Matemática - 2C16/26 Lista 2

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1 Matemática - 2C16/26 Lista 2 1) (G1 - cp2 2008) Uma empresa cultiva eucaliptos para a produção de celulose. Com o objetivo de proteger sua plantação contra incêndios, esta empresa tem um sistema de segurança que envolve mais de 00 funcionários treinados para identificar e combater focos de queimadas, e mais de 20 torres de vigilância que se espalham pelas plantações. Outra medida tomada é a criação de aceiros (valas que separam as áreas de eucaliptos e florestas nativas). A figura 1 a seguir ilustra a situação descrita. a) Determine a distância x (da torre de observação até o início do aceiro). b) Calcule o ângulo β. Considere as aproximações. Seno 2 = 0,79 Seno 62 = 0,88 Seno 72 = 0,94 Seno 82 = 0,99 Cosseno 2 = 0,62 Cosseno 62 = 0,47 Cosseno 72 = 0,1 Cosseno 82 = 0,14 c) Qual o ângulo de visão α de um observador que estiver no alto da torre? Tangente 2 = 1, Tangente 62 = 1,9 Tangente 72 =,0 Tangente 82 = 7,1 2) (Unesp) Um prédio hospitalar está sendo construído em um terreno declivoso. Para otimizar a construção, o arquiteto responsável idealizou o estacionamento no subsolo do prédio, com entrada pela rua dos fundos do terreno. A recepção do hospital está metros acima do nível do estacionamento, sendo necessária a construção de uma rampa retilínea de acesso para os pacientes com dificuldades de locomoção. A figura representa esquematicamente esta rampa (r), ligando o ponto A, no piso da recepção, ao ponto B, no piso do estacionamento, a qual deve ter uma inclinação α mínima de 0 e máxima de 4. Nestas condições e considerando 2 1,4, quais deverão ser os valores máximo e mínimo, em metros, do comprimento desta rampa de acesso? ) (G1)

2 Para levar sua mulher até o alto do pedestal, ou trazê-la até o chão, o vicking usa uma escada medindo 2,4 m. Os degraus da escada têm 6 cm de altura e estão igualmente espaçados 18 cm um do outro. Nem todos os degraus estão representados na figura. O degrau mais baixo equidista do chão e do segundo degrau. O degrau mais alto apoia-se no plano superior do pedestal. a) A escada é composta por quantos degraus? b) A escada faz um ângulo θ com o chão e sabe-se que: sen θ = 4 cos θ = tg θ = 4 Calcule a altura h do pedestal. 4) Calcule as transformações de medidas de ângulos pedidas: a) 120 em radianos; b) 2π em graus; 7 c) 24 em radianos; d) π em graus. ) (Fuvest SP) Quantos graus mede aproximadamente um ângulo de 0,10 radianos? a) 2 b) 4 c) 6 d) 8 e) 10 6) (Unifor CE) Reduzindo-se ao primeiro quadrante um arco de medida 744, obtém-se um arco, cuja medida, em radianos, é: a) π b) π 2 c) 2π d) 4π 7) Um ciclista de uma prova de resistência deve percorrer 00 km em torno de uma pista circular de 200 metros. Calcule o numero aproximado de voltas que ele deve dar.use π=,14. 8) Um sinalizador é formado por dois feixes luminosos, um verde (V) e outro amarelo (A), coplanares e concêntricos, girando em sentidos opostos, com igual velocidade. O verde gira em sentido horário. Num dado instante, o ângulo entre os feixes é de 00, como mostra a figura. A partir desse instante, de quantos graus deve girar cada feixe para que se superponham pela segunda vez? e) 9π 10 9) A roda de uma motocicleta possui o raio medindo 0 centímetros. Determine a distância que a motocicleta percorre quando a roda dá 00 voltas. Utilize π =,14. 10) O relógio de uma torre possui o ponteiro dos minutos medindo 1 metro. Calcule a distância que a extremidade desse ponteiro percorre em 0 minutos. 11)Em um relógio, a hora foi ajustada exatamente para 12 h. Calcule as horas e os minutos que estará marcando esse relógio após o ponteiro menor percorrer um ângulo de 44º. 12) (Cefet MG) A medida do menor ângulo central formado pelos ponteiros de um relógio que está marcando 9h 0min, em grau, é: a) 90 b) 10 c) 110 d) 120 e) 10 1) (UFES) Uma curva numa linha férrea deve ser traçada em círculo. O raio que deve ser dado ao círculo para que os trilhos mudem 2º de direção numa distância de 40π metros é: a) 08 m b) 268 m c) 28 m d) 278 m e) 288 m 14) (PUC PR) Um relógio foi acertado exatamente às 6h. Que horas o relógio estará marcando após o ponteiro menor (das horas) ter percorrido um ângulo de 72º? 1) Calcule a primeira determinação positiva do conjunto de arcos de mesma extremidade que o arco A de medida: A= 810 graus. 16) Calcule a primeira determinação positiva do conjunto de arcos de mesma extremidade que o arco A de medida A=-2000 graus. 17) Calcule a primeira determinação positiva do conjunto de arcos de mesma extremidade que o arco de medida 8 /. 18) Calcule a primeira determinação positiva do conjunto de arcos de mesma extremidade que o arco de medida: (a) A=1620 (b) A=-7 / (c)a=-600 (d) A=12 /11 19) Unindo as extremidades dos arcos da forma (n+2) /6, para n=0,1,2,..., obtém-se qual dos polígonos regulares? (a) Quadrado (b) Hexágono (c) Octógono 20) Verifique se os arcos de medidas 7 / e 19 / são arcos côngruos? 21) Marcar no círculo trigonométrico as extremidades dos arcos de medidas x=2k /, onde k é um número inteiro. 22) Marcar no círculo trigonométrico as extremidades dos arcos de medidas x= /4+2k /, onde k é um número inteiro. 2) Determine o valor de sen(4290 ) 24) Determine os valores de cos( ) e de sen( ) 2) Determine o valor de sen(-17 /6). 26) Determine o valor de cos(9 /4). 27) Determine o valor de tan(10 ). 28) Determine o valor de tan(- /4). 29) Quais são os valores de m que satisfazem à igualdade cos(x)=2m-1? 0) Quais são os valores de m que satisfazem à igualdade sen(x)=2m-?

3 1) Construa o gráfico das seguintes funções, dando o domínio, a imagem e o período: a) y = 2 sen x c) y = - cos x b) y = 2 sen d) y = cos 2) Resolva, no intervalo 0 x < 2π, a equação sen² x 1 = 0 ) Resolva, no intervalo 0 x < 2π, a equação sen² x + sen x = 0 4) Resolva, no intervalo 0 x < 2π, a equação 2 sen² x sen x - 2 = 0 ) Resolva, no intervalo 0 x < 2π, a equação 2 sen² x + sen x 1 = 0 e dê a soma de suas raízes. 6) Resolva, no intervalo 0 x 2π, a equação sen³ x sen x = 0 7) Resolva, no intervalo 0 x < 2π, a equação = sen x 8) Resolva, no intervalo 0 x < 2π, a equação 2 cos²x + cos x 1 = 0 9) Resolva, no intervalo 0 x < 2π, a equação 2 cos² x = cos x 40) Resolva, no intervalo 0 x < 2π, a equação 4 cos² x 8 cos x + = 0 41) Sendo sen x = - e π < x <, calcule: a) cos x b)tg x c) sec x d) cotg x 42) Dado cos x = - e < x < π, calcule os valores de sen x e tg x. 4)Sendo sen x = e cos x = a - 1, determine a. 44) (PUC SP) Sendo cos x = e sen x =, determine m. 4) (Fuvest SP) Se tg x =, com < x <, determine o valor de y = cos x sen x. 46) Dado sen x =,, calcular cos x. 47) Dado cosx =, com, calcule tg x. 48) (FEI-SP) Sabe-se que x é um arco do primeiro quadrante, tal que tg x =. Calcule sen x e cos x. 49) Simplifique a expressão 0) (Enem) Nos X-Games Brasil, em maio de 2004, o skatista brasileiro Sandro Dias, apelidado "Mineirinho", conseguiu realizar a manobra denominada "900", na modalidade skate vertical, tornando-se o segundo atleta no mundo a conseguir esse feito. A denominação "900" refere-se ao número de graus que o atleta gira no ar em torno de seu próprio corpo, que, no caso, corresponde a a) uma volta completa. b) uma volta e meia. c) duas voltas completas. d) duas voltas e meia. e) cinco voltas completas

4 Gabarito Resposta da questão 1: a) 4, m b) β = 72 c) β = 18 Resposta da questão 2: Portanto, o valor mínimo do comprimento da rampa de acesso será 7 m e o valor máximo será 10 m. Resposta da questão : a) 10 degraus b) h = 1,92 m Resposta da questão 4: a) x = 2 π rad b) x = 1,4 c) x = 1 π rad 10 d) x = 108 Resposta Questão x = 6,02 Portanto, um ângulo que mede 0,10 radianos equivale a, aproximadamente, 6,02. A alternativa correta é a letra c. Resposta Questão 6 x = 4 π Portanto, a alternativa correta é a letra d. Resposta da questão 7: 98 Resposta da questão 8: 19 Resposta Questão 9 C = cm ou 1, km. Resposta Questão 10 A extremidade do ponteiro percorrerá aproximadamente,2 metros. Resposta Questão11 O relógio estará marcando 1 horas e 28 minutos. Resposta Questão 12 Em qualquer relógio analógico o ponteiro das horas percorre um ângulo de 0º em exatamente 1 hora. Dessa forma, em 0 minutos percorre 1º. Então: * 0º + 1º = 90º + 1º = 10º Reposta correta item b. Resposta Questão 1 Resposta correta item e. Resposta Questão 14 Deverão passar 2 horas e 24 minutos para que o ponteiro das horas se desloque 72º. Portanto, o relógio estará marcando 8 horas e 24 minutos. Resposta Questão 1 Este resultado significa que precisaremos dar duas voltas completas e mais 90 para completarmos o arco de 810. Assim a primeira determinação positiva será 90. Resposta Questão 16 A 1a. determinação positiva é dada por =40. Resposta Questão 17 Como 2 =6 /=6.( /) e 8 /=8.( /), então dividindo 8 por 6, obtemos 6 voltas inteiras mais o resto que é 2 Multiplicando o resto 2 por /, dá a medida do ângulo procurado A=2 / Resposta Questão 18 a) 180 b) πi/ c) 6 d) 14π/11 Resposta Questão 19 O correto é o ítem a: Quadrado, pois tomando An como os arcos para n=0,1,2,..., teremos: A0= /6, A1= 8 /6, A2=11 /6, A=14 /6, A4=17 /6= /6+2. Isto quer dizer que para n=4 temos a segunda determinação do arco /6 e para n>4 os arcos coincidem com os arcos determinados anteriomente. Além disso, estes 4 pontos dividem a circunferência em 4 partes iguais pois eles estão /6= /2 (rad) distantes um do outro. Assim as extremidades dos arcos determinam um quadrado. Resposta Questão 20 Como a diferença entre as medidas de dois arcos dados é: d=19 /-7 /=4 que é um múltiplo de 2, então os arcos são côngruos. Resposta Questão 21 Para para cada k: x0, x1, x2,... são as medidas dos arcos, logo:

5 x0=0 x1=2 / x2=4 / x=6 /=2 Resposta Questão 22 Para para cada k: x0, x1, x2,... são as medidas dos arcos, logo: x0= /4 x1= /4+2 /=11 /12 x= /4+4 /=19 /12 x4= /4+6 /= /4+2 Resposta Questão 2 Assim, 4290= , isto é, os arcos de medidas 4290 e 0 são côngruos. Então: sen(4290 )=sen(0 )=-1/2. Resposta Questão 24 sen( )=sen(1 )=- /2 Resposta Questão 2 sen(-17 /6)=-1/2 Resposta Questão 26 cos(9 /4)= /2 Resposta Questão 27 tan(10 )=- / Resposta Questão 28 tan(- /4)=1 Resposta Questão 29 0 < m < 1 Resposta Questão 0 2 < m < Resposta Questão 2 Resposta Questão Resposta Questão 4 Resposta Questão Resposta Questão 9 Resposta Questão 40 Resposta Questão 41 a) b) c) d) Resposta Questão 42 sen x =, tg x = - Resposta Questão 4 a = 2 Resposta Questão 44 {-1, 2} Resposta Questão 4 Resposta da questão 46: Cos x = Resposta Questão 6 Resposta da questão 47: tg x = Resposta Questão 7 Resposta Questão 8 Resposta da questão 48: sen x =, cos x = Resposta da questão 49: sec Resposta da questão 0: D