Se o relógio da figura a seguir marca 8h e 25min, então o ângulo x formado pelos ponteiros é

Transcrição

1 RESOLUÇÃO CICLO TRIGONOMÉTRICA E FUNÇÃO SENO Questão 1) Se o relógio da figura a seguir marca 8h e 25min, então o ângulo x formado pelos ponteiros é a) 12 30'. b) 90. c) 100. d) '. e) 120. Alternativa correta: D O deslocamento do ponteiro das horas, em 25 minutos, é igual a = 12 30'. Logo, como o ângulo entre as posições 5 e 8 mede 3 30 = 90, tem-se: x = ' = '. Questão 2) Considere uma circunferência de centro O e raio 6 cm. Sendo A e B pontos distintos dessa circunferência, sabe-se que o comprimento de um arco AB é 5π cm. A medida do ângulo central AÔB, correspondente ao arco AB considerado é a) 120. b) 150. c) 180. d) 210. e) 240. Alternativa correta: B

2 Medida do arco em rad: rad rad =150 o Questão 3) Um arco de circunferência mede 300 o, e o seu comprimento é 2 km. Qual é o número inteiro mais próximo da medida do raio, em metros? a) 157 b) 284 c) 382 d) 628 e) 764 Alternativa correta: C Solução 1: Se o raio é r, então o comprimento de um arco de graus é. Assim, no problema, tem-se que: Solução 2: Como a circunferência tem 360 o, um arco de 300 o representa da circunferência, logo, seu comprimento é do comprimento da circunferência, isto é: Questão 4) Um relógio analógico marca, em um certo instante, 1 hora e 15 minutos. Admita que o ponteiro dos minutos, a partir desse instante, movimente-se 36º. Nessas condições, o novo horário apresentado por esse relógio é: a) 1 hora e 51 minutos. b) 1 hora e 31 minutos. c) 1 hora e 43 minutos. d) 1 hora e 36 minutos. e) 1 hora e 21 minutos. Alternativa correta: E 360º correspondem a 60 minutos, então 36º corresponderão a 6 minutos. 1h15min + 6min = 1h21min Questão 5) Uma partícula descreve um arco de 1080º sobre uma circunferência de 15 cm de raio. A distância percorrida por essa partícula, em cm, é igual a:

3 a) 90π b) 120π c) 140π d) 160π e) 180π Alternativa correta: A Número de voltas: Distância total percorrida: Questão 6) Um especialista, ao estudar a influência da variação da altura das marés na vida de várias espécies de certo manguezal, concluiu que a altura A das marés, dada em metras, em um espaço de tempo não muito grande, poderia ser modelada de acordo com a função Nessa função, a variável t representa o tempo decorrido, em horas, a partir da meia-noite de certo dia. Nesse contexto, conclui-se que a função A, no intervalo [0,12], está representada pelo gráfico: a) b)

4 c) d) e) Alternativa correta: A

5 Questão 7) Do solo, um garoto observa seu amigo em uma roda-gigante. A altura h, em metros, do amigo em relação ao solo é dada pela expressão dado em segundos e a medida angular em radianos., sendo o tempo t Reprodução Qual o tempo gasto em uma volta completa da roda-gigante? a) 16 b) 19 c) 22 d) 24 e) 32 Alternativa correta: D O período é dado por Portanto, uma volta dura 24 s. Questão 8) Um fabricante produz telhas senoidais como a da figura a seguir.

6 Para a criação do molde da telha a ser fabricada, é necessário fornecer a função cujo gráfico será a curva geratriz da telha. A telha-padrão produzida pelo fabricante possui por curva geratriz o gráfico da função y = sen (x) (veja detalhe na figura a seguir). Um cliente solicitou, então, a produção de telhas que fossem duas vezes "mais sanfonadas" e que tivessem o triplo da altura da telha-padrão, como na seguinte figura. A curva geratriz dessa nova telha será, então, o gráfico da função a) b) c) d) e)

7 Alternativa correta: B A função y = sen(x) tem período 2 e amplitude 1 (altura da telha). De acordo com o gráfico, a nova telha será fabricada a partir de uma função de período e amplitude 3. O período P de uma função da forma y = sen(rx) é dado por Assim, A nova função será y = 3 sen(2x). Questão 9) Um supermercado, que fica aberto 24 horas por dia, faz a contagem do número de clientes na loja a cada 3 horas. Com base nos dados observados, estima-se que o número de clientes possa ser calculado pela função trigonométrica x, a hora da observação (x é um inteiro tal que 0 x 24 )., sendo ƒ(x) o número de clientes e Shutterstock Utilizando essa função, a estimativa da diferença entre o número máximo e o número mínimo de clientes dentro do supermercado, em um dia completo, é igual a a) 600. b) 800. c) 900. d) 1500 e) Alternativa correta: E

8 Como 0 x 24 e 1 sen α 1, com, tem-se: Multiplicando os termos da dupla desigualdade por ( 800): A fim de formar o intervalo positivo, adiciona-se 900 aos termos: Como Logo, f(x) min = 100 e f(x) máx = Portanto, a diferença entre o número máximo e o mínimo de clientes dentro do supermercado, em um dia completo, é = clientes. Questão 10) Em uma eleição estão concorrendo os candidatos A, B e C. Realizada uma pesquisa de intenção de voto com eleitores, obteve-se o seguinte resultado, ilustrado no gráfico de setores a seguir. O valor do ângulo x do gráfico de setores é a) 18 graus. b) 36 graus.

9 c) 60 graus. d) 72 graus. e) 84 graus. Alternativa correta: D % Portanto, x = 72. x 20% Questão 11) Suponha que a expansão P = sen(2 t) descreve de maneira aproximada a pressão sanguínea P, em milímetros de mercúrio, de uma certa pessoa durante um teste. Nessa expressão, t representa o tempo em segundos. A pressão oscila entre 20 milímetros de mercúrio acima e abaixo dos 100 milímetros de mercúrio, indicando que a pressão sanguínea da pessoa é 120 por 80. Como essa função tem um período de 1 segundo, o coração da pessoa bate 60 vezes por minuto durante o teste. Em que momento, durante o primeiro segundo, a pressão sanguínea atingiu seu mínimo? a) 0,85 s. b) 0,75 s. c) 0,65 s. d) 0,55 s. e) 0,45 s. Alternativa correta: B Obviamente, a pressão sanguínea atingiu seu mínimo quando sen (2 t) = -1. Então, sen(2 t) = -1 2 t = + k. 2, com k inteiro. Simplificando, encontramos: t = + k, com k inteiro Logo: t = = 0,75 s. Questão 12)

10 Do solo, você observa um amigo numa roda-gigante. A altura h, em metro, de seu amigo em relação ao solo é dada pela expressão h(t) = 11,5 + 10, em que o tempo t é dado em segundo e a medida angular, em radiano. Marque a opção que corresponde à diferença, em metros, entre as alturas máxima e mínima que seu amigo alcança. a) 10 b) 15 c) 18 d) 20 e) 25 Alternativa correta: D Os valores máximos e mínimos ocorrem, respectivamente, quando sen Portanto: h máx = 11, = 21,5 h min = 11, (-1) = 1,5 21,5-1,5 = 20,00 Questão 13) A produção de certo tipo de alimento numa determinada propriedade rural pode ser modelada pela função, em que x representa o mês do ano (1 para janeiro, 2 para fevereiro, 3 para março, e assim sucessivamente) e N(x) é o número de toneladas produzidas no mês x. A maior e a menor quantidade produzidas, em toneladas, são, respectivamente, iguais a a) 320 e 140. b) 500 e 320. c) 500 e 280. d) 500 e 140. e) 410 e 320. Alternativa correta: D

11 I. Produção máxima II. Produção mínima Questão 14) A produção de certo tipo de alimento numa determinada propriedade rural pode ser modelada pela função, em que x representa o mês do ano (1 para janeiro, 2 para fevereiro, 3 para março, e assim sucessivamente) e N(x) é o número de toneladas produzidas no mês x. Os meses do ano em que a produção é máxima são a) janeiro e julho. b) fevereiro e agosto. c) março e setembro. d) abril e outubro. e) maio e novembro. Alternativa correta: C Quando k = 0 x = 3 março Quando k = 1 x = 9 setembro Questão 15) O preço dos produtos agrícolas oscila de acordo com a safra de cada um: mais baixo no período da colheita, mais alto na entressafra. Suponha que o preço aproximado P, em reais, do quilograma de tomates seja dado pela função a seguir:

12 onde t é o número de dias contados de 1º de janeiro até 31 de dezembro de um determinado ano. Para esse período de tempo, o menor valor de t para qual o preço P seja igual a R$ 3,10 é a) 101. b) 131. c) 171. d) 201. e) 261. Alternativa correta: B De acordo com o exposto, devemos ter: P(t) = 3,1 3,1 = 2,7 + 0,8. sen Então, No ciclo trigonométrico, a igualdade ocorrerá quando: ou Questão 16) Um pêndulo descreve um movimento harmônico segundo a equação horária h(t) = sen centímetros. em que t é o tempo transcorrido em segundos e h é a altura em relação ao solo em

13 O período de oscilação do pêndulo é a) 0,5 s b) 1,0 s c) 1,5 s d) 2,0 s e) 2,5 s Alternativa correta: D Questão 17) O departamento de Meteorologia de uma cidade modelou a variação da temperatura média local, num determinado dia, por meio da função: em que T é a temperatura em graus Celsius, e t é a hora do dia, com 0 t 24. Qual era a temperatura média na cidade às 22 horas? a) 20 C b) 16 C c) 18 C d) 28 C e) 22 C Alternativa correta: B

14 T = sen T = sen T = sen210 T = T = 20-4 = 16 C Questão 18) Estima-se que, em 2014, a receita mensal de um hotel seja dada (em milhares de reais) por R(t) = sen 2, em que t = 1 representa o mês de janeiro, t = 2 o mês de fevereiro e assim por diante. Diante do exposto, podemos concluir que a receita de março será inferior à de fevereiro em a) R$ ,00. b) R$ ,00. c) R$ ,00. d) R$ ,00. e) R$ ,00. Alternativa correta: C Temos que: i) Receita de março = R(3) = sen 2 = (milhares de reais). ii) Receita de fevereiro = R(2) = sen 2 = (milhares de reais). Logo: Diferença (solicitada = ,00 reais.) Questão 19) Suponha que a expressão P = sen(2πt) descreve de maneira aproximada a pressão sanguínea P, em milímetros de mercúrio, de uma certa pessoa durante um teste. Nessa expressão, t representa o tempo em segundos. A pressão oscila entre 20 milímetros de mercúrio acima e abaixo dos 100 milímetros de mercúrio, indicando que a pressão sanguínea da pessoa é 120 por 80. Como essa função tem um período de 1 segundo, o coração da pessoa bate 60 vezes por minuto durante o teste. Em que momento, durante o primeiro segundo, a pressão sanguínea atingiu seu mínimo?

15 a) 0,85 s b) 0,75 s c) 0,65 s d) 0,55 s e) 0,45 s Alternativa correta: B Obviamente, a pressão sanguínea atingiu seu mínimo quando sen(2πt) = 1. Então: sen(2πt) = 1 2πt = + k.2π, com k inteiro. Simplificando, encontra-se:, com k inteiro Logo: Questão 20) Um terremoto de magnitude 8 graus da escala Richter atingiu, em setembro de 2009, a região de Samoa. O terremoto causou ondas de até 3 metros. A maré alta nesse local ocorreu à meia-noite. Suponha que o nível de água, na maré alta, fosse de 3 metros; mais tarde, na maré baixa, fosse de 3 cm. Supondo que a próxima maré alta seja exatamente ao meio-dia e que a altura da água é dada por uma curva seno ou cosseno, qual das alternativas a seguir corresponde à fórmula para o nível da água na região em função do tempo? a) b) c) d) e) Alternativa correta: A De acordo com o enunciado, temos: i) Maré alta = 3 m ii) Maré baixa = 3 cm iii) para t = 0 h H max = 3 m iv) para t = 12 h H max = 3 m v) Período = 12 h A única função que satisfaz todas as condições acima encontra-se no item (a).

16 Questão 21) Observando que a figura representa um pictograma ou gráfico de setores, popularmente conhecido como gráfico em pizza, o ângulo do setor correspondente à margem de lucro, em graus, é a) 30º. b) 36º. c) 45º. d) 54º. e) 60º. Alternativa correta: D Questão 22) Uma pessoa inspira e espira a cada 3 segundos. O volume de ar nos pulmões de uma pessoa varia entre um número mínimo de 2 litros e um máximo de 4 litros. A função, representa o volume de ar, nos pulmões da pessoa, em função do tempo t. Qual o gráfico que melhor representa essa função?

17 a) b) c) d) e) Alternativa correta: A

18 Questão 23) Uma equipe de pesquisadores coletou dados da temperatura (em ºC) de determinada região, durante uma semana, em intervalos de uma hora. A função a seguir representa a temperatura f(x) (em ºC) variando em função do tempo x (em horas). Sabendo que a temperatura começou a ser medida às 6 horas da manhã, marque a alternativa em que aparece o instante em que a primeira temperatura mínima do primeiro dia ocorreu e qual era essa temperatura. a) 9 horas da manhã e 16 ºC. b) 8 horas da manhã e 18 ºC. c) 8 horas da noite e 22 ºC. d) 9 horas da noite e 18 ºC. e) Meio-dia e 22 ºC. Alternativa correta: A De acordo com o exposto, devemos ter: Então: x = k x = 3 Como a medição começou às 6 horas da manhã, concluímos que: Primeira temperatura mínima: ƒ(3) = ( 1) = 16 ºC Instante = (6 + 3) = 9 horas Questão 24) Considere as seguintes informações: De dois pontos A e B, localizados na mesma margem de um rio, avista-se um ponto C, de difícil acesso, localizado na margem oposta, conforme o modelo abaixo:

19 Sabe-se que B está distante 1000 metros de A; Com o auxílio de um teodolito (aparelho usado para medir ângulos), foram obtidas as seguintes medidas: BÂC = 30º e Dados Deseja-se construir uma ponte sobre o rio, unindo o ponto C a um ponto D entre A e B, de modo que seu comprimento seja mínimo. Podemos afirmar que o comprimento da ponte será de, aproximadamente, a) 480 m b) 520 m c) 730 m d) 960 m e) m Alternativa correta: B

20 Questão 25) No setor de trabalho da pintura de peças de uma fábrica, a pressão em um tambor de ar comprimido varia com o tempo conforme a função: correspondente ao valor mínimo da pressão é t > 0. O instante t a) b) c) d) e) Alternativa correta: D Pelo enunciado dado, temos ƒ(x) = sen Para que a função assuma um valor mínimo devemos ter: sen sen = sen Questão 26) Em determinada cidade, a concentração diária, em gramas, de partículas de fósforo na atmosfera é medida pela função, em que t é a quantidade de horas para fazer essa medição. O tempo mínimo necessário para fazer uma medição que registrou 4 gramas de fósforo é de: a) 1/2 hora

21 b) 1 hora c) 2 horas d) 3 horas e) 4 horas Alternativa correta: B C(t) = 4 g sen Questão 27) Uma piscina foi projetada na forma mostrada na figura a seguir. O contorno dessa piscina é formado por dois arcos de circunferências de mesmo raio. Duas meninas, Ana e Bia, visualizam os pontos X e Y mostrados sob um mesmo ângulo α. O motivo do ângulo de visualização ser o mesmo é que a) independentemente de as circunferências terem o mesmo raio, as meninas devem estar em posições diametralmente opostas. b) ambos os ângulos veem a mesma corda XY comum às circunferências. c) o segmento XY divide a piscina ao meio e, portanto, é um diâmetro.

22 d) as meninas encontram-se em pontos simétricos à corda XY. e) os pontos X e Y são extremos de um diâmetro. Alternativa correta: B Alternativa A (F) O aluno admite que as meninas devem estar em posições diametralmente opostas. Alternativa B (V) O aluno percebe que ambos os ângulos veem a mesma corda XY comum às circunferências de mesmo raio e, portanto, ambos os arcos são arcos capazes. Alternativa C (F) O aluno percebe que o segmento XY divide a piscina ao meio, mas considera que esse segmento é um diâmetro, e por isso o ângulo seria igual. Alternativa D (F) O aluno desenha os simétricos à corda XY e encontra a figura a seguir: Logo, as meninas não se encontram em pontos simétricos à corda XY. Alternativa E (F) O aluno considera que os pontos X e Y são extremos de um diâmetro e, portanto, seria este o motivo de o ângulo de visualização ser o mesmo. Questão 28) Em um triângulo retângulo ABC, em que a hipotenusa BC mede 30 cm, sabe-se que o seno do ângulo oposto ao lado AB mede 0,6. Desse modo, conclui-se que a medida do lado AB desse triângulo mede: a) 12 cm b) 15 cm c) 18 cm d) 20 cm e) 24 cm Alternativa correta: C Ao aplicar-se o conceito de seno, conclui-se que o segmento AB mede 0,6 x 30 cm = 18 cm.

23 Questão 29) No triângulo ABD, representado abaixo, o ângulo A é reto e o segmento AD mede 4 cm. Prolongandose o segmento AD até o ponto C, obtém-se o triângulo retângulo ABC. Considerando-se que os ângulos ABD, DBC e BCD são congruentes e medem 30, conclui-se que a medida do segmento AC é: a) 6 cm b) 8 cm c) 10 cm d) 12 cm e) 14 cm Alternativa correta: D Considerando que sen30 = 0,5 e aplicando a definição de seno no triângulo ABD, conclui-se que o segmento BD mede 4/0,5 = 8 cm. Como o triângulo BDC é isósceles, segue que os segmentos CD e BD são congruentes. Assim, o segmento AC mede = 12 cm. Questão 30) Sabendo que o ângulo APB, formado por duas retas que tangenciam uma circunferência nos pontos A e B, conduzidas por um ponto P externo, mede 35º, o valor em graus do menor arco formado por essas tangentes é a) 70º. b) 115º. c) 140º. d) 180º. e) 215º. Alternativa correta: C

24 I. x =?; x é o menor arco. II. x + y = 360 o. y x = 70 o y = 215º Questão 31) Pedro estava realizando uma apresentação sobre relógios em sua escola, explicando que:...o relógio é utilizado como medidor do tempo desde a Antiguidade, em variados formatos. É uma das mais antigas invenções humanas., quando um colega disse que seu tempo tinha terminado. Olhando para seu relógio de pulso, viu que este marcava 1h e 12 minutos. Qual o menor ângulo formado pelos ponteiros desse um relógio, nesse momento? a) 30º b) 36º c) 40º d) 46º e) 50º Alternativa correta: B Menor ângulo: q q = 30 o H 5,5 o M q = 30 o 1 5,5 o 12 q = 30 o 66 o q = 36 o q = 36 o Questão 32)

25 Um ciclista, depois de sofrer um forte acidente, volta a treinar em uma pista circular pertencente a um ginásio de sua cidade. No primeiro dia de treino, ele percorreu arco percorrido por esse atleta em graus e radianos? dessa pista. Qual a medida do a) 60º e b) 120º e c) 150º e d) 240º e e) 300º e Alternativa correta: E 1. 1 volta = 360 o Questão 33) João estava procurando seu gatinho, que desde manhã tinha desaparecido, quando o ouviu miando do alto de uma árvore. Para retirá-lo de lá, João pegou uma escada de 4 m, em sua casa, e encostou-a na árvore de tal forma que o ângulo da escada com o chão foi de 60º. Sendo a árvore perpendicular ao solo, determine a altura que o gato estava em relação ao chão. a) b) c) d) e) Alternativa correta: B

26 Questão 34) Uma roda gira formando um ângulo de 2925º. Determine o número de voltas e o menor arco côngruo, não negativo, formado por essa roda, supondo que ela partiu da origem. a) 7 voltas e 30º b) 7 voltas e 135º c) 8 voltas e 45º d) 8 voltas e 225º e) 9 voltas e 30º Alternativa correta: C Veja que: 2925º = 360º º Logo, 2925º equivale a 8 voltas + 45º. Questão 35) O valor simplificado da expressão será: a) -2 b) -1 c) 0 d) 1 e) 2

27 Alternativa correta: D Questão 36) O período e a imagem da função real definida por respectivamente, são: a) b) c) d) Alternativa correta: A Para achar o período basta dividir (pois este é o período da função seno) pelo coeficiente em do arco dado, assim na função dada temos: a imagem da função y = sen(2x) sempre irá variar entre [ 1, 1] para qualquer que seja o arco 2x, mas esse valor está sendo multiplicado por 3, temos então que a imagem de y = 3sen(2x) é o intervalo [ 3, 3]. Questão 37) Qual o domínio e o conjunto imagem da função y = sen 4x? a) D = [-1/4, 1/4] e Im = [-p /2, p /2]. b) D = [-2/3, 3/2] e Im = [-p/4, p /5]. c) D = [3/4, 1/4] e Im = [-p /3, p /3]. d) D = [-1/5, 1/5] e Im = [-p/2, p/2]. e) D = [-1/3, 1/3] e Im = [-p /2, p /2]. Alternativa correta: A Podemos escrever: 4x = sen y. Daí vem: Para x: -1 4x 1 Þ -1/4 x 1/4. Portanto, Domínio = D = [-1/4, 1/4]. Para y: Da definição vista acima, deveremos ter -p /2 y p /2. D = [-1/4, 1/4] e Im = [-p /2, p /2]. Questão 38)

28 O período da função definida por é: a) b) c) d) e) Alternativa correta: B O periodo da função y= sen(kx) é dado por, assim o período da função apresentada deve ser