GABARITO CURSO DE FÉRIAS MATEMÁTICA Professor: Fabrício Maia

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1 Professor: Fabrício Maia EXERCÍCIOS DE SALA C E B B A C A B A E B A D B B E E A B D EXERCÍCIOS PROPOSTOS A D A B B C B E C D E C A B D C B C C E D B B C RESOLUÇÃO DOS EXERCÍCIOS PROPOSTOS 1. Temos que π março P() = cos = 7 100; π julho P() = cos = P% (queda) = = 9,5% Resposta correta: A. Inicialmente, observe que πt π π πt + e são complementares π π y = 1 sen cos π 5 π y = 1 sen + + cos π π y = 1 cos α sen + + sen α cos +, α agudo π y = 1 sen + + α. 15 y máx = 1. 1 = Temos que 4 E = 4 cos + sen = 5 cos + sen E = 5 sen α cos + sen cos α 0 0 Emáx = 5 1 = 5 E = 5 sen α + 0 Emin = 5 ( 1) = P máx = 45 + = 10; 45 + ( 5) 000 P = 45 + = (5) min Resposta correta: A

2 4. Maior valor (cos (0,0t) = 1) Menor valor (cos (0,0t) = 1) Somando, temos = Temos que N(1) = cos 0 N() = cos π 5 85 r(t) = = ,15 ( 1) 5 85 r(t) = = ,15 (1) N(5) = cos π N(7) = cos π. Somando: π π (N) = cos 0 + cos + cos + cos π zero (N) = π 1 a) Verdadeiro. T(0) = + 5 cos = + 5 =,5 π π b) Verdadeiro. Período = = = 4h m π 1 c) Falso. T máx = + 5. (1) = 1 4π πt 4π d) Verdadeiro. Tmáx cos + = 1 + = π t = 4 1 = 8 14h 1 1 e) Verdadeiro. Graficamente, temos a confirmação: 7. Condição 1 + sen = 4 sen =. Daí, π t π = + k π t = 1 + 1k, k N t = 1 (mínimo). Ou πt 5π = + k π t = 5 + 1k, k N.

3 π 8. A venda será mínima quando o sen + for igual a 1. Assim, πt π π + = + kπ t = + 1k. Como 0 < t 1, temos que t =, que representa o mês de junho. π A venda será máxima quando sen + for igual a 1. πt π π + = + k π t = 1k. Como 0 < t 1, temos que t = 1, que representa o mês de dezembro. Resposta correta: E 0π 9. a) Falsa, pois ƒ(0) = 0 cos + 1 = 0( 1 + 1) = π 1 b) Falsa, pois ƒ(10) = 0 cos + 1 = = π c) Verdadeira, pois ƒ(15) = cos + 1 = 0(0 + 1) = 0. 0 d) Falsa, pois ƒ(0) = 0. e) Falsa, pois os únicos valores inteiros de ƒ(x) são ƒ(0), ƒ(10) e ƒ(15). 10. Sejam R = 400 km o raio da Terra e d = PQ a distância de P à superfície terrestre. O ângulo θ é o ângulo SPT, ˆ com S e T sendo pontos de tangência. Temos θ I. TPO ˆ = ; II. Do triângulo retângulo TOP, vem θ R sen = d + R R d + R = θ sen R = 1 d = R R 1 θ θ sen sen 1 d = θ sen 11. Temos x + y 4x y = 0 x 4x y y + 9 = 49 (x ) + (y ) = 7. Centro = (,); Raio = 7. diâmetro = r = 14 u.c.; área (disco) = πr = 49π 15,8 u.a. Resposta correta: E

4 1. Temos que x = 0 (1950) E = 4, x = 1 (1951) x = (195) Linearidade x = 10 (190) E = 48 x = 14 (194) E = v y = constante 48 4, = v 48. x 10 4 v = 49, De acordo com o enunciado, temos: (x 0) + (y 0) = 15. x + y 40x 40y = 0. Centro = (0, 0) Raio = 15 Resposta correta: A 14. Do enunciado, temos r s m r m s = 1. y 0 = 1 + x 0 y = 1 5x 5x + y = 0. (s) Equação solicitada 15. Analisando o gráfico, tem-se que as coordenadas dos estabelecimentos são A(5,4); B(,1); C(4,); D( 4, ). Assim, para avaliar se o estabelecimento está dentro da área de cobertura do sinal basta substituir suas coordenadas na equação x + y x 4y 1 0. A OK! B ( ) + 1 ( ) OK! C OK! D ( 4) + ( ) ( 4) 4 ( ) FALSO! 4

5 1. Considere a figura. 17. Dada a escala de 1: 500 e sendo as coordenadas em centímetros, podemos concluir que cada centímetro na figura corresponde a 5 metros. Assim, queremos calcular o valor de 5 (d(a,b) + d(b,c) + d(c,d) + d(d,e) + d(e, A)). É fácil ver que d(a,b) = cm, d(c,d) = cm, d(d,e) = 8 cm e d(e, A) = 5 cm. Além disso, temos Portanto, o resultado é 5 ( +, ) = 14 m. d(b, C) = (9 7) + (4 ) = 8,8 cm. i) AB = + AB = u.c. 4 1 ii) Semelhança 175 d = d = 5 m 5

6 18. Alinhamento P = (a, a). 5 0 y 0 = x = y 10 0 x Pela condição dada, temos: Sendo P(1, 5) e Q(, 1) pontos da circunferência e diametralmente opostos, temos: Cálculo do raio PQ R = d = ( 1) + (5 1) = + 4 = 0 = 5 R = 5. Equação reduzida: (x ) + (y ) = ( 5 ) Desenvolvendo, obtemos x + y 4x y + 8 = Seja M o ponto médio do segmento de extremidades C = (00, 0) e C = (50, 50). Temos M =, = (15, 40). Portanto, a condição de alinhamento dos pontos P = (x, y), C 1 = (100,10) e M é x x y y = 0 10x y 100y x = 0 5y x = 0. Resposta correta: E 1. Queremos calcular t para o qual se tem V(t) = P. P e 0,1t = P e 0,1t = e 0,1t = e 0,9 0,1t 0,9. t anos.. Seja n o número de acertos do aluno. A cada acerto, o aluno fica com seus pontos multiplicados por ; e a cada erro, fica com seus pontos multiplicados por 1. Desse modo, sabendo que o aluno ficou devendo 1 pontos, temos que Portanto, o aluno acertou 5 perguntas e errou 8 5 =. n 8 n 1 n 5 5 = 4 = n = 5.

7 . Sendo d a densidade desse antibiótico, em mg/u.v., 18 mg corresponde a um volume 18 d um volume 18 u.v., e ainda K = u.v., pois é o volume inicial. d d Desta forma, o tempo t, em horas, é tal que t t t t ƒ(t) = K = u.v. = u.v. = = = t = 1. d d 4 4. Determinando m 0 = c a k 0 m 0 = c. Como em 10 anos m 0 foi reduzido para 0, m 0, temos 0, m 0 = m 0 a 10k u.v. e mg corresponde a a 10k = 1. 5 Em 10 anos, M(0) = m 0 a 0 k = m 0 (a 10k ) = m Correspondendo a 4% de m 0. = 0,04 m 0. CRCA/Rev.: CAR 7