MAT-206 Parte I. Walter T. Huaraca Vargas. 15 de Março de 2017

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1 MAT-206 Parte I Walter T. Huaraca Vargas 15 de Março de 2017

2 Ângulo trigonométrico Definição Um ângulo θ é definido pela rotação de um raio ao redor da origem (vértice) desde uma posição inicial (lado inicial) até uma posição terminal (lado final). A medida do ângulo θ é a quantidade de rotação que realiza o raio desde o lado inicial até o lado final entorno do vértice. Esta medida será positiva se a rotação é realizada no sentido anti-horario e será negativa no caso contrario. Observação O ângulo gerado ao rotar um raio em sentido antihorario até que coincida por primeira vez com a sua posição inicial é chamado de ângulo de uma revolução.

3 Sistemas de medição angular Sistema Sexagesimal: O angulo de uma volta dividivo em 360 partes chamadas de grau sexafesimal, cada grau se divide em 60 partes iguais chamadas minuto sexagesimal, a sua vez cada minuto se divide em 60 partes iguais chamadas de segundo sexagesimal. notação equivalencias Grau sexagesimal 1 o 1 o minuto sexagesimal segundo sexagesimal 1 2

4 Sistemas radial ou circular Unidade angular é o radian definido como a medida do ângulo central em qualquer circunferencia definido por um arco de longitude igual a r.neste sistema o ângulo de uma revolução mide 2π radianes. Observação Se S e R são os número que representam a medida de um ângulo nos sistemas sexagesimal e radial, respetivamente, então de onde: S 180 R π S 360 R 2π

5 Angulos coterminais Definição Dos ângulo são chamados de ângulos coterminais se tem o mesmo v?rtice, o mesmo lado inicial e o mesmo lado final. Obserque se se α e beta são coterminais se, e somente se, existe k P Z tal que α β kp360 o q ou α β kp2πradq.

6 Comprimento de arco e área do setor circular Lembremos que L θr e A 1 2 rl 1 2 θr 2

7 Relações trigonométricas no triângulo retângulo As relações trigonométricas no triângulo retângulo são 6 e são denomidas Seno, Cosseno, Tangente, Cotangente, Secante, Cosecante. Geometricamente temos:

8 Observação 1 Ctgα 1 Tgα, Secα 1 Cosα, Cscα 1 Senα. 2 0 ă Senα ă 1, 0 ă Cosα ă 1, Secα ą 1, Cscα ą 1, observe que α é agudo. 3 A razão Coseno é a co-razão da razão Seno e viceversa. 4 A razão Cotangente é a co-razão da razão Tangente e viceversa. 5 A razão Cosecante é a co-razão da razão Secante e viceversa. 6 RT α CoRT pcomplemento de αq CoRT p90 o αq CoRT p π 2 αq 7 basta conhecer uma razão para conhecer as outras.

9 Proposição 1 Considere o triângulo ABC reto em B, então Ctg A 2 CscA ` CtgA e CscA CtgA. Tg A 2 2 A àrea de um triângulo qualquer é igual ao semiproduto de dois do seus lados multiplicado pelo Seno do ângulo formado por eles.

10 O círculo trigonométrico Lembre que podemos associar a todo número real um único ponto sobre uma reta orientada, consideremos duas retas orientadas perpendiculares entre elas, o plano determinado pelas retas é chamado de Plano Cartesiano o Plano coordenado. 1 Origem de coordenadas O 2 Eixo das abscisas ou eixo X. 3 Eixo das ordenadas ou eixo Y. 4 4 regiões chamados de quadrantes 5 r a x 2 ` y 2 é chamado de raio vetor

11 Definição 1 Um ângulo esta em posição normal, se o lado inicial pertence ao semieixo positivo das abscisas, o vêrtice é o origem do sistema de coordenadas e o lado final encontrase no plano coordenado. 2 Um ângulo em posição normal é chamado de ângulo quadrantal se seu lado final encontrase sobre um dos eixos coordenados. Observação Se θ é um ângulo positivo de menor que uma revolução, então: 1 θ P IQ então 0 ă θ ă 90 o 2 θ P IIQ então q90 o ă θ ă 180 o 3 θ P IIIQ então 180 o ă θ ă 270 o 4 θ P IVQ então 270 o ă θ ă 360 o

12 Observação Se θ é um ângulo quadrantal, então são: 1 2kπ com k P Z 2 p2k ` 1qπ com k P Z 3 4 p4k`1q 2 π com k P Z p4k`3q 2 π com k P Z

13 Razões trigonometricas Definição Seja α um ângulo em posição normal se Ppx; yq é um ponto pertencente ao lado final, as razoes trigonométricas de α são: Senα Ordenada raio y r Tgα Ordenada abscisa y x Secα raio abscisa r x Cosα abscisa raio y r Ctgα abscisa ordenada x y Cscα raio ordenada r y Observação 1 Observe o sinal das RT nos diferentes quadrantes. (Geometricamente) 2 A RT de ângulos coterminais são iguais. 3 É fácil provar que: Senp αq Senpαq cosp αq cospαq Tg p αq Tg pαq Ctg p αq Ctg pαq Secp αq Secpαq Cscp αq Cscpαq

14 Circunferencia trigonométrica S tpx; yq P R 2 ; x 2 ` y 2 1u Op0; 0q origem Ap1; 0q origem de arcos Bp0; 1q origem A 1 p 1; 0q origem de suplementos B 1 p0; 1q Ppx; yq extre Se α for o ângulo definido pelo arco AP, então as razões trigonométricas são:

15 Linhas trigonométricas Com direção Linha Seno Segmento perpendicular traçado desde o extremo do arco ao diámetro A 1 A Linha Coseno Segmento perpendicular traçado desde o extremo do arco ao diámetro B 1 B

16 Linhas trigonométricas Linha Tangente 1 Traçar uma tangente geometrica pelo origem de arcos A. (Eixo de tangentes) 2 Prolongar o raio que passa pelo extremo do arco até intersetar o eixo de tangentes. 3 A linha tangente é o segmento comprendido entre a origem de arcos e o ponto de interseção com a linha tangente. Linha Cotangente 1 Traçar uma tangente geometrica pelo origem de complementos B. (Eixo de cotangentes) 2 Prolongar o raio que passa pelo extremo do arco até intersetar o eixo de cotangentes. 3 A linha cotangente é o segmento comprendido entre a origem de complementos e o ponto de interseção com a linha cotagente.

17 Linhas trigonométricas Linha Secante 1 Traçar uma tangente geometrica pelo extremo do arco até intersetar o eixo X. 2 A linha Secante é o segmento comprendido entre a origem de coordenadas e o ponto de interseção. Linha Cotangente 1 Traçar uma tangente geometrica pelo extremo do arco até intersetar o eixo Y. 2 A linha Cosecante é o segmento comprendido entre a origem de coordenadas e o ponto de interseção.

18 Linhas auxiliares Linha Verso É o segmento comprendido entre o pe da linha do Seno e a origem de arcos A e Versα 2 Cosα. Linha Coverso É o segmento comprendido entre o pe da linha do Coseno e a origem de complementos B e Covα 1 senα Linha Ex-Secante É o segmento comprendido entre a origem de arcos e o extremo da linha secante e ExSecα Secα 1

19 Funções trigonométricas Observação 1 Intervalos abertos, fechados, semi-aberto, semi-fechado, infinitos. 2 O valor absoluto de um número real x, é: " x se x ě 0 x x se x ă 0 Usaremos? a 2 a 3 Funções 4 Dominio, Imagem e Gráfico de uma função. 5 Continuidade a assintotas verticais e horizontais. 6 Funções Injetivas, sobrejetivas e bijetivas. 7 Funções pares e impares e periódicas.

20 Função Seno y f pxq Senx 1 Domínio: R 2 Imagem: r 1; 1s 3 Gráfico: 4 Periódo: 2π 5 Continuidade: Em todo seu dominio 6 Valor(es) Máximo: 1 em x π 2 ` 2kπ com k P Z 7 Valor(es) mínimo: -1 em x π ` 2kπ com k P Z 8 Paridade: Impar 9 Monotocidade: Crescente em r π 2 ` 2kπ; π 2 ` 2kπs com k P Z e Decrescente em r π 2 ` 2kπ; 3π 2 ` 2kπs com k P Z 2

21 Função Cosseno y f pxq Cosx 1 Domínio: R 2 Imagem: r 1; 1s 3 Gráfico: 4 Periódo: 2π 5 Continuidade: Em todo seu dominio 6 Valor(es) Máximo: 1 em x 2kπ com k P Z 7 Valor(es) mínimo: -1 em x p2k ` 1qπ com k P Z 8 Paridade: Par 9 Monotocidade: Crescente em r π ` 2kπ; 2kπs com k P Z e Decrescente em r2kπ; 2kπ ` πs com k P Z

22 Função Tangente y f pxq Tgx 1 Domínio: Rztp2k ` 1q π 2 u, k P Z 2 Imagem: R 3 Gráfico: 4 Periódo: π 5 Continuidade: Discontínua em x p2k ` 1q π 2 com k P Z 6 Valor(es) Máximo: Nao tem 7 Valor(es) mínimo: Não tem 8 Paridade: impar 9 Monotocidade: Crescente en p π 2 ` kπ; π 2 ` kπq, k P Z 10 Assintotas verticais: x p2k ` 1q π 2

23 Função Cotangente y f pxq Ctgx 1 Domínio: Rztkπu, k P Z 2 Imagem: R 3 Gráfico: 4 Periódo: π 5 Continuidade: Discontínua em x kπ com k P Z 6 Valor(es) Máximo: Nao tem 7 Valor(es) mínimo: Não tem 8 Paridade: impar 9 Monotocidade: Decrescente en pkπ; kπ ` πq, k P Z 10 Assintotas verticais: x kπ

24 Função Secante y f pxq Secx 1 Domínio: Rztp2k ` 1q π 2 u, k P Z. 2 Imagem: Rzp 1; 1q 3 Gráfico: 4 Periódo: 2π 5 Continuidade: Discontínua em x p2k ` 1q π 2, k P Z. 6 Valor(es) Máximo: Nao 7 Valor(es) mínimo: Não 8 Paridade: Par 9 Monotocidade: Crescente em r2kπ; 2kπ ` π k P Z. 2 π q ou p2kπ ` 2 ; 2kπ ` πs,

25 Função Cosecante y f pxq Cscx 1 Domínio: Rztkπu, k P Z. 2 Imagem: Rzp 1; 1q 3 Gráfico: 4 Periódo: 2π 5 Continuidade: Discontínua em x kπ, k P Z. 6 Valor(es) Máximo: Nao 7 Valor(es) mínimo: Não 8 Paridade: impar 9 Monotocidade: Crescente em r π 2 ` 2kπ; 2kπ ` πq ou p2kπ ` π; 2kπ ` 3π π 2 s, k P Z. Decrescente em r2kπ 2 ; 2kπq ou p2kπ; 2kπ ` π 2 s, k P Z.

26 Observação Se f é uma função (trogonométrica). 1 y kf pxq 2 y f pcxq 3 y f pxq ` K 4 y f px ` cq

27 Identidades trigonométricas Recíprocas Proposição 1 SenxCscx 1 se x kπ, k P Z 2 CosxSecx 1 se x p2k ` 1q π 2, k P Z 3 TgxCtgx 1 se x kπ 2, k P Z

28 Identidades trigonométricas Quociente Proposição 1 Senx Cosx Tgx, x p2k ` 1q π 2 k P Z Ctgx, x kπ k P Z 2 Cosx Senx

29 Identidades trigonométricas Pitagóricas Proposição 1 Sen 2 x ` Cos 2 x 1 para todo x P R. 2 1 ` Tg 2 x Sec 2 x se x p2k ` 1q π 2, k P Z 3 1 ` Ctg 2 x Csc 2 x se x kπ, k P Z

30 Identidades trigonométricas Auxiliares Proposição 1 Sen 4 x ` Cos 4 x 1 2Sen 2 xcos 2 x para todo x P R. 2 Sen 6 x ` Cos 6 x 1 3Sen 2 xcos 2 x para todo x P R. 3 Sec 2 x ` Csc 2 x Sec 2 xcsc 2 x para todo x P R. 4 Tgx ` Ctgx SecxCscx para todo x P R. 5 Sp1Senx ` Cosxq 2 2p1 ` Senxqp1 ` Cosxq para todo x P R.

31 Redução ao primeiro quadrante RT p180 o αq RT pαq RT p360 o αq RT pαq RT pπ αq RT pαq RT p2π αq RT pαq Observação De pendendo da RT, poderiamos trocar o sinal da igualdades acima, dependendo do quadrante onde estamos trabalhando.

32 Redução ao primeiro quadrante RT p90 o αq Co RT pαq RT p π 2 αq C0 RT pαq RT p270 o αq Co RT pαq RT p 3π 2 αq Co RT pαq Observação De pendendo da RT, poderiamos trocar o sinal da igualdades acima, dependendo do quadrante onde estamos trabalhando.

33 Redução ao primeiro quadrante Definição Da do um ângulo α, o ângulo referencial de α, α r é o ângulo agudo que forma o lado final do ângulo α com o eixo das abscisas. Observação Para reducir ao primeiro quadrante, procedemos assim: 1 Ubicamos o quadrante do ângulo 2 Achamos o ângulo de referenncia associado 3 Determinamos o sinal da RT dada para o quadrante achado em 1. 4 Colocamos a mesma RT, agora aplicada ao ângulo de referencia e com o sinal determinado em 3.

34 As leis do Seno e do Coseno Proposição 1 Senpα θq SenαCosθ CosαSenθ 2 Cospα θq CosαCosθ SenαSenθ 3 Tgpα θq Tgα Tgθ 1 TgαTgθ Teorema Se ABC é um triângulo de lados a, b e c, então a 2 b 2 ` c 2 ` 2bcCosA Teorema Se ABC é um triângulo de lados a, b e c, então a SenA b SenB c SenC

35 funções trigonométricas inversas Observação Existencia de função (relação) inversa e relação do g?afico da função e o gráfico da sua inversa 1 y f pxq Senx, Dompf q r π 2 ; π 2 s e Impf q r 1; 1s 2 y f pxq Cosx, Dompf q r0; πs e Impf q r 1; 1s 3 y f pxq Tgx, Dompf q p π 2 ; π 2 q e Impf q p 8; 8q 4 y f pxq Ctgx, Dompf q p0; πq e Impf q p 8; 8q 5 y f pxq Secx, Dompf q r0; π 2 q Y p π 2 ; πs e Impf q p 8; 1s Y r1; 8q 6 y f pxq Cscx, Dompf q r π 2 ; 0q Y p0; π 2 s e Impf q p 8; 1s Y r1; 8q

36 Equações e Inequações trigonométricas Definição Uma equação trigonométrica elementar é da forma: Onde k; θ, r P R Definição FT pkpx ` θqq r Uma solução x 0 de uma equação elementar é solução básica se ele pertence a r0; T s, onde T é o periódo da RT. E conjunto solução será tx 0 ` kt ; k P Zu

37 Definição Uma equação trigonométrica não elementar se para sua resolução requer conceitos algebricos e trigonométricos. (Fatoração, diferença de quadrados, angulos duplos etc.) Definição Uma solução x 0 de uma equação elementar é solução básica se ele pertence a r0; T s, onde T é o periódo da RT. E conjunto solução será tx 0 ` kt ; k P Zu

38 Inequações trigonométricas Não existe um procedimento padrão para a solução de inequações trigonométricas, porem devemos ter em conta: 1 Para que exista solução devemos ter interseção entre os dominios das funções que intervem. Se não tiver interseção então o conjunto solução é vazio. 2 Pode acontecer que exista interserção entre os dominios porem não exista solução. 3 Considere duas funções f pxq e gpxq contínuas, então geometricamente: Exite pontos de interseção, nestes pontos f pxq gpxq. Existem pontos em que o gráfico de f pxq esta por cima do gráfico de gpxq, nestes pontos gpxq ă f pxq. Existem pontos em que o gráfico de f pxq esta por baixo do gráfico de gpxq, nestes pontos gpxq ą f pxq.