Trigonometria - Segunda Parte

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1 Capítulo 8 Trigonometria - Segunda Parte 81 Conceitos Preliminares número Dada uma circunferência de raio r, diâmetro d = r, o número é denido como a razão do comprimento C da circunfeência pelo seu diâmetro d, isto é, comprimento de uma circunferência = C d = C r Pela denição do número na equação 81) observamos que o comprimento da circunferência é dado por Medida de ângulos Existem unidades usuais para a medida de ângulos 81) C = d = r 8) Grau: 1 grau, denotado 1 o, é um ângulo correspondente a 1 0 de uma volta completa da circunferência Conseqüentemente, a volta completa na circunferência compreende um ângulo de 0 o - Figura 81a) Radiano: 1 radiano, denotado 1 rad, é um ângulo correspondente a um arco de mesmo comprimento do raio da circunferência - Figura 81b) 90 o 180 o 0o ou 0 o 1 rad r s = r 70 o a) A denição de grau b) A denição de radiano Figura 81: Medidas de ângulo 1

2 comprimentro de um arco Em uma circunferência de raio r, seja θ um ângulo qualquer, medido em radianos, e s o arco correspondente - Figura 8a) valor s do comprimento do arco é obtido por uma regra de simples Conversão grau-radiano 1 rad r = θ rad s s = r θ Determinamos o valor do ângulo, em radianos, para uma volta completa na circunferência por uma regra de simples 1 rad = x rad x = r r Isto é, uma volta completa na circunferência corresponde a um ângulo de medida radianos - Figura 8b) s = r θ 90 o = rad θ rad r 180o = rad θ 0 o = 0 rad ou 0 o = rad a) comprimento de um arco 70 o = rad b) Conversão grau-radiano Figura 8: Comprimento de arco e a conversão grau-radiano Dado um ângulo θ em graus, sua medida x em radianos é obtida por uma regra de simples rad 180 o = x rad θ o x = θ 180 rad Exemplo 81 Determine a medida do ângulo 155 o em radianos rad 180 o = x rad 155 o x = = 1 5 rad Exemplo 8 Determine a medida do ângulo rad em graus rad 180 o = rad x 8 Círculo Trigonométrico x = 180 = 15o É o circulo 1 de raio unitário e centro na origem do sistema cartesiano - Figura 8a) No triângulo P da Figura 8b) lembrando que P = 1 ) observamos que cosθ) = /P = x/1 = x e senθ) = P /P = R/P = y/1 = y, 1 Um termo mais apropriado seria circunferência trigonométrica, mas o termo círculo trigonométrico é tradicionalmente utilizado na literatura e vamos mantê-lo

3 de modo que as coordenadas cartesianas do ponto P são dadas por P = x, y) = cosθ), senθ) ) y 1, 0) x R θ P x, y) a) circulo trigonométrico b) Seno e cosseno Figura 8: seno e o cosseno no círculo trigonométrico Raciocinando no sentido inverso, seja P x, y) um ponto qualquer sobre o círculo unitário e θ o ângulo correspondente, medido no sentido anti-horário a partir do semi-eixo positivo das abscissas Denimos o cosseno deste ângulo como o valor da abscissa de P e seu seno como o valor da ordenada de P Esta denição do seno e cosseno no círculo trigonométrico nos permite calcular os valores das razões trigonométricas para ângulos dados por qualquer número real, e não apenas para ângulos agudos como no caso de triângulos retângulos A Figura 8 ilustra este raciocínio para ângulos no segundo, terceiro e quarto quadrantes P x, y) R θ P x, y) θ R θ R P x, y) a) Ângulo no o quadrante b) Ângulo no o quadrante c) Ângulo no o quadrante Figura 8: cosθ) = = x e senθ) = R = y 81 Sinal do seno e cosseno se 0 < θ < então senθ) > 0 e cosθ) > 0 - Figura 8b); se < θ < então senθ) > 0 e cosθ) < 0 - Figura 8a);

4 se < θ < se então senθ) < 0 e cosθ) < 0 - Figura 8b); < θ < então senθ) < 0 e cosθ) > 0 - Figura 8c) 8 As funções circulares A função seno Seja x um ângulo variável no círculo trigonométrico A cada valor de x associamos um único valor para seu seno, denotado senx) Denimos então a função fx) = senx), cujo gráco é mostrado na Figura 85 A Figura 85 exibe duas propriedades importantes da função senx): é periódica de período T = ; isto signica que suas imagens se repetem de em radianos, isto é, x R temos que senx) = senx + ); é limitada entre 1 e 1, isto é, x R temos que 1 senx) 1 senx) 1 x -1 0 Figura 85: Senóide senx) A função cosseno De modo análogo ao seno, seja x um ângulo variável no círculo trigonométrico A cada valor de x associamos um único valor para seu cosseno, denotado cosx) Denimos então a função fx) = cosx), cujo gráco é mostrado na Figura 8 A Figura 8 exibe duas propriedades importantes da função cosx): é periódica de período T = ; isto signica que suas imagens se repetem de em radianos, isto é, x R temos que cosx) = cosx + ); é limitada entre 1 e 1, isto é, x R temos que 1 cosx) 1 8 Mais identidades trigonométricas Simetrias As identidades de simetria estabelecem o efeito da substituição de α por α Pela Figura 87 temos senα) = R = S = sen α) senα) = sen α) 8a) cosα) = = cos α) cosα) = cos α) 8b) Estas identidades também podem ser facilmente observadas nas Figuras 85 e 8 respectivamente Finalmente tgα) = senα) cosα) = sen α) = tg α) tgα) = tg α) 8c) cos α)

5 cosx) 1 x -1 0 Figura 8: Senóide cosx) α α R senα) = sen α) cosα) = cos α) tgα) = tg α) S Figura 87: Simetrias do seno, cosseno e tangente Deslocamentos translações) horizontais As identidades de translação estabelecem o efeito da substituição de α por α e de α por α + Pela congruência dos triângulos da Figura 88a) observamos que R = senα) = cos α ), 8d) e P = S cosα) = sen α ) 8e) De modo análogo, pela Figura 88b) observamos que = R cosα) = sen α + ) 8f) e S = P senα) = cos α ) 8g) Fórmulas da soma e diferença Iniciamos deduzindo a fórmula do cosseno da diferença 5

6 α R α + R S P α S P α a) Ângulos α e α b) Ângulos α e α + Figura 88: Ângulos deslocados transladados) = cosα), senα) α β P = cosβ), senβ) α β Figura 89: cosseno da diferença: cosα β) Calculando o quadrado da distância entre os pontos P e da Figura 89 temos: P = [ cosα) cosβ) ] + [ senα) senβ) ] = cos α) cosα)cosβ) + cos β) + sen α) senα)senβ) + sen β) = cos α) + sen α) + cos β) + sen β) cosα)cosβ) senα)senβ) = cosα)cosβ) senα)senβ) = [ cosα)cosβ) + senα)senβ) ] Aplicando a Lei dos Cossenos no triângulo P da Figura 89 temos: P = P + P cosα β) = cosα β) = cosα β) Comparando os dois resultados obtidos para P obtemos o cosseno da diferença cosα β) = cosα)cosβ) + senα)senβ) cosseno da soma pode agora ser obtido usando um artifício algébrico engenhoso - substituímos a soma por uma diferença e aplicamos o cosseno da diferença cosα + β) = cos [ α β) ] = cosα)cos β) + senα)sen β)

7 e então aplicamos as identidades 8a) e 8b) para obtermos o cosseno da soma cosα + β) = cosα)cosβ) senα)senβ) Para obtermos o seno da diferença, inicialmente usamos a identidade 8d) para escrever senα β) = cos α β ) [ = cos α β + )] e a seguir aplicamos o cosseno da diferença no membro direito senα β) = cosα)cos β + ) + senα)sen β + ) Mas, pelo cosseno da soma cos β + ) ) ) = cosβ)cos senβ)sen = senβ) e pela identidade 8f) Assim o seno da diferença é dado por sen β + ) = cosβ) senα β) = senα)cosβ) cosα)senβ) seno da soma pode ser obtido pelo mesmo artifício aplicado na dedução do cosseno da soma - substituímos a soma por uma diferença e aplicamos o seno da diferença senα + β) = sen [ α β) ] = senα)cos β) cosα)sen β) e então aplicamos as identidades 8a) e 8b) para obtermos o seno da soma Sumarizamos aqui os resultados obtidos: senα + β) = senα)cosβ) + cosα)senβ) cosα β) = cosα)cosβ) + senα)senβ) cosα + β) = cosα)cosβ) senα)senβ) senα β) = senα)cosβ) cosα)senβ) senα + β) = senα)cosβ) + cosα)senβ) 85 Redução ao Primeiro uadrante s eixos coordenados dividem o plano cartesiano em quadrantes: 1 o quadrante: 0 < θ < ; o quadrante: < θ < ; o quadrante: < θ < ; o quadrante: < θ < 8h) 8i) 8j) 8k) Dado um ângulo θ, reduzi-lo ao primeiro quadrante consiste em determinar um ângulo no primeiro quadrante que possua as mesmas razões trigonométricas de θ, a menos de um sinal Devemos considerar casos Redução do segundo ao primeiro quadrante Na Figura 810a) observamos que se < θ < então sua redução ao primeiro quadrante é θ Temos que senθ) = R = sen θ) cosθ) = P = = cos θ) Conseqüentemente 7

8 θ P R θ θ P R S θ R S θ θ a) Do o ao 1 o quadrante b) Do o ao 1 o quadrante c) Do o ao 1 o quadrante Figura 810: Redução ao primeiro quadrante tgθ) = tg θ) ctgθ) = cotg θ) secθ) = sec θ) cscθ) = csc θ) Exemplo 8 ângulo 5 está no segundo quadrante, pois < 5 < Assim sua redução ao primeiro quadrante é 5 = Logo ) ) 5 sen = sen = 1 Redução do terceiro ao primeiro quadrante Na Figura 810b) observamos que se < θ < senθ) = S = R = senθ ) cosθ) = P = = cosθ ) Conseqüentemente e ) ) 5 cos = cos = então sua redução ao primeiro quadrante é θ Temos que tgθ) = tgθ ) ctgθ) = cotgθ ) secθ) = secθ ) cscθ) = cscθ ) Exemplo 8 ângulo 5 está no terceiro quadrante, pois < 5 < quadrante é 5 = Logo ) ) 5 sen = sen = Redução do quarto ao primeiro quadrante Na Figura 810c) observamos que se que senθ) = S = R = sen θ) cosθ) = = cos θ) Conseqüentemente e ) ) 5 cos = cos = Assim sua redução ao primeiro < θ < então sua redução ao primeiro quadrante é θ Temos 8

9 tgθ) = tg θ) ctgθ) = cotg θ) secθ) = sec θ) cscθ) = csc θ) Exemplo 85 ângulo 5 está no quarto quadrante, pois < 5 quadrante é 5 = Logo ) ) 5 sen = sen = 8 Equações trigonométricas e < Assim sua redução ao primeiro ) ) 5 cos = cos = 1 Uma equação trigonométrica é aquela que envolve as funções trigonométricas - seno, cosseno, tangente, cotangente, secante, cossecante - e suas respectivas inversas Resolver uma equação trigonométrica signica encontrar os valores do ângulo que a verica Para este propósito a Tabela 81, que nos dá os valores do seno, cosseno e tangente dos ângulos notáveis do 1 o quadrante, será de grande auxílio θ senθ) cosθ) tgθ) Tabela 81: Seno, cosseno e tangente dos ângulos notáveis do 1 o quadrante A Tabela 81 nos fornece os valores de seno, cosseno e tangente apenas para os ângulos notáveis do 1 o quadrante A Figura 811 mostra os ângulos nos segundo, terceiro e quarto quadrantes redutíveis aos notáveis do primeiro quadrante Figura 811: Ângulos redutíveis aos notáveis Exemplo 8 Resolver a equação senx) = 0 9

10 Solução: pela Tabela 81 temos que x = 0 bservando a Figura 811 temos que x = também é uma solução da equação dada Além disto, qualquer arco côngruo a estes também são soluções, de modo que a solução geral é da forma x = k, k Z Exemplo 87 Resolver a equação senx) = cosx) Solução: pela Tabela 81 temos que x = bservando a Figura 811 temos que x = 5 simétrico de em relação à origem) também é uma solução da equação dada Além disto, qualquer arco côngruo a estes também são soluções, de modo que a solução geral pode ser dada como Exemplo 88 Resolver a equação cosx) 1 = 0 x = + k, k Z Solução: temos que cosx) = 1, e pela Tabela 81 temos que x = bservando a Figura 811 observamos que x = 5 = simétrico de em relação ao eixo horizontal) também é uma solução da equação dada Além disto, qualquer arco côngruo a estes também são soluções, de modo que a solução geral pode ser dada como 87 Problemas Propostos x = k ±, k Z Problema 81 [Mack-SP] A medida de um ângulo é 5 o Determine sua medida em radianos Problema 8 [Fuvest-SP] ual o valor do ângulo agudo formado pelos ponteiros de um relógio à 1 hora e 1 minutos Problema 8 [UF-PA] uantos radianos percorre o ponteiro dos minutos de um relógio em 50 minutos? Problema 8 [Cescem-SP] Em quais quadrantes estão os ângulos α, β e γ tais que: senα) < 0 e cosα) < 0; cosβ) < 0 e tgβ) < 0; senγ) > 0 e cotgγ) > 0, respectivamente Problema 85 [FECAP-SP] Determine o valor da expressão: sen/) + cos/) + cos/ + /) Problema 8 [Santa Casa-SP] Seja a função f, de R em R denida por fx) = 1 + senx) Determine o intervalo do conjunto imagem dessa função Problema 87 [UFP-RS] ual o intervalo do conjunto imagem da função f, R em R denida por fx) = senx) Problema 88 [FC Chagas-BA] Para quais valores de a as sentenças senx) = a e cosx) = a 1 são verdadeiras para todo x real Problema 89 [Univ Gama Filho-RJ] Calcular os valores de k que vericam simultaneamemnte as igualdades: senx) = k 1 e cosx) = k Problema 810 [UF São Carlos-SP] Calcule o valor da expressão: sen x) cos x) Problema 811 [FGV-RJ] Determine a funçaõ trigonométrica equivalente a Problema 81 [PUC-RS] Determine a igualdade da expressão: tg x) senx) 1+cosx) + 1+cosx senx) secx)+senx) cossecx)+cosx) Problema 81 [FEP-PA] No círculo trigonométrico um ângulo é tal que seu seno vale 5 segundo quadrante Calcule o valor da tangente deste ângulo Problema 81 [Edson ueiroz-ce] Sabendo que secx) = e tgx) < 0, calcule senx) 0 e encontra-se no

11 Problema 815 [ITA-SP] Calcule o valor da expressão y = tanx) 1 tan x) quando cosx) = 7 e tanx) < 0 Problema 81 [PUC-RS] Sendo tgx) = 7 7 e < x <, calcule senx) Problema 817 [PUC-SP] uais os valores de x satisfazem a equação cosx 5 ) = 0 Problema 818 [Cescea-SP] Determine a soma das raízes da equação 1 cos x) = 0 compreendidas entre 0 e Problema 819 [AMAN-RJ] Determine os valores de x que satisfazem a equação cosx) = 1 Problema 80 [FC Chagas-BA] Determine o número de soluções da equação cosx) = 1, no intervalo [, ] Problema 81 [Mack-SP] Determine os valores de x para que senx) = senx + ), no intervalo 0 x Problema 8 [sec-sp] Determine o conjunto solução da equação cosx) = cos x), sendo 0 < x < Problema 8 [UF Uberlândia-MG] Determine o conjunto solução da equação tgx + 1) cotgx) 1 = 0 no intervalo [0, ] Problema 8 [Fac Belas Artes-SP] Determine os valores de x na equação tgx) + cotgx) = Problema 85 [Mack-SP] Determine os valores de x na equação sen x) = 1+cosx), no intervalo [0, ] Problema 8 [Metodista-SB do Campo-SP] Determine os valores de x na equação sec x) + tg x) = no intervalo[0, ] Problema 87 [Cesgranrio-RJ] Determine as raizes da equação cos x) sen x) = 1 no intervalo [0, ] Problema 88 [Cesgranrio-RJ] Determine a soma das quatro raizes da equação sen x) + sen x) = 0, no intervalo [0, ] Problema 89 [CESESP-PE] Determine o conjunto solução da equação 1 1+senx) senx) = 1 cos x) Problema 80 [Mack-SP] Determine a expressão geral dos arcos x para os quais [ cosx) + secx) ] = 5 Problema 81 [FGV-RJ] Determine a solução da equação: [ 1 cosx) ] = sen x) Problema 8 [FGV-SP] Determine a soma das raízes da equação no intervalo [0, ] sen x) sen x)cosx) + senx)cos x) cos x) = 0 Problema 8 [Mack-SP] Sendo senx) = 1 e 1 seny) =, 5 0 < x, y <, determine senx y) Problema 8 [FEI-SP] Se cosx) = 5, calcule senx ) Problema 85 [F S Judas-SP] Se senx) = e x um arco do segundo quadrante, então calcule Problema 8 [UC-MG] Prove que tgx) 1+tg x) senx )cosx ) é idêntica a senx) Problema 87 [UF-G] Se senx) =, calcule cosx) Problema 88 [F S Judas-SP] Se senx) = e x um arco do primeiro quadrante, então calcule senx) 1

12 Problema 89 [UCP-PR] Sabendo que cos o ) = 1+ 5, calcule cos7 o ) Problema 80 [AMAN-RJ] Determine os valores de x que satisfazem a inequação: cos5x) 1 Problema 81 [FGV-SP] Determine a solução da inequação cos x) > cosx) no intervalo [0, ] Problema 8 [UF São Carlos-SP] Determine o conjunto solução da inequação 1 0 x cossecx) 1 secx) > 0, para Problema 8 [Mack-SP] Determine a solução da inequação cosx) senx) cosx)+senx), para 0 < x < Problema 8 [PUC-SP] Determine a solução da inequação senx) cosx)+cosx 1) > 0, no conjunto 0 x Problema 85 [ITA-SP] Dado o polinômio P denido por Px) = senθ) tgθ)x + sec θ)x, determine os valores de θ no intervalo [0, ] tais que P admita somente raízes reais Problema 8 Use as identidades 8i) e 8k) para deduzir a tangente da soma tgα + β) = tgα) + tgβ) 1 tgα)tgβ) Problema 87 Use as identidades 8h) e 8j) para deduzir a tangente da diferença tgα β) = Problema 88 Fórmulas do ângulo duplo) tgα) tgβ) 1 + tgα)tgβ) a) Use a identidade 8i) para mostrar o cosseno do ângulo duplo sugestão: faça α = α + α) cosα) = cos α) sen α) b) Use a identidade 8k) para mostrar o seno do ângulo duplo senα) = cosα)senα) Problema 89 Fórmulas do ângulo metade) Use a identidade fundamental e o cosseno do ângulo duplo para deduzir o cosseno e o seno do ângulo metade cos α) = 1 sen α) = 1 [ ] 1 + cosα) [ ] 1 cosα) 88 Respostas dos Problemas Propostos - Capítulo 8 81 página 0) 5 8 página 0) o 8 página 0) 5 8 página 0) o, o e 1 o 85 página 0) 8 página 0) [, 5] 87 página 0) [ 5, 1] 88 página 0) a = 1 89 página 0) k = 810 página 0) 811 página 0) tgx) 81 página 0) cossecx) 81 página 0) / 81 página 0)

13 815 página 1) página 1) 817 página 1) k 818 página 1) 819 página 1) k + 80 página 1) :,,, 81 página 1) 0,, 8 página 1), 7 8 página 1) e 8 página 1) + k 85 página 1) 8 página 1), 5, 7, página 1), 5 88 página 1) 7 89 página 1) Não existe 80 página 1) k ± 81 página 1) x = k0 o 8 página 1) 8 página 1) página 1) 5 85 página 1) 0, 5 87 página 1) 5 88 página 1) página ) página ) k + pi x k página ) 0 x < ou < x 8 página ) S = voltar nesta 8 página ) S = 0 < x < 8 página ) < x < 5 85 página ) θ < ou < θ