Módulo de Trigonometria. Radiano, Círculo Trigonométrico e Congruência de Arcos. 1 a série E.M.

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1 Módulo de Trigonometria Radiano, Círculo Trigonométrico e Congruência de Arcos 1 a série E.M.

2 Trigonometria Radiano, Círculo Trigonométrico e Congruência de Arcos. 1 Exercícios Introdutórios Exercício 1. Se o comprimento de uma circunferência é cm, determine o comprimento de um arco, nesta circunferência, de a) 180 o b) 90 o c) o d) 0 o e) 0 o f) 10 o g) 70 o Exercício. Expresse em radianos: a) 0 o. b) o. c) 0 o. d) 10 o. e) 1 o. f) 10 o. g) o. h) 00 o. Exercício. Expresse em graus: a) b) c) d) e) f) g) 7 h) 11 Exercício. Determine a expressão geral dos arcos côngruos aos arcos de: a) 0 o. b) 0 o. c) 1 o. d) e) Exercício. Determine a primeira determinação positiva dos arcos: a) 00 o. b) 900 o. c) 100 o. d) 80 o. e) 19 f) 81 Exercícios de Fixação Exercício. Determine, em radianos, a medida do ângulo central correspondente a um arco de 1cm em uma circunferência de cm de raio. Exercício 7. Determine o comprimento, em cm, de um arco correspondente a um ângulo central de 0 o em uma circunferência de 8cm de raio. Exercício 8. Determine a medida, em graus, do menor ângulo formado pelos ponteiros das horas e dos minutos de um relógio analógico às: a) h. b) 9h0min. c) 11h0min. d) 1h0min. e) hmin. Exercício 9. Um pêndulo de 0cm, descreve um movimento no qual suas posições extremas formam um ângulo de o. Determine o comprimento dessa trajetória (de uma posição extrema à outra). 1 matematica@obmep.org.br

3 Exercício 10. Uma roda-gigante de 0m de diâmetro possui 18 cabines numeradas sequencialmente de 1 a 18. Tino e sua namorada entram na cabine. A roda-gigante começa a girar, mas, para que fosse possível a entrada de outro casal, ela para na cabine 9 logo em seguida. Determine a distância, em metros, percorrida pela cabine de Tino nesse deslocamento. Exercício 11. Em uma pista circular de 00m de comprimento, Joaquim Barbosa realiza um treinamento no qual ele corre 10m na maior velocidade que puder e para por 0s, repetindo o processo 1 vezes. Determine: a) o raio aproximado desta pista. b) a medida, em graus, do arco determinado em cada treinamento. c) a medida da menor determinação positiva do ângulo encontrado no item anterior. Exercícios de Aprofundamento e de Exames Exercício 1. Marca-se em um pneu, no ponto de seu contato com o solo, um ponto com tinta, que chamaremos de A. O carro percorre um determinado trecho, onde o pneu gira o. Qual a distância do ponto A ao novo ponto de contato do pneu com o solo, chamado de P, em função do raio r do pneu? Exercício 1. Em um programa que se chama Roda a Roda, existe uma roleta que os participantes giram para saber qual o seu prêmio, conforme a figura. A roleta deve estar posicionada sempre no PERDE TUDO antes do giro de qualquer participante e o giro deve ser sempre no sentido horário. a) Jairo gira a roleta 70 o. Qual é seu prêmio? b) Qual o menor ângulo para que o prêmio de Juarez seja 100? c) Quais ângulos fazem com que Josué perca a vez ou perca tudo? Figura : Roleta de RODA A RODA Exercício 1. Considere um círculo trigonométrico com centro na origem do sistema de coordenadas cartesianas. Quais arcos possuem a mesma abscissa, analisando apenas a primeira determinação positiva, que os arcos de a) o. b) 10 o. c) 1 o. d) 190 o. e) f) Exercício 1. Considere um círculo trigonométrico com centro na origem do sistema de coordenadas cartesianas. Quais arcos possuem a mesma ordenada, analisando apenas a primeira determinação positiva, que os arcos de a) o. b) 110 o. c) 00 o. d) 0 o. e) f) Exercício 1. Nos X-Games Brasil, em maio de 00, o skatista brasileiro Sandro Dias, apelidado Mineirinho, conseguiu realizar a manobra denominada 900, na modalidade skate vertical, tornando-se o segundo atleta no mundo a conseguir esse feito. A denominação 900 refere-se ao número de graus que o atleta gira no ar em torno de seu próprio corpo, que, no caso, corresponde a: a) uma volta completa. b) uma volta e meia. c) duas voltas completas. d) duas voltas e meia. e) cinco voltas completas. matematica@obmep.org.br

4 1. a) 180o 0 o cm. 90 o b) / cm. 0o o c) / cm. 0o 0 o d) / cm. 0o 0 o e) / cm. 0o f) 10o / cm. 0o g) 70o / cm. 0o. a) 0 o 180o b) o 180o c) 0 o 180o d) 10 o 0o Respostas e Soluções. e) 1 o o f) 10 o 0 o g) o o h) 00 o 0 o. a) 180 o 0 o. b) 180 o. c) 180o d) 180o e) 180o f) 180o 90 o. o. 0 o. 1 o. g) 7 180o 10 o o h) 0 o.. a) 0 o + 0 o k, k Z. b) 0 o + 0 o k, k Z. c) 1 o + 0 o k, k Z. d) + k, k Z. e) + k, k Z.. a) 00 o 0 o 0 o. b) 900 o 0 o 180 o. c) 100 o 0 o 0 o. d) 80 o + 0 o 0 o. e) 19 1 f) α 1 7. Como a medida do comprimento desta circunferência é 8 1 cm, a medida do comprimento do arco é 0 o 0 o 1 8 cm. 8. A cada volta completa do ponteiro grande (minutos), o ponteiro pequeno (horas) anda uma hora, ou seja, 0 o 1 0o, que é o valor da distância angular entre dois números consecutivos de um relógio analógico. a) 0 o 10 o. b) Se o ponteiro pequeno estivesse sobre o 9 e o grande sobre o, o ângulo seria 0 o 90 o. Porém, o ponteiro pequeno desloca-se de forma proporcional ao deslocamento do ponteiro grande. Como o grande deu meia-volta, o pequeno percorreu metade de 0 o, assim o menor ângulo entre eles é 90 o + 1 o 10 o. c) Seguindo o mesmo raciocínio do item anterior, temos α 0 o o 110 o. d) Neste caso, o ponteiro grande está depois do pequeno, isto significa que devemos subtrair o deslocamento do pequeno. Assim, temos α 0 o 0 0 0o 80 o. e) Como o ponteiro grande está depois do pequeno, temos α 0 o 0 0o 0 o 1 o 0 7 o 0. matematica@obmep.org.br

5 9. Se o movimento realizado completasse uma circunfere ncia, o comprimento da trajeto ria seria 0 100cm. Pore m, a trajeto ria envolve apenas uma parte dessa circunfere ncia. Temos, enta o, que o comprimento 100 cm. desse arco e ` 8 b) O primeiro pre mio de 100, em relac a o a posic a o inicial, fica na terceira faixa. Assim, o menor a ngulo e 0o o. c) PASSA A VEZ E PERDE TUDO sa o as faixas mu ltiplas de, ou seja, eles aparecem (um ou outro) 0o 90o em 90o. Portanto, isso ocorrera nos de a ngulos da forma 90o k, k N. 10. O a ngulo central determinado por duas cabines consecutivas e de 0o /18 0o. O arco determinado pelas cabines e 9 possui um a ngulo que mede 0o 80o. 0 80o m. Assim, essa dista ncia sera ` 0 0o 1. Esse exercı cio requer descobrir o sime trico de cada arco em relac a o ao eixo x. Para isso, basta, a partir da origem do cı rculo trigonome trico, seguir no sentido hora rio, ou seja, e necessa rio apenas subtrair de 0o ou rad o arco em questa o. 11. a) r 00, segue que r 00/, 7m. b) A cada 00m temos 0o. O comprimento total de cada treino e, em metros, Assim, a medida do arco e 0o + 0o 178o. 00 a) 0o o o. b) 0o 10o 0o. c) 0o 1o o. c) Como temos voltas completas mais 88o, a menor determinac a o positiva desse a ngulo e 88o. d) 0o 190o 170o. 1. Como 18780o 0o + 0o, significa que o pneu deu voltas completas mais 0o. Isso significa que o a ngulo central determinado pelo ponto A e o ponto P mede 0o, ou seja, estes pontos e o centro da roda formam um tria ngulo equila tero. Assim, a dista ncia entre os pontos A e P e r. Veja a figura. e) 7 f) Perceba que nesse exercı cio, diferente do anterior, o eixo de simetria e o eixo y, assim, basta tomar como ponto de partida 90o ou 70o, analisando, de acordo com o quadrante, qual operac a o deve ser realizada. a) 90o + (90o o ) 1o, pois o a ngulo pertence ao primeiro quadrante. b) 90o (110o 90o ) 70o, pois o a ngulo pertence ao segundo quadrante. c) 70o (00o 70o ) 0o, pois o a ngulo pertence ao quarto quadrante. d) 70o + (70o 0o ) 0o, pois o a ngulo pertence ao terceiro quadrante. Figura 1: Posic a o Final do Pneu 1. a) Como 70o 7 0o + 0o, a roleta da 7 voltas completas mais 0o da oitava volta, ou seja, 0o e a menor determinac a o positiva. Se a roleta e dividida em faixas de pre mios (na o necessariamente todos diferentes), significa que o pre mio ganho por Jairo esta 0o na faixa de nu mero 1, que e 90. Observe 0o que ao girar a roleta no sentido hora rio, a passagem das faixas pelo ponto inicial de refere ncia se da no sentido anti-hora rio. E como se um relo gio tivesse os ponteiros parados e a base com os nu meros girasse. e) +( ) f) ( ) Comenta rio para professores: Os dois u ltimos exercı cios sa o importantes como preparac a o para entender que senos e cossenos de a ngulos na o congruentes podem ser iguais, como sen 1o sen 7o. 1. (ENEM) Se cada volta completa tem 0o e 900o 0o + 180o, enta o o atleta girou duas voltas e meia. Resposta D. matematica@obmep.org.br

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