Exercício- teste 1. Matemática II 2 o Semestre de 2009/2010. a) Provar que n (2i 1) = n 2

Transcrição

1 o Semestre de 009/00 Eercício- teste a) Provar que n (i ) = n i= Usamos indução em n para provar que a fórmula acima é correcta n= n = Claramente temos que (i ) = () = = Hipótese Indutiva j N, onde j n, cumpre-se que i= n+? Verificamos que a fórmula também se cumpre para n+ n+ (i ) = i= Concluimos que a fórmula b) Resolver n (i ) + (n+) i= n (i ) = n i= = n + (n+) = n +n+ = (n+) n (i ) = n é válida para qualquer n N i= +6 7 Primeiro temos de levantar as barras do valor absoluto de, o que significa que vamos considerar duas regiões na recta real consoante a definição de Região I: ],0[ Nesta região = e portanto a inequação a resolver é +6 7 < < 0 > 0 ( )( ) +7 O análise de sinais desta inequação é resumido no seguinte diagrama > 0 ( )( ) ( ) ( )( ) (+) ( )(+) (+) (+)(+) (+) Logo, o conjunto solução na Região I é CS I =],0[ ( ] 7,[ ],+ [ ) = ] 7,0[ Elaborado pelo Prof José Agapito

2 o Semestre de 009/00 Região II: [0,+ [ Nesta região = e portanto a inequação a resolver é +6 7 < 0 ( )( ) 7 O análise de sinais desta inequação é resumido no seguinte diagrama < 0 ( )( ) ( ) ( )(+) ( ) (+)(+) ( ) (+)(+) (+) Logo, o conjunto solução na Região II é CS II = [0,+ [ ( ],[ ],7[ ) = [0,[ ],7[ Portanto, o conjunto solução da inequação é CS = CS I CS II = ] 7,0[ [0,[ ],7[ = ] 7,[ ],7[ Elaborado pelo Prof José Agapito

3 o Semestre de 009/00 Eercício- teste a) Encontrar o domínio máimo de definição da seguinte função f() = Esta função está definida para + 0 e + > 0 (dado que não podemos dividir por zero) Note-se que + 0 ( )( ) 0 e + > 0 ( )(+) < 0 ( )(+) + + ( )(+) + + CS I = ],] [,+ [ CS II = ],[ Logo, temos que Dom f = { R : + 0, + > 0 } = CS I CS II =],] [,[ b) Uma função do tipo f() = a+b c+d com a,b,c,d R, chama-se homográfica (b) Demonstrar que a função inversa à função homográfica (considerando que ad bc 0) é também homográfica (b) Paraa =,b =,c =,d =, esboçaragráficadafunçãohomográficacorrespondente (Sugestão: Partir da gráfica da função y = ) (b) Usando a definição de função inversa, se encontrarmos uma função g tal que f ( g() ) = e g ( f() ) =, nos seus respectivos domínios, diremos que g é a inversa da função f Por um lado, da equação f ( g() ) = segue-se que a g()+b = a g()+b = c g() +d c g()+d g() = d+b c a, com a c Elaborado pelo Prof José Agapito

4 o Semestre de 009/00 Isto mostra que a função g é também homográfica Agora, para ter a certeza que g é a inversa da função f, ainda temos que provar que g ( f() ) = Efectivamente, tem-se que ( ) g ( f() ) a+b d f()+b d = c f() a = c+d +b ad bd +bc+ bd ( ) = c a ca +bc ac ad = (ad bc) (ad bc) = a+b c+d Note-se que a última simplificação faz sentido porque ad bc 0 (b) Observe-se que a função homográfica está definida para qualquer R ecepto no caso em que c+d = 0, ou seja, está definida para R { d /c} (obviamente com c 0) Podemos escrever y = a+b a ad bc ad bc c+d = c (c+d) c = a c+d c c c+d Isto indica que a função homográfica pode ser obtida a partir da função /, por meio de mudança de escalas, translações e refleões Logo, para a =,b =,c = e d =, e um esboço da gráfica de f é f() = + = c) A função seno hiperbólico designa-se por senh e satisfaz a seguinte igualdade senh = e e para qualquer R A função inversa do seno hiperbólico designa-se por arg senh Deduza ( argsenh = ln + ) + Seja y = argsenh Logo, senh y = senh(argsenh ) = e então podemos escrever = senh y = ey e y A última equação é equivalente a = e y e y e y = e y e y e y = 0 (e y ) = 0 (e y ) = + e y = + +, uma vez que e y = +e y e portanto e y > Finalmente, da última equação acima segue-se ( y = ln(e y ) = ln + ) + Elaborado pelo Prof José Agapito

5 o Semestre de 009/00 Eercício- teste Calcule os seguintes limites: n a) lim n + n + ( b) lim + ) n n + n a) Multiplicamos numerador e denominador por n lim n + n n + = lim n + n n n + = lim n n + e simplificamos Temos então que n n n n + = lim n n + n b) Manipulando convenientemente o termo geral da sucessão a n = ( lim + ) [ n ( = lim + ) ] n [ n n = n + n n + n = ( e ) / = e 0/ lim n + n + = n ( + n) n obtem-se ( + ) ] / n n No último eercício usamos a seguinte propriedade Se lim u n = + então n + ( ) lim + k un n + u n = e k, k R Elaborado pelo Prof José Agapito

6 o Semestre de 009/00 Eercício- teste 4 a) Calcule o seguinte limite: +4+ lim + Usando Ruffini, podemos escrever +4+ = (+)( +) Logo +4+ (+)( +) lim = lim = lim = ( ) ( )+ = 7 b) Determine os limites laterais em, e e o comportamento em + e da função cuja gráfica é a seguinte R R Da gráfica da função segue-se que lim f() = 0 lim f() = lim lim f() = lim lim f() = 0 lim +f() = +f() = +f() = + lim f() = 0 + Elaborado pelo Prof José Agapito

7 o Semestre de 009/00 Eercício- teste a) Seja α R Analisar a continuidade da seguinte função: f() = 4, se = α, se = Note-se primeiro que a função f é contínua para qualquer R {} porquanto é o quociente de duas funções contínuas, onde o denominador é diferente de zero dado que = Só resta analisar a continuidade de f em = Temos dois casos a considerar: Caso I (α = 4) Neste caso temos f() = α = 4 e lim f() = lim 4 = lim ( ) (+) = 4 Logo, conclui-se que f é contínua em = uma vez que f() = lim f() = 4 Caso II (α = 4) Neste caso, dado que f() = α = lim f() = 4, conclui-se imediatamente que f não é contínua em = b) Calcule a derivada da seguinte função: ( ) f() = ln + f () = + ( = +) = + + ( +) + = ( +) Elaborado pelo Prof José Agapito

8 o Semestre de 009/00 a) Calcule a derivada da seguinte função: Eercício- teste 6 f() = arctan+ ( ) arctan f () = [ ] ( ) [ ] ( ) ( ) = = = [ ] + + [ + ] + [ [ ] + + ( ) + ( ) ] = + ( ) [ ] + + [ (+ ) ] + 6 = ( + 4 )+(+ ) (+ 6 ) = b) Estude o comportamento da seguinte função Tenha em conta o domínio da função, assímptotas, intervalos de crescimento e decrescimento (critério da primeira derivada), intervalos de conveidade (critério da segunda derivada), etc Resuma toda esta informação numa tabela Faça um esboço da gráfica da função f() = e Domínio Note-se primeiro que Dom f = R Pode-se pensar que f não está definida em = 0, mas na verdade, dado que 0 =, temos e = 0 Assímptotas Podemos ver rápidamente que f não tem assímptotas verticais, uma vez que a função está definida em todo R Quanto à eistência de assímptotas horizontais, observe-se que lim f() = lim ± ± e = Elaborado pelo Prof José Agapito

9 o Semestre de 009/00 Logo, y = é uma assímptota horizontal Finalmente, dado que f() lim ± = lim ± concluimos que f não tem assímptotas oblíquas e = 0, Análise de crescimento Calculamos primeiro a derivada de f, ( ) f () = e = e 4 Aparentemente, a derivada não eiste em = 0 e portanto é um ponto crítico Se usarmos a definição da derivada de uma função num ponto, vemos que f (0) = lim 0 f() f(0) 0 e 0 0 = lim } {{ } 0 indet 0 = lim 0 e }{{} indet = lim 0 e = lim 0 = 0 e Logo, efectivamente = 0 é um ponto crítico mas f (0) = 0 Da análise de sinais da primeira derivada (ver Fig ) conclui-se que = 0 é um mínimo local 0 + Figura : Análise de sinais de f () Análise de conveidade Calculamos a segunda derivada de f, f () = 4 e e 6 = e (4 6 ) 6 Logo, os possíveis pontos de infleão (pontos onde f não eiste ou é zero) são 0 e ± 6 Da análise de sinais da segunda derivada (ver Fig ) conclui-se que os pontos 6 e 6 são pontos de infleão (+)( ) (+) (+)(+) (+) (+)(+) (+) (+)( ) (+) Figura : Análise de sinais de f () Juntamos esta informação toda e obtemos o seguinte esboço da gráfica de f Elaborado pelo Prof José Agapito

10 o Semestre de 009/00 R 4 y = y = e 4 4 R 4 Figura : Esboço da gráfica de f Elaborado pelo Prof José Agapito

11 o Semestre de 009/00 Eercício- teste 7 a) Faça o estudo da função f() = ln(+), determinando o seu domínio máimo de definição, assímptotas, caso eistam, intervalos de crescimento e decrescimento (critério da primeira derivada) e intervalos de conveidade (critério da segunda derivada) Esboce o gráfico de f Domínio Dom f = { R : + > 0 e = 0 } = ],+ [ {0} Note-seque f( ) = 0 ( ) ( ) (+) ( ) (+) (+) Figura : Análise de sinais de f() = ln(+) Assímptotas Verticais ln(+) lim +f() = lim = + = + =- é AV ln(+) lim f() = lim = ln() = ln(+) lim 0 +f() = lim = ln() = + =0 é AV Horizontais lim + f() = lim ln(+) + }{{} indet = lim + y=0 é AH + = 0 f() Oblíquas Dado que lim + = 0, conclui-se que f não tem assímptotas oblíquas Elaborado pelo Prof José Agapito

12 o Semestre de 009/00 Análise de crescimento f () = + ln(+) O sinal de f () vai depender únicamente de + ln(+), uma vez que é sempre positivo para qualquer Dom f Note-se que > 0, e < + Dado que a função ln é crescente, temos que = lne < ln(+) Logo, ln(+) < 0 e portanto + ln(+) = + + ln(+) = + + ln(+) < 0 Se < < 0, então < + < e portanto 0 = ln < ln( + ), donde ln( + ) < 0 Claramente, segue-se também que + < 0 Logo, + ln(+) < 0 Por último, analisar se + ln(+) < 0 ou > 0 ou 0 quando < <, não é assim tão directo Neste caso usaremos o teorema do valor médio (Lagrange) para determinar o tipo de desigualdade Definamos g() = + ln( + ) com < < e sejam a = e b = Verifica-se imediatamente que g é contínua em [a,b] e diferenciável em ]a,b[ Logo, pelo teorema do valor médio, eiste c ], [ tal que Dado que g (c) = g(b) g(a) b a = g( ) g() = + +ln(+) g () = + (+) + = (+), então para c ], [ tem-se que g (c) > 0 Logo, + +ln(+) > 0 visto que + < 0 Portanto, conclui-se que + ln(+)+ > 0 + ln(+) < 0 para qualquer < < + + ln(+)+ < 0, 0 Figura : Análise de sinais de f () Resumimos a análise de sinais de f () na Figura Elaborado pelo Prof José Agapito

13 o Semestre de 009/00 Análise de conveidade f () = ln(+) (+) (+) Vê-se imediatamente que f ( ) = 0 Portanto = é um possível ponto de infleão A pergunta é, eistem outras soluções da equaçãof () = 0? Não é directo encontraressas soluções, pelo que mudamos de estratégia e analisamos se f () é positivo ou negativo nos intervalos ], [, ],0[ e ]0,+ [, tal como fizemos na análise de sinais da primeira derivada Se < <, segue-seque > 0, < 0, + < 0, 0 < + <, 0 < (+) e ln(+) < 0 Logo, ln(+) > 0 e (+) (+) < 0 Portanto ln(+) (+) (+) > 0 Se < < 0, segue-se que > 0, < 0, 0 < +, < + <, < (+) e 0 < ln(+) Logo, ln(+) < 0 e (+) (+) > 0 Portanto ln(+) (+) (+) < 0 Finalmente, se 0 <, claramente ln(+) > 0 e (+) (+) > 0, mas quem é maior? Dado que não conseguimos estabelecer isto em forma directa, recurrimos mais uma vez ao teorema do valor médio Notemos que podemos escrever f () = (+) ln(+) (+) (+) O sinal de f () vai depender do numerador do quociente acima indicado Portanto, seja Depois de simplificar, a derivada de g é g() = (+) ln(+) (+) g () = 4 [ ln(+) ] +ln(+) Para 0 <, segue-se que e < < + e portanto 0 < ln(+) Isto mostra que g () > 0 para qualquer > Figura : Análise de sinais de f () Elaborado pelo Prof José Agapito

14 o Semestre de 009/00 Note-se ainda que g é continua e diferenciável em ],+ [ Se fazermos a = 0 e b =, com > 0, em particular temos que g é contínua no intervalo fechado [0,] e diferenciável no intervalo aberto ]0,[ Logo, pelo teorema do valor médio, eiste c ]0,[ tal que g (c) = g() g(0) 0 = (+) ln(+) (+) 8ln() Dado que g (c) > 0 e > 0, conclui-se imediatamente que (+) ln(+) (+) > 8ln() > 0 Portanto,f () > 0paraqualquer > 0 Juntamosestainformaçãotoda nafigura Deduzimos que = é verdadeiramente um ponto de infleão Estamos prestes para dar o esboço da gráfica de f (ver Fig 4) R 4 y = ln(+) 4 = 0 4 R y = 0 = 4 Figura 4: Esboço da gráfica de f b) Qual é o polinómio de grau que melhor aproima a função f() = sen na vizinhança da origem E o polinómio de grau n? O polinómio de grau que melhor aproima a função f() = sen na vizinhança da origem é o seu polinómio de Taylor de grau ao redor do 0, P f() = f(0)+ k= f (k) (0) ( 0) k = k! 6, uma vez que para f() = sen temos f () () = cos, f () () = sen, f () () = cos, f 4 () = sen, etc, e portanto f(0) = 0, f () (0) =, f () (0) = 0, f () (0) =, f 4 (0) = 0, etc Elaborado pelo Prof José Agapito 4

15 o Semestre de 009/00 Serepararmosbem, háumpadrãonocálculodasderivadasdeordemsuperiordafunçãof avaliadas em 0 Note-se que k mod 4 f (k) (0) = 0 k 0, mod 4 k mod 4 O polinómio de grau n que melhor aproima sen na vizinhança de zero é n Pf n () = f (k) (0) k k! k= Elaborado pelo Prof José Agapito

16 o Semestre de 009/00 a) Calcular cos d Eercício- teste 8 cos d = cos cosd = ( sen )cosd b) Calcular = sen d cosd sen cosd = sen sen +C u =, dv = sen d, du = d, v = sen d = cos, Logo, sen d = cos + cos d u =, dv = cosd, du = d, v = cos d = sen, Logo, sen d = cos + ( sen ) sen d BÓNUS Calcular e cos d = cos + sen + cos+c u = e, dv = cosd, du = e d, v = cos d = sen, Elaborado pelo Prof José Agapito

17 o Semestre de 009/00 Logo, I = e cos d = e sen e sen d }{{} II u = e, dv = sen d, du = e d, v = sen d = cos, onde e portanto II = e sen d = e cos+ e cos d }{{} I I = e sen ( e cos+ I ) = e ( sen + cos ) 9 I Em resumo, = (sen e + ) cos 4 + C e cos d = (sen 4 e + ) cos + C Elaborado pelo Prof José Agapito

18 o Semestre de 009/00 Eercício- teste 9 a) Calcular (+)(+)(+) d (+)(+)(+) d = A d + B + d + C + d + D + d = Aln + Bln + + Cln + + Dln + + K onde K é uma constante arbitrária, e A,B,C e D são constantes que podem ser identificadas ao comparar os seguintes polinómios = A(+)(+)(+) + B(+)(+) + C(+)(+) + D(+)(+) Agrupamos termos semelhantes no lado direito da equação acima e escrevemos = (A+B +C +D) +(6A+B +4C +D) +(A+6B +C +D)+6A donde conseguimos um sistema de quatro equações lineares com quatro incógnitas A+B +C +D = 0 6A+B +4C +D = 0 A+6B +C +D = 0 6A = Ao resolver este sistema encontramos que A = 6, B =, C = e D = 6 Portanto (+)(+)(+) d = 6 ln ln + + ln + ln + + K 6 b) Calcular ( +)(+) d ( +)(+) d = = A A+B + d + + d + B C + d ( ) d + C + + d = A ln( +) + B ( ) arctan + C ln + + K, onde K é uma constante arbitrária e A,B e C são constantes que determinamos a partir da igualdade de polinómios = (A+B)(+)+C( +) = (A+C) +(A+B)+B +C Elaborado pelo Prof José Agapito

19 o Semestre de 009/00 Obtemos um sistema linear de três equações com três incógnitas A+C = 0 A+B = B +C = 0, donde segue-se que A = 4, B = 4 e C = 4 Portanto ( +)(+) d = 8 ln( +) + ( ) 4 arctan 4 ln + + K Elaborado pelo Prof José Agapito

20 o Semestre de 009/00 Eercício- teste 0 a) Tendo em conta a condição indicada, determine a primitiva F() da função f() = ++ com a condição F() = F() = ( ++)d = C = F() = 4 + b) Calcule o seguinte integral definido I = ++C = C = π/4 0 cost +sen t dt u = sen t, t = 0 u = 0 du = costdt, t = π 4 u =, I = 0 du = arctan(u) +u 0 ( ) ( ) = arctan arctan(0) = arctan Elaborado pelo Prof José Agapito

21 o Semestre de 009/00 Eercício - teste a) Calcule a área da região seguinte D = { (, y) R : y, y } 4 R y = D 0 R y = Figura : Região D limitada pelas curvas y = e y = A(D) = 0 ( ) d = 0 = ( ) ( ) 0 0 = b) Calcule o volume do sólido obtido rodando em torno do eio 0 a superfície D = { (, y) R : y } Primeiro encontramos os pontos de intersecção das curvas y = e y = Eles obtêm-se ao resolver a equação = 0 ( ) = 0 Portanto, = 0 e = Estes são os limites de integração que usaremos para calcular o volume do sólido obtido ao rotar D ao redor do eio (ver Figura ); nomeadamente Vol (D) = 0 π( ) d = π 0 ( 4 ( ) d = π ) 0 = π Elaborado pelo Prof José Agapito

22 o Semestre de 009/00 y z Figura : Sólido obtido ao rotar em torno ao eio a região D Elaborado pelo Prof José Agapito

23 o Semestre de 009/00 Nome: Número: Turma: a) Resolva a seguinte equação direncial linear Eercício- teste (A ser entregue em /06/00) u (t) = t u(t) t b) Resolva a seguinte equação direncial de segunda ordem u (t) = u (t) u(t) Elaborado pelo Prof José Agapito