Matemática I. Professor Cezar Rios

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1 Matemática I 1710 Professor Cezar Rios 1. (Ufc) Os lados de um triângulo retângulo estão em progressão aritmética. Determine a tangente do menor ângulo agudo deste triângulo. 2. (Unicamp) Caminhando em linha reta ao longo de uma praia, um banhista vai de um ponto A a um ponto B, cobrindo a distância AB = metros. Quando em A ele avista um navio parado em N de tal maneira que o ângulo NAB é de 60 ; e quando em B, verifica que o ângulo NBA é de 45. a) Faça uma figura ilustrativa da situação descrita. b) Calcule a distância a que se encontra o navio da praia. 3. (Ufrrj) Determine os valores reais de k, de modo que a equação 2-3cosx = k - 4 admita solução. 4. (Unesp) Sejam a e b ângulos tais que a = 2b. Se vale a relação (cos a + cos b) + (sen a + sen b) = 3 determinar a e b. 5. (Unirio) Resolva a sentença 2 cos x - 3 cos x + 1 0, sendo 0 x<2. 6. (Uerj) Uma população P de animais varia, aproximadamente, segundo a equação abaixo. P = sen [(t + 3) / 6] Considere que t é o tempo medido em meses e que 1. de janeiro corresponde a t = 0. Determine, no período de 1. de janeiro a 1. de dezembro de um mesmo ano, os meses nos quais a população de animais atinge: a) um total de 750; b) seu número mínimo. 7. (Ufmg) DETERMINE todos os valores de x pertencentes ao intervalo (0, ) que satisfazem a equação 3 tg x + 2 cos x = 3 sec x. 8. (Ufscar) O número de turistas de uma cidade pode ser modelado pela função f(x) = 2,1 + 1,6 sen ( x/6), onde x representa o mês do ano (1 para janeiro, 2 para fevereiro, 3 para março, e assim sucessivamente) e f(x) o número de turistas no mês x (em milhares). a) Determine quais são os meses em que a cidade recebe um total de 1300 turistas. b) Construa o gráfico da função f, para x real, tal que x Æ [1, 12], e determine a diferença entre o maior e o menor número de turistas da cidade em um ano. 9. (Unesp) Uma equipe de agrônomos coletou dados da temperatura (em C) do solo em uma determinada região, durante três dias, a intervalos de 1 hora. A medição da temperatura começou a ser feita às 3 horas da manhã do primeiro dia (t=0) e terminou 72 horas depois (t=72). Os dados puderam ser aproximados pela função H(t) = sen [( /12)t + (3 /2)], SISTEMA DE ENSINO VETOR 1

2 onde t indica o tempo (em horas) decorrido após o início da observação de H(t) a temperatura (em C) no instante t. a) Resolva a equação sen [( /12)t + (3 /2)] = 1, para t Æ[0,24]. b) Determine a temperatura máxima atingida e o horário em que essa temperatura ocorreu no primeiro dia de observação. 10. (Unesp) A figura mostra a órbita elíptica de Determine: a) A altura h do satélite quando este se encontra no perigeu e também quando se encontra no apogeu. b) os valores de, quando a altura h do satélite é de km. 11. (Unicamp) Considere a equação trigonométrica sen š - 2 cos š + (1/2) sen 2š = 0. um satélite S em torno do planeta Terra. Na elipse estão assinalados dois pontos: o ponto A (apogeu), que é o ponto da órbita mais afastado do centro da Terra, e o ponto P (perigeu), que é o ponto da órbita mais próximo do centro da Terra. O ponto O indica o centro da Terra e o ângulo PÔS tem medida, com a) Mostre que NÃO são soluções dessa equação os valores de š para os quais cos š = 0. b) Encontre todos os valores de cos š que são soluções da equação. 12. (Unifesp) Na procura de uma função y = f(t) para representar um fenômeno físico periódico, cuja variação total de y vai de 9,6 até 14,4, chegou-se a uma função da forma f(t) = A + B sen [( /90) (t - 105)], com o argumento medido em radianos. a) Encontre os valores de A e B para que a função f satisfaça as condições dadas. b) O número A é chamado valor médio da função. Encontre o menor t positivo no qual f assume o seu valor médio. 13. (Fuvest) Em uma progressão aritmética de A altura h, em km, do satélite à superfície da Terra, dependendo do ângulo, é dada aproximadamente pela função termos positivos, os três primeiros termos são 1-a, -a, 11 a. O quarto termo desta P.A. é: h = { [ 7980/( cos ) ] } SISTEMA DE ENSINO VETOR

3 a) 2 b) 3 c) 4 d) 5 e) (Fuvest) A soma das frações irredutíveis, positivas, menores do que 10, de denominador 4, é d) - 5 e 3. e) 6 e (Cesgranrio) O número de assinantes de um jornal de grande circulação no estado aumentou, nos quatro primeiros meses do ano, em progressão geométrica, segundo os dados de uma pesquisa constantes na tabela a seguir. a) 10 b) 20 c) 60 d) 80 e) (Puccamp) Um pai resolve depositar todos os meses uma certa quantia na caderneta de poupança de sua filha. Pretende começar com R$ 5,00 e aumentar R$ 5,00 por mês, ou seja, depositar R$ 10,00 no segundo mês, R$ 15,00 no terceiro mês e assim por diante. Após efetuar o décimo quinto depósito, a quantia total depositada por ele será de a) R$ 150,00 b) R$ 250,00 c) R$ 400,00 d) R$ 520,00 e) R$ 600, (Unaerp) A soma dos 10 primeiros termos de uma progressão aritmética é 185 e a soma dos 12 primeiros é 258, então, o 1. termo e a razão são respectivamente: a) 3 e 5. Em relação ao mês de fevereiro, o número de assinantes desse jornal no mês de abril teve um aumento de: a) 1600 b) 1510 c) 1155 d) 1150 e) (Fei) Dada a progressão geométrica 1, 3, 9, 27,... se a sua soma é 3280, então ela apresenta: a) 9 termos b) 8 termos c) 7 termos d) 6 termos e) 5 termos b) 5 e 3. c) 3 e - 5. SISTEMA DE ENSINO VETOR 3

4 19. (Fuvest) Uma progressão geométrica tem primeiro termo igual a 1 e razão igual a 2. Se o produto dos termos dessa progressão é 2 ª, então o número de termos é igual a: a) 12 b) 13 c) 14 d) 15 e) (Ita) Se a soma dos termos da progressão geométrica dada por 0,3: 0,03: 0,003:... é igual ao termo médio de uma progressão aritmética de três termos, então a soma dos termos da progressão aritmética vale: a) 2 b) 1/2 c) 1/4 d) 1/8 e) 1/ (Mackenzie) I) sen [( /7) - x] + sen [(5 /14) + x]=1, x Æ IR II) O maior valor real que 4 elevado ao expoente senx.cosx pode assumir é 2 III) No triângulo a seguir, não retângulo, tg + tg + tg = tg. tg. tg. a) 1/3 b) 2/3 c) 1 d) 2 e) 1/2 21. (Mackenzie) Numa progressão geométrica de termos positivos, cada termo é igual à soma dos dois termos seguintes. Então a razão da progressão vale: a) 2 b) c) (1 + 2)/2 d) 2/2 e) ( 2-1)/2 22. (Unirio) O número que deve ser subtraído de 1, de 11/8 e de 31/16 para que os resultados formem uma P.G., nesta mesma ordem, é: Dentre as afirmações anteriores: a) Todas são verdadeiras. b) todas são falsas. c) somente a III é falsa. d) somente a II é falsa. e) somente a I é falsa. 24. (Unesp) Do quadrilátero ABCD da figura a seguir, sabe-se que: os ângulos internos de vértices A e C são retos; os ângulos CDB e ADB medem, respectivamente, 45 e 30 ; o lado CD mede 2 dm. 4 SISTEMA DE ENSINO VETOR

5 Então, os lados AD e AB medem, respectivamente, em dm: 26. (Ufscar) Se o ponteiro dos minutos de um relógio mede 12 centímetros, o número que melhor aproxima a distância em centímetros percorrida por sua extremidade em 20 minutos é: (considere =3,14) a) 37,7 cm. b) 25,1 cm. c) 20 cm. d) 12 cm. e) 3,14 cm. a) 6 e 3. b) 5 e 3. c) 6 e 2. d) 6 e 5. e) 3 e (Uflavras) Às 11 horas e 15 minutos, o ângulo (figura abaixo) formado pelos ponteiros de um relógio mede a) 90 b) ' c) 82 30' 27. (Fei) Na estação de trabalho de pintura de peças de uma fábrica, a pressão em um tambor de ar comprimido varia com o tempo conforme a expressão P(t) = sen[t - ( /2)], t > 0. Assinale a alternativa em que o instante t corresponda ao valor mínimo da pressão. a) t = /2 b) t = c) t = 3 /2 d) t = 2 e) t = (Fuvest) A figura a seguir mostra parte do gráfico da função: d) 120 e) ' SISTEMA DE ENSINO VETOR 5

6 a) sen x b) 2 sen (x/2) c) 2 sen x d) 2 sen 2x e) sen 2x 29. Calculando o valor da expressão (sen 80 / cos 10 ) (sen 20 / cos 70 ) (sen 130 / cos 40 ), encontraremos: a) -1 b) 1 c) sen 10 d) cos 20 e) sen (Ita) Seja Æ [0, /2], tal que sen + cos = m. Então, o valor de y = sen2 /(sen + cos ) será: a) 2(m - 1)/m(4 - m ) b) 2(m + 1)/m(4 + m ) c) 2(m - 1)/m(3 - m ) d) 2(m - 1)/m(3 + m ) d) 2/7 e) (Ufsm) Uma gráfica que confeccionou material de campanha determina o custo unitário de um de seus produtos, em reais, de acordo com a lei C(t) = sen (. t)/2, com t medido em horas de trabalho. Assim, os custos máximos e mínimo desse produto são a) 320 e 200 b) 200 e 120 c) 200 e 80 d) 320 e 80 e) 120 e (Unioeste) Sobre a função f: IR ë R, dada por f(x)=3cos2x, é correto afirmar que 01. f(0)= é uma função periódica de período o maior valor que f(x) assume é para todo x, f(x) para todo x, f(x)=3-6sen x. 32. para todo x, f(x)=f(-x). 34. (Uel) Se senx = 1/2 e x é um arco do 2. quadrante, então cos2x é igual a e) 2(m + 1)/m(3 - m ) 31. (Mackenzie) A função real definida por f(x) = k. cos(px), k > 0 e p Æ IR tem período 7 e conjunto imagem [-7, 7]. Então, k. p vale: a) 7 b) 7/2 c) 2 a) 1 b) 3/4 c) 1/2 d) -1/2 e) - 3/4 6 SISTEMA DE ENSINO VETOR

7 35. (Ufal) O seno de um arco de medida 2340 é igual a a) -1 b) - 1/2 c) 0 d) ( 3)/2 e) 1/2 36. (Ufjf) O valor de y = sen 10 + sen 20 + sen 30 + sen 40 + sen 50 + sen 60 + sen 70 + sen 80 + sen 90 é: d) (2 2)/9 39. (Unesp) Na figura adiante o triângulo ABD é reto em B, e AC é a bissetriz de BÂD. Se åæ = 2. æè, fazendo æè = b e èî = d, então: a) d = b b) d = (5/2)b c) d = (5/3)b d) d = (6/5)b e) d = (5/4)b a) -1. b) 1. c) 2. d) 4. e) (Fuvest) Os números reais sen ( /12), sen a, sen (5 /12) formam, nesta ordem, uma progressão aritmética. Então o valor de sen a é: a) 1/4 b) ( 3)/6 c) ( 2)/4 d) ( 6)/4 e) ( 3)/2 38. (Uece) Seja p um número real positivo. Se sen(2š)=2p e senš=3p, 0 < š < /2, então p é igual a: a) ( 2)/9 b) ( 2)/8 40. (Fuvest) O dobro do seno de um ângulo š, 0 < š < /2, é igual ao triplo do quadrado de sua tangente. Logo, o valor de seu cosseno é: a) 2/3 b) ( 3)/2 c) ( 2)/2 d) 1/2 e) ( 3)/3 c) ( 2)/6 SISTEMA DE ENSINO VETOR 7

8 GABARITO 1. 3/4 2. Observe a figura a seguir: 9. a) 12 b) 20 C e 15 horas 10. a) 1200 km e 2000 km b) = 90 ou = a) sen š - 2.cos š + 1/2.sen (2.š) = 0 ë b) d = 600 (3-3)m 3. 3 k 9 4. a = 2 /3 + 4n e b = /3 + 2n ou a = - 2 /3 + 4n e b = - /3 + 2n, n Æ Z 5. 0 x /3 ou 5 /3 x < 2 6. a) Novembro e março. b) Somente no mês de janeiro. 7. V = { /6, 5 /6} 8. a) julho e novembro. b) turistas. Observe a figura a seguir: ë 1 - cos š - 2.cos š + 1/2.2.senš.cosš = 0 ë 1-3.cos š + senš.cosš = 0. Os valores de š, para os quais cos š=0, não são soluções da equação dada, pois, neste caso a sentença resultante é 1-0+0=0, que é falsa. b) +( 2)/2; -( 2)/2; + ( 5)/5; - ( 5)/ a) A = 12 e B = +2,4 ou B = -2,4 b) t = [B] 14. [E] 15. [E] 16. [B] 17. [C] 18. [B] 19. [B] 20. [C] 21. [E] 22. [C] 23. [A] 24. [C] 25. [B] 26. [B] 27. [D] 28. [B] 29. [B] 30. [C] 31. [C] 32. [D] 33. F F F V V V 34. [C] 35. [C] 36. [E] 37. [D] 38. [D] 39. [C] 40. [B] 8 SISTEMA DE ENSINO VETOR