra e o arco de circunferência AB. Nos pontos desse arco, o sinal do satélite pode ser captado. Responda às questões abaixo, considerando que o raio da Terra também mede km. Página de 4

3 a) Qual o comprimento do arco AB indicado na figura? b) Suponha que o ponto C da figura seja tal que cos( θ ) = / 4. Determine a distância d entre o ponto C e o satélite. 7. Abílio (A) e Gioconda (G) estão sobre uma superfície plana de uma mesma praia e, num dado instante, veem sob respectivos ângulos de 0 e 45, um pássaro (P) voando, conforme é representado na planificação abaixo. Considerando desprezíveis as medidas das alturas de Abílio e Gioconda e sabendo que, naquele instante, a distância entre A e G era de 40 m, então a quantos metros de altura o pássaro distava da superfície da praia? a) 60 ( + 1) b) 10 ( 1) c) 10 ( + 1) d) 180 ( 1) e) 180 ( + 1) 8. O teodolito é um instrumento de medida de ângulos bastante útil na topografia. Com ele, é possível determinar distâncias que não poderiam ser medidas diretamente. Para calcular a altura de um morro em relação a uma região plana no seu entorno, o topógrafo pode utilizar esse instrumento adotando o seguinte procedimento: situa o teodolito no ponto A e, mirando o ponto T no topo do morro, mede o ângulo de 0 com a horizontal; desloca o teodolito 160 metros em direção ao morro, colocando-o agora no ponto B, do qual, novamente mirando o ponto T, mede o ângulo de 60 com a horizontal. Página de 4

4 Se a altura do teodolito é de 1,5 metros, é CORRETO afirmar que a altura do morro com relação à região plana à qual pertencem A e B é, em metros: a) ,5 b) 80 1,5 c) , 5 d) 160 1, 5 9. A figura abaixo representa um rio plano com margens retilíneas e paralelas. Um topógrafo situado no ponto A de uma das margens almeja descobrir a largura desse rio. Ele avista dois pontos fixos B e C na margem oposta. Os pontos B e C são visados a partir de A, segundo ângulos de 60 e 0, respectivamente, medidos no sentido anti-horário a partir da margem em que se encontra o ponto A. Sabendo que a distância de B até C mede 100 m, qual é a largura do rio? a) 50 m b) 75 m c) 100 m d) 150 m e) 00 m 10. O relógio Tower Clock, localizado em Londres, Inglaterra, é muito conhecido pela sua precisão e tamanho. O ângulo interno formado entre os ponteiros das horas e dos minutos deste relógio, desprezando suas larguras, às 15 horas e 0 minutos é: a) 1 π b) 6 π c) 6 π d) 18 π Página 4 de 4

5 e) 9 π 11. Suponha que, durante certo período do ano, a temperatura T, em graus Celsius, na superfície de um π lago possa ser descrita pela função F(t) = 1 4cos t, 1 sendo t o tempo em horas medido a partir das 06h00 da manhã. a) Qual a variação de temperatura num período de 4 horas? b) A que horas do dia a temperatura atingirá ºC? 1. Assinale a(s) proposição(ões) CORRETA(S). 01) Se f: é a função definida por f(x) = sen x, então f(10) > 0. 0) Sejam f e g funções reais definidas por f(x) = x e g(x) = cos x para todo x. Então existe uma infinidade de pontos em que os gráficos destas funções se interceptam. 04) Na figura, a reta r é tangente à circunferência λ, de centro no ponto O(0,0) e raio 1. Para π α = rad as coordenadas do ponto P são, ) O valor numérico da expressão cos6 + cos7 + cos108 + cos144 é zero. 16) O menor número inteiro que satisfaz a inequação 0 (x + 15) < 0 é Considere A o conjunto mais amplo possível na função real f: A, dada por sen x cos x f( x ) = +. cossec x sec x Sobre a função f é correto afirmar que kπ a) A = x x,k. b) é periódica com período igual a π. π c) é decrescente se x x + kπ < x < π+ k π, k. d) é ímpar. 14. O número de interseções da função f(x) = sen 5x com o eixo das abscissas no intervalo [ π,π] é a) 10. b) 14. c) 1. d) 4. e) 7. Página 5 de 4

6 15. O maior valor que o número real a) 0 10 sen x pode assumir é b) 7 c) 10 d) 6 e) π 16. Se cos (x) =, π < x < e x (º quadrante), então é CORRETO afirmar que o 1 valor de tg (x) é: a) 5/1. b) 5/1. c) 5/1. d) 5/1. e) 0, Uma praça circular de raio R foi construída a partir da planta a seguir: Os segmentos AB, BC e CA simbolizam ciclovias construídas no interior da praça, sendo que AB = 80 m. De acordo com a planta e as informações dadas, é CORRETO afirmar que a medida de R é igual a: a) 160 m b) 80 m c) 16 m d) 8 m e) m 18. Na figura estão posicionadas as cidades vizinhas A, B e C, que são ligadas por estradas em linha reta. Sabe-se que, seguindo por essas estradas, a distância entre A e C é de 4 km, e entre A e B é de 6 km. Página 6 de 4

7 Nesse caso, pode-se concluir que a distância, em km, entre B e C é igual a a) b) c) 1. d) e) A expressão cotg(x) + cossec(x) pode ser escrita como: cos(x) + sen(x) a) cos(x)sen(x) b) tg(x) c) cotg(x) cos (x) + sen(x) d) sen(4x) cos(x) + sen (x) e) sen(4x) 0. A soma de todos os valores de x [ 0, π] 6 cos ( x) sen ( x) = cos ( x) é igual a: a) π b) π c) 5π d) π e) 4π que satisfazem a equação 1. Sendo x um arco tal que 0 x π tg x = sen x, é CORRETO afirmar que a) a soma das soluções dessa equação é igual a π. b) as extremidades de todos os arcos x que são solução dessa equação estão no terceiro quadrante. c) nesse intervalo, a equação tem dois arcos distintos como soluções. d) para qualquer solução dessa equação, tg x = sen x. < e ( ) TEXTO PARA A PRÓXIMA QUESTÃO: Arquimedes,candidato a um dos cursos da Faculdade de Engenharia, visitou a PUCRS para colher informações. Uma das constatações que fez foi a de que existe grande proximidade entre Engenharia e Matemática.. Os fenômenos gerados por movimentos oscilatórios são estudados nos cursos da Faculdade de Engenharia. Sob certas condições, a função y = 10 cos(4t) descreve o movimento de uma mola, onde y (medido em cm) representa o deslocamento da massa a partir Página 7 de 4

8 da posição de equilíbrio no instante t (em segundos). Assim, o período e a amplitude desse movimento valem, respectivamente, π a) s 10 cm b) π s 0 cm π c) s 4 10 cm π d) s 4 0 cm π e) s 0 cm TEXTO PARA A PRÓXIMA QUESTÃO: As ruas e avenidas de uma cidade são um bom exemplo de aplicação de Geometria. Um desses exemplos encontra-se na cidade de Mirassol, onde se localiza a Etec Prof. Mateus Leite de Abreu. A imagem apresenta algumas ruas e avenidas de Mirassol, onde percebemos que a Av. Vitório Baccan, a Rua Romeu Zerati e a Av. Lions Clube/Rua Bálsamo formam uma figura geométrica que se aproxima muito de um triângulo retângulo, como representado no mapa. Considere que a Rua Bálsamo é continuação da Av. Lions Clube; o ponto A é a intersecção da Av. Vitório Baccan com a Av. Lions Clube; o ponto B é a intersecção da Rua Romeu Zerati com a Rua Bálsamo; o ponto C é a intersecção da Av. Vitório Baccan com a Rua Romeu Zerati; o ponto D é a intersecção da Rua Bálsamo com a Rua Vitório Genari; o ponto E é a intersecção da Rua Romeu Zerati com a Rua Vitório Genari; a medida do segmento AC é 0 m; a medida do segmento BC é 400 m e o triângulo ABC é retângulo em C.. Para resolver a questão, utilize a tabela abaixo. Página 8 de 4

9 sen 0,44 0,48 0,66 0,74 0,88 cos 0,90 0,87 0,75 0,67 0,47 tg 0,49 0,55 0,87 1,11 1,88 No triângulo ABC, o valor do seno do ângulo a) 0,44. b) 0,48. c) 0,66. d) 0,74. e) 0,88. ˆ ABC é, aproximadamente, 4. No dia primeiro de janeiro de 011, ocorrerá a cerimônia de posse do(a) novo(a) Presidente(a) da República. Um dos atos solenes desta cerimônia é a subida da rampa do Palácio do Planalto, sede do governo brasileiro que pode ser vista na Figura. Suponha que essa rampa possua uma elevação 15 de em relação à sua base e uma altura de m. Então o(a) novo(a) Chefe de Estado, ao subir toda a rampa presidencial, percorrerá uma distância de: a) 6 1m b) 8 + 8m c) 6 m d) 6 + 6m e) 4 m 5. A trigonometria estuda as relações entre os lados e os ângulos de um triângulo. Em um cat. oposto cat. adjacente triângulo retângulo, sabemos que senθ =, cosθ = e hipotenusa hipotenusa cat. oposto tgθ =. Considere o triângulo abaixo e as proposições I, II e III. cat.adjacente Página 9 de 4

10 I. o ΔABC é retângulo em B. II. cos  = 0,8 III. sen  + tg  = 15 Assinale a alternativa correta. a) Apenas a proposição I é verdadeira. b) Apenas as proposições II e III são verdadeiras. c) Apenas as proposições I e III são verdadeiras. d) Apenas a proposição II é verdadeira. e) Todas as proposições são verdadeiras. 6. Uma baixa histórica no nível das águas no rio Amazonas em sua parte peruana deixou o Estado do Amazonas em situação de alerta e a Região Norte na expectativa da pior seca desde 005. [...] Em alguns trechos, o Rio Amazonas já não tem profundidade para que balsas com mercadorias e combustível para energia elétrica cheguem até as cidades. A Defesa Civil já declarou situação de atenção em 16 municípios e situação de alerta etapa imediatamente anterior à situação de emergência em outros nove. Porém, alguns trechos do rio Amazonas ainda permitem plenas condições de navegabilidade. Texto adaptado de: Acesso em: 10 nov Considerando que um barco parte de A para atravessar o rio Amazonas; que a direção de seu deslocamento forma um ângulo de 10º com a margem do rio; que a largura do rio, teoricamente constante, de 60 metros, então, podemos afirmar que a distância AB em metros percorrida pela embarcação foi de... Dados: 0º Seno Cosseno Tangente 1 Página 10 de 4

11 45º 60º 1 1 a) 60 metros. b) 40 metros. c) 10 metros. d) 0 metros. e) 40 metros. 7. Suponha que a expressão P = sen( π t) descreve de maneira aproximada a pressão sanguínea P, em milímetros de mercúrio, de uma certa pessoa durante um teste. Nessa expressão, t representa o tempo em segundos. A pressão oscila entre 0 milímetros de mercúrio acima e abaixo dos 100 milímetros de mercúrio, indicando que a pressão sanguínea da pessoa é 10 por 80. Como essa função tem um período de 1 segundo, o coração da pessoa bate 60 vezes por minuto durante o teste. a) Dê o valor da pressão sanguínea dessa pessoa em t = 0 s; t = 0,75 s. b) Em que momento, durante o primeiro segundo, a pressão sanguínea atingiu seu mínimo? 8. A previsão de vendas mensais de uma empresa para 011, em toneladas de um produto, π x é dada por f ( x) = ,5x + sen, em que x = 1 corresponde a janeiro de 011, x = 6 corresponde a fevereiro de 011 e assim por diante. A previsão de vendas (em toneladas) para o primeiro trimestre de 011 é: (Use a aproximação decimal = 1, 7 ) a) 08,55 b) 09,05 c) 09,55 d) 10,05 e) 10,55 9. Com base nas assertivas abaixo, assinale o que for correto. 01) O valor mínimo da função f(x) = + 5 sen 4x é. 0) O período e o conjunto-imagem da função f: R R definida por f(x) = 4 senx.cosx são, respectivamente, π e [ 4,4]. 04) Se cotg (a). sec (a) > 0 e sen (a). cos (a) < 0 então π < a < π. 08) Se A = sen 40º e B = sen 700º, então A < B. π π 16) 16) Para todo x,, o valor de (tg x + 1). (sen x 1) é Suponha que o horário do pôr do sol na cidade de Curitiba, durante o ano de 009, possa ser descrito pela função π f(t) = 18,8 1,sen t 65 sendo t o tempo dado em dias e t = 0 o dia 1º de janeiro. Com base nessas informações, considere as seguintes afirmativas: 1. O período da função acima é π. Página 11 de 4

12 . Foi no mês de abril o dia em que o pôr do sol ocorreu mais cedo.. O horário em que o pôr do sol ocorreu mais cedo foi 17h0. Assinale a alternativa correta. a) Somente a afirmativa é verdadeira. b) Somente as afirmativas 1 e são verdadeiras. c) Somente as afirmativas 1 e são verdadeiras. d) Somente as afirmativas e são verdadeiras. e) As afirmativas 1, e são verdadeiras. 1. Em situação normal, observa-se que os sucessivos períodos de aspiração e expiração de ar dos pulmões em um indivíduo são iguais em tempo, bem como na quantidade de ar inalada e expelida. A velocidade de aspiração e expiração de ar dos pulmões de um indivíduo está representada pela curva do gráfico, considerando apenas um ciclo do processo. Sabendo-se que, em uma pessoa em estado de repouso, um ciclo de aspiração e expiração completo ocorre a cada 5 segundos e que a taxa máxima de inalação e exalação, em módulo, é 0,6 1/s, a expressão da função cujo gráfico mais se aproxima da curva representada na figura é: π a) V ( t) = sen t b) V ( t) = sen t. 5 π π c) V ( t) = 0,6 cos t. 5 π d) V ( t) = 0,6sen t. 5 5 e) V ( t) = cos( 0,6t ). π π. O período da função definida por f(x) = sen x é π a). b) π. c) 5 π. 6 d) π. e) π.. Um satélite de telecomunicações, t minutos após ter atingido sua órbita, está a r quilômetros de distância do centro da Terra. Quando r assume seus valores máximo e mínimo, Página 1 de 4

13 diz-se que o satélite atingiu o apogeu e o perigeu, respectivamente. Suponha que, para esse satélite, o valor de r em função de t seja dado por ( ) r t 5865 ( ) = 1 + 0,15.cos 0,06t Um cientista monitora o movimento desse satélite para controlar o seu afastamento do centro da Terra. Para isso, ele precisa calcular a soma dos valores de r, no apogeu e no perigeu, representada por S. O cientista deveria concluir que, periodicamente, S atinge o valor de a) km. b) km. c) km. d) km. e) km. 4. Assinale a(s) proposição(ões) correta(s). 01) Considere um quadrado circunscrito a uma circunferência e um triângulo equilátero inscrito na mesma circunferência. Se o lado do triângulo equilátero mede 6 cm, então o lado do quadrado mede 1 cm. 0) Sabendo que tgx = 5 e que π < x < π 6 então, cosx =. 6 04) Se os lados de um triângulo retângulo estão em progressão aritmética, então o valor numérico do cosseno do maior ângulo agudo é 5. π 08) Para todo x real + k π, onde k é um número inteiro qualquer, vale 1 tg x = sen x cos x. 1+ tg x 16) No intervalo [0, π ] o número de soluções da equação cosx = 0 é. 5. No intervalo [0, π], a equação a) 5 b) 4 c) d) e) 1 1 senx sen x 8 8 = 4 admite o seguinte número de raízes: 6. Sobre um plano inclinado deverá ser construída uma escadaria. Página 1 de 4

14 Sabendo que cada degrau da escada deverá ter uma altura de 0 cm e que a base do plano inclinado mede 80 cm, conforme mostra a figura, então a escada deverá ter: a) 10 degraus. b) 8 degraus. c) 14 degraus. d) 54 degraus. e) 16 degraus. 7. Se a sequência (, x, cos θ ) é uma progressão aritmética, sendo x e θ números reais, então a) 1, 5 x 0. b) 1 x 1. c) 0,5 x 1,5. d) 1 x. e) x Um menino está empinando uma pipa e sua mão se encontra a 50 centímetros do chão. Sabendo que a linha que sustenta a pipa mede 100 m, encontra-se bem esticada e está determinando com o solo plano e horizontal um ângulo de 0, pode-se afirmar que a altura dessa pipa em relação ao chão é: Dados: ( ) sen0 = 0,5; cos0 = a) 00 m. b) 50 m. c) 00,5 m. d) 50,5 m. e) 50 m. ( ) ; tg0 = 9. Considerando a circunferência trigonométrica, identifique as sentenças a seguir como verdadeiras ou falsas. No quadrante onde se localiza o arco de ( 40 ), a função seno é crescente. No quadrante onde se localiza o arco de 4 π rad, a função cosseno é descrente. 5 O valor da tangente do arco de 1000 é positivo. Está(ão) CORRETA(S) a(s) afirmativa(s): a) I e II somente. b) II e III somente. c) I, II, e III. d) III somente. e) II somente. 40. Traçando-se os gráficos das funções definidas por f(x) = sen x e g(x) = 16 x num mesmo sistema de coordenadas cartesianas ortogonais, pode-se verificar que o número de soluções da equação f ( x) = g( x) é a) 0. b) 1. c). d). e) 4. Página 14 de 4

15 41. Em determinada cidade, a concentração diária, em gramas, de partículas de fósforo na πt atmosfera é medida pela função C(t) = + sen, em que t é a quantidade de horas 6 para fazer essa medição. O tempo mínimo necessário para fazer uma medição que registrou 4 gramas de fósforo é de a) 1/ hora. b) 1 hora. c) horas. d) horas. e) 4 horas. 4. Uma gráfica que confeccionou material de campanha determina o custo unitário de um de seus produtos, em reais, de acordo com a lei C(t) = sen (ð. t)/, com t medido em horas de trabalho. Assim, os custos máximos e mínimo desse produto são a) 0 e 00 b) 00 e 10 c) 00 e 80 d) 0 e 80 e) 10 e Uma bomba de água aspira e expira água a cada três segundos. O volume de água da bomba varia entre um mínimo de litros e um máximo de 4 litros. Dentre as alternativas a seguir, assinale a expressão algébrica para o volume (y) de água na bomba, em função do tempo (t). a) y = + sen [(ð/). t] b) y = + sen [(π/). t] c) y = + sen [(ð/). t] d) y = + sen [(ð/). t] e) y = - + sen [(ð/). t] 44. Sobre a função representada no gráfico, é correto afirmar: a) O período da função é ð. b) O domínio é o intervalo [-, ]. c) A imagem é o conjunto IR. d) A função é par. x e) A função é y = sen. 45. O conjunto solução da equação sen(x) - cos(x) = 0 em [0; ð] é a) { } Página 15 de 4

16 b) {0} c) {- ð/4, ð/4} d) {ð/4, ð/4} e) {ð/4, 5ð/4} 46. Nos X-Games Brasil, em maio de 004, o skatista brasileiro Sandro Dias, apelidado "Mineirinho", conseguiu realizar a manobra denominada "900", na modalidade skate vertical, tornando-se o segundo atleta no mundo a conseguir esse feito. A denominação "900" refere-se ao número de graus que o atleta gira no ar em torno de seu próprio corpo, que, no caso, corresponde a a) uma volta completa. b) uma volta e meia. c) duas voltas completas. d) duas voltas e meia. e) cinco voltas completas. 47. A solução da equação cos [x - (ð/4)] = 0, quando 0 x ð/, é a) ð/4 b) -π/4 c) 7ð/1 d) ð/ e) Seja x a medida de um arco em radianos. O número real a, que satisfaz as sentenças sen ( ) x = ( a) e cos x = a é tal que a) a 7 b) 5 a < 7 c) a < 5 d) 0 a < e) a < Observe o gráfico a seguir. A função real de variável real que MELHOR corresponde a esse gráfico é a) y = cos x b) y = sen x c) y = cos x d) y = sen x e) y = sen x 50. O valor da expressão Página 16 de 4

17 cos π π 5 + sen + tg 4 π é a) b) c) 0 1 d) 1 e) Página 17 de 4

18 Gabarito: Resposta da questão 1: [A] h = altura do avião ao ultrapassar o morro. h tan 15 = h =,8 tg 15,8 Resposta da questão : [B] Supondo que a Terra seja uma esfera, considere a figura. Como AB é tangente à esfera, segue que OB AB. Além disso, AO = h + R e OB = R. Portanto, do triângulo AOB, obtemos OB R senα = senα = AO h + R R = hsenα + Rsenα R Rsenα = hsenα R(1 sen α) = hsenα hsenα R =. 1 senα Resposta da questão : [C] Se θ é um arco do primeiro quadrante e tg 1, θ = temos que 45. θ = Portanto, Página 18 de 4

19 Resposta da questão 4: [D] Como cosθ = cos45 =. sen15 = sen(45 0 ) = sen45 cos0 sen0 cos45 Então: 1 = 6 = 4 h1 a( 6 ) sen15 = h 1 =. a 4 Além disso, sen45 = h h a = a Então: a( 6 ) a h1+ h = + 4 a( 6 + ) =. 4 Por outro lado, sen75 = sen( ) = sen45 cos0 + sen0 cos45 Então: 1 = = 4 h a( 6 + ) sen75 = h =. a 4 Portanto, h1+ h = h. Resposta da questão 5: [C] Página 19 de 4

20 a a a No ΔCMB : cos0 = = x = x x a a a No ΔENB : cos0 = = y = y y CBE ˆ = = 10 Aplicando o teorema dos cossenos no triângulo CBE, temos: CE = x + y.x.y.cos10 4a a a a 1 CE = + 5a a CE = + 7a CE = CE = a. 7 Resposta da questão 6: a) No triângulo assinalado: R é a medida do raio da terra. R 1 cosα = = α = 60 R+ R Portanto, o arco AB mede 10 e seu comprimento será dado por: π R π = = π km. Página 0 de 4

21 b) Aplicando o teorema dos cossenos no triângulo assinalado, temos: d = R + (R).R.R.cos θ d = 5R 4.R.(/4) d =.R d = R d = km Resposta da questão 7: [B] Considere a figura, sendo Q o pé da perpendicular baixada de P sobre AG. Queremos calcular PQ. Como PGQ = 45, segue que PQ = QG. Desse modo, AQ = 40 QG = 40 PQ. Portanto, do triângulo APQ, vem PQ PQ tgqap = = AQ 40 PQ ( + )PQ = PQ = + 40 PQ = = 10( 1) m. + Resposta da questão 8: [A] Página 1 de 4

22 H é a altura do morro em metros. O triângulo ABT é isósceles, logo BT =160m. No triângulo assinalado, temos: ( ) H 1, 5 H 1, 5 sen60 = = H = ,5 m Resposta da questão 9: [A] Considere a figura, em que H é o pé da perpendicular baixada de A sobre a reta BC. Queremos calcular AH. Temos que CAB = BAH = 0. Logo, do triângulo AHB, vem HB tgbah = HB = AH. AH Por outro lado, do triângulo AHC, obtemos HB + BC tgcah = AH = AH AH AH = AH = = 50 m. Resposta da questão 10: [E] Considere a figura. Página de 4

23 A cada 5 minutos corresponde um ângulo de 60 = 0. Logo, θ+ α = 0, sendo α o 1 resultado pedido. Por outro lado, como o ângulo θ corresponde ao deslocamento do ponteiro das horas, em 0 minutos, segue que 0min 0 θ = = min Desse modo, π 10 + α = 0 α = 0 = rad. 9 Resposta da questão 11: a) π valor máximo ocorre para cos t 1 F(máx) 1 4( 1) 5 1 = = = π F(t) = 1 4cos t 1 π valor mínimo ocorre para cos t = + 1 F(máx) = 1 4( + 1) = 17 1 Portanto, a temperatura varia de 17 C a 5 C na superfície do lago. b) Para t =? temos F(t) =. Logo: π π π F(t) = 1 4cos t 1 4cos t 4cos t 1 1 = 1 = π 1 cos t 1 = Logo : π π π 4π t = ou t = 1 1 t = 8h ou t = 16h Porém, o tempo em horas foi medido a partir das 06h da manhã, o que nos permite afirmar que a temperatura de C foi atingida às: t1 = 6h + 8h = 14h e t = 6h + 16h = h Página de 4

24 Resposta da questão 1: = ) Falsa. f(10) < 0, pois 10 é aproximadamente 570, sua extremidade se encontra no terceiro quadrante 0) Verdadeira. Para x < 0 existe uma infinidade de pontos de intersecção. π 1 04) Verdadeira. cos = =. 6 08) Verdadeira. cos 144 = - cos6 e cos 108 = cos 7. 16) Falsa. 0 (x + 15)<0 0 6x -45 < 0-6x 5 < 0-6x < 5 x> -5/6 O menor inteiro que satisfaz esta inequação é x = 4. Resposta da questão 1: [A] senx cos x f(x) = + = sen x + cos x = 1, π 1 1 para x 0+ k, k Z. senx cos x Portanto a única alternativa correta é a letra A Resposta da questão 14: [C] π f(x) = sen(5x) Período =. 5 Total: 1 intersecções com o eixo x. Resposta da questão 15: [D] Página 4 de 4

25 O número sen x = sen x assume o seu maior valor quando sen x for máximo, ou seja, quando Por conseguinte, o resultado pedido é = = = 6. sen x 1 5 Resposta da questão 16: [D] No terceiro quadrante senos e cossenos são negativos. Utilizando a relação fundamental, temos: sen (x) + cos (x) = sen (x) + 1 sen (x) 1 sen(x) sen(x). 1 = = = ± = ± Como o arco x tem extremidade no terceiro quadrante, temos: 5 sen(x) =. 1 Calculado a tangente de x. 5 sen(x) 1 5 tg(x) = = =. cos(x) Resposta da questão 17: [B] Pela Lei dos Senos, segue que: AB = R R = R = = m. sen60 Resposta da questão 18: [B] Aplicando a Lei dos Cossenos, obtemos BC = AB + AC AB AC cosbac 1 BC = BC = BC = 76 = 1 19 km. Página 5 de 4

26 Resposta da questão 19: [C] Sabendo que cos x = cos x 1 e senx = sen xcos x, vem cos x 1 cotgx + cossec x = + senx senx 1+ cos x = senx 1+ cos x 1 = sen xcos x cos x = sen x = cotg x. Resposta da questão 0: [C] Sabendo que cos x = cos x 1 e sen x = 1 cos x, vem 6 4 (cos x 1) (1 cos x) = cos x cos x(cos x 4cos x + ) = 0 cos x = 0 ou 4 + = cos x 4cos x 0 cos x = 0 ou cos x = ± 1 ou cos x = ± (impossível) π π x = ou x = ou. x = 0 ou x = π ou x = π Portanto, a soma pedida é igual a π π π+ π = 5 π. Resposta da questão 1: [C] tgx = sen x sen x = 0 sen x = 0 cos x π 11π ou cos x = x = 0 ou x = π ou x = ou x = 6 6 Portanto a única alternativa correta é a letra [C]. Resposta da questão : [A] Página 6 de 4

27 Como a função y = 10cos(4t) é da forma y = a cos(m t), segue que seu período é dado por π π =. 4 A imagem da função é o intervalo 10 [ 1,1] = [ 10,10]. Portanto, a amplitude do movimento é 10 cm. Resposta da questão : [B] Pelo Teorema de Pitágoras, segue que AB = AC + BC AB = AB = AB = AB 456,5 m. Portanto, AC 0 sen ABC = sen ABC = AB 456,5 senabc 0,48. Resposta da questão 4: [D] Considere a vista lateral da rampa, representada na figura abaixo. Queremos calcular AC. Temos que sen15 = sen(45 0 ) = sen45 cos0 sen0 cos45 1 = 6 =. 4 Por conseguinte, Página 7 de 4

28 sen15 = AC = AC 6 4 Resposta da questão 5: [C] = = ( 6 + ) = (6 + 6) m. I. (V) - Observar o desenho. 6 II. (F) - cos(â) = = 0,6 ; III) (V) - sen  + tg  = + = + = ; Resposta da questão 6: [B] o 60 sen60 = AB 60 = AB 10 AB = AB = 40 m Resposta da questão 7: a) Para t = 0 s, temos P = sen(π 0) = 100mm de Hg. Para t = 0,75 s, vem P = sen(π 0,75) = = 80mm de Hg. b) A pressão sanguínea atingiu seu mínimo quando π sen(π t) = 1 sen(π t) = sen π π t = t = = 0,75 s. 4 Resposta da questão 8: Página 8 de 4

29 [D] Queremos calcular f(1) + f() + f(). π 1 f(1) = ,5 1+ sen = 100,5 + 0,5 = π f() = ,5 + sen = ,85 = 10,55. 6 π f() = ,5 + sen = 101,5 + 1= 104,5. 6 Portanto, f(1) + f() + f() = , ,5 = 10,05. Resposta da questão 9: = 17. Item (01) Verdadeiro f(x) = a ± bsen(cx + d) Im = a b,a + b Logo: f(x) = + 5sen(4x) Im = [ 5, + 5] = [,7] Portanto, o valor mيnimo é. Sendo [ ] Item (0) Falso f(x) = 4senxcos x f(x) =.senxcos x f(x) = senx senx Logo: π π Perيodo P = P = = π rad c Imagem: Im = [,] Item (04) Falso cotg (a). sec (a) < 0 e sen (a). cos (a) > 0 Item (08) Falso o 0 A = sen 40 = sen 70 > 0 A > B o 0 B = sen700 = sen40 < 0 Item (16) Verdadeiro 1 ( tg x + 1 )(sen x 1) = sec x. ( cos x) =.( cos x) = 1 cos x Página 9 de 4

30 Resposta da questão 0: [D] 1. P = π π = 65dias 65. para que f(t) seja mínimo deveremos considerar π π. t π 65 sen. t = 1 = t = 91, 5dias 65 (mês de abril) f 4 = 18,8 1,.1 = 17 horas e 0 minutos Os itens e são verdadeiros. Resposta da questão 1: [D] O período da função é π π =. 5 5 Como as taxas de inalação e exalação são 6, temos a função : π π y = 0,6 sen.x 5. A função não poderia ser y = 0,6 cos.x 5, pois, se x for zero, o y deveria ser 0,6. Resposta da questão : [B] P = π π = Resposta da questão : [B] 5865 Maior valor (cos (0,06t) = -1) r(t) = = ,15.( 1) 5865 Menor valor(cos(0,06t) = 1) r(t) = = ,15.(1) Somando, temos: = 1000 Resposta da questão 4: = 05 01) (verdadeira) R =. 6. = 6, logo o lado do quadrado é.6 = 1. 0 (falsa) sec x = 1 + tg x sec x = 6 cos x = 1 cos x = 6 (terceiro quadrante) ) (verdadeira) Página 0 de 4

31 (x +r) = (x r) + x x 4xr = 0 x = 0 (não convém) ou x = 4r. Logo, o cosseno do maior ângulo será x r r = = x+ r 5r 5 08) (falsa) sen x cos x sen x 1 cos x = cos x = cos x sen x sen x cos x + sen x 1+ cos x cos x 16) (falsa) π π x = x = 4 π π x = x = 4 (quatro raízes) 5π 5π x = x = 4 7π 7π x = x = 4 Resposta da questão 5: [B] 8 sen x = 4 senx senx sen x 8 =.sen x = senx 1 4 (.4) 1.sen x = 8senx 1 1.sen x - 8senx + 1 = 0 Resolvendo a equação do segundo grau na incógnita senx, temos: senx = 1 ou senx = 1 6 Observando a circunferência trigonométrica, notamos que a equação possui quatro raízes no intervalo dado. Página 1 de 4

32 Resposta da questão 6: [C] Seja n o número de degraus da escada. tg 0 = 0 = 0 80 n = 0 = 14. cm Resposta da questão 7: [D] Resposta da questão 8: [D] Resposta da questão 9: [A] Resposta da questão 40: [C] Resposta da questão 41: [B] Página de 4

33 Resposta da questão 4: [D] Resposta da questão 4: [D] Resposta da questão 44: [E] Resposta da questão 45: [E] Resposta da questão 46: [D] Como 900 = , segue que o atleta girou duas voltas e meia. Resposta da questão 47: [A] Resposta da questão 48: [D] Resposta da questão 49: [D] Resposta da questão 50: [B] Página de 4

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