Conteúdos e Revisão EXAME FINAL e Avaliação Especial

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1 Conteúdos e Revisão EXAME FINAL e Avaliação Especial Data: Dezembro/06 Componente Curricular: Matemática Série: ª Turmas : A, B e C Professor (a): Lisiane Murlick Bertoluci Importante: A avaliação especial e o exame final abordarão questões que exigirão a demonstração dos cálculos e seguirão o mesmo nível de dificuldade das questões trabalhadas em aula. Os alunos deverão estudar baseados nas questões dos módulos citados, bem como nas provas, listas de revisões e trabalhos realizados durante o ano letivo de 06. Conteúdos: Trigonometria no Triângulo Retângulo M9. Estudo Geral dos Triângulos - M0. Polígonos e suas áreas M. Ciclo trigonométrico M6. Transformações Trigonométricas M7. Matrizes M9. Determinantes M0. Sistemas Lineares M. Contagem e Análise Combinatória M. Bons estudos! Com carinho professora Lisi. Trigonometria no Triângulo Retângulo (M9) e Estudo Geral dos Triângulos (M0): ) Na figura abaixo, calcule o valor da medida x: ) No triângulo abaixo, determine as medidas de x e y: ) No triângulo da figura abaixo, calcule as medidas de b e c:

2 ) (UPE-PE) O valor da tangente do ângulo de 7º é igual a: a) - b) - c) + d) + e) - ) (MAPOFEI-7) Calcule o valor da expressão: sen0 - cos 7 : 6) Uma rampa lisa com 0 m de comprimento faz ângulo de º com o plano horizontal. Uma pessoa que sobe a rampa inteira eleva-se verticalmente a quantos metros? 7) O valor de tangente do ângulo de é igual a: 8) (UFPI PI) Um avião decola, percorrendo uma trajetória retilínea, formando com o solo um ângulo de 0 (supondo que a região sobrevoada pelo avião seja plana). Depois de percorrer 000 metros, a altura atingida pelo avião, em metros, é: a) 00 b) 70 c) 000 d) 0 e) 00 9) (UEMT) Um grupo de zoólogos encontra na extremidade de um morro uma espécie de pássaro em extinção. Eles sabem que é de suma importância o estudo desta espécie em seu habitat natural, sendo, portanto, necessário o deslocamento de mantimentos e equipamentos até o topo do morro. Um dos membros do grupo, tendo conhecimento de engenharia, efetua algumas medidas, conforme o desenho abaixo

3 para calcular o comprimento do cabo de A até B que será utilizado para transporte dos materiais. Após os cálculos ele observa que o cabo sofrerá uma curvatura quando for colocado peso sobre ele, tornando o seu comprimento % maior que a medida tomada de A até B. Quantos metros de cabo deverão ser utilizados para que possa transportar os materiais necessários para o estudo até o topo do morro? a) 6m b) 0m c) 0m d) m e) m Polígonos e suas áreas M: 0) Na figura abaixo, as circunferências têm centro nos pontos A e B e cada uma delas é tangente a três lados do retângulo. Sabendo que cada círculo tem raio cm, qual a área do retângulo em metros quadrados? ) Na figura a seguir, o quadrado maior foi dividido em dois quadrados e dois retângulos. Se os perímetros dos dois quadrados são 0 cm e 80 cm, qual a área do retângulo sombreado? ) Considere o quadrado ABCD inscrito na circunferência de centro O e raio cm, determine as medidas do apótema e do lado desse quadrado: ) O hexágono regular [ABCDEF] tem um perímetro cm e está dividido em seis triângulos equiláteros iguais.

4 Determine: a. A área de cada triângulo equilátero: b. A área do hexágono: ) Num trapézio isósceles [ABCD], as bases [AB] e [CD] têm, respectivamente, 9 cm e 7 cm de medidas de comprimento. Sabendo que a medida da amplitude do ângulo interno BCD é de º, determine a medida da área do trapézio: ) Calcule a medida da área de um triângulo [ABC], sabendo que AC BC 0cm e AB 8cm : 6) A medida da base de um triângulo isósceles é de 60 cm e a medida do seu perímetro é igual a 6 cm. Calcule a medida da sua área: 7) Os quadrados ABCD e APQR, representados na figura abaixo, são tais que seus lados medem 6 e o ângulo PAD mede 0. Ligando-se o ponto B com o ponto R e o ponto D com o ponto P, obtém-se o hexágono BCDPQR, cuja área é: a) 90. b) 9. c) 00. d) 0. e) 0.

5 8) A figura adiante mostra a planta baixa da sala de estar de um apartamento. Sabe-se que duas paredes contíguas quaisquer incidem uma na outra perpendicularmente e que AB =, m, BC =, m, EF =,0 m, FG = 0,8 m, HG =, m e AH = 6,0 m Qual a área dessa sala em metros quadrados? a) 7,. b) 8,. c) 0,. d),. e),. 9) Considere um triângulo ABC cujos lados meçam m, 6m e 8m. Para esse triângulo, calcule: a) A área, em metros quadrados: b) A medida do raio da circunferência inscrita, em metros: Ciclo trigonométrico (M6) e Transformações Trigonométricas (M7): 0) Complete a tabela: GRAUS RADIANOS GRAUS RADIANOS 0º 80º 0º 0º º º 60º 0º 90º 70º 0º 00º º º 0º 60º

6 ) Expresse em graus: 0 a) rad 9 b) rad 8 c) rad 9 d) rad 0 e) rad ) Obtenha as menores determinações não negativas dos arcos: a) 00º b) 0º c) 70º d) rad e) rad f) 00º ) Marque um X nos pares que representam arcos côngruos: ( ) 70º e 60º ( ) 00º e 90º 8 ( ) rad e 6 rad

7 7 ( ) rad e 9 rad ) (Enem) Nos X-Games Brasil, em maio de 00, o skatista brasileiro Sandro Dias, apelidado Mineirinho, conseguiu realizar a manobra denominada 900, na modalidade skate vertical, tornando-se o segundo atleta no mundo a conseguir esse feito. A denominação 900 refere-se ao número de graus que o atleta gira no ar em torno de seu próprio corpo, que, no caso, corresponde a: a) uma volta completa b) uma volta e meia c) duas volta completas d) duas voltas e meia e) cinco voltas completas ) Determine um arco trigonométrico, medido em graus entre 0º e 60º, que coincida com cada um destes arcos: a) 80º b) 00º + c) - 7 rad d) -0º

8 e) Represente os ângulos encontrados nas questões a, b, c, e d: 6) Calcule a menor determinação do arco -780º, em graus: 7) Verifique se os arcos abaixo são côngruos: a) 0º e 760º = b) 0º e 60º = c) rad e rad = 8) Pela simetria dos arcos, calcular, por redução ao primeiro quadrante: a) sen 0

9 b) sen c) sen 0 9) No círculo trigonométrico um ângulo é tal que seu seno vale e encontra-se no segundo quadrante. A tangente deste ângulo vale: a) b) c) d) e) 0) Para um ângulo do º quadrante sabe-se que cos x sen x =. Determine seno e cosseno desse ângulo: ) Um ângulo do terceiro quadrante é tal que sen x =.cos x. Obtenha o seno e cosseno desse ângulo: Matrizes (M9): ) (ITA-006) Sejam as matrizes 0 / / 0 A e / / B. Determine o elemento c da matriz ) ( B A C. ) Determine x e y na igualdade y y x

10 ) Dadas as matrizes A e 6 B 0, determine A +.B T : ) Escreva a matriz A = (a ij ) do tipo x sabendo que a ij = i j. 6) Escreva a matriz A = (a ij ) do tipo x sabendo que: a ij = i j se i = j e a ij = i j se i j. 7) Escreva a matriz coluna do tipo 7x tal que a ij = i + j. 8) Escreva a matriz linha do tipo x7 tal que a ij = i + j.. 9) Sendo A = e B = - e C = -., calcule: 0 0 a) A.B b) A.C c) B.C - 0) Considere a matriz M =, determine K = M t 7 ) Obtenha a matriz inversa da matriz : Determinantes M0: ) Se A uma matriz quadrada de ordem tal que aij = i - j, escreva explicitamente a matriz A e, em seguida calcule: a) det A: c) det A - :

11 b) det A t : d) det (A): ) Dada a matriz B = (bij)x tal que bij = j + i escreva explicitamente a matriz B e, em seguida calcule: a) Cofator do elemento a : b) Cofator do elemento a : ) Calcule os seguintes determinantes: - a) b) c) ) Dada a matriz A = Place: , calcule o determinante da matriz A utilizando La - 6) Dada a matriz A =, calcule: 7 a) det A b) det A 7) (Vunesp) Seja A uma matriz. Se A = , o determinante de A é: 8) Sejam A e B matrizes quadradas de ordem. Se A = 0-0 e B é tal que B - = A, o determinante de B será:

12 Sistemas Lineares M: 9) Aplique a Regra de Cramer: 0) Considere que três pessoas, Pedro, Carlos e João tem a seguinte relação entre seus salários: i Duas vezes o salário de Carlos, menos o salário de João, menos o salário de Pedro é igual a R$ 00,00. ii A soma do salário das três pessoas é igual R$ 000,00. iii O salário de Pedro, mais duas vezes o salário de João, mais duas vezes o salário de Carlos é igual a R$ 00,00. a) Escreva, na forma matricial, as equações que descrevem a relação entre os salários de Pedro, Carlos e João. b) Obtenha a solução através da regra de Cramer. ) O valor de x + y + z no sistema (Utilize o método de Cramer)

13 a. 9 b. c. 0 d. e. Contagem e Análise Combinatória M: ) Considere as letras da palavra SOMA: a. Quantos são os anagramas que podem ser formados com todas as quatro letras? b. Quantos anagramas iniciam-se pela letra A? ) Assinale V ou F, conforme for verdadeira ou falsa, respectivamente, cada afirmação a seguir: a. ( ) 7! = 7.6.! b. ( ) 9! =! + 6! c. ( ) 0! /! = d. ( ) 6! /! = 0 e. ( ) Se n! = 6, então n = ) Encontre um número natural n tal que n!. (n )! = 0 ) Calcule o número de anagramas que podem ser formados pelas letras da palavra ALUNO: 6) Simplifique as expressões: a. 0! / 9! b. n! / (n )! c. 00! + 99! / 99! 7) Você dispõe de 9 livros: de Matemática, de Física e de Química. Todos são distintos. a. Qual o número de maneiras distintas de dispor esses 9 livros lado a lado numa mesma prateleira?. b. Qual o número de maneiras de dispor esses livros deixando juntos os da mesma disciplina?. 8) Considerando as letras da palavra FORTE, calcule: a. o número total de anagramas que podem ser formados com as letras; b. o número de anagramas que começam e terminam por consoante. 9) Cinco rapazes e duas moças devem ocupar os sete lugares de uma mesma fila de um cinema. a. De quantas maneiras distintas eles podem ocupar esses sete lugares?

14 b. De quantos modos eles podem ocupar esses sete lugares se as moças devem ficar juntas? c. De quantos modos eles podem ocupar esses sete lugares se as moças devem ficar separadas? 60) Permutam-se de todos os modos possíveis os algarismos,,, 7 e 9 e escrevem-se assim números com cinco algarismos distintos, colocando-os em ordem crescente. a. Qual o lugar ocupado pelo número.79; b. Qual a soma dos números assim formados? 6) Considere apenas os algarismos,, 6 e 8. a. Quantos números naturais de algarismos podemos formar? b. Quantos números naturais de algarismos distintos podemos formar? c. Quantos números naturais de algarismos, onde pelo menos algarismo se repita, podemos formar? 6) Suponhamos que você tenha uma nota de 00 reais, uma nota de 0 reais, uma nota de 0 reais, uma nota de reais e uma nota de real. Colocando-as lado a lado, de quantas maneiras diferentes elas podem ser dispostas, como na fotografia, apenas mudando as posições entre elas? 6) Quantos são os anagramas da palavra SENHOR? 6) Quantos são os anagramas da palavra SENHOR que começam e terminam por vogal? 6) Considere moças e rapazes que irão sentar-se em 0 cadeiras colocadas uma do lado da outra. (obs.: cada uma das 0 pessoas ocupará uma cadeira.) a. De quantas formas diferentes essas cadeiras poderão ser ocupadas? b. De quantas formas diferentes essas cadeiras poderão ser ocupadas sendo que não pode haver dois ou mais rapazes (ou duas ou mais moças) juntos? 66) Você deve escolher 6 algarismos para formar uma senha com base nos algarismos,,,, e 6. Então, calcule: a. o número de senhas que podem ser formadas. b. o número de senhas que podem ser formadas se os algarismos não podem se repetir. 67) Calcule: a) A 7, b) A, c) A 0, 68) Quantos números naturais de algarismos distintos podemos formar com os algarismos de até 9? 69) De quantas maneiras 7 meninos podem sentar-se num banco que tem apenas lugares? 70) (UFU-MG) De quantas maneiras três mães e seus três respectivos filhos podem ocupar uma fila com seis cadeiras, de modo que cada mãe sente junto de seu filho? a) 6 b) c) 8 d) 6 e) 8

15 7) (UNIFOR-CE) Um casal e seus quatro filhos vão ser colocados lado a lado, para tirar uma foto. Se todos os filhos devem ficar entre os pais, de quantos modos distintos os seis podem posar para tirar a foto? a) b) 8 c) 96 d) 0 e) 70 7) Em uma turma, você deverá escolher pessoas como representantes da turma. Qual o número total de escolhas possíveis? 7) Ao final da aula, cada aluno da turma deverá apertar a mão de todos os colegas uma única vez. Quantos apertos de mão existirão no total? 7) Considere 8 vértices de um octógono convexo. Você deverá formar segmentos ligando esses pontos dois a dois. Qual o número total de segmentos que podem ser formados? 7) Ao final da aula, cada aluno da turma deverá apertar a mão de todos os colegas uma única vez. Quantos apertos de mão existirão no total? 76) Qual o número total de diagonais de um octógono convexo? 77) (FGV-SP) Quantos números diferentes obtemos reagrupando os algarismos do número 78.8? a) 90 b) 70 c) d) 0 e) 80 78) (UFU-MG) O número de anagramas da palavra ERNESTO, começando e terminando por consoante, é: a) 80 b) 70 c).0 d).90 e).00 79) (UFPA) Uma cobaia percorre um labirinto tendo sete pontos em que pode virar à direita, à esquerda ou seguir em frente. De quantas maneiras esta cobaia percorre o labirinto, se segue um caminho diferente em cada vez? a) A 7, b) C 7, c) 7 d) 7 e) 7! /! 80) (USP) Uma comissão de cinco alunos deve ser formada para discutir e planejar o desenvolvimento das partes esportiva de sua escola. Sabendo-se que estes cinco alunos devem ser escolhidos de um grupo de 0 alunos, então o número possível de escolha é: a) 60 b) 80 c).600 d) e) 0 8) (UFV-MG) Resolvendo a equação C x =, encontramos: a) x = -6 ou x = 7 b) x = -6 c) x = d) x = e) x = 7