Comecemos por relembrar as propriedades dos limites das sucessões: b n = K e c IR então: lim. lim
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1 .. Limites e Continuidade... Limites em IN Comecemos por relembrar as propriedades dos ites das sucessões: Propriedades dos Limites das Sucessões: Sejam n a n = L e n b n = K e c IR então: n [a n ± b n ] = L ± K n c a n = c L n (a n b n ) = L K a n = L n b n K, b n 0, K 0 Eemplo. A sucessão de termo geral a n = 3 + ( ) n tem termos que alternam entre e 4, o ite, 4,, 4,... n a n não eiste, pelo que a sucessão diverge. n Eemplo. Para a sucessão de termo geral b n = n, dividindo o numerador e o numerador por n obtemos o ite b n = n n n n = n n (/n) = o que implica que a sucessão converge para.
2 Uma aplicação importante das sucessões infinitas é representar somatórios infinitos. Informalmente, se (a n ) é uma sucessão infinita então + a n = a + a a n +... () é uma série infinita (ou simplesmente série). Os números a, a,... são chamados termos da série. para algumas séries é conveniente começar os índices com n = 0 ou algum outro número inteiro. Como uma convenção de notação, é comum representar uma série infinita apenas por a n. Nestes casos, o valor inicial para o índice deve ser escolhido no conteto da afirmação. Para encontrar a soma de uma série infinita, consideremos a seguinte sucessão de somas parciais. S = a S = a + a S 3 = a + a + a 3... S n = a + a + a a n Se esta sucessão de somas parciais converge, dizemos que a série converge e tem soma indicada na seguinte definição:
3 Definição Para a série infinita + a n, a soma parcial de ordem n é dada por S n = a + a + a a n () Se a sucessão das somas parciais S n converge para S, então a série + a n converge. O ite S é chamado soma da série. Se (S n ) diverge, então a série diverge. Eemplo 3. A série + tem as seguintes somas parciais = n S = S = + 4 = 3 4 Como S 3 = = S n = n = n n n = a série dada converge e a sua soma é S =. n + n 3
4 A série dada no eemplo anterior é uma série geométrica. Em geral, a série dada por + n=0 a r n = a + ar + ar ar n +..., a 0 (3) é a série geométrica de razão r. A razão da série é calculada como o quociente entre dois termos consecutivos, isto é, r = an+ a n. Teorema A série geométrica de razão r diverge se r. Se 0 < r <, então a série converge para a soma + n=0 a r n = a r, 0 < r < Eemplo 4. A série geométrica + pois a sua razão é r = 3 <. 4 é uma série convergente 3n Eercício. Indique se as séries geométricas seguintes são convergentes ou divergentes: a) + 3 b) + n n=0 n=0 ( ) n 3 4
5 Propriedades: + a n, +. + c a n = c + a n b n, e c IR e p, q IN, p q então:.. + a n converge + c a n converge... + a n diverge + c a n converge ou diverge.. + (a n ± b n ) = + a n ± + b n... + a n e + b n convergem + (a n ± b n ) converge... + a n e + b n divergentes + (a n ± b n ) converge ou diverge a n converge, + b n diverge + (a n ± b n ) diverge a n diverge, + b n converge + (a n ± b n ) diverge a n converge [diverge] + n=p n=q a n converge [diverge]. 5
6 [( ) Eemplo 5. A série + n ] 4 + n é divergente pois é soma 3 de uma série divergente com uma série convergente: Temos que + [( ) n ] 4 + n 3 = + ( ) n n = + 3 ( ) n ( ) n. Como + + ( ) n 4 é uma série divergente pois tem razão r = 3 ( ) n é uma série convergente pois tem razão r = 4 3 > < Pela propriedade.4 a série soma diverge. Teorema Seja 0 < a n b n para todo o n.. Se + b n converge, então + a n converge. Se + a n diverge, então + b n diverge 6
7 Eemplo 6. A série + é convergente pois: + 3n a n = + 3 n < 3 n = ( ) n = b n, n 3 ( ) n é uma série geométrica 3 Então, atendendo a que a série + ( ) convergente r = 3 < e ao teorema anterior a série + é convergente. + 3 n Eemplo 7. Use uma série geométrica para escrever a dizíma periódica como a razão de dois inteiros. Solução: Para a dízima periódica , podemos escrever: = = + ( ) ( ) n Para esta série, temos a = 8 0 e r = 0. Assim, = a r = 8/0 80 ) = Dividindo 8 por 99 numa calculadora podemos constatar o resultado. 7
8 ... Limites em IR... Definição e Interpretação Geométrica Em linguagem corrente, referimos o ite de velocidade, o ite de peso de um lutador, ite de resistência humana, ite da distensão de uma mola. Todas essas epressões sugerem que o ite é uma cota, que em certas ocasiões pode não ser atingida, mas noutras pode ser atingida ou mesmo ultrapassada. O conceito de ite matemático é bastante semelhante ao conceito de ite que referimos anteriormente. Suponhamos que nos é pedido para esboçar o gráfico da função f definida por f() = 3,. Para todos os valores ecepto =, podemos utilizar técnicas conhecidas para traçarmos gráficos de funções. No entanto, em =, não é claro o que acontecerá. Para termos uma ideia do gráfico de f nas proimidades de =, podemos usar dois conjuntos de valores de - um conjunto que se aproime de pela esquerda e outro que se aproime de pela direita. A tabela seguinte apresenta os valores de f() para diversos valores 8
9 de próimos de. aproima-se de aproima-se de pela esquerda }{{} pela direita }{{} 0, 75 0, 9 0, 99 0, 999, 00, 0,, 5 f(), 33, 70, 970, 997? 3, 003 3, 030 3, 30 3, 83 {}}{{}}{ f() aproima-se de 3 f() aproima-se de 3 Graficamente temos (,3) Como podemos observar, o gráfico de f é uma parábola que tem uma falha no ponto (, 3). Embora = não pertença ao domínio de f, podemos verificar que f() se aproima de 3 quando se aproima de. Usando a noção de ite podemos escrever f() = 3 que se lê o ite de f(), quando tende para, é 3. 9
10 Informalmente, podemos definir ite: Se f() se aproima de um único número L conforme se aproima de c, pela direita e pela esquerda, o ite de f(), quando tende para c, é L. Este ite é escrito como f() = L (4) c Eemplo. Calcule o valor da função f() = + em diversos pontos na proimidade de = 0 e use os resultados para fazer uma estimativa do ite 0 + Resolução: A tabela seguinte apresenta os valores de f() para diversos valores de próimos de 0. aproima-se de 0 aproima-se de 0 pela esquerda }{{} pela direita }{{} 0, 0 0, 00 0, , 000 0, 00 0, 0 f(), 99499, 99950, 99995?, 00005, 00050, {}}{ f() aproima-se de {}}{ f() aproima-se de 0
11 A partir dos resultados apresentados na tabela podemos fazer uma estimativa de que o valor do ite é. O gráfico de f reforça este resultado. 4 + (-,) Eemplo. Calcule o ite de f() quando se tende para sendo f() =, 0, = Resolução: Como f() = para qualquer que seja podemos concluir que o ite é, como podemos verificar graficamente. (,) f() Assim podemos escrever f() =
12 O facto de f() = 0 não tem relação com a eistência ou valor do ite quando. Por eemplo se a função fosse definida como, f() =, = teríamos da mesma forma f() =. Até agora apenas analisámos funções para as quais calculámos ites que eistiam. Vejamos o que se passa nos eemplos seguintes. Eemplo 3. Consideremos o gráfico da função f() =..5 f() A partir da figura podemos observar que: > 0 = = < 0 = = Isto significa que não importa o quanto perto se chegue de 0. Haverá sempre valores positivos e negativos para que produzem f() = e f() = pelo que não eiste. 0
13 Eemplo 4. Consideremos o gráfico da função f() =. 6 f() A partir da figura podemos observar que quando tende para 0 tanto pelo lado direito como pelo lado esquerdo, o valor de f() aumenta sem ites. Isto significa que ao escolhermos próimo de 0, podemos forçar f() a ser tão grande quanto quisermos. Acontece que f() não se aproima de nenhum número real L quando se aproima de 0, pelo que não eiste. 0 Do de que foi dito sai imediatamente que dois tipos comuns de comportamento associados à não eistência de um ite são: f() aproima-se de números diferentes pelo lado direito e pelo lado esquerdo de c. Simbolicamente temos c f() c +f() f() aumenta ou diminui iitadamente quando tende para c. Simbolicamente temos c f() = + f() = c 3
14 Definição Chamamos ite lateral à esquerda de f(), e lê-se ite de f() quando tende para c por valores inferiores a c, ao ite (5) c f() Chamamos ite lateral à direita de f(), e lê-se ite de f() quando tende para c por valores superiores a c, ao ite (6) c +f() Teorema 3 Se f é uma função e c e L são números reais, então c f() = L se e só se ambos os ites laterais eistem iguais a L. Eercício. Use o gráfico para encontrar o ite (se eistir). Se o ite não eistir, eplique por quê. a) 3 (4 ) 4 b) ( + )
15 c) 4, 0, = d) +,, = e) 3 f) Eercício. Esboce o gráfico de uma função tal que: f(0) não está definida 0 f() = 4 f() = 6 f() = 3 5
16 Definição 3 Seja f uma função definida num intervalo aberto contendo c e seja L um número real. A afirmação f() = L (7) c significa que para todo o ɛ > 0 eiste um δ > 0 tal que se 0 < c < δ = f() L < ɛ (8)... Propriedades dos ites Teorema 4 Sejam b e c números reais, e n um inteiro positivo. Sejam f e g funções tais que c f() = L e c g() = K, então: c b f() = b L c b = b c [f() ± g()] = L ± K c = c c [f()] n = [L] n c n = c n c n f() = n L c n = n c c [f() g()] = L K c f() g() = L K, K 0 Na propriedade 7, se n é par, L deve ser positivo. Na propriedade 8, se n é par, c deve ser positivo. 6
17 Eemplo 5. ( + 3) = + 3 = + 3 = + 3 = 5 Teorema 5 Se p é uma função polinomial e c é um número real arbitrário, então c p() = p(c) (9) Se r é uma função racional dada por r() = p() e c é um número q() real tal que q(c) 0, então, c r() = r(c) = p(c) q(c) (0) Eemplo = = L Teorema 6 Se f e g são funções tais que g() = L e c f() = f(l), então:, ( ) f(g()) = f g() = f(l) () c c 7
18 Eemplo 7. Dadas as funções f() = e g() = + 4 temos 0 g() = 0 ( + 4) = = 4 4 f() = 4 = 4 = 0 f(g()) = f(4) = 4 = Os eemplos seguintes mostram algumas técnicas que se podem utilizar para cálculo de ites quando as propriedades e os teoremas anteriores não se podem aplicar. Eemplo 8. Calcule Embora estejamos a trabalhar com o ite de uma função racional, não podemos aplicar o teorema pois o ite do denominador é ( + 6) = 0 ( + 3) = 0 3 Como o ite do numerador e do denominador são iguais, têm um factor em comum (neste caso tem de ser obrigatoriamente + 3). As- 8
19 sim, para todo o 3, podemos simplificar este factor comum para calcularmos o ite pretendido. Vejamos, = 3 ( + 3)( ) + 3 = = 3 ( ) = 5 Eemplo 9. Calcule 0 +. Também neste caso, por substituição directa, obtemos a forma indeterminada ( + ) = = 0 0 Podemos reescrever a fracção racionalizando o numerador. Ora, 9
20 0 + ( + )( + + ) = 0 ( + + ) = = 0 ( + ) ( + + ) = = 0 ( + + ) = = 0 ( + + ) = Noutros casos, para calcularmos ites, recorremos aos ites notáveis: Teorema 7 + e = +, p IR+ p 0 e = + ln = 0, p IR + ln( + ) p 0 = + ln + = 0, p IR+ + ln( + p) ln =, p IR + 0
21 Eemplo 0. 0 e ln( + ) = 0 e ln( + ) = = 0 e 0 ln( + ) = = 0 e 0 ln( + ) = = 0 e 0 ln( + ) = = Eercício 3. Utilizando as técnicas apropriadas, calcule, se eistirem, os seguintes ites: 0 a) ( + 8) 4 b) 4 c) d) e) + e ln f) 5 + ( 5) g) 0 e + e j) 0 e 3 h) 0 ln ( + ) k) + i) l)
22 ..3. Continuidade Matematicamente o termo contínuo tem essencialmente o mesmo significado que em linguagem corrente. Dizer que uma função é contínua em = c significa que não eiste interrupção no gráfico de f em c. Antes de definirmos formalmente o conceito de função contínua consideremos uma função f cujo gráfico se encontra representado na figura seguinte: a c c c 3 b Esta figura identifica três valores de em que a função não é contínua. Em = c, c f() não eiste Em = c, f(c ) não é definida Em = c 3, f(c 3 ) c3 f() Em todos os outros pontos do intervalo (a, b), o gráfico de f apresentase ininterrupto, o que implica que a função f é contínua em todos os outros pontos de (a, b).
23 Definição 4 Seja c (a, b) e f uma função cujo domínio contém o intervalo (a, b). A função f é contínua no ponto c se se verificam as seguintes condições: f(c) é definida c f() eiste c f() = f(c) Se f é contínua em todos os pontos do intervalo (a, b), então é contínua no intervalo (a, b). Se f é contínua em toda a recta real (, + ), então é contínua em toda a parte. Eemplo. Discuta a continuidade das seguintes funções no ponto = c: a) f() = +, 0 +, > 0 c = 0 Facilmente observamos que D f = IR, no entanto, atendendo à epressão que define a função, o ponto de abcissa = 0 levanta-nos algumas dúvida quanto à continuidade. Analisemos a continuidade da função neste ponto. 3
24 = + ) = 0 f() 0 ( = + ) = 0 +f() 0 +( f(0) = Logo f() é contínua em = 0 pois 0 f() = = f() Graficamente, vem: 4 f() = +, > 0 f() = +, 0 b) f() =, c = Intuitivamente, uma vez que D f = IR\{ }, concluímos que f() não é contínua em =. Vamos provar esta afirmação analítica e graficamente. Analiticamente, atendendo à definição temos: 4
25 f() = = ( )( + ) = = + ) = ( +f() = + = ( )( + ) + = = + ) = +( f() não está definida Logo f() não é contínua em = pois f() = f() Graficamente, vem: 4 f() = 3 5
26 Definição 5 Seja f definida num intervalo fechado [a, b]. f é contínua à direita de = a se e só se = f(a) a +f() f é contínua à direita de = b se e só se = f(b) b f() f é contínua no intervalo (a, b) se e só se f é contínua em todos os pontos de (a, b) f é contínua no intervalo [a, b] se e só se f é contínua em todos os pontos de (a, b), contínua à direita de = a e contínua à esquerda de = b f é contínua em IR se e só se é contínua em todos os pontos IR Eemplo. Discuta a continuidade de f() = no ponto = e ln, < e, e Vamos averiguar o comportamento de f quando = e. e f() e +f() f(e) = e = ) = lne = e (ln = ) = e e +( 6
27 Logo f() não é contínua em = e pois e f() e +f(). No entanto, atendendo a que = f(e), a função é contínua à e +f() direita de = e. Graficamente, vem: 4 f() =, > e f() = ln, e Propriedades das Funções Contínuas Teorema 8 Se b IR, n IN e f e g são funções contínuas em = c, então Toda a função constante é contínua. Toda a função polinomial é contínua. b f é uma função contínua. f ± g é uma função contínua. f g é uma função contínua. f g f n é uma função contínua, se g(c) 0. é uma função contínua. n f é uma função contínua, ecepto no caso de n par e f() < 0. 7
28 Teorema 9 Continuidade da Função Composta Se g é contínua em c e f é contínua em f(c), então a função composta dada por (f g)() = f(g()) é contínua em = c. Eemplo 3. Discuta a continuidade de f() =,, < < 3 ln, 3 < f() é contínua pois é uma função polinomial < < 3 f() é contínua pois é uma função polinomial > 3 f() é contínua pois a função ln é contínua no seu domínio (IR + ), logo contínua em (3, + ) = f() = ) = = ( +f() = = ( ) = = f( ) + Logo f() = f() f() é contínua em = 8
29 = 3 = 3 f() = 3 = 6 3 = ln = ln 3 = f(3) 3 +f() 3 + = 3. Logo o 3 f() não eiste pelo que f() não é contínua em Desta forma f() não é contínua, no entanto é contínua em IR\{3} Graficamente, vem: f() =, < < f() = ln, f() =, 6 9
30 Muitas funções utilizadas em aplicações à gestão são do tipo função escada, ou função degrau. A função maior inteiro é um eemplo de função escada. Esta função é representada por: f() = [] maior inteiro não superior a Por eemplo [.] [ ] maior inteiro não superior a. = 3 maior inteiro não superior a = [.5] maior inteiro não superior a.5 = Graficamente podemos observar que o gráfico desta função tem um salto de uma unidade para cada valor inteiro. isto implica que a função não é contínua nos inteiros. 3 f() = [] Em aplicações da vida real, o domínio da função de maior inteiro é, de uma forma geral, restrito a valores não negativos de. Em tais casos, esta função serve para truncar a pate decimal de. 30
31 Eemplo 4. Os bancos e as instituições financeiras diferem quanto à maneira de creditar os juros numa conta- Se o juro é creditado na conta de modo que o juro futuro seja pago sobre o juro já creditado, então o juro chama-se composto. Suponhamos, por eemplo, ε numa conta que rende a uma taa de juro de 6%, composto trimestralmente. Como 6% é a taa anual de juro, a taa trimestral é = 0.5 = 4.5%. Seguidamente apresentam-se os saldos da conta nos primeiros 5 trimestres. Trimestre Saldo o ε o = ε 3 o = ε 4 o = ε 5 o = ε Os cálculos efectuados permitem-nos definir uma função que relaciona o saldo da conta com o tempo em anos. Seja S o saldo na conta e t o tempo em anos, então S = ( + 0.5) [4t] 3
32 ..3.. Assímptotas Consideremos os gráficos seguintes: ( ) Se fosse possível estender os gráficos anteriores em direcção ao infinito positivo e negativo, veríamos que cada gráfico torna-se arbitrariamente próimo da recta vertical =. Essa recta é uma assímptota vertical do gráfico de f. Definição 6 A recta = c é uma assímptota vertical da função f() se e só se c f() = ± f() = ± () + c Eemplo 5. Determine, se eistirem as assímptotas ao gráfico da função f() = +. 3
33 Atendendo a que f() = + = 0 = + f() = = 0 = f() tem duas assímptotas verticais: = e =. Podemos comprovar este facto pela análise do gráfico de f() Como pudemos observar, o gráfico duma função tem uma assímptota vertical = c, quando tendendo para c, pela esquerda ou pela direita, torna a função infinita. Outro tipo de assímptota é obtido quando consideramos a tender para + ou. Vejamos os seguintes gráficos: 33
34 No o e o casos, o gráfico da função, quando cresce ou diminui iitadamente, aproima-se de rectas horizontais, enquanto que no 3 o caso o gráfico da função é lmitado por uma recta oblíqua. Estas rectas designam-se assímptotas horizontais e assímptotas oblíquas. Definição 7 A recta = m+b é uma assímptota à direita da função f() se e só se (a, + ) D f e eistem finitos os ites m = f() + b = (f() m ) (3) + A recta = m + b é uma assímptota à esquerda da função f() se e só se (, a) D f e eistem finitos os ites m = f() b = (f() m ) (4) Se m = 0 a assímptota é horizontal. Se m 0 a assímptota é oblíqua. 34
35 Teoremas de Weirstrass e Bolzano Consideremos os gráficos das funções f() e g(): f() 4 g() Teorema 0 Teorema de Weierstrass f() contínua em [a, b] então tem nesse intervalo um máimo e um mínimo. Simbolicamente f() contínua em [a, b] Então f() tem máimo e mínimo em [a, b] Outro teorema importante para funções contínuas é o Teorema de Bolzano mas, antes de o enunciarmos, analisemos os seguintes gráficos: f(a) f(b) k k f(b) a c b a f(a) c b f(a) > k > f(b) f(a) < k < f(b) 35
36 Teorema Teorema de Bolzano f() contínua em [a, b] então não passa de um valor a outro sem passar por todos os valores intermédios. Simbolicamente f() contínua em [a, b] Então f(a) < k < f(b) f(a) > k > f(b) c (a, b) : f(c) = k Corolário f() contínua em [a, b] Então f(a) f(b) < 0 c (a, b) : f(c) = 0 Eercício. Considere a função f() = são verdadeiras ou falsas as seguintes afirmações: c ( 5, 3) : f(c) = 0 c (, 8) : f(c) = Justifique se 36
37 Eercício. Considere os seguintes gráficos das funções g, g, g 3 e g 4. 3 g 3 g g 4 g Para cada condição dada para a função f, qual dos gráficos poderia ser o gráfico de f?. f() = 3.3 f é contínua em.3 f() = 3 37
38 ..4. Eercícios. Calcule os seguintes ites de sucessões: a) (5 n n ) n b) n n n n c) n n + 3 n d) n 4 n. Indique a natureza das seguintes séries: ( ) a) + ( ) n+ b) + n 3 3 c) + n + n+ d) + (.03) n e) + ( 0.6) n 3. Calcule, se possível, a soma das seguintes séries: a) + b) + ( ) n n=0 n=0 d) + [(0.7) n + (0.9) n ] e) + c) + n n=0 ( 8 8 ) n 3 n ( 3) n f) Escreva as dízimas periódicas seguintes como série geométrica e escreva a sua soma como a razão de dois inteiros: a) b) c) d) e) Descreva a diferença entre a n = 5 e + a n = 5 n 6. Um fabricante de jogos electrónicos produziu um novo produto cuja venda anual estimou que seria de unidades. A cada ano 0% das unidades vendidas tornam-se inoperantes. Assim, unidades estarão em uso depois de ano, [ (8 000)] estarão em uso após dois anos, e assim sucessivamente. Quantas unidades estarão em uso após n anos? 7. A figura representa o gráfico da função f. = f() 3 3 Calcule, caso eistam, os seguintes ites: (a) f() (b) f() (c) f() (d) f() (e) f()
39 8. Determine, caso eistam, os seguintes ites : (a) e (b) (c) (d) + (e) h 0 ( + h) h (f) + ln() (g) 0 + (h) 0 (i) (j) e ln (k) e 4 (l) e ln() 9. Considere a função f definida por: s se s > f(s) = 3 se s = se s < s Calcule, caso eistam, os seguintes ites: (a) f(s) (b) f(s) (c) f(s) (d) s s 0 + s s 0. Um negócio tem custo de C = 0, para produzir unidades. f(s) f(s) (e) s + s Sabendo que o custo médio por unidade é dado por C = C, determine o valor de e interprete o resultado no conteto do problema. C, +. Deposita-se uma quantia de 000 euros numa conta, a juros compostos trimestralmente à taa anual r (em forma decimal). O saldo S após 0 anos é dado por S = 000 ( + r 4) 40. Calcule, caso eista, o saldo quando a taa de juro tende para 6%.. Determine o domínio de continuidade das seguintes funções: (a)f() = 6 + se < 0 (b)g() = (c)h() = e + (d)i() = 4 se Estude a continuidade, em = 0 da função f definida por e + se > 0 ln( + ) f() = se = 0 e 3 se < 0 39
40 4. Para um certo valor de k 0, é contínua em IR a função f definida por e se 0 f() = ln( + k) se > 0 Qual é o valor de k? 5. O custo C (em milhares de euros) da remoção de por cento dos poluentes emitidos pela chaminé de uma fábrica pode ser modelado por C() = 00. (a) Eplique qual o domínio de C. (b) Faça o gráfico da função custo. A função é contínua em todo o seu domínio? Justifique. (c) Determine o custo da remoção de 75% dos poluentes da chaminé. 6. Sabendo que, uma função f é contínua no intervalo [, 3] e f() = 7 e f(3) = 4. Qual das seguintes afirmações é necessariamente verdadeira? (a) A função f tem pelo menos um zero no intervalo [, 3]. (b) A função f não tem zeros no intervalo [, 3]. (c) A equação f() = 5 tem pelo menos uma solução no intervalo [, 3]. (d) A equação f() = 5 não tem solução no intervalo [, 3]. 7. De uma função g, contínua em IR, sabe-se que:. é zero de g. g(3) > 0 Prove que g() = g(3) tem, pelo menos uma solução no intervalo ], 3[. 8. De uma função g de domínio IR +, sabe-se que a bissectriz dos quadrantes ímpares é uma assimptota do seu gráfico. Seja h a função de domínio IR +, definida por h() = g(). Prove que o eio O é uma assimptota do gráfico de h. 9. De uma função f de domínio IR +, sabe-se que: f(). = +. f() = 3 + Determine, caso eista, a equação da assimptota obliqua de f. 40
41 0. Considere a função real de variável real definida por f() = 4 (a) Escreva a epressão de f sem utilizar o símbolo de modulo. (b) Indique as assimptotas do gráfico de f.. Na figura seguinte está representado o gráfico de uma função r.v.r., = f(): = f() (a) Mostre que para IR0, f() = ( + ) +. f() (b) Calcule e conclua qual o valor + f (). + Sugestão: Note que = é assímptota não vertical da função. (c) Seja f() se < 0 g() = e + b se 0 i. Determine o valor de b de modo que g seja contínua em = 0. ii. Faça b = e considere g(), 0. A. Resolva a seguinte equação: g(5 + ) g( + 3) = 0. B. Caracterize a função inversa de g.. Uma chamada telefónica interurbana custa.04ε para os dois primeiros minutos e 0.36ε por cada minuto adicional ou fracção correspondente. (a) Estabeleça uma função que relacione o custo da chamada em função do tempo t( em minutos). (b) Esboce o gráfico dessa função e discuta a sua continuidade. 4
lim f ( x) Limites Limites
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