Comecemos por relembrar as propriedades dos limites das sucessões: b n = K e c IR então: lim. lim

Tamanho: px
Começar a partir da página:

Download "Comecemos por relembrar as propriedades dos limites das sucessões: b n = K e c IR então: lim. lim"

Transcrição

1 .. Limites e Continuidade... Limites em IN Comecemos por relembrar as propriedades dos ites das sucessões: Propriedades dos Limites das Sucessões: Sejam n a n = L e n b n = K e c IR então: n [a n ± b n ] = L ± K n c a n = c L n (a n b n ) = L K a n = L n b n K, b n 0, K 0 Eemplo. A sucessão de termo geral a n = 3 + ( ) n tem termos que alternam entre e 4, o ite, 4,, 4,... n a n não eiste, pelo que a sucessão diverge. n Eemplo. Para a sucessão de termo geral b n = n, dividindo o numerador e o numerador por n obtemos o ite b n = n n n n = n n (/n) = o que implica que a sucessão converge para.

2 Uma aplicação importante das sucessões infinitas é representar somatórios infinitos. Informalmente, se (a n ) é uma sucessão infinita então + a n = a + a a n +... () é uma série infinita (ou simplesmente série). Os números a, a,... são chamados termos da série. para algumas séries é conveniente começar os índices com n = 0 ou algum outro número inteiro. Como uma convenção de notação, é comum representar uma série infinita apenas por a n. Nestes casos, o valor inicial para o índice deve ser escolhido no conteto da afirmação. Para encontrar a soma de uma série infinita, consideremos a seguinte sucessão de somas parciais. S = a S = a + a S 3 = a + a + a 3... S n = a + a + a a n Se esta sucessão de somas parciais converge, dizemos que a série converge e tem soma indicada na seguinte definição:

3 Definição Para a série infinita + a n, a soma parcial de ordem n é dada por S n = a + a + a a n () Se a sucessão das somas parciais S n converge para S, então a série + a n converge. O ite S é chamado soma da série. Se (S n ) diverge, então a série diverge. Eemplo 3. A série + tem as seguintes somas parciais = n S = S = + 4 = 3 4 Como S 3 = = S n = n = n n n = a série dada converge e a sua soma é S =. n + n 3

4 A série dada no eemplo anterior é uma série geométrica. Em geral, a série dada por + n=0 a r n = a + ar + ar ar n +..., a 0 (3) é a série geométrica de razão r. A razão da série é calculada como o quociente entre dois termos consecutivos, isto é, r = an+ a n. Teorema A série geométrica de razão r diverge se r. Se 0 < r <, então a série converge para a soma + n=0 a r n = a r, 0 < r < Eemplo 4. A série geométrica + pois a sua razão é r = 3 <. 4 é uma série convergente 3n Eercício. Indique se as séries geométricas seguintes são convergentes ou divergentes: a) + 3 b) + n n=0 n=0 ( ) n 3 4

5 Propriedades: + a n, +. + c a n = c + a n b n, e c IR e p, q IN, p q então:.. + a n converge + c a n converge... + a n diverge + c a n converge ou diverge.. + (a n ± b n ) = + a n ± + b n... + a n e + b n convergem + (a n ± b n ) converge... + a n e + b n divergentes + (a n ± b n ) converge ou diverge a n converge, + b n diverge + (a n ± b n ) diverge a n diverge, + b n converge + (a n ± b n ) diverge a n converge [diverge] + n=p n=q a n converge [diverge]. 5

6 [( ) Eemplo 5. A série + n ] 4 + n é divergente pois é soma 3 de uma série divergente com uma série convergente: Temos que + [( ) n ] 4 + n 3 = + ( ) n n = + 3 ( ) n ( ) n. Como + + ( ) n 4 é uma série divergente pois tem razão r = 3 ( ) n é uma série convergente pois tem razão r = 4 3 > < Pela propriedade.4 a série soma diverge. Teorema Seja 0 < a n b n para todo o n.. Se + b n converge, então + a n converge. Se + a n diverge, então + b n diverge 6

7 Eemplo 6. A série + é convergente pois: + 3n a n = + 3 n < 3 n = ( ) n = b n, n 3 ( ) n é uma série geométrica 3 Então, atendendo a que a série + ( ) convergente r = 3 < e ao teorema anterior a série + é convergente. + 3 n Eemplo 7. Use uma série geométrica para escrever a dizíma periódica como a razão de dois inteiros. Solução: Para a dízima periódica , podemos escrever: = = + ( ) ( ) n Para esta série, temos a = 8 0 e r = 0. Assim, = a r = 8/0 80 ) = Dividindo 8 por 99 numa calculadora podemos constatar o resultado. 7

8 ... Limites em IR... Definição e Interpretação Geométrica Em linguagem corrente, referimos o ite de velocidade, o ite de peso de um lutador, ite de resistência humana, ite da distensão de uma mola. Todas essas epressões sugerem que o ite é uma cota, que em certas ocasiões pode não ser atingida, mas noutras pode ser atingida ou mesmo ultrapassada. O conceito de ite matemático é bastante semelhante ao conceito de ite que referimos anteriormente. Suponhamos que nos é pedido para esboçar o gráfico da função f definida por f() = 3,. Para todos os valores ecepto =, podemos utilizar técnicas conhecidas para traçarmos gráficos de funções. No entanto, em =, não é claro o que acontecerá. Para termos uma ideia do gráfico de f nas proimidades de =, podemos usar dois conjuntos de valores de - um conjunto que se aproime de pela esquerda e outro que se aproime de pela direita. A tabela seguinte apresenta os valores de f() para diversos valores 8

9 de próimos de. aproima-se de aproima-se de pela esquerda }{{} pela direita }{{} 0, 75 0, 9 0, 99 0, 999, 00, 0,, 5 f(), 33, 70, 970, 997? 3, 003 3, 030 3, 30 3, 83 {}}{{}}{ f() aproima-se de 3 f() aproima-se de 3 Graficamente temos (,3) Como podemos observar, o gráfico de f é uma parábola que tem uma falha no ponto (, 3). Embora = não pertença ao domínio de f, podemos verificar que f() se aproima de 3 quando se aproima de. Usando a noção de ite podemos escrever f() = 3 que se lê o ite de f(), quando tende para, é 3. 9

10 Informalmente, podemos definir ite: Se f() se aproima de um único número L conforme se aproima de c, pela direita e pela esquerda, o ite de f(), quando tende para c, é L. Este ite é escrito como f() = L (4) c Eemplo. Calcule o valor da função f() = + em diversos pontos na proimidade de = 0 e use os resultados para fazer uma estimativa do ite 0 + Resolução: A tabela seguinte apresenta os valores de f() para diversos valores de próimos de 0. aproima-se de 0 aproima-se de 0 pela esquerda }{{} pela direita }{{} 0, 0 0, 00 0, , 000 0, 00 0, 0 f(), 99499, 99950, 99995?, 00005, 00050, {}}{ f() aproima-se de {}}{ f() aproima-se de 0

11 A partir dos resultados apresentados na tabela podemos fazer uma estimativa de que o valor do ite é. O gráfico de f reforça este resultado. 4 + (-,) Eemplo. Calcule o ite de f() quando se tende para sendo f() =, 0, = Resolução: Como f() = para qualquer que seja podemos concluir que o ite é, como podemos verificar graficamente. (,) f() Assim podemos escrever f() =

12 O facto de f() = 0 não tem relação com a eistência ou valor do ite quando. Por eemplo se a função fosse definida como, f() =, = teríamos da mesma forma f() =. Até agora apenas analisámos funções para as quais calculámos ites que eistiam. Vejamos o que se passa nos eemplos seguintes. Eemplo 3. Consideremos o gráfico da função f() =..5 f() A partir da figura podemos observar que: > 0 = = < 0 = = Isto significa que não importa o quanto perto se chegue de 0. Haverá sempre valores positivos e negativos para que produzem f() = e f() = pelo que não eiste. 0

13 Eemplo 4. Consideremos o gráfico da função f() =. 6 f() A partir da figura podemos observar que quando tende para 0 tanto pelo lado direito como pelo lado esquerdo, o valor de f() aumenta sem ites. Isto significa que ao escolhermos próimo de 0, podemos forçar f() a ser tão grande quanto quisermos. Acontece que f() não se aproima de nenhum número real L quando se aproima de 0, pelo que não eiste. 0 Do de que foi dito sai imediatamente que dois tipos comuns de comportamento associados à não eistência de um ite são: f() aproima-se de números diferentes pelo lado direito e pelo lado esquerdo de c. Simbolicamente temos c f() c +f() f() aumenta ou diminui iitadamente quando tende para c. Simbolicamente temos c f() = + f() = c 3

14 Definição Chamamos ite lateral à esquerda de f(), e lê-se ite de f() quando tende para c por valores inferiores a c, ao ite (5) c f() Chamamos ite lateral à direita de f(), e lê-se ite de f() quando tende para c por valores superiores a c, ao ite (6) c +f() Teorema 3 Se f é uma função e c e L são números reais, então c f() = L se e só se ambos os ites laterais eistem iguais a L. Eercício. Use o gráfico para encontrar o ite (se eistir). Se o ite não eistir, eplique por quê. a) 3 (4 ) 4 b) ( + )

15 c) 4, 0, = d) +,, = e) 3 f) Eercício. Esboce o gráfico de uma função tal que: f(0) não está definida 0 f() = 4 f() = 6 f() = 3 5

16 Definição 3 Seja f uma função definida num intervalo aberto contendo c e seja L um número real. A afirmação f() = L (7) c significa que para todo o ɛ > 0 eiste um δ > 0 tal que se 0 < c < δ = f() L < ɛ (8)... Propriedades dos ites Teorema 4 Sejam b e c números reais, e n um inteiro positivo. Sejam f e g funções tais que c f() = L e c g() = K, então: c b f() = b L c b = b c [f() ± g()] = L ± K c = c c [f()] n = [L] n c n = c n c n f() = n L c n = n c c [f() g()] = L K c f() g() = L K, K 0 Na propriedade 7, se n é par, L deve ser positivo. Na propriedade 8, se n é par, c deve ser positivo. 6

17 Eemplo 5. ( + 3) = + 3 = + 3 = + 3 = 5 Teorema 5 Se p é uma função polinomial e c é um número real arbitrário, então c p() = p(c) (9) Se r é uma função racional dada por r() = p() e c é um número q() real tal que q(c) 0, então, c r() = r(c) = p(c) q(c) (0) Eemplo = = L Teorema 6 Se f e g são funções tais que g() = L e c f() = f(l), então:, ( ) f(g()) = f g() = f(l) () c c 7

18 Eemplo 7. Dadas as funções f() = e g() = + 4 temos 0 g() = 0 ( + 4) = = 4 4 f() = 4 = 4 = 0 f(g()) = f(4) = 4 = Os eemplos seguintes mostram algumas técnicas que se podem utilizar para cálculo de ites quando as propriedades e os teoremas anteriores não se podem aplicar. Eemplo 8. Calcule Embora estejamos a trabalhar com o ite de uma função racional, não podemos aplicar o teorema pois o ite do denominador é ( + 6) = 0 ( + 3) = 0 3 Como o ite do numerador e do denominador são iguais, têm um factor em comum (neste caso tem de ser obrigatoriamente + 3). As- 8

19 sim, para todo o 3, podemos simplificar este factor comum para calcularmos o ite pretendido. Vejamos, = 3 ( + 3)( ) + 3 = = 3 ( ) = 5 Eemplo 9. Calcule 0 +. Também neste caso, por substituição directa, obtemos a forma indeterminada ( + ) = = 0 0 Podemos reescrever a fracção racionalizando o numerador. Ora, 9

20 0 + ( + )( + + ) = 0 ( + + ) = = 0 ( + ) ( + + ) = = 0 ( + + ) = = 0 ( + + ) = Noutros casos, para calcularmos ites, recorremos aos ites notáveis: Teorema 7 + e = +, p IR+ p 0 e = + ln = 0, p IR + ln( + ) p 0 = + ln + = 0, p IR+ + ln( + p) ln =, p IR + 0

21 Eemplo 0. 0 e ln( + ) = 0 e ln( + ) = = 0 e 0 ln( + ) = = 0 e 0 ln( + ) = = 0 e 0 ln( + ) = = Eercício 3. Utilizando as técnicas apropriadas, calcule, se eistirem, os seguintes ites: 0 a) ( + 8) 4 b) 4 c) d) e) + e ln f) 5 + ( 5) g) 0 e + e j) 0 e 3 h) 0 ln ( + ) k) + i) l)

22 ..3. Continuidade Matematicamente o termo contínuo tem essencialmente o mesmo significado que em linguagem corrente. Dizer que uma função é contínua em = c significa que não eiste interrupção no gráfico de f em c. Antes de definirmos formalmente o conceito de função contínua consideremos uma função f cujo gráfico se encontra representado na figura seguinte: a c c c 3 b Esta figura identifica três valores de em que a função não é contínua. Em = c, c f() não eiste Em = c, f(c ) não é definida Em = c 3, f(c 3 ) c3 f() Em todos os outros pontos do intervalo (a, b), o gráfico de f apresentase ininterrupto, o que implica que a função f é contínua em todos os outros pontos de (a, b).

23 Definição 4 Seja c (a, b) e f uma função cujo domínio contém o intervalo (a, b). A função f é contínua no ponto c se se verificam as seguintes condições: f(c) é definida c f() eiste c f() = f(c) Se f é contínua em todos os pontos do intervalo (a, b), então é contínua no intervalo (a, b). Se f é contínua em toda a recta real (, + ), então é contínua em toda a parte. Eemplo. Discuta a continuidade das seguintes funções no ponto = c: a) f() = +, 0 +, > 0 c = 0 Facilmente observamos que D f = IR, no entanto, atendendo à epressão que define a função, o ponto de abcissa = 0 levanta-nos algumas dúvida quanto à continuidade. Analisemos a continuidade da função neste ponto. 3

24 = + ) = 0 f() 0 ( = + ) = 0 +f() 0 +( f(0) = Logo f() é contínua em = 0 pois 0 f() = = f() Graficamente, vem: 4 f() = +, > 0 f() = +, 0 b) f() =, c = Intuitivamente, uma vez que D f = IR\{ }, concluímos que f() não é contínua em =. Vamos provar esta afirmação analítica e graficamente. Analiticamente, atendendo à definição temos: 4

25 f() = = ( )( + ) = = + ) = ( +f() = + = ( )( + ) + = = + ) = +( f() não está definida Logo f() não é contínua em = pois f() = f() Graficamente, vem: 4 f() = 3 5

26 Definição 5 Seja f definida num intervalo fechado [a, b]. f é contínua à direita de = a se e só se = f(a) a +f() f é contínua à direita de = b se e só se = f(b) b f() f é contínua no intervalo (a, b) se e só se f é contínua em todos os pontos de (a, b) f é contínua no intervalo [a, b] se e só se f é contínua em todos os pontos de (a, b), contínua à direita de = a e contínua à esquerda de = b f é contínua em IR se e só se é contínua em todos os pontos IR Eemplo. Discuta a continuidade de f() = no ponto = e ln, < e, e Vamos averiguar o comportamento de f quando = e. e f() e +f() f(e) = e = ) = lne = e (ln = ) = e e +( 6

27 Logo f() não é contínua em = e pois e f() e +f(). No entanto, atendendo a que = f(e), a função é contínua à e +f() direita de = e. Graficamente, vem: 4 f() =, > e f() = ln, e Propriedades das Funções Contínuas Teorema 8 Se b IR, n IN e f e g são funções contínuas em = c, então Toda a função constante é contínua. Toda a função polinomial é contínua. b f é uma função contínua. f ± g é uma função contínua. f g é uma função contínua. f g f n é uma função contínua, se g(c) 0. é uma função contínua. n f é uma função contínua, ecepto no caso de n par e f() < 0. 7

28 Teorema 9 Continuidade da Função Composta Se g é contínua em c e f é contínua em f(c), então a função composta dada por (f g)() = f(g()) é contínua em = c. Eemplo 3. Discuta a continuidade de f() =,, < < 3 ln, 3 < f() é contínua pois é uma função polinomial < < 3 f() é contínua pois é uma função polinomial > 3 f() é contínua pois a função ln é contínua no seu domínio (IR + ), logo contínua em (3, + ) = f() = ) = = ( +f() = = ( ) = = f( ) + Logo f() = f() f() é contínua em = 8

29 = 3 = 3 f() = 3 = 6 3 = ln = ln 3 = f(3) 3 +f() 3 + = 3. Logo o 3 f() não eiste pelo que f() não é contínua em Desta forma f() não é contínua, no entanto é contínua em IR\{3} Graficamente, vem: f() =, < < f() = ln, f() =, 6 9

30 Muitas funções utilizadas em aplicações à gestão são do tipo função escada, ou função degrau. A função maior inteiro é um eemplo de função escada. Esta função é representada por: f() = [] maior inteiro não superior a Por eemplo [.] [ ] maior inteiro não superior a. = 3 maior inteiro não superior a = [.5] maior inteiro não superior a.5 = Graficamente podemos observar que o gráfico desta função tem um salto de uma unidade para cada valor inteiro. isto implica que a função não é contínua nos inteiros. 3 f() = [] Em aplicações da vida real, o domínio da função de maior inteiro é, de uma forma geral, restrito a valores não negativos de. Em tais casos, esta função serve para truncar a pate decimal de. 30

31 Eemplo 4. Os bancos e as instituições financeiras diferem quanto à maneira de creditar os juros numa conta- Se o juro é creditado na conta de modo que o juro futuro seja pago sobre o juro já creditado, então o juro chama-se composto. Suponhamos, por eemplo, ε numa conta que rende a uma taa de juro de 6%, composto trimestralmente. Como 6% é a taa anual de juro, a taa trimestral é = 0.5 = 4.5%. Seguidamente apresentam-se os saldos da conta nos primeiros 5 trimestres. Trimestre Saldo o ε o = ε 3 o = ε 4 o = ε 5 o = ε Os cálculos efectuados permitem-nos definir uma função que relaciona o saldo da conta com o tempo em anos. Seja S o saldo na conta e t o tempo em anos, então S = ( + 0.5) [4t] 3

32 ..3.. Assímptotas Consideremos os gráficos seguintes: ( ) Se fosse possível estender os gráficos anteriores em direcção ao infinito positivo e negativo, veríamos que cada gráfico torna-se arbitrariamente próimo da recta vertical =. Essa recta é uma assímptota vertical do gráfico de f. Definição 6 A recta = c é uma assímptota vertical da função f() se e só se c f() = ± f() = ± () + c Eemplo 5. Determine, se eistirem as assímptotas ao gráfico da função f() = +. 3

33 Atendendo a que f() = + = 0 = + f() = = 0 = f() tem duas assímptotas verticais: = e =. Podemos comprovar este facto pela análise do gráfico de f() Como pudemos observar, o gráfico duma função tem uma assímptota vertical = c, quando tendendo para c, pela esquerda ou pela direita, torna a função infinita. Outro tipo de assímptota é obtido quando consideramos a tender para + ou. Vejamos os seguintes gráficos: 33

34 No o e o casos, o gráfico da função, quando cresce ou diminui iitadamente, aproima-se de rectas horizontais, enquanto que no 3 o caso o gráfico da função é lmitado por uma recta oblíqua. Estas rectas designam-se assímptotas horizontais e assímptotas oblíquas. Definição 7 A recta = m+b é uma assímptota à direita da função f() se e só se (a, + ) D f e eistem finitos os ites m = f() + b = (f() m ) (3) + A recta = m + b é uma assímptota à esquerda da função f() se e só se (, a) D f e eistem finitos os ites m = f() b = (f() m ) (4) Se m = 0 a assímptota é horizontal. Se m 0 a assímptota é oblíqua. 34

35 Teoremas de Weirstrass e Bolzano Consideremos os gráficos das funções f() e g(): f() 4 g() Teorema 0 Teorema de Weierstrass f() contínua em [a, b] então tem nesse intervalo um máimo e um mínimo. Simbolicamente f() contínua em [a, b] Então f() tem máimo e mínimo em [a, b] Outro teorema importante para funções contínuas é o Teorema de Bolzano mas, antes de o enunciarmos, analisemos os seguintes gráficos: f(a) f(b) k k f(b) a c b a f(a) c b f(a) > k > f(b) f(a) < k < f(b) 35

36 Teorema Teorema de Bolzano f() contínua em [a, b] então não passa de um valor a outro sem passar por todos os valores intermédios. Simbolicamente f() contínua em [a, b] Então f(a) < k < f(b) f(a) > k > f(b) c (a, b) : f(c) = k Corolário f() contínua em [a, b] Então f(a) f(b) < 0 c (a, b) : f(c) = 0 Eercício. Considere a função f() = são verdadeiras ou falsas as seguintes afirmações: c ( 5, 3) : f(c) = 0 c (, 8) : f(c) = Justifique se 36

37 Eercício. Considere os seguintes gráficos das funções g, g, g 3 e g 4. 3 g 3 g g 4 g Para cada condição dada para a função f, qual dos gráficos poderia ser o gráfico de f?. f() = 3.3 f é contínua em.3 f() = 3 37

38 ..4. Eercícios. Calcule os seguintes ites de sucessões: a) (5 n n ) n b) n n n n c) n n + 3 n d) n 4 n. Indique a natureza das seguintes séries: ( ) a) + ( ) n+ b) + n 3 3 c) + n + n+ d) + (.03) n e) + ( 0.6) n 3. Calcule, se possível, a soma das seguintes séries: a) + b) + ( ) n n=0 n=0 d) + [(0.7) n + (0.9) n ] e) + c) + n n=0 ( 8 8 ) n 3 n ( 3) n f) Escreva as dízimas periódicas seguintes como série geométrica e escreva a sua soma como a razão de dois inteiros: a) b) c) d) e) Descreva a diferença entre a n = 5 e + a n = 5 n 6. Um fabricante de jogos electrónicos produziu um novo produto cuja venda anual estimou que seria de unidades. A cada ano 0% das unidades vendidas tornam-se inoperantes. Assim, unidades estarão em uso depois de ano, [ (8 000)] estarão em uso após dois anos, e assim sucessivamente. Quantas unidades estarão em uso após n anos? 7. A figura representa o gráfico da função f. = f() 3 3 Calcule, caso eistam, os seguintes ites: (a) f() (b) f() (c) f() (d) f() (e) f()

39 8. Determine, caso eistam, os seguintes ites : (a) e (b) (c) (d) + (e) h 0 ( + h) h (f) + ln() (g) 0 + (h) 0 (i) (j) e ln (k) e 4 (l) e ln() 9. Considere a função f definida por: s se s > f(s) = 3 se s = se s < s Calcule, caso eistam, os seguintes ites: (a) f(s) (b) f(s) (c) f(s) (d) s s 0 + s s 0. Um negócio tem custo de C = 0, para produzir unidades. f(s) f(s) (e) s + s Sabendo que o custo médio por unidade é dado por C = C, determine o valor de e interprete o resultado no conteto do problema. C, +. Deposita-se uma quantia de 000 euros numa conta, a juros compostos trimestralmente à taa anual r (em forma decimal). O saldo S após 0 anos é dado por S = 000 ( + r 4) 40. Calcule, caso eista, o saldo quando a taa de juro tende para 6%.. Determine o domínio de continuidade das seguintes funções: (a)f() = 6 + se < 0 (b)g() = (c)h() = e + (d)i() = 4 se Estude a continuidade, em = 0 da função f definida por e + se > 0 ln( + ) f() = se = 0 e 3 se < 0 39

40 4. Para um certo valor de k 0, é contínua em IR a função f definida por e se 0 f() = ln( + k) se > 0 Qual é o valor de k? 5. O custo C (em milhares de euros) da remoção de por cento dos poluentes emitidos pela chaminé de uma fábrica pode ser modelado por C() = 00. (a) Eplique qual o domínio de C. (b) Faça o gráfico da função custo. A função é contínua em todo o seu domínio? Justifique. (c) Determine o custo da remoção de 75% dos poluentes da chaminé. 6. Sabendo que, uma função f é contínua no intervalo [, 3] e f() = 7 e f(3) = 4. Qual das seguintes afirmações é necessariamente verdadeira? (a) A função f tem pelo menos um zero no intervalo [, 3]. (b) A função f não tem zeros no intervalo [, 3]. (c) A equação f() = 5 tem pelo menos uma solução no intervalo [, 3]. (d) A equação f() = 5 não tem solução no intervalo [, 3]. 7. De uma função g, contínua em IR, sabe-se que:. é zero de g. g(3) > 0 Prove que g() = g(3) tem, pelo menos uma solução no intervalo ], 3[. 8. De uma função g de domínio IR +, sabe-se que a bissectriz dos quadrantes ímpares é uma assimptota do seu gráfico. Seja h a função de domínio IR +, definida por h() = g(). Prove que o eio O é uma assimptota do gráfico de h. 9. De uma função f de domínio IR +, sabe-se que: f(). = +. f() = 3 + Determine, caso eista, a equação da assimptota obliqua de f. 40

41 0. Considere a função real de variável real definida por f() = 4 (a) Escreva a epressão de f sem utilizar o símbolo de modulo. (b) Indique as assimptotas do gráfico de f.. Na figura seguinte está representado o gráfico de uma função r.v.r., = f(): = f() (a) Mostre que para IR0, f() = ( + ) +. f() (b) Calcule e conclua qual o valor + f (). + Sugestão: Note que = é assímptota não vertical da função. (c) Seja f() se < 0 g() = e + b se 0 i. Determine o valor de b de modo que g seja contínua em = 0. ii. Faça b = e considere g(), 0. A. Resolva a seguinte equação: g(5 + ) g( + 3) = 0. B. Caracterize a função inversa de g.. Uma chamada telefónica interurbana custa.04ε para os dois primeiros minutos e 0.36ε por cada minuto adicional ou fracção correspondente. (a) Estabeleça uma função que relacione o custo da chamada em função do tempo t( em minutos). (b) Esboce o gráfico dessa função e discuta a sua continuidade. 4

lim f ( x) Limites Limites

lim f ( x) Limites Limites UNIVERSIDADE DO ESTADO DE MATO GROSSO CAMPUS UNIVERSITÁRIO DE SINOP FACULDADE DE CIÊNCIAS EXATAS E TECNOLÓGICAS CURSO DE ENGENHARIA CIVIL DISCIPLINA: CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL I 1. O ite de uma função

Leia mais

CÁLCULO I. Apresentar e aplicar a Regra de L'Hospital.

CÁLCULO I. Apresentar e aplicar a Regra de L'Hospital. CÁLCULO I Prof. Edilson Neri Júnior Prof. André Almeida Aula n o : Limites Innitos e no Innito. Assíntotas. Regra de L'Hospital Objetivos da Aula Denir ite no innito e ites innitos; Apresentar alguns tipos

Leia mais

Exercícios de Cálculo p. Informática, Ex 1-1 Nas alíneas seguintes use os termos inteiro, racional, irracional, para classificar

Exercícios de Cálculo p. Informática, Ex 1-1 Nas alíneas seguintes use os termos inteiro, racional, irracional, para classificar Eercícios de Cálculo p. Informática, 2006-07 Números Reais. E - Nas alíneas seguintes use os termos inteiro, racional, irracional, para classificar o número dado: 7 a) b) 6 7 c) 2.(3) = 2.33 d) 2 3 e)

Leia mais

MAT-2453 CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL I - BCC Prof. Juan Carlos Gutiérrez Fernández

MAT-2453 CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL I - BCC Prof. Juan Carlos Gutiérrez Fernández MAT-2453 CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL I - BCC Prof. Juan Carlos Gutiérrez Fernández Lista 3: Introdução à Derivada, Limites e continuidade. Ano 207. Determine a função derivada e seu domínio para a função

Leia mais

Resolução dos Exercícios Propostos no Livro

Resolução dos Exercícios Propostos no Livro Resolução dos Eercícios Propostos no Livro Eercício : Considere agora uma função f cujo gráfico é dado por y 0 O que ocorre com f() quando se aproima de por valores maiores que? E quando se aproima de

Leia mais

de ponto para ponto. Por exemplo, consideremos o seguinte gráfico: (x 2, y 2 ) (x 4, y 4 ) x

de ponto para ponto. Por exemplo, consideremos o seguinte gráfico: (x 2, y 2 ) (x 4, y 4 ) x .3. Derivadas.3.1. Definição e Interpretação Geométrica Anteriormente já mostrámos como o coeficiente angular de uma recta - declive de uma recta - indica a taa à qual a recta sobe ou desce. para uma recta,

Leia mais

CONTINUIDADE DE FUNÇÕES REAIS DE UMA VARIÁVEL

CONTINUIDADE DE FUNÇÕES REAIS DE UMA VARIÁVEL BÁRBARA DENICOL DO AMARAL RODRIGUEZ CINTHYA MARIA SCHNEIDER MENEGHETTI CRISTIANA ANDRADE POFFAL CONTINUIDADE DE FUNÇÕES REAIS DE UMA VARIÁVEL a Edição Rio Grande Editora da FURG 206 Universidade Federal

Leia mais

ESCOLA SECUNDÁRIA COM 3º CICLO D. DINIS COIMBRA 12º ANO DE ESCOLARIDADE MATEMÁTICA A

ESCOLA SECUNDÁRIA COM 3º CICLO D. DINIS COIMBRA 12º ANO DE ESCOLARIDADE MATEMÁTICA A ESCOLA SECUNDÁRIA COM º CICLO D. DINIS COIMBRA º ANO DE ESCOLARIDADE MATEMÁTICA A Tarefa nº do plano de trabalho nº 7. Considere a função f() -. a. Encontre a epressão analítica da função inversa de f.

Leia mais

5.7 Aplicações da derivada ao estudo das funções.

5.7 Aplicações da derivada ao estudo das funções. Capítulo V: Derivação 0.. 4. 7. tg( ) 0 tg( π ( + + ) sen( ) + ) sen( ) Resolução: cos( ) Repare que não eiste sen( ). + 5. ( e + ) 6. 0 π ( + cos( )) cos( ) sen( ) sen( ) Mas, e como 0, então 0 + + +

Leia mais

Ficha de Problemas n o 6: Cálculo Diferencial (soluções) 2.Teoremas de Rolle, Lagrange e Cauchy

Ficha de Problemas n o 6: Cálculo Diferencial (soluções) 2.Teoremas de Rolle, Lagrange e Cauchy Ficha de Problemas n o 6: Cálculo Diferencial soluções).teoremas de Rolle, Lagrange e Cauchy. Seja f) = 3 e. Então f é contínua e diferenciável em R. Uma vez que f) = +, f0) = conclui-se do Teorema do

Leia mais

Limites: Noção intuitiva e geométrica

Limites: Noção intuitiva e geométrica Eemplo : f : R {} R, f sen a Gráfico de f b Ampliação do gráfico de f perto da origem Limites: Noção intuitiva e geométrica f Apesar de f não estar definida em, faz sentido questionar o que acontece com

Leia mais

Notas de aula: Cálculo e Matemática Aplicados à Notas de aula: Gestão Ambiental

Notas de aula: Cálculo e Matemática Aplicados à Notas de aula: Gestão Ambiental Notas de aula: Cálculo e Matemática Aplicados à Notas de aula: Gestão Ambiental 3 Limites Considere a função f definida por: Qual o domínio dessa função? Se 1, então f () é dada por: (2 + 3)( 1). 1 2 +

Leia mais

T. Rolle, Lagrange e Cauchy

T. Rolle, Lagrange e Cauchy T. Rolle, Lagrange e Cauchy EXERCÍCIOS RESOLVIDOS. Mostre que a equação 5 + 5 = 5 tem uma única solução em R. Seja f = 5 +5 5. Então f é contínua e diferenciável em R. Temos f = 5 4 + > 0, em R, logo f

Leia mais

(versão preliminar) exceto possivelmente para x = a. Dizemos que o limite de f(x) quando x tende para x = a é um numero L, e escrevemos

(versão preliminar) exceto possivelmente para x = a. Dizemos que o limite de f(x) quando x tende para x = a é um numero L, e escrevemos LIMITE DE FUNÇÕES REAIS JOSÉ ANTÔNIO G. MIRANDA versão preinar). Revisão: Limite e Funções Continuas Definição Limite de Seqüências). Dizemos que uma seqüência de números reais n convergente para um número

Leia mais

Cálculo diferencial. Motivação - exemplos de aplicações à física

Cálculo diferencial. Motivação - exemplos de aplicações à física Cálculo diferencial Motivação - eemplos de aplicações à física Considere-se um ponto móvel sobre um eio orientado, cuja posição em relação à origem é dada, em função do tempo, pela função s. st posição

Leia mais

Fundação Universidade Federal de Pelotas Curso de Licenciatura em Matemática Disciplina de Análise II - Prof. Dr. Maurício Zahn Lista 01 de Exercícios

Fundação Universidade Federal de Pelotas Curso de Licenciatura em Matemática Disciplina de Análise II - Prof. Dr. Maurício Zahn Lista 01 de Exercícios Fundação Universidade Federal de Pelotas Curso de Licenciatura em Matemática Disciplina de Análise II - Prof Dr Maurício Zahn Lista 01 de Eercícios 1 Use a definição de derivada para calcular a derivada

Leia mais

Módulo 1 Limites. 1. Introdução

Módulo 1 Limites. 1. Introdução Módulo 1 Limites 1. Introdução Nesta disciplina você vai estudar o cálculo diferencial e integral e suas aplicações em diversos problemas relacionados à Economia. O conceito de limite é conceito mais básico

Leia mais

Acadêmico(a) Turma: Capítulo 7: Limites

Acadêmico(a) Turma: Capítulo 7: Limites Acadêmico(a) Turma: Capítulo 7: Limites 7.1. Noção Intuitiva de ite Considere a função f(), em que f() = 2 + 1. Para valores de que se aproima de 1, por valores maiores que 1 (Direita) e por valores menores

Leia mais

LIMITE. Para uma melhor compreensão de limite, vamos considerar a função f dada por =

LIMITE. Para uma melhor compreensão de limite, vamos considerar a função f dada por = LIMITE Aparentemente, a idéia de se aproimar o máimo possível de um ponto ou valor, sem nunca alcançá-lo, é algo estranho. Mas, conceitos do tipo ite são usados com bastante freqüência. A produtividade

Leia mais

Escola Secundária com 3º ciclo D. Dinis 12º Ano de Matemática A Tema II Introdução ao Cálculo Diferencial II. Aula nº 5 do plano de trabalho nº 5

Escola Secundária com 3º ciclo D. Dinis 12º Ano de Matemática A Tema II Introdução ao Cálculo Diferencial II. Aula nº 5 do plano de trabalho nº 5 Escola Secundária com 3º ciclo D. Dinis º Ano de Matemática A Tema II Introdução ao Cálculo Diferencial II Aula nº 5 do plano de trabalho nº 5 Resolver os eercícios 03, 0, 05, 0 e 6 das páginas 95 e 0.

Leia mais

(x 2,y 2 ) (x 4,y 4 ) x

(x 2,y 2 ) (x 4,y 4 ) x 2.3. Derivadas 2.3.1. Definição e Interpretação Geométrica Anteriormente já mostrámos como o coeficiente angular de uma recta - declive de uma recta - indica a taa à qual a recta sobe ou desce. para uma

Leia mais

Faculdade de Economia Universidade Nova de Lisboa Primavera 2004/2005. Cálculo I. Caderno de Exercícios 4

Faculdade de Economia Universidade Nova de Lisboa Primavera 2004/2005. Cálculo I. Caderno de Exercícios 4 Faculdade de Economia Universidade Nova de Lisboa Primavera 2004/2005 Cálculo I Caderno de Eercícios 4 Limites, continuidade e diferenciabilidade de funções; fórmulas de Taylor e MacLaurin; estudo de funções.

Leia mais

Aula 3 Propriedades de limites. Limites laterais.

Aula 3 Propriedades de limites. Limites laterais. Propriedades de ites. Limites laterais. MÓDULO - AULA 3 Aula 3 Propriedades de ites. Limites laterais. Objetivos Estudar propriedades elementares de ites, tais como: soma, produto, quociente e confronto.

Leia mais

g) 2 x2 (2 x ) 2, 6 x i) x 2 x + 2, j) k) log ( 1 l) log ( 2x 2 + 2x 2) + log ( x 2

g) 2 x2 (2 x ) 2, 6 x i) x 2 x + 2, j) k) log ( 1 l) log ( 2x 2 + 2x 2) + log ( x 2 Números Reais. Simplifique as seguintes epressões (definidas nos respectivos domínios): a), b) + +, c) + + +, d), e) ( ), f) 4 4, g) ( ), h) 3 6, i) +, j) +, k) log ( ) + log ( ), l) log ( + ) + log (

Leia mais

Capítulo III. Limite de Funções. 3.1 Noção de Limite. Dada uma função f, o que é que significa lim f ( x) = 5

Capítulo III. Limite de Funções. 3.1 Noção de Limite. Dada uma função f, o que é que significa lim f ( x) = 5 Capítulo III Limite de Funções. Noção de Limite Dada uma unção, o que é que signiica ( 5? A ideia intuitiva do que queremos dizer com isto é: quando toma valores cada vez mais próimos de, a respectiva

Leia mais

Continuidade. 1.Continuidade 2.Continuidade em um intervalo fechado 3.A função maior inteiro 4.Aplicação: juro composto

Continuidade. 1.Continuidade 2.Continuidade em um intervalo fechado 3.A função maior inteiro 4.Aplicação: juro composto UNIVERSIDADE DO ESTADO DE MATO GROSSO CAMPUS UNIVERSITÁRIO DE SINOP FACULDADE DE CIÊNCIAS EXATAS E TECNOLÓGICAS CURSO DE ENGENHARIA CIVIL DISCIPLINA: CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL I Continuidade Prof.:

Leia mais

MATEMÁTICA A - 12o Ano Funções - Assintotas

MATEMÁTICA A - 12o Ano Funções - Assintotas MATEMÁTICA A - 12o Ano Funções - Assintotas Eercícios de eames e testes intermédios 1. Seja f a função, de domínio R + 0, definida por f() = 2 e 1 Estude a função f quanto à eistência de assintota horizontal,

Leia mais

Limites e Continuidade. Departamento de Matemática

Limites e Continuidade. Departamento de Matemática Limites e Continuidade Mariana Dias Júlia Justino Departamento de Matemática Conteúdo Limites. Noção Intuitiva.... Definição... 3.3 PropriedadesdosLimitesFinitos... 5. Limites Laterais... 7.5 Limites Infinitos...

Leia mais

Exercício 1. Exercício 2. Exercício 3. Considere a função f que para valores de x é de nida pela relação f(x) = x(sin /x).

Exercício 1. Exercício 2. Exercício 3. Considere a função f que para valores de x é de nida pela relação f(x) = x(sin /x). E Eercício 1 Considere a função f que para valores de é denida pela relação f() = (sin /). 1.1 Mostre que a função f é contínua em R\{}. 1.2 Sabendo que f é contínua no ponto = determine o valor de f().

Leia mais

Itens para resolver (CONTINUAÇÃO)

Itens para resolver (CONTINUAÇÃO) PREPARAR EXAME NACINAL Itens para resolver (CNTINUAÇÃ) e. Seja g a função, de domínio IR\{}, definida por g(). Sem usar a calculadora, determine, se eistirem, as equações das assíntotas do gráfico de g.

Leia mais

Universidade Federal Fluminense. Matemática I. Professora Maria Emilia Neves Cardoso

Universidade Federal Fluminense. Matemática I. Professora Maria Emilia Neves Cardoso Universidade Federal Fluminense Matemática I Professora Maria Emilia Neves Cardoso Notas de Aula / º semestre de Capítulo : Limite de uma função real O conceito de ite é o ponto de partida para definir

Leia mais

Cálculo 1 Lista 03 Limites

Cálculo 1 Lista 03 Limites Cálculo Lista 0 Limites Professor: Daniel Pinguim Definições intuitivas iniciais ) Considere a função f: A R, f() = 4 a) Dê o domínio máimo possível para essa função. b) G Faça um esboço do gráfico da

Leia mais

Estudo de funções. Universidade Portucalense Departamento de Inovação, Ciência e Tecnologia Curso Satélite - Módulo I - Matemática.

Estudo de funções. Universidade Portucalense Departamento de Inovação, Ciência e Tecnologia Curso Satélite - Módulo I - Matemática. Universidade Portucalense Departamento de Inovação, Ciência e Tecnologia Curso Satélite - Módulo I - Matemática Estudo de funções Continuidade Consideremos as funções: f : R R g : R R x x + x x +, x 1

Leia mais

Cálculo Diferencial e Integral I

Cálculo Diferencial e Integral I Cálculo Diferencial e Integral I Eame - Parte I - de Julho de 8 LERC, LEGI, LEE, LEIC-T Número: Nome: valores a) valores b) valores 3 4 valores 4 valores 5 a) 3 valores 5 b) 3 valores 6 valores páginas

Leia mais

( a) ( ) ( ) ( ) 1. A função m : x x x 2 tem por representação gráfica. A C 1 B D Seja f uma função definida em R.

( a) ( ) ( ) ( ) 1. A função m : x x x 2 tem por representação gráfica. A C 1 B D Seja f uma função definida em R. Para cada uma das seguintes questões, seleccione a resposta correcta entre as quatro alternativas que são indicadas, justificando a sua escolha.. A função m : tem por representação gráfica. A C B D. Seja

Leia mais

LIMITES DE FUNÇÕES REAIS DE UMA VARIÁVEL

LIMITES DE FUNÇÕES REAIS DE UMA VARIÁVEL BÁRBARA DENICOL DO AMARAL RODRIGUEZ CINTHYA MARIA SCHNEIDER MENEGHETTI CRISTIANA ANDRADE POFFAL LIMITES DE FUNÇÕES REAIS DE UMA VARIÁVEL a Edição Rio Grande Editora da FURG 06 Universidade Federal do Rio

Leia mais

TÓPICOS DE MATEMÁTICA

TÓPICOS DE MATEMÁTICA INSTITUTO SUPERIOR DE CONTABILIDADE E ADMINISTRAÇÃO DE COIMBRA SOLICITADORIA E ADMINISTRAÇÃO TÓPICOS DE MATEMÁTICA FUNÇÕES 2ª Parte Clara Viseu, Maria de Lurdes Vieira Baseado em: Harshbarger, Reynolds.

Leia mais

Capítulo III. Limite de Funções. 3.1 Noção de Limite. Dada uma função f, o que é que significa lim f ( x) = 5

Capítulo III. Limite de Funções. 3.1 Noção de Limite. Dada uma função f, o que é que significa lim f ( x) = 5 Capítulo III Limite de Funções. Noção de Limite Dada uma unção, o que é que signiica ( 5? A ideia intuitiva do que queremos dizer com isto é: quando toma valores cada vez mais próimos de, a respectiva

Leia mais

Universidade Federal de Pelotas. Instituto de Física e Matemática Pró-reitoria de Ensino. Módulo de Limites. Aula 01. Projeto GAMA

Universidade Federal de Pelotas. Instituto de Física e Matemática Pró-reitoria de Ensino. Módulo de Limites. Aula 01. Projeto GAMA Universidade Federal de Pelotas Instituto de Física e Matemática Pró-reitoria de Ensino Atividades de Reforço em Cálculo Módulo de Limites Aula 0 208/ Projeto GAMA Grupo de Apoio em Matemática Ideia Intuitiva

Leia mais

Continuidade. Continuidade

Continuidade. Continuidade UNIVERSIDADE DO ESTADO DE MATO GROSSO CAMPUS UNIVERSITÁRIO DE SINOP FACULDADE DE CIÊNCIAS EXATAS E TECNOLÓGICAS CURSO DE ENGENHARIA CIVIL DISCIPLINA: CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL I Continuidade Antes

Leia mais

Capítulo Diferenciabilidade de uma função

Capítulo Diferenciabilidade de uma função Cálculo - Capítulo.6 - Diferenciabilidade de uma função 1 Capítulo.6 - Diferenciabilidade de uma função.6.1 - Introdução.6.4 - Diferenciabilidade e continuidade.6. - Diferenciabilidade.6.5 - Generalização

Leia mais

Notas de Aulas 5 - Funções Elementares e Cálculo de Limites - Parte II Prof Carlos A S Soares

Notas de Aulas 5 - Funções Elementares e Cálculo de Limites - Parte II Prof Carlos A S Soares Notas de Aulas 5 - Funções Elementares e Cálculo de Limites - Parte II Prof Carlos A S Soares Noção Intuitiva de ites. O Conceito de Limites Através de Gráficos Nesta subseção estaremos apresentando o

Leia mais

Cálculo I (2015/1) IM UFRJ Lista 2: Limites e Continuidade Prof. Milton Lopes e Prof. Marco Cabral Versão Exercícios de Limite

Cálculo I (2015/1) IM UFRJ Lista 2: Limites e Continuidade Prof. Milton Lopes e Prof. Marco Cabral Versão Exercícios de Limite Eercícios de Limite. Eercícios de Fiação Cálculo I (05/) IM UFRJ Lista : Limites e Continuidade Prof. Milton Lopes e Prof. Marco Cabral Versão 30.03.05 Fi.: Considere o gráco de = f() esboçada no gráco

Leia mais

ESCOLA SUPERIOR DE TECNOLOGIA DE VISEU. Apontamentos Teóricos: Função Exponencial e Função Logarítmica

ESCOLA SUPERIOR DE TECNOLOGIA DE VISEU. Apontamentos Teóricos: Função Exponencial e Função Logarítmica INSTITUTO POLITÉCNICO DE VISEU ESCOLA SUPERIOR DE TECNOLOGIA DE VISEU Departamento Matemática Disciplina Matemática I Curso Gestão de Empresas Ano 1 o Ano Lectivo 007/008 Semestre 1 o Apontamentos Teóricos:

Leia mais

Cálculo diferencial, primitivas e cálculo integral de funções de uma variável

Cálculo diferencial, primitivas e cálculo integral de funções de uma variável Análise Matemática Cálculo diferencial, primitivas e cálculo integral de funções de uma variável (Soluções) Jorge Orestes Cerdeira, Isabel Martins, Ana Isabel Mesquita Instituto Superior de Agronomia -

Leia mais

2.1 O problema das áreas - método de exaustão

2.1 O problema das áreas - método de exaustão Capítulo 2 Limite de uma função Podemos afirmar que o conceito de ite é uma das ideias fundamentais do Cálculo Diferencial. Seu processo de construção surge historicamente a partir de problemas geométricos

Leia mais

Limites e Continuidade de Funções Reais de Uma Variável Real

Limites e Continuidade de Funções Reais de Uma Variável Real Limites e Continuidade de Funções Reais de Uma Variável Real Carla Montorfano João César Guirado João Roberto Gerônimo Jorge Ferreira Lacerda Rui Marcos de Oliveira Barros Valdeni Soliani Franco Apresentação

Leia mais

Capítulo 3 Limite de uma função

Capítulo 3 Limite de uma função Departamento de Matemática - ICE - UFJF Disciplina MAT54 - Cálculo Capítulo 3 Limite de uma função Podemos afirmar que o conceito de ite é uma das ideias fundamentais do Cálculo Diferencial. Seu processo

Leia mais

Exercício- teste 1. Matemática II 2 o Semestre de 2009/2010. a) Provar que n (2i 1) = n 2

Exercício- teste 1. Matemática II 2 o Semestre de 2009/2010. a) Provar que n (2i 1) = n 2 o Semestre de 009/00 Eercício- teste a) Provar que n (i ) = n i= Usamos indução em n para provar que a fórmula acima é correcta n= n = Claramente temos que (i ) = () = = Hipótese Indutiva j N, onde j n,

Leia mais

Cálculo Diferencial em

Cálculo Diferencial em Cálculo Diferencial em Definição de Derivada Seja f uma função real de variável real definida num intervalo aberto que contém c. Chama-se derivada de f em c a caso este limite eista. f c lim ffc c, c Esta

Leia mais

Cálculo II Sucessões de números reais revisões

Cálculo II Sucessões de números reais revisões Cálculo II Sucessões de números reais revisões Mestrado Integrado em Engenharia Aeronáutica António Bento bento@ubi.pt Departamento de Matemática Universidade da Beira Interior 2012/2013 António Bento

Leia mais

D I F E R E N C I A L. Prof. ADRIANO CATTAI. Apostila 02: Assíntotas

D I F E R E N C I A L. Prof. ADRIANO CATTAI. Apostila 02: Assíntotas ac C Á L C U L O D I F E R E N C I A L E I N T E G R A L I 02 Prof. ADRIANO CATTAI Apostila 02: Assíntotas NOME: DATA: / / Não há ciência que fale das harmonias da natureza com mais clareza do que a matemática

Leia mais

Funções monótonas. Pré-Cálculo. Atividade. Funções crescentes. Parte 3. Definição

Funções monótonas. Pré-Cálculo. Atividade. Funções crescentes. Parte 3. Definição Pré-Cálculo Departamento de Matemática Aplicada Universidade Federal Fluminense Funções monótonas Parte 3 Funções crescentes Pré-Cálculo 1 Atividade Pré-Cálculo 2 Dizemos que uma função f : D C é crescente

Leia mais

Prova Escrita de MATEMÁTICA A - 12o Ano a Fase

Prova Escrita de MATEMÁTICA A - 12o Ano a Fase Prova Escrita de MATEMÁTICA A - o Ano 06 - a Fase Proposta de resolução GRUPO I. Como P A B ) P A B ) P A B), temos que: P A B ) 0,6 P A B) 0,6 P A B) 0,6 P A B) 0,4 Como P A B) P A) + P B) P A B) P A

Leia mais

Capítulo 1 Números Reais

Capítulo 1 Números Reais Departamento de Matemática Disciplina MAT154 - Cálculo 1 Capítulo 1 Números Reais Conjuntos Numéricos Conjunto dos naturais: N = {1,, 3, 4,... } Conjunto dos inteiros: Z = {..., 3,, 1, 0, 1,, 3,... } {

Leia mais

O objeto fundamental deste curso são as funções de uma variável real. As funções surgem quando uma quantidade depende de outra.

O objeto fundamental deste curso são as funções de uma variável real. As funções surgem quando uma quantidade depende de outra. Universidade Federal Fluminense Departamento de Análise GAN0045 Matemática para Economia Professora Ana Maria Luz 00. Unidade Revisão de função de uma variável real O objeto fundamental deste curso são

Leia mais

Cálculo - James Stewart - 7 Edição - Volume 1

Cálculo - James Stewart - 7 Edição - Volume 1 Cálculo - James Stewart - 7 Edição - Volume. Eercícios. Eplique com suas palavras o significado da equação É possível que a equação anterior seja verdadeira, mas que f? Eplique.. Eplique o que significa

Leia mais

Volume de um gás em um pistão

Volume de um gás em um pistão Universidade de Brasília Departamento de Matemática Cálculo Volume de um gás em um pistão Suponha que um gás é mantido a uma temperatura constante em um pistão. À medida que o pistão é comprimido, o volume

Leia mais

Limites. 2.1 Limite de uma função

Limites. 2.1 Limite de uma função Limites 2 2. Limite de uma função Vamos investigar o comportamento da função f definida por f(x) = x 2 x + 2 para valores próximos de 2. A tabela a seguir fornece os valores de f(x) para valores de x próximos

Leia mais

Exercícios sobre Polinômios

Exercícios sobre Polinômios uff Universidade Federal Fluminense Campus do Valonguinho Instituto de Matemática e Estatística Departamento de Matemática Aplicada - GMA Eercícios sobre Polinômios Prof Saponga Rua Mário Santos Braga

Leia mais

matemática Antes de chegarmos a uma definição precisa deste conceito vamos observar alguns exemplos simples:

matemática Antes de chegarmos a uma definição precisa deste conceito vamos observar alguns exemplos simples: Matemática I 1 Limites O conceito de limite é fundamental para o estudo de funções de variável real. Uma das situações em que ele aparece naturalmente é o do estudo do comportamento assintótico de uma

Leia mais

Limites, derivadas e máximos e mínimos

Limites, derivadas e máximos e mínimos Limites, derivadas e máimos e mínimos Psicologia eperimental Definição lim a f ( ) b Eemplo: Seja f()=5-3. Mostre que o limite de f() quando tende a 1 é igual a 2. Propriedades dos Limites Se L, M, a,

Leia mais

LTDA APES PROF. RANILDO LOPES SITE:

LTDA APES PROF. RANILDO LOPES SITE: Matemática Aplicada - https://ranildolopes.wordpress.com/ - Prof. Ranildo Lopes - FACET 1 Faculdade de Ciências e Tecnologia de Teresina Associação Piauiense de Ensino Superior LTDA APES PROF. RANILDO

Leia mais

Teste de Aferição de Competências

Teste de Aferição de Competências UNIVERSIDADE DE SANTIAGO Departamento de Ciências da Saúde, Ambiente e Tecnologias Teste de Aferição de Competências Matemática Escola Superior de Tecnologias e Gestão Praia Tlf. +38 6 96 50 Fa: +38 6

Leia mais

1.ª FASE 2018 PROPOSTA DE RESOLUÇÃO EXAME NACIONAL DE MATEMÁTICA A ª FASE PROPOSTA DE RESOLUÇÃO

1.ª FASE 2018 PROPOSTA DE RESOLUÇÃO EXAME NACIONAL DE MATEMÁTICA A ª FASE PROPOSTA DE RESOLUÇÃO EXAME NACIONAL DE MATEMÁTICA A 08.ª FASE PROPOSTA DE RESOLUÇÃO Site: http://recursos-para-matematica.webnode.pt/ Facebook: https://www.facebook.com/recursos.para.matematica EXAME NACIONAL DE MATEMÁTICA

Leia mais

Exercícios de exames e provas oficiais

Exercícios de exames e provas oficiais Eercícios de eames e provas oficiais 1. Considere as funções f e g, de domínio,0, definidas por ln 1 e g f f Recorrendo a processos eclusivamente analíticos, mostre que a condição pelo menos, uma solução

Leia mais

Unidade 5 Diferenciação Incremento e taxa média de variação

Unidade 5 Diferenciação Incremento e taxa média de variação Unidade 5 Diferenciação Incremento e taa média de variação Consideremos uma função f dada por y f ( ) Quando varia de um valor inicial de para um valor final de, temos o incremento em O símbolo matemático

Leia mais

; a = 5 (d) f (x) = 2x 4 x 3 + 2x 2 ; a = 2 x ; a = 1 (f) f (x) = 3 x. 9 x ; a = 9. x 2 x 2 ; a = 2

; a = 5 (d) f (x) = 2x 4 x 3 + 2x 2 ; a = 2 x ; a = 1 (f) f (x) = 3 x. 9 x ; a = 9. x 2 x 2 ; a = 2 2. Em cada caso abaio calcule o ite de f ), quando a. a) f ) = 2 + 5; a = 7 b) f ) = c) f ) = 2 + 3 0 + 5 e) f ) = 3 3 + + ; a = 0 ; a = 5 d) f ) = 2 4 3 + 2 2 ; a = 2 2 + 8 3 ; a = + 3 h) f ) = 9 ; a

Leia mais

Derivadas de funções reais de variável real

Derivadas de funções reais de variável real Derivadas de funções reais de variável real O conceito de derivada tem grande importância pelas suas inúmeras aplicações em Matemática, em Física e em muitas outras ciências. Neste capítulo vamos dar a

Leia mais

UFRJ - Instituto de Matemática

UFRJ - Instituto de Matemática UFRJ - Instituto de Matemática Programa de Pós-Graduação em Ensino de Matemática www.pg.im.ufrj.br/pemat Mestrado em Ensino de Matemática Seleção 9 Etapa Questão. Determine se as afirmações abaio são verdadeiras

Leia mais

UNIVERSIDADE TECNOLÓGICA FEDERAL DO PARANÁ. Observação: Faça os exercícios 5, 6, 7, 8b-c), 9, 10, 11, 12, 13, 15, 19, 22, 27

UNIVERSIDADE TECNOLÓGICA FEDERAL DO PARANÁ. Observação: Faça os exercícios 5, 6, 7, 8b-c), 9, 10, 11, 12, 13, 15, 19, 22, 27 UNIVERSIDADE TECNOLÓGICA FEDERAL DO PARANÁ 3a Lista de Eercícios - Limites Prof. Wellington D. Previero Observação: Faça os eercícios 5, 6, 7, 8b-c), 9, 10, 11, 12, 13, 15, 19, 22, 27 1. Eplique com suas

Leia mais

4 Cálculo Diferencial

4 Cálculo Diferencial 4 Cálculo Diferencial 1 (Eercício IV1 de [1]) Calcule as derivadas das funções: a) tg, b) +cos 1 sen, c) e arctg, d) e log, e) sen cos tg, f) (1 + log ), g) cos(arcsen ) h) (log ), i) sen Derive: a) arctg

Leia mais

ESCOLA SECUNDÁRIA COM 3º CICLO D. DINIS COIMBRA 12º ANO DE ESCOLARIDADE MATEMÁTICA A. Aula nº 1 do plano nº 12

ESCOLA SECUNDÁRIA COM 3º CICLO D. DINIS COIMBRA 12º ANO DE ESCOLARIDADE MATEMÁTICA A. Aula nº 1 do plano nº 12 ESCOLA SECUNDÁRIA COM 3º CICLO D. DINIS COIMBRA º ANO DE ESCOLARIDADE MATEMÁTICA A Aula nº do plano nº Resolver os eercícios 35, 355, 358, 360, 36, 364 das páginas 67 a 7 Conceito de derivada de uma função

Leia mais

TEMA 2 FUNÇÕES FICHAS DE TRABALHO 12.º ANO COMPILAÇÃO TEMA 2 FUNÇÕES. Jorge Penalva José Carlos Pereira Vítor Pereira MathSuccess

TEMA 2 FUNÇÕES FICHAS DE TRABALHO 12.º ANO COMPILAÇÃO TEMA 2 FUNÇÕES. Jorge Penalva José Carlos Pereira Vítor Pereira MathSuccess FICHAS DE TRABALHO.º ANO COMPILAÇÃO TEMA FUNÇÕES Site: http://www.mathsuccess.pt Facebook: https://www.facebook.com/mathsuccess TEMA FUNÇÕES 06 07 Matemática A.º Ano Fichas de Trabalho Compilação Tema

Leia mais

Cálculo Diferencial e Integral I

Cálculo Diferencial e Integral I Cálculo Diferencial e Integral I Resolução do Eame / Testes de Recuperação I.. (, val.)determine os ites das seguintes sucessões convergentes (i) u n n + n n e n + n, (ii) v n n + π n Resolução: i) A sucessão

Leia mais

A Prática. Perfeição. Cálculo. William D. Clark, Ph.D e Sandra Luna McCune, Ph.D

A Prática. Perfeição. Cálculo. William D. Clark, Ph.D e Sandra Luna McCune, Ph.D A Prática Leva à Perfeição Cálculo William D. Clark, P.D e Sandra Luna McCune, P.D Rio de Janeiro, 01 Para Sirley e Donice. Vocês estão sempre em nossos corações. Sumário Prefácio i I Limites 1 1 O conceito

Leia mais

3 Funções reais de variável real (Soluções)

3 Funções reais de variável real (Soluções) 3 Funções reais de variável real (Soluções). a) Como e é crescente, com contradomínio ]0, + [, o contradomínio de f é ]e, + [. Para > 0 e y ] e, + [, temos Logo, a inversa de f é f () = y e = y = log y

Leia mais

Escola Secundária com 3º ciclo D. Dinis 12º Ano de Matemática A Tema II Introdução ao Cálculo Diferencial II. Aula nº 2 do plano de trabalho nº 1

Escola Secundária com 3º ciclo D. Dinis 12º Ano de Matemática A Tema II Introdução ao Cálculo Diferencial II. Aula nº 2 do plano de trabalho nº 1 Escola Secundária com º ciclo D. Dinis 1º Ano de Matemática A Tema II Introdução ao Cálculo Diferencial II Aula nº do plano de trabalho nº 1 Resolver a atividade 4 da página 11 e os eercícios 15, 16, 17

Leia mais

Notas de Aula de Cálculo Diferencial e Integral

Notas de Aula de Cálculo Diferencial e Integral Notas de Aula de Cálculo Diferencial e Integral Volume I Fábio Henrique de Carvalho Copright c 03 Publicado por Fundação Universidade Federal do Vale do São Francisco Univasf) www.univasf.edu.br Todos

Leia mais

CÁLCULO DIFERENCIAL 5-1 Para cada uma das funções apresentadas determine a sua derivada formando

CÁLCULO DIFERENCIAL 5-1 Para cada uma das funções apresentadas determine a sua derivada formando 5 a Ficha de eercícios de Cálculo para Informática CÁLCULO DIFERENCIAL 5-1 Para cada uma das funções apresentadas determine a sua derivada formando o quociente f( + h) f() h e tomando o ite quando h tende

Leia mais

Prova Escrita de MATEMÁTICA A - 12o Ano Época especial

Prova Escrita de MATEMÁTICA A - 12o Ano Época especial Prova Escrita de MATEMÁTIA A - o Ano 006 - Época especial Proposta de resolução GRUPO I. Estudando a variação de sinal de f e relacionando com o sentido das concavidades do gráfico de f, vem: 6 ) + + +

Leia mais

MATEMÁTICA A - 12o Ano Funções - Limites e Continuidade Propostas de resolução

MATEMÁTICA A - 12o Ano Funções - Limites e Continuidade Propostas de resolução MATEMÁTICA A - 2o Ano Funções - Limites e Continuidade Propostas de resolução Eercícios de eames e testes intermédios. Determinando o valor de a e de b, temos: a + 3n + n 3 n n + n n 3 e 3 b ln 2e n ln

Leia mais

Cálculo Diferencial e Integral I Mestrado Integrado em Engenharia Electrotécnica e de Computadores 1 ō Exame - 12 de Janeiro de h00m

Cálculo Diferencial e Integral I Mestrado Integrado em Engenharia Electrotécnica e de Computadores 1 ō Exame - 12 de Janeiro de h00m Cálculo Diferencial e Integral I Mestrado Integrado em Engenharia Electrotécnica e de Computadores ō Eame - 2 de Janeiro de 2008-3h00m Solução Problema (0,5 val.) Seja f() = log(3 2 ) + 3. (a) Determine

Leia mais

4 Cálculo Diferencial

4 Cálculo Diferencial 4 Cálculo Diferencial 1. (Eercício IV.1 de [1]) Calcule as derivadas das funções: a) tg, b) +cos 1 sen, c) e arctg, d) e log2, e) sen cos tg, f) 2 (1 + log ), g) cos(arcsen ) h) (log ), i) sen 2. 2. Derive:

Leia mais

3 Limites e Continuidade(Soluções)

3 Limites e Continuidade(Soluções) 3 Limites e Continuidade(Soluções). a) Como e é crescente, com contradomínio ]0, + [, o contradomínio de f é ]e, + [. Para > 0 e y ] e, + [, temos Logo, a inversa de f é f () = y e = y = log y = log y

Leia mais

Derivadas de funções reais de variável real; Aplicação das derivadas ao estudo de funções e problemas de optimização. x ;

Derivadas de funções reais de variável real; Aplicação das derivadas ao estudo de funções e problemas de optimização. x ; Instituto Politécnico de Bragança Escola Superior de Tecnologia e Gestão Análise Matemática I 003/004 Ficha Prática nº. 5: Derivadas de funções reais de variável real; Aplicação das derivadas ao estudo

Leia mais

REVISÃO DE ALGUMAS MATÉRIAS

REVISÃO DE ALGUMAS MATÉRIAS Análise Matemática MIEC /4 REVISÃO DE ALGUMAS MATÉRIAS INEQUAÇÕES Uma das propriedades das inequações mais vezes ignorada é a que decorre da multiplicação de ambos os membros por um valor negativo. No

Leia mais

ESCOLA SECUNDÁRIA COM 3º CICLO D. DINIS 12º ANO DE ESCOLARIDADE DE MATEMÁTICA A Tema II Introdução ao Cálculo Diferencial II

ESCOLA SECUNDÁRIA COM 3º CICLO D. DINIS 12º ANO DE ESCOLARIDADE DE MATEMÁTICA A Tema II Introdução ao Cálculo Diferencial II Tarefa Intermédia nº 6 1. No referencial da figura está representada graficamente uma função h, de domínio IR, e as assímptotas do gráfico. Dê eemplo de uma sucessão ( u n ) tal que: 1.1. lim( h( un 1..

Leia mais

Exercícios de exames e provas oficiais

Exercícios de exames e provas oficiais Eercícios de eames e provas oiciais. Considere as unções e g, de domínio,0, deinidas por ln e g Recorrendo a processos eclusivamente analíticos, estude a unção quanto à eistência de do seu gráico e, caso

Leia mais

PROPOSTA DE RESOLUÇÃO DA PROVA DE MATEMÁTICA A DO ENSINO SECUNDÁRIO (CÓDIGO DA PROVA 635) 1ª FASE 25 DE JUNHO 2018 CADERNO 1

PROPOSTA DE RESOLUÇÃO DA PROVA DE MATEMÁTICA A DO ENSINO SECUNDÁRIO (CÓDIGO DA PROVA 635) 1ª FASE 25 DE JUNHO 2018 CADERNO 1 Associação de Professores de Matemática Contactos: Rua Dr. João Couto, n.º 7-A 500-36 Lisboa Tel.: +35 76 36 90 / 7 03 77 Fa: +35 76 64 4 http://www.apm.pt email: geral@apm.pt PROPOSTA DE RESOLUÇÃO DA

Leia mais

CÁLCULO I. 1 Assíntotas Oblíquas. Objetivos da Aula. Aula n o 19: Grácos.

CÁLCULO I. 1 Assíntotas Oblíquas. Objetivos da Aula. Aula n o 19: Grácos. CÁLCULO I Prof. Marcos Diniz Prof. André Almeida Prof. Edilson Neri Júnior Aula n o 9: Grácos. Objetivos da Aula Denir e determinar as assíntotas oblíquas ao gráco de uma função, Utilizar o Cálculo Diferencial

Leia mais

PROPOSTA DE RESOLUÇÃO DA PROVA DE MATEMÁTICA A DO ENSINO SECUNDÁRIO (CÓDIGO DA PROVA 635) 1ª FASE 25 DE JUNHO 2018 CADERNO 1

PROPOSTA DE RESOLUÇÃO DA PROVA DE MATEMÁTICA A DO ENSINO SECUNDÁRIO (CÓDIGO DA PROVA 635) 1ª FASE 25 DE JUNHO 2018 CADERNO 1 PROPOSTA DE RESOLUÇÃO DA PROVA DE MATEMÁTICA A DO ENSINO SECUNDÁRIO (CÓDIGO DA PROVA 635) ª FASE 5 DE JUNHO 08 CADERNO... P00/00 Seja X a variável aleatória: Número de vezes que sai a face numerada com

Leia mais

UFRJ - Instituto de Matemática Programa de Pós-Graduação em Ensino de Matemática Mestrado em Ensino de Matemática

UFRJ - Instituto de Matemática Programa de Pós-Graduação em Ensino de Matemática  Mestrado em Ensino de Matemática UFRJ - Instituto de Matemática Programa de Pós-Graduação em Ensino de Matemática www.pg.im.ufrj.br/pemat Mestrado em Ensino de Matemática Seleção 0 Etapa Questão. Considere f : [, ] R a função cujo gráfico

Leia mais

M23 FICHA DE TRABALHO DERIVADAS I PARTE. 3. Na figura estão representadas:

M23 FICHA DE TRABALHO DERIVADAS I PARTE. 3. Na figura estão representadas: M FICHA DE TRABALHO DERIVADAS I PARTE. Na figura estão representadas: Parte do gráfico de uma função f diferenciável em ; Uma recta r tangente ao gráfico de f no ponto de abcissa. O valor de f (), derivada

Leia mais

Para ilustrar o conceito de limite, vamos supor que estejamos interessados em saber o que acontece à

Para ilustrar o conceito de limite, vamos supor que estejamos interessados em saber o que acontece à Limite I) Noção intuitiva de Limite Os limites aparecem em um grande número de situações da vida real: - O zero absoluto, por eemplo, a temperatura T C na qual toda a agitação molecular cessa, é a temperatura

Leia mais

LIMITES E CONTINIDADE

LIMITES E CONTINIDADE MATEMÁTICA I LIMITES E CONTINIDADE Prof. Dr. Nelson J. Peruzzi Profa. Dra. Amanda L. P. M. Perticarrari Parte 1 Parte 2 Limites Infinitos Definição de vizinhança e ite Limites laterais Limite de função

Leia mais

Material Básico: Calculo A, Diva Fleming

Material Básico: Calculo A, Diva Fleming 1 Limites Material Básico: Calculo A, Diva Fleming O conceito de Limite é importante na construção de muitos outros conceitos no cálculo diferencial e integral, por exemplo, as noções de derivada e de

Leia mais

ESCOLA SECUNDÁRIA COM 3º CICLO D. DINIS 12º ANO DE ESCOLARIDADE DE MATEMÁTICA A

ESCOLA SECUNDÁRIA COM 3º CICLO D. DINIS 12º ANO DE ESCOLARIDADE DE MATEMÁTICA A ESCOLA SECUNDÁRIA COM º CICLO D. DINIS º ANO DE ESCOLARIDADE DE MATEMÁTICA A Tema III Trigonometria e Números Compleos TPC nº. Seja f = + ln (entregar até 7/0/009).. Determine f ( ), usando a definição

Leia mais

Concentração de medicamento no sangue

Concentração de medicamento no sangue Universidade de Brasília Departamento de Matemática Cálculo Concentração de medicamento no sangue função Suponha que a concentração de medicamento no sangue de um paciente seja dada pela C(t) = 3t 2t 2

Leia mais