DMA-UFV MAT Prof. Walter. α em radianos se se encontram por primeira vez no ponto R. Conceitos iniciais. Exercício N o 7.

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Theodoro Borges
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1 Conceitos iniciais Os ângulos de um quadrilátero ABCD são tais que: O ângulo A mede 30 o, o ângulo B mede 5πrad e o ângulo C mede 6 80o, qual é a medida do ângulo D em radianos? Inventamos um sistema de medição angular α tal que sua unidade angular equivale à 150 parte do ângulo de uma volta. A quantos graus α equivalem 300 o. Um ângulo de um triângulo mede 35 o, o outro 5πrad. Quanto mede o terceiro ângulo em 9 radianos? O tramo de uma estrada é formado por três arcos de circunferencia o primeiro tem um raio de 10km e um ângulo central de 40 o, o segundo tem um raio de 36 km e um ângulo central de 50 o e o terceiro tem um raio de 1 km e um ângulo central de 45 o. Achar a longitude total deste tramo. Use a aproximação de pi por. 7 Dois objetos partem ao mesmo tempo e em direções como na figura dos pontos P e Q respetivamente. Se a velocidade de A é a velocidade de B como 3 é a 7. Calcular o ângulo α em radianos se se encontram por primeira vez no ponto R. Na figura adjunta temos dois setores circulares tal que a área do setor COD é 3 vezes a aérea do setor AOB, alem disso OB =. BC 3 Achar a medida do ângulo α em radianos. Se a roda maior dá 14 voltas e a menor dá 7 voltas nas direções indicadas. Achar a dis- 1

2 tancia que separa os pontos P e Q, na nova posição. Considere π = 7 Sobre um arco de circunferencia encontrase um disco como na figura. Calcular aproximadamente o número de voltas que da o disco ao ir do ponto A até o ponto C. O diametro do disco mide 0,5m AB = 1m, BC = 7m e C é ponto de tangencia. Triângulo retângulo Em certo triângulo retângulo temos que a diferença das medidas da hipotenusa com um cateto é de 8u e com o outro é de 9u. Calcular o valor da tangente do maior ângulo. Calcular o perímetro do triângulo RST se a tangente do ângulo oposto ao lado ST és, 4 e a cotangente do ângulo oposto ao lado RS é 0, 75. Alem disso RT mede 4cm. Na figura adjunta temos AB 4 Ctgθ Cscφ = BC 3, calcular Num triângulo retagulo ABC reto em B se trazam a medianas BM e CN de forma tal que estes segmento se intersetam formando um ângulo de 90 o. Calcular o valor de SenA, se A < c

3 Na figura adjunta calcular aproximadamente T gα Se E é o ponto méio do lado AC. Sobre um triângulo retângulo ABC reto em C de lados a, b, c respetivamente tal que: p c = 3 e p b =, onde p é o semiperímetro a 16 b 3 do triângulo. Calcular o valor da tangente do ângulo en A. O perímetro de um triângulo retãngulo é 1u. Se o quadrado da hipotenusa excede em uma unidade a quatro vezes a área do triângulo. Achar o valor de R = Senα + Cosα. Sendo α o maior ângulo agudo do triângulo. Calcular o valor da cotengente de α se T gα = 3 x 10x e T gθ = sendo α e θ ângulos agudos 7 5x 4x 1 complementarios. Na figura adjunta os triângulos BCD e ACD são triângulos pitagóricos de lados (n; n 1; n +1) para algum n impar e (x; k + 1; k 1) para algum k impar, respetivamente. BC < CD < AC, alem disso Ctg( φ ) Ctg( α) = 1. Calcular a área do triângulo ABC. 3

4 Considere o quadrado ABCD como na figura, calcular T gα Exercício N o 11. No retângulo ABCD da figura adjunta E é o centro de uma semicircunferencia inscrita. Calcular T gα Exercício N o 1. Se α = 7 o 30 calcular R = Senα Cos11α + Cosα Sen10α +Sen3α Cos9α +Cos4α Sen8α +Sen5α Cos7α Exercício N o 13. Na figura ABCD é um retângulo P Q//DC Calcular aproximadamente Ctgθ Exercício N o 14. Calcular Senα, com α agudo tal que (sen37 o )(Sec16 o ) = T gα(sen60 o )(Ctg30 o ) Exercício N o 15. Calcular T g φ 4 4

5 Exercício N o 16. Na figura adjunta temos dois discos de raios 8u e 1u, ligado por uma corda. Se a distância que separa os centros dos mesmos mide 5u quanto é o comprimento da corda? Considere Sen37 o = 0, 6 e Sen16 o = 0, 8. Exercício N o 17. Considere a figura adjunta tal que AB = OB e AB ortogonal ao plano P. Calcular CosXOA Exercício N o 18. Na figura adjunta BCDEF GH é um cubo, P é o ponto meio de AE. Calcular Senθ Exercício N o 19. Na figura adjunta o ângulo θ é chamado de Ângulo de Brocard, provar que Ctgθ = CtgA + CtgB + CtgC Círculo Trigonométrico Sendo P (5; 3) um ponto do lado final do ângulo α que encontrase em posição normal, calcular o valor de 5 R = 17(Cos α Sen α) + Ctgα

6 Se Ctgα = 1, 05 e Cosα < 0, calcular R = (Senα + Cosα)3 Cos 3 α + Sen 3 α Determinar a área das seguintes regiões em função dos ângulos envolvidos () círculo é o circulo trigonométrico): Se α representa a todos os ângulos do segundo quadrante, quais dos seguintes valores não pode corresponder a α: π, 7π ou π 4 Qais das seguintes proposições é falsa: 1. Senα < 0 e T gα > 0 então α ((k + 1)π; (4k + 3) π ) para algum kız.. Se θ ((4k 1) π ; kπ) para todo k Z então Cosθ > Cscθ 3. Se φ ((4k 3) π ; (k 1)π) para todo k Z então ) < Senφ < 1 Se f(θ) = Senθ+Cos4θ, calcular f( π) + T g8θ+csc6θ 4 f(π) 4 Se α [ π; 3π ], achar o intervalo onde se encontra θ para que a igualdade 3T g θ = Cosα, apresentar uma solução. Se θ [ 19π; π ] Determinar o intervalo de existencia de Cos(5θ + 5π 6 36 ) Calcular o valor máximo de y = (1 Cosx)(1 + Cosx) se x [0; π 3 ] Determinar o valor máximo e mínimo de y = Sen x 4Senx + 7 Funções Trigonométricas Calcular o domínio das seguintes funções: y = Sen3x, y = T gx, y = Sec(x π 4 ), y = Cos (x + π 3 ) e y = Ctg(x + π 3 )

7 Determinar o domínio, a imagem e o periódo das funções y = +3Sen 7x e y = 1+6Sec x 5 A equação do grafico adjunto é y = a+senbx, calcular a + b Se f(x) = asenkx e g(x) = acoskx são funções com gráfico adjunto. calcular as coordenadas do ponto P. Identidades Trigonométricas R = Sec4 φ(1 Sen 4 φ) T g φ Csc 4 φ(1 Cos 4 φ) Ctg φ R = U = Reduzir Senx + Cscx 1 Senx 1 Cscx Cosx + Secx 1+Cosx 1+Seccx (1 Senα + Cosα) (Senα + T gα)(cosα Ctgα) B = Sen3 θ + Cos 3 θ T gθ + Ctgθ Secθ + Cscθ 1 SenθCosθ Reduzir E = T g x Sen x Ctg x Cos x Achar o valor de I para que a igualdade (1+Sen φ) 3 +(1+Cos φ) 3 = I(1 Sen φcos φ) seja uma identidade 7

8 Se T gα + Secα = 4, calcular N = 15Ctgα + 17Cosα Se acos θ + bsen θ = c, achar T g θ Se Secα 1 = R e Cscα+1 = L Calcular (R T gα Ctgα R 1 )(L L 1 ) Entre que valores esta comprendido a seguinte expressão: y = 1 T gx 1 + Ctgx Redução ao Primeiro Quadrante Se α = 7 o e θ = 63 o, calcular R = Sen(7α + 9θ) + Sen(9α + 5θ) Cos(5α + 7θ) + Cos(17α + 3θ) Se α = π calcular 3 E = Sen( 15π α)cos(9π + α) Sec( 97π + α)csc( 1683π + α) Reduzir Q = Sen 897π Reduzir π Csc 7 R = Sen 5 (α+ π 3 )+Sen5 (α π 3 )+Sen5 (α+ π 3 )+Sen5 (α π 3 ) Calcular L = Cos 635π 6 Sen 47π T g 907π 4 3 Se Cos650 o = m, calcular Sen6350 o Se Sen( 473π) = b, achar N = Cos π T g 6π Se Senθ = Cosθ, com θ IIIQ, calcular R = Sen(θ 605π )Cos(θ 903π) R = Cos( 7n π + α) + Sen(nπ + α), n Z + Calcular E = 6 k=1 ( 1)k Sen( k π 7 )

9 Lei dos Senos e Cosenos e Outros E = (Senx+Cosx)(Cosy+Seny) Sen(x+y) Senα + Senθ Secθ Secα R + ( )Ctg(α + θ) SenαSecθ CosαCscθ Se α e θ são as raizes da equação acosx + bsenx = c, achar T g(α + θ) Pelo v?rtice B de um triângulo F AB reto em A, construimos uma perpendicular a BF até o ponto C tal que BC = AF, A partir de C traçamos uma reta que interseta em D a BF e em E a AF, se DF = AF, AB = 1 e BD = 9 calcular T g(cef ). Na figura adjunta calcular T gθ se T gφ = 4, 3 alem disso AB = BC = CD e EF = ED Calcular x Se acos6 o + bsen6 o = 0, reduzir at g10o b L = a+bt g10 o T g(α β) + T g(β φ) + T g(φ α) T g(α β)t g(β φ)t g(φ α) Considerando T g64 o = 80, calcular T 39 g71o e Sen4 o. Calcular Sen θ+sen (10 o +θ)+sen (10 θ) Exercício N o 11. Na figura ABCD é um retângulo, se a área do triângulo ABF é igual a área do triângulo ADG, calcular k + 34k 3 9

10 Funções Trig. Inversas Calcular θ = ArcCos 56 +ArcT g 5 +ArcCsc Se ArcSenp + ArcT gq + ArcSecr = π, calcular ArcCosp + ArcCtgq + 5 ArcCscr Calcular Sen[ArcT g[ 3Cos( 1SrcSen 5 )]] 3 Determinar o dominio da função y = ArcSec(x + 1) Calcular φ = ArcCos(Cos1) + ArcCos(Cos3) ArcCos(Cos7) Rpta: π Calcular φ = ArcSen(Sen 7π) + 8 3ArcCos(Cos 17π 7π ) + 5ArcT g(t g 1 10 ) Calcular a soma de os k primeiros términos 4 de φ = ArcT g + ArcT g ArcT g Achar x R tal que se π 4 = 3ArcT g( 1 4 ) + ArcCtgx Resolver ArcSen 1 x ArcCos x = 0 Resolver ArcSen( 5 + 1)x = 3ArcSen( 5 1)x Exercício N o 11. Calcular ArcT g(x y) se temos que ArcCosx ArcSeny = π 1 e ArcSenx + ArcCosy = 5π 1 Exercício N o 1. Seja f(x) = α + ArcSen(kx) se termos que f(0) = π 4 e f(1 ) = π 1, calcular f( ) Exercício N o 13. Se f(x) = ArcCosx; g(x) = ArcT gx e P Graf(f) Graf(g), calcular as coordenadas de P. Exercício N o 14. Dada a função f(x) = ArcCos(Sen 4 x + Cos 4 x), inidcar o dominio, a imagem e esboçar o gráfico da função f(x). 10 Exercício N o 15.

11 Se temos que ArcSena + ArcSenb + ArcSenc = π, simplificar E = a 1 a + b 1 b + c 1 c Exercício N o 16. Se ArcSena = e ArcCosa = 4, calcular ArcSenb 3 ArcCosb 3 ArcSec(a) + ArcSec(b). Equações e Inequações Resolver Senx > 1 Resolver Senx < 3 Resolver Cos3x > 1 se 0 < x < π Resolver Senx < Senx Resolver 3Senx+Cosx > 3 se 0 < x < π Resolver Senx < T gx se 0 < x < π Resolver Sen x + 3Senx + 1 se 0 < x < π 11

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