Questões. a) Calcule a área de T2 para α = 22,5. b) Para que valores de α a área de T1 é menor que a área de T2?

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1 Matemática Matemática Avançada 3 os anos João maio/11 Nome: Questões 1. (Unicamp 003) Considere dois triângulos retângulos T1 e T, cada um deles com sua hipotenusa medindo 1 cm. Seja α a medida de um dos ângulos agudos de T1 e α a medida de um dos ângulos agudos de T. a) Calcule a área de T para α =,5. b) Para que valores de α a área de T1 é menor que a área de T?. (Ita 003) Considere um quadrado ABCD. Sejam E o ponto médio do segmento CD e F um ponto sobre o segmento CE tal que m(bc) + m(cf) = m(af). Prove que cos α = cos β, sendo os ângulos α = BÂF e β = EÂD. 3. (Unesp 003) Um farol localizado a 36 m acima do nível do mar é avistado por um barco a uma distância x da base do farol, a partir de um ângulo α, conforme a figura: a) Admitindo-se que sen(α) = 3, calcule a distância x. 5 b) Assumindo-se que o barco se aproximou do farol e que uma nova observação foi realizada, na qual o ângulo α passou exatamente para α, calcule a nova distância x a que o barco se encontrará da base do farol. 4. (UFSCar 003) Sendo sen α + cos α = 1/5, a) determine sen α e cos α. b) represente no círculo trigonométrico todos os ângulos α que satisfazem a igualdade dada.

2 5. (UFPE 004) Quantas soluções a equação senx + [(sen4x)/] + [(sen6x)/4] +... =, cujo lado esquerdo consiste da soma infinita dos termos de uma progressão geométrica, de primeiro termo senx e razão (senx)/, admite, no intervalo [0, 0π]? 6. (Fuvest 004) Um triângulo ABC tem lados de comprimentos AB = 5, BC = 4 e AC =. Sejam M e N os pontos de AB tais que CM é a bissetriz relativa ao ângulo ACB e CN é a altura relativa ao lado AB. Determine o comprimento de MN. 7. (Unesp 004) Na figura, ABCD é um retângulo, BD = 6 cm, a medida do ângulo ABD é α = 30, a medida do ângulo AED é β e x = BE. Determine: a) a área do triângulo BDE, em função de x. b) o valor de x, quando β = (Unesp 004) Do solo, você observa um amigo numa roda gigante. A altura h em metros de seu amigo em relação ao solo é dada pela expressão h(t) = 11, sem [(π/1). (t - 6)], em que o tempo t é dado em segundos e a medida angular em radianos. a) Determine a altura em que seu amigo estava quando a roda começou a girar (t = 0). b) Determine as alturas mínima e máxima que seu amigo alcança e o tempo gasto em uma volta completa (período).

3 9. (Unifesp 004) Os triângulos que aparecem na figura da esquerda são retângulos e os catetos OA1, A1A, AA3, A3A4, A4A5,..., A9A10 têm comprimento igual a 1. a) Calcule os comprimentos das hipotenusas OA, OA3, OA4 e OA10. b) Denotando por θn o ângulo (AnÔAn+1), conforme figura da direita, descreva os elementos a1, a, a3 e a9 da sequência (a1, a, a3,..., a8, a9), sendo an = sen(θn). 10. (UFRN 004) A figura a seguir é formada por três triângulos retângulos. As medidas dos catetos do primeiro triângulo são iguais a 1. Nos demais triângulos, um dos catetos é igual à hipotenusa do triângulo anterior e o outro cateto tem medida igual a 1. Considerando os ângulos α, β e γ na figura abaixo, atenda às solicitações seguintes. a) Calcule tg α, tg β e tg γ. b) Calcule os valores de α e γ. c) Justifique por que 105 < α + β + γ < 10. 3

4 11. (UFSC 005) Sejam a e b os ângulos centrais associados, respectivamente, aos arcos AN e AM na circunferência trigonométrica da figura 1 e considere x na figura, a seguir. Determine o valor de y = 15x4, sabendo que a + b = π. 1. (UFG 005) O mostrador do relógio de uma torre é dividido em 1 partes iguais (horas), cada uma das quais é subdividida em outras 5 partes iguais (minutos). Se o ponteiro das horas (OB) mede 70 cm e o ponteiro dos minutos (OA) mede 1 m, qual será a distância AB, em função do ângulo entre os ponteiros, quando o relógio marcar 1 hora e 1 minutos? 4

5 13. (Unicamp 005) Sejam A, B, C e N quatro pontos em um mesmo plano, conforme mostra a figura a seguir. a) Calcule o raio da circunferência que passa pelos pontos A, B e N. b) Calcule o comprimento do segmento NB. 14. (UERJ 004) A temperatura média diária (T) para um determinado ano, em uma cidade próxima ao polo norte, é expressa pela função abaixo. T = 50sen [ (π/365) (t - 101) ] + 7 Nessa função, t é dado em dias, t = 0 corresponde ao dia 1º de janeiro e T é medida na escala Fahrenheit. A relação entre as temperaturas medidas na escala Fahrenheit (F) e as temperaturas medidas na escala Celsius (C), obedece, por sua vez, à seguinte equação: C = (5/9) (F 3) Em relação a esse determinado ano, estabeleça: a) o dia no qual a temperatura será a menor possível; b) o número total de dias em que se esperam temperaturas abaixo de 0 C. 15. (UFRJ 004) A equação x - xcosθ + senθ = 0 possui raízes reais iguais. Determine θ, 0 θ π. 16. (Fuvest 005) Determine todos os valores de x pertencentes ao intervalo [0, π] que satisfazem a equação cos x = (1/) - sen x. 5

6 17. (FGV 005) Num triângulo isósceles ABC, em que AB = AC, o ângulo Â mede o dobro da soma dos outros dois. O lado BC mede 10 cm. a) Obtenha o perímetro desse triângulo. b) Considerando que sen x + cos x = k, calcule, em função de k, o valor da expressão sen3x + cos3 x. 18. (Unesp 005) A temperatura, em graus Celsius ( C), de uma câmara frigorífica, durante um dia completo, da 0 hora às 4 horas, é dada aproximadamente pela função: Determine: f(t) = cos 1 π t cos 6 π t, 0 t 4, com t em horas. a) a temperatura da câmara frigorífica às horas e às 9 horas (use as aproximações = 1,4 e 3 = 1,7). b) em quais horários do dia a temperatura atingiu 0 C. π π 19. (ITA 006) Determine para quais valores de x, (4sen²(x) 1) (4 sec²(x)) >. vale a desigualdade 0. (UFRJ 007) Uma semiesfera de vidro, de raio interno R, é posta sobre uma mesa plana, conforme a figura. Entre as duas, é colocada ainda uma bola de raio R. No espaço remanescente (entre a semiesfera, a mesa e a bola), colocam-se bolas de raio r, de modo que r seja o maior possível. a) Calcule r. b) É possível colocar 8 bolas de raio r no espaço entre a semiesfera, a bola de raio R e a mesa? 6

7 1. (CEFET CE 005) Sabendo que x é do 4º quadrante e que cos x = 1/3, calcule o valor da expressão y = (1 + sen x)/(1 + cos x).. (CEFET CE 006) Prove que a expressão (1 + cos x - cos x)/(1 - cosx) é igual a (1 + cos x)/(1 + cos x). 3. (UFC 007) Seja f : IR IR a função dada por f(x) = sen x + cos (x). Calcule os valores máximo e mínimo de f, bem como os números reais x para os quais f assume tais valores. 4. (UFG 007) Para dar sustentação a um poste telefônico, utilizou-se um outro poste com 8 m de comprimento, fixado ao solo a 4 m de distância do poste telefônico, inclinado sob um ângulo de 60, conforme a figura a seguir. Considerando-se que foram utilizados 10 m de cabo para ligar os dois postes, determine a altura do poste telefônico em relação ao solo. 5. (UFG 007) A figura a seguir representa uma quadra retangular inscrita num terreno semicircular cujo raio mede 10 m. Nessas condições, a) expresse a área da quadra em função do ângulo θ; b) determine as dimensões da quadra que possui área máxima. 7

8 6. (Unesp 007) Podemos supor que um atleta, enquanto corre, balança cada um de seus braços ritmicamente (para frente e para trás) segundo a equação y = f(t) = (π/9) sen {(8π/3)[t - (3/4)]}, em que y é o ângulo compreendido entre a posição do braço e o eixo vertical (-π/9 y π/9) e t é o tempo medido em segundos, t 0. Com base nessa equação, determine quantas oscilações completas (para frente e para trás) o atleta faz com o braço em 6 segundos. 7. (UFJF 007) Considere a função f : [0, π] IR definida por f(x) = + cos x. a) Determine todos os valores do domínio da função f para os quais f(x) 3/. b) Seja g : [0, π] IR a função definida por g(x) = x. Determine a função composta h = fog, explicitando sua lei de formação, seu domínio e contradomínio. c) Verifique que a lei da função composta h pode ser escrita na forma h(x) = 3 - senx. 8. (CEFET CE 007) Na figura a seguir, determine o valor de x e o perímetro do triângulo. 9. (CEFET CE 007) Em um triângulo ABC, 3 sen A + 4 cos B = 6 e 4 sen B + 3 cos A = 1. Determine sen (A + B). 30. (UFC 008) Calcule o valor numérico da expressão: log [tg (π/5)] + log[tg (3π/10)], em que log indica o logaritmo na base 10 e tg indica a tangente do ângulo. 31. (Unifesp 008) Considere a função y = f(x) = 1 + sen [(πx - (π/)] definida para todo x real. a) Dê o período e o conjunto imagem da função f. b) Obtenha todos os valores de x no intervalo [0, 1], tais que y = 1. 8

9 3. (ITA 008) Determine todos os valores α ] - π, π [ tais que a equação (em x) x4 4 3 x + tg α = 0 admita apenas raízes reais e simples. 33. (Unicamp 006) Um triângulo retângulo de vértices A, B e C é tal que AC = 6 cm, AB = 8 cm e BC = 10 cm. Os segmentos AC, AB e BC também são lados de quadrados construídos externamente ao triângulo ABC. Seja O o centro da circunferência que circunscreve o triângulo e sejam D, E e F os centros dos quadrados com lados BC, AC e AB, respectivamente. a) Calcule os comprimentos dos segmentos DO, EO e FO. b) Calcule os comprimentos dos lados do triângulo de vértices D, E e F. 34. (Fuvest 006) Na figura a seguir, O é o centro da circunferência de raio 1, a reta AB é secante a ela, o ângulo β mede 60 e sen α = ( 3) 4. a) Determine sen OAB em função de AB. b) Calcule AB. 35. (Fuvest 007) Um arco x está no terceiro quadrante do círculo trigonométrico e verifica a equação 5 cos x + 3 sen x = 4. Determine os valores de sen x e cos x. 36. (Unicamp 007) Na execução da cobertura de uma casa, optou-se pela construção de uma estrutura, composta por barras de madeira, com o formato indicado na figura a seguir. Resolva as questões a seguir supondo que α = 15. Despreze a espessura das barras de madeira e não use aproximações nos seus cálculos. a) Calcule os comprimentos b e c em função de a, que corresponde ao comprimento da barra da base da estrutura. b) Assumindo, agora, que a = 10 m, determine o comprimento total da madeira necessária para construir a estrutura. 9

10 37. (UFMG 007) Nesta figura, está representado o trapézio isósceles ABCD: Sabe-se que os segmentos AC e AD têm o mesmo comprimento; o segmento BE é perpendicular ao segmento AD; e os segmentos BC e BE medem, cada um, 1 cm. a) Calcule o comprimento do segmento AE. b) Calcule a tangente do ângulo θ. 38. (UFPR 007) O retângulo a seguir está inscrito em uma circunferência de raio r = 1, com os lados paralelos aos eixos coordenados. π a) Encontre a área e o perímetro do retângulo em função do ângulo θ 0 θ. b) Determine θ para que a área do retângulo seja máxima. c) Determine θ para que o perímetro do retângulo seja máximo. 39. (UFSCar 004) O número de turistas de uma cidade pode ser modelado pela função f(x) =,1 + 1,6 sen (πx/6), onde x representa o mês do ano (1 para janeiro, para fevereiro, 3 para março, e assim sucessivamente) e f(x) o número de turistas no mês x (em milhares). a) Determine quais são os meses em que a cidade recebe um total de 1300 turistas. b) Construa o gráfico da função f, para x real, tal que x [1, 1], e determine a diferença entre o maior e o menor número de turistas da cidade em um ano. 10

11 40. (Fuvest 008) A medida x, em radianos, de um ângulo satisfaz π/ < x < π e verifica a equação sen x + sen x + sen 3x = 0. Assim, a) determine x. b) calcule cos x + cos x + cos 3x. 41. (Unicamp 008) Uma ponte levadiça, com 50 metros de comprimento, estende-se sobre um rio. Para dar passagem a algumas embarcações, pode-se abrir a ponte a partir de seu centro, criando um vão AB, conforme mostra a figura a seguir. Considerando que os pontos A e B têm alturas iguais, não importando a posição da ponte, responda às questões a seguir. a) Se o tempo gasto para girar a ponte em 1 equivale a 30 segundos, qual será o tempo necessário para elevar os pontos A e B a uma altura de 1,5 m, com relação à posição destes quando a ponte está abaixada? b) Se α = 75, quanto mede AB? π 4. (Fuvest 009) Seja x no intervalo 0, tg x + 5 sec x= 3. satisfazendo a equação Assim calcule o valor de: a) sec x. π b) sen x. 4 11

12 43. (UFF 010) Nos itens a seguir, arccos denota a função inversa da função cosseno restrita ao intervalo [0,π ] e arctg denota a função inversa da função tangente restrita π π ao intervalo (, ). π a) Calcule arccos(cos( )). 5 b) Calcule sen(arctg(- 1)). c) Verifique que sen(arccos(x)) = 1 x para todo x [ 1,1]. 44. (ITA 010) Considere a equação x x (3 cos x) 1 tg 6tg 0. a) Determine todas as soluções x no intervalo [0, π[. b) Para as soluções encontradas em a), determine cotg x. 45. (UFBA 010) Dadas as funções reais senx,0 x f x, x 0 f x e gx, 1 cos x, x 1 f x,0 x 7 determine x, pertencente ao intervalo 0, tal que f x gx (UFSCar 010) Suponha que o planeta Terra seja uma esfera de centro C e raio R. Na figura, está representado o planeta Terra e uma nave espacial N. A fração visível da superfície da Terra por um astronauta na nave N é dada em função do ângulo θ, mostrado na figura, pela expressão: f θ 1 senθ 1

13 a) Determine o ângulo, em graus, para o qual é visível da nave a quarta parte da superfície da Terra e a distância da nave à superfície da Terra neste caso. (Use a aproximação R = km.) b) Se um astronauta numa nave, a uma distância d da Terra, avista a superfície da Terra com ângulo = 15, determine a fração visível da superfície da Terra pelo astronauta. (Use as aproximações 1,4 e 6,4.) 47. (Unicamp 011) Um engenheiro precisa interligar de forma suave dois trechos paralelos de uma estrada, como mostra a figura abaixo. Para conectar as faixas centrais da estrada, cujos eixos distam d metros um do outro, o engenheiro planeja usar um segmento de reta de comprimento x e dois arcos de circunferência de raio r e ângulo interno. a) Se o engenheiro adotar 45, o segmento central medirá x d r( 1). Nesse caso, supondo que d 7 m, e r 36 m, determine a distância y entre as extremidades dos trechos a serem interligados. b) Supondo, agora, que 60, r 36 m e d 90 m, determine o valor de x. 48. (UFBA 011) Sendo x a medida de um arco, em radianos, determine as soluções π π 11π da equação 4 cos cos x.se x cos x 7π sen 0 4 que pertencem ao intervalo [ 6, 8]. 13

14 Gabarito Resposta da questão 1: a) 1/4 b) 0 < α < 30 Resposta da questão : Sendo l a medida de cada lado do quadrado ABCD e x a medida do segmento GB, no triângulo retângulo GAF, tem-se: 1º) (AF) = (AG) + (GF) (l + x) = (l - x) + l 4l x = l x = l/4 º) cos α = AG/AF cos α = (l - x)/(l + x) cos α = (l - l/4)/(l + l/4) cos α = (3l/4)/(5l/4) cos α = (I) No triângulo retângulo DAE, têm-se: 1º) (AE) = (AD) + (DE) (AE) = l + (l/) AE = l º) cos β = AD/AE cos β = l/(l 5 ) cos β = / 5 5 3º) cos β = cos β - 1 Assim: cos βb =. (/ 5 ) - 1 cos β = 3/5 (II) De (I) e (II) tem-se, finalmente: cos α = cos β Resposta da questão 3: a) x = 48m b) x' = 10,5m. Resposta da questão 4: a) sen α = 4/5 e cos α = -3/5 ou sen α = -3/5 e cos α = 4/5 b) Resposta da questão 5: 0 Resposta da questão 6: MN = 11/30 unidades de comprimento 14

15 Resposta da questão 7: a) 3x cm b) 6[( 3 ) -1] cm Resposta da questão 8: a) 6,5 m b) período: 4 segundos; altura mínima: 1,5 m; altura máxima: 1,5 m Resposta da questão 9: a) OA = u. c., OA3= 3 u.c., OA4= 4 = u.c. e OA10 = 10 u.c. b) a1 = ( ), a = ( 3) 3, a 3 = ( 4) 4 = 1 e a 9= ( 10) 10 Resposta da questão 10: a) tg α =1, tg β = e tg γ = 3 3 b) Como 0 < α, β, γ < 90, temos: tg α = 1 tg α = tg 45 α = 45 3 tg γ = tg γ = tg 30 γ = 30 3 c) Pelo item (a) sabemos que tg γ < tg β < tg α. E como estes ângulos são todos agudos, conclui-se que: γ < β < α 30 < β < 45. Adicionando-se 75 a todos os termos da desigualdade, obtém-se 105 < 45 + β + 30 < < α + β + γ < 10. c.q.d. Resposta da questão 11: y = 15x4 = 60 Resposta da questão 1: AB = ( 1,49-1,4. cos 36 ) m Resposta da questão 13: a) 1 km b) km Resposta da questão 14: a) 10 de janeiro b) 43 dias Resposta da questão 15: θ = π/4 ou 3π/4 ou 5π/4 ou 7π/4 Resposta da questão 16: S = { π/6, π/4, 3π/4, 5π/6, 7π/6, 5π/4, 7π/4, 11π/6 } 15

16 Resposta da questão 17: a) { } cm b) (3k - k3)/ Resposta da questão 18: a) f() = 0,35 C; f(9) = - 0,7 C b) 0h, 8h, 16h e 4h Resposta da questão 19: S =x R π x π ou π x π Resposta da questão 0: a) R 4 b) Sim Resposta da questão 1: y = (3 - )/4 Resposta da questão : (1 + cos x - cos x)/(1 - cosx) = [(1 - cos x) (1 + cos x)]/[(1 + cos x) (1 - cos x)] = (1 + cos x)/(1 + cos x). Resposta da questão 3: O valor máximo de f é 3/, quando x = (π/) ± (π/3) + kπ, com k Z. O valor mínimo de f é -3, quando x = (3π/) + kπ, com k Z. Resposta da questão 4: m Resposta da questão 5: a) 100 sen θ b) 10 m e 5 m Resposta da questão 6: 8 Resposta da questão 7: a) {xir I 0 x π/3 ou 4π/3 x π} b) h : [0, π] IR onde h(x) = + cos (x) c) h(x) = + cos x = + (cos x - sen x) = + (1 - sen x) = 3 - sen x Resposta da questão 8: x = 3 P = 7,5 cm Resposta da questão 9: 1/ Resposta da questão 30: 0 16

17 Resposta da questão 31: a) P = 1; Im = [0; ] b) {1/4, 3/4} Resposta da questão 3: 0 < α < π/3 Resposta da questão 33: a) DO = 5 cm, EO = 7 cm e FO = 7 cm b) DE = 9 cm, DF = 130 cm e EF = 7 cm Resposta da questão 34: ( 3) a) sen OAB = 4 AB b) AB = [( 13) 1] 6 Resposta da questão 35: sen x = - 1/5 e cos x = - ( 6 )/5 Resposta da questão 36: a) b = a. ( 6 ) c = a. ( 3) 4 b) 5. [6 3( 6) 3( ) ( 3)] m Resposta da questão 37: a) 1 3 cm b) 1 7 Resposta da questão 38: a) A = sen θ; P = 4 (sen θ + cos θ) b) θ = 4 π rad c) θ = 4 π rad Resposta da questão 39: a) julho e novembro. b) 3.00 turistas. 17

18 Resposta da questão 40: a) π/3. b) 0. Resposta da questão 41: a) 15 minutos. b) 5[ ( 3)] m. Resposta da questão 4: a) 5 b) Resposta da questão 43: arccos(cos( 5 π )) = 5 π sen(arctg(- 1)). = sen = 4 sena + cosa = 1 sena + x = 1 sena = 1 x, considerando [0,π ] para o cosseno temos: sena = 1 x Resposta da questão 44: a) (3 cosx).(1 + tg ( x ) = 6.tg ( x ) (3 cosx) 3 (1 sen x) = 3.senx sen x - 3.senx + 1 = 0 x 6. sen 1 x x cos cos (3 cosx) = 6.sen x x.cos Senx = 1 x = 5 senx = ½ x = ou x = S = {,, } 6 6 b) cot g 3, cotg 0 cotg 6 5 = 3 6 Resposta da questão 45: Cálculo de g(x). Escrevendo a equação temos: sen x 11cos x 0 sen x senx 0 multiplicando por 4 4senx 4senx + 1 = 0 Resolvendo, temos senx = 1 x. 6 18

19 Resposta da questão 46: a) Como é agudo, segue que: 1 1sen 1 sen Do triângulo NAC, vem: R 6400 sen sen30 d km. R d 6400 d b) Para 15, segue que Mas sen15 sen(45 30 ) 1sen15 f(15 ). sen45cos30 sen30cos ,4 1, Portanto, f(15 ). 8 Resposta da questão 47: a) Para d 7 m e r 36 m, vem: x 7 36 ( 1) 7 m. Queremos calcular y BC CG GH. Como os triângulos ABC e DEF são congruentes, FE BC. Além disso, FE GH, pois FE GH. Portanto, y BC CG r sen x cos 36 sen 45 7 cos m. 19

20 b) Para 60 e r 36 m, temos: 1 HI JE DJ DE r r cos m. Do triângulo CFG, vem: 3 FG HE x sen x sen60 x. Portanto, para d 90 m, segue que 3 d JE HE x x 36 3 m. Resposta da questão 48: Escrevendo uma equação equivalente, temos: 4..cos x.cos x ( cos x) ( 1) 0 cos x cos x 1 0 Resolvendo a equação na incógnita cosx, temos: 1 cos x ou cos x 1 π Logo, x k. π ou x π k.π 3 Fazendo : 11π 13π k - x (não convém), x (não convém), x -3 π (não convém) 3 3 5π 7π k -1 x, x (não convém), x -π 3 3 π π k 0 x, x -, x π 3 3 7π k 1 x, x 5 π, x 3 π (não convém) π 11π k x (não convém), x (não convém), x 5 π (não convém) 3 3 Portanto, as soluções da equação que pertencem ao intervalo dado são: π, π, π, π, π, π e π Q:\editoracao\011\Ped011\Matemática\EM\Fichas\Matemática Avançada Ficha 05-3C.docx 0