Cálculo I (2015/1) IM UFRJ Lista 2: Limites e Continuidade Prof. Milton Lopes e Prof. Marco Cabral Versão Exercícios de Limite

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1 Eercícios de Limite. Eercícios de Fiação Cálculo I (05/) IM UFRJ Lista : Limites e Continuidade Prof. Milton Lopes e Prof. Marco Cabral Versão Fi.: Considere o gráco de = f() esboçada no gráco abaio. Determine os ites abaio. Caso algum não eista, determine os ites laterais. (a) f(); a (b) f(); b (c) f(). c a b c Fi.: Determine se é Verdadeiro ou Falso. Se for falso dê um contraeemplo ou corrija. Se for verdadeiro justique. (a) Se f() = 5, então f() = (b) Se f() = 4, então f() = 4. (c) Se f() = 4, então f() = 4. (d) Eiste uma função f tal que f() f() = f() (e) se (f() + g()) eiste, então eiste f(). c c 4; ; (f) se g() =, então g() = g() = π. π; = 5; Fi.3: Considere a função f dada por f() = 7; <. Determine f() ou, caso não k 9; > eista, os ites laterais para: (a) k = ; (b) k = ; (c) k =.000; (d) k = ; (e) k =.9999; (f) k =.000. Fi.4: Aplique a denição do módulo para esboçar o o gráco de: cos (a) cos() ; (b). Fi.5: Partindo de gráco de funções simples (±,, log()), utilizando translações verticais e/ou horizontais e/ou reeões, esboce o gráco de: (a) = + (b) = log( ) + ; (c) = ( + )( + ). 4 + Fi.6: Determine: ; (b) ( )(3 ) ; 3 (c) 3 4. Fi.7: Faça o estudo de sinal do numerador e denominador para determinar os valores de que satisfazem as desigualdades: (a) (a) 3 0; (b) 3 ( 4) 0.

2 Fi.8: Faça o estudo de sinal e o esboço do gráco dos polinômios abaio. (a) p() = ( )( + 3)( ); (b) q() = ( ) ( + ); (c) r() = (3 )( ) ( 5). Fi.9: Determine: os ites: 3 (d) 0 ; + (e) ; (a) 0 ; (f) 0 (b) ( + 0 (c) 0 ; ) ; (g) 3 + ; 9. Fi.0: Complete as lacunas com pode/não pode: (a) A assíntota vertical do gráco de = f() interceptar o gráco de f. (b) A assíntota horizontal do gráco de = g() interceptar o gráco de g. Fi.: Determine se é Verdadeiro ou Falso. Se for falso dê um contraeemplo ou corrija. Se for verdadeiro justique. Se q() = 0, então q() (b) f() = 0; q() (c) = 0. Fi.: Qual a diferença entre o ite ser indeterminado e o ite não eistir? 3 (a) q() = ; Fi.3: Qual das Figuras abaio pode representar o gráco de uma função g tal que: (i) (iii) g() = (ii) g() = g() = + (iv) g() =. (a) (b) (c) (d) Fi.4: Faça um esboço de um gráco de uma função f tal que disso (um gráco para cada item): (a) f() =, (b) f() não eista, + + f() =, f() = e, além (c) f() =, + Fi.5: (a) É verdade que se g() então g() eiste e é um número entre e? 3/ (b) Eplique, utilizando o Teorema do Sanduíche, como calcular. Problemas Prob.: Esboce o gráco das seguintes funções: 9 (a) f() = ; 3 ; ; (b) f() = 3; > 3. log() + ; <. cos( + ). Prob.: Considere a função I Z (chamada de função característica ou indicadora do conjunto Z) 0; Z denida por I Z () = Esboce o gráco e determine (se eistir): ; Z. (a) I Z(); (b) I Z(); (c) I Z(). 3/4 3 Prob.3: Calcule os ites abaio (quando eles eistirem) justicando seus passos (sem utilizar a regra de L'Hospital) Limites com raízes: + h h 4 h (a) (b) ; (c) + 3 ; h 0 h 4 h h + Prob.4: Determine os ites e, caso não eista, os ites laterais (caso eistam).

3 ( 7 (a) sen ) ; (b) log ; ( + ) (c) ; + 3 (d) ; (e) Prob.5: Calcule os ites abaio (quando eles eistirem) justicando seus passos (sem utilizar a regra de L'Hospital): (a) 4 ; (e) a (a )(a 4) a 3 5a + 8a 4 ; 3 + (b) + ; + 3 (h) ; (i) + Prob.6: Determine: (a) ; (b) (d) + ; (e) + (f) 0 (c) ( + ; (j) + ; ) 3 + ; (g) ; ; (c) ; (f) sen sen(3h) Prob.7: Determine: (a) sen(/); (b) ; 0 h 0 h (c) ( + /)5 ; (d) tan(); (e) π/ + 0 +( )/. Prob.8: Considere a, b R e c > ( 0. Determine os ites: c + a c + b) ; (a) ( + a) b/ ; (b) 0 Prob.9: Determine os ites laterais quando 0 para: (a) h() = + e / ; (b) h() = (d) 3 + ; ( ) 3 ; Prob.0: Esboce o gráco de cada uma das funções abaio seguindo o roteiro abaio. (i) Faça um estudo do sinal da função (onde ela é zero, positiva e negativa). (ii) Determine assíntotas horizontais e verticais. (iii) Baseado em (i) e (ii) esboce o gráco. (a) = ; (b) = ; (c) = + (d) = ( ) ; (e) = ; 3 + h() + (b) Suponha que f() satisfaz f() Calcule f(). 5 Prob.: (a) Suponha que h satisfaz. Determine h(). Prob.: Calcule os ites abaio (quando eles eistirem) justicando seus passos (sem utilizar a regra de L'Hospital): Limites trigonométricos e eponenciais. (tan(3)) + sen( ( ) ) cos cos 3 (a) ; (b) 0 sen(5) 3 sen ; (c) 0 3 ; ( ) sen( h) tan( h) 7 + (d) ; (e) sen (e ); h 0 + 5h sen(π/) (f) h 0 +( sen 5h3 ) /h3 ; (g) π π ; sen (h). 0 Eercícios de Continuidade. Eercícios de Fiação Fi.: Determine se é Verdadeiro (provando a armativa) ou Falso (dando contraeemplo): (a) Se a f() eiste, então f é contínua em a. 3

4 (b) Se f é contínua em a, então f() eiste. a (c) Se f é descontínua em a, então f() f(). a a + Fi.: (a) Determine se f esboçada no gráco abaio é contínua ou não nos pontos A, B, C, D. (b) Eplique, caso não seja contínua, qual (quais) condições são violadas. (c) Determine os pontos de descontinuidade removível A B C D Fi.3: Considere as funções abaio: ; < 0; ; < 0; (I) f() = (II) g() = (III) h() = 0; 0; ; 0; Determine se são contínuas em: (a) R; (b) (, 0); (c) [, 0]. 5; ; 4; < ; Fi.4: Seja f contínua em [, 4] tal que f() =, f() = 3, f(3) = e f(4) =. Determine se é Verdadeiro (provando a armativa) ou Falso (dando contraeemplo): (a) f não tem raiz em [, ]; (b) f tem pelo menos duas raízes em [, 4]; (c) f tem eatamente uma raiz em [, 3]. Fi.5: Determine se é Verdadeiro (provando a armativa) ou Falso (dando contraeemplo): (a) a função que representa o número de habitantes de uma cidade em função do tempo é contínua em todos os pontos; (b) a função que representa a altura de uma pessoa em função do tempo é contínua em todos os pontos; Fi.6: Determine se é Verdadeiro (provando a armativa) ou Falso (dando contraeemplo): (a) Se f é contínua com f(0) > 0 e f() > 0, então f() > 0 para todo [0, ]. (b) Se g() < 0 < g(), então g possui raiz em [, ]. (c) Se h é contínua e h() < k < h(4), então eiste c (, 4) tal que h(c) = k. (d) Se j é contínua e k < j() < j(4), então não eiste c (, 4) tal que h(c) = k. Fi.7: Considere f : [ 3, ] R contínua com f( 3) = 5 e f( ) =. Determine se é Verdadeiro ou corrija: (a) Se K [ 3, ], então eiste c [, 5] tal que f(c) = K. (b) Se K [3, 4], então eiste c [ 3, ] tal que f(c) = K. (c) Se K [0, 3], então eiste c [ 3, ] tal que f(c) = K.. Problemas Prob.: Determine a R, se for possível, de modo que a função seja contínua em R. ( ) ( + a) (a) f() = ; + 5 se <, (b) f() = a se =, 7; =. 3 se >. (c) f() = ; sen ( (d) f() = ) ; 0; a; <. a; = 0; e / ; > 0 sen(6) (e) f() = (f) f() = sen(8) ; 0;. a; 0. a; = 0. 4

5 Prob.: Determine a, b R, se for possível, de modo que f seja contínua em R. a + b; ; f() = ; >. Prob.3: (a) Seja f() = sen(). Mostre que eiste a R tal que f(a) = 0. (b) Mostre que eiste pelo menos um b > 0 tal que log(b) = e b. (c) Considere f contínua em [0, ] com 0 f(). Mostre que eiste c [0, ] tal que f(c) = c. (d) Suponha que f é contínua em [0, ] com f() = 3 e f() 0 para todo [0, ]. Prove que f() < 0 para todo [0, ]. Prob.4: Suponha que f : R R é contínua e f() Q para todo R. Prove que f() é constante para todo R. 5

6 Respostas dos Eercícios Limite. Eer. de Fiação p. Fi.: (a) 3; (b) o ite não eiste. Calculando os laterais: f() = 6; f() =. b b + (c) 5. não eiste ite em c: o gráco possui uma quebra. 4; 3; Fi.: (a) Falso. Tome f() = 5; > 3, então quando 3 o ite é 4. Assim, neste caso o ite não eiste. (b) Falso. O ite quando é 4 pois a eistência do ite implica na eistência dos ites laterais (com o mesmo valor). (c) Falso. Tome 4; ; f() =, então o ite quando é 4 5; = mas f() = 5. (d) Falso. Se o ite quando 3 eiste, os laterais eistem e assumem o mesmo valor. (e) Falso: c = 0, f() = sen(/), g() = sen(/). (f) Falso: o ite é 4. O valor da função no ponto não importa para o cálculo do ite. Fi.3: (a) f() = 5, não eiste. (b) todos ites são 5. (c) todos ites são 7. (d) f() = 7, eiste. (e) todos ites são 7. (f) todos ites são 9. f() = 7, + + f() = 9, f() f() não Fi.4: (a) a função alterna entre, quando cos() > 0, e, quando cos() < 0. Nos pontos onde cos() = 0 ela não está denida. (a) Translação vertical de uma unidade do gráco de. (a) = + (b) translação horizontal do log por uma unidade seguido por translação vertical de duas unidades (faça duas guras antes de obter a resposta abaio). (c) = log( ) + (c) Raízes do polinômio:,. Esboce o gráco da parábola ( + )( + ) e depois reita em torno do eio (efeito do módulo). (b) = = 5π 3π f() = π π cos() cos() 3π f() = 5π (e) = ( + )( + ) Fi.6: (a) (cancele termos iguais). (b) / (cancele no numerador e denominador). (c) 0 (somente numerador se anula). Fi.7: (a) Análise de dois termos quadráticos. Será positiva em [ 3, ) e em (, 3]. (b) O termo 3 possui a raiz. Pelo Teorema D'Alembert pode ser fatorado por. Fazendo divisão de polinômios obtemos que 3 = ( )( + + ). Calculando Delta, vemos que o segundo polinômio possui raízes compleas. Como a > 0, o termo Fazendo quadro de sinais com, e 4 (podemos ignorar o termo sempre positivo + + ) obtemos que será negativa em (, 0) e [, ). Fi.8: (a) Raízes são 3,,. Fi.5: 6

7 p() (c) r() = (3 )( ) ( 5); (a) p() = ( )( + 3)( ) (b) Raízes são,. ( ) q() + + (b) q() = ( ) ( + ) (c) Raízes são, 3, ( ) r() + Fi.9: (a). (b). (c). (d) (a função vale para > 0 e para < 0) 0. (e) não eiste pois depende de qual lado se aproima. (f) (0+/0 = 0 = ). (g). Fi.0: (a) não pode; (b) pode. Fi.: (a) Falso. Se q() = o ite não eiste; se q() = ( ) o ite é. (b) Falso. Se f() = q() então o ite será. (c) Verdadeiro. O denominador vai para. Assim, 0/( ) = 0 (não é indeterminação). Fi.: Ser indeterminado signica que não podemos usar propriedades usuais (soma, produto, divisão) por ter resultado em uma indeterminação. Temos que aplicar outras técnicas para tentar calcular. Pode ser que não eista o ite ou que eista. Quando não eiste nada mais podemos fazer. Fi.3: A condição (i) eclui a letra (b). Tanto (iii) quanto (iv) eclui letra (d). Finalmente a letra (c) não representa uma função: qual valor de f( )? São três possibilidades: logo não é função. Resposta: (a). Fi.4: (a) (b) (c) 7

8 Fi.5: (a) É falso. O ite pode não eistir. Por eemplo g descontínua em = 3/: g() = para 3/ e g() = caso contrário. (b) Como cos(), cos( + ). Assim, pelo Teorema do Sanduíche, como cos( + ) = 0.. Problemas p. Prob.: = = 0, (a) f() = ; 3 3; > 3. (b) f() = ; ; log() + ; <. Prob.: (a) e (b) o ite é 0. Em (c) o ite não eiste pois oscila entre 0 e. Prob.3: (a) (racionalize o numerador). (b) 4 (note que para próimo de 4, = e racionalize). (c) / (racionalize). Prob.4: (a) não eiste pois o valor oscila entre e. (b). (c) para >, como =, cancelamos os termos e a função é +. para <, como = obtemos que a função é ( + ). Assim para + o ite é + = 3; para o ite é ( + ) = 3. Logo o ite não eiste. (d) Para próimo de 5 o numerador é sempre negativo (cerca de ). Assim para 5 + o ite é ; para 5 o é. Logo o ite não eiste. (e) Note que = ( 3) ( ). Para, =. Logo a função é ( 3) ( ) = 3. Assim quando o ite é. Para +, =. Logo a função é ( 3). Assim quando + o ite é. Prob.5: (a). (b) 3 ( 3 + = (+)( +)). (c) (para, = ). (note que é raiz dupla: a 3 5a + 8a 4 = (a )(a ) ). (d) Divida por o numerador e o denominador para obter R: /. (e) 4 (f) ( = ). (g) 0 (o ite é 0/3 = 0). (h). (i) 3 (rearrumando o numerador obtemos ( + )/). (j) 0. Prob.6: (a). (b) 3. (c) 5/4. (d) (para pequeno, numerador vale = ). (e) (para pequeno, vale 3 3 /( 0 )). (f) sen( ) (para pequeno, numerador vale 4 6 = 4 3 ). Prob.7: (a) como seno é itado por ±, temos que sen(/). Aplicando o Teorema do Sanduíche, concluímos que o ite é 0. (b) substituindo variável, o ite é 3. (c) substituindo variável, o ite é e 5. (d). (e) e (fazendo = ). Prob.8: (a) e ab (mude variável para = a). a b c (racionalizando). (b) Prob.9: (a) quando 0 é, quando 0 + é 0. (b) para > 0 a função vale / / = 0, para < 0 vale / ( /) = /. Assim quando 0 + é 0, quando 0 é. Prob.0: (a) É uma pegadinha, pois podemos simplicar a função para ( + )( )/( ) = + para (função não esta denida no ). Assim a função é a reta = + mas sem estar denida em =. = + (a) = (b) O sinal da função é dado pelo denominador, já que o numerador é sempre positivo (igual a ). O sinal é: > a função é positiva, < é negativa. Assintotas verticais (quando denominador se anula): = ±. A assíntota horizontal é = 0 (o eio ) pois o no ± é 0. = = (b) = 8

9 (c) Como o denominador é sempre positivo ( + > 0 para todo ), o sinal da função é o mesmo do numerador: positiva para > 0 e negativa para < 0. Como o denominador nunca se anula, não possui assintotas verticais. Como o ite no ± é 0, possui assintota horizontal = 0 (eio ). A função passa no (0, 0). Note que ela tem que ser positiva para > 0 e convergir para 0 no. Com estas informações zemos o esboço mais simples possível. (c) = + (d) Assintotas verticais (denominador se anula): = 0 e =. Assíntotas horizontais (ite no ± ): =. Fazendo o quadro de sinais obtemos o comportamento perto das assintotas. = = (d) = ( ) (e) Assintotas verticais (denominador se anula): = e =. Assíntotas horizontais (ite no ± ): = 3. Fazendo o quadro de sinais obtemos o comportamento perto das assintotas. = 3 = = (e) = Prob.: (a) Pelo Teorema do Sanduíche o ite é 0. (b) quando 5, f() 3 0. Logo f() 3. Prob.: (a) 4. (b) 3 (troque variável para = / ). (c) /3 (coloque o cos em evidência). (d) /5. (e) 0 (use Teorema do sanduíche e ite o seno complicado por ±). (f) e 0 ; (g) Troque variável para = π. Assim, = π +. Assim sen(π + ) = sen π cos() + sen() cos π = sen. Pelo ite fundamental, =. (h) Pelo ite funda- 0 sen mental e pela denição de módulo, dará se 0 + e se 0. Continuidade. Eer. de Fiação p.3 Fi.: (a) Falso. O ite deve ser igual ao valor da função no ponto. Eemplo: f() = ; 0; O ; = 0; ite no zero é mas f(0) =. (b) Verdade. Se f é contínua o ite eiste. Se o ite eiste, ambos ites laterais eistem. (c) Falso. O ite pode ser igual, como no contraeemplo do item (a) deste eercício. Fi.: (a) Somente é contínua em A. (b) Em B e D, embora o ite eista, ele difere do valor da função no ponto: o gráco possui um salto. Em C, os ites laterais eistem mas diferem entre si. Assim não eiste ite em C: o gráco possui uma quebra. (c) A descontinuidade é removível somente em B e D, pois o ite eiste e basta redenir a função no ponto; em C, para qualquer valor que se coloque na função em = C a função continuará sendo descontínua. Fi.3: (a) somente (I). Note que (II) e (III) são descontínuas em 0 e respectivamente. (b) (I), (II) e (III). (c) (I) e (III). Fi.4: (a) Falso. Pode ter. Basta oscilar entre estes pontos. (b) Verdadeiro: pelo menos uma em [, 3] e pelo menos uma e, [3, 4], onde a função troca de sinal. (c) Falso. O TVI garante pelo menos uma, mais pode ter mais de uma. Fi.5: (a) Falso. Quando nasce uma criança a função dá um salto de uma unidade instantaneamente: não eiste /5 de habitante etc. (b) Verdadeiro. Nos crescemos diariamente uma quantidade innitamente pequena. Nossa altura não dá saltos. Fi.6: (a) Falso. Se f(/) = 0 teríamos vários pontos com valor negativo. (b) Falso. Se g for descontínua pode não ter raiz. (c) Verdadeiro. (d) Falso. Pode eistir, basta a função decrescer no intervalo (, 3) e crescer em (3, 4). Fi.7: (a) Errado. O correto é se K [, 5], então eiste c [ 3, ] tal que f(c) = K; 9

10 (b) Correto pois se K [3, 4] então K [, 5]. Logo, pelo TVI, eiste c [ 3, ] tal que f(c) = K. (c) Errado. O intervalo [0, 3] não está contido em [, 5].. Problemas p.4 Prob.: (a) Simplique o ( ) no numerador e denominador. a = 5. (b) Impossível. Teríamos que ter a = 3 e ao mesmo tempo. (c) a =. (d) Impossível pois o ite em = 0 não eiste. (e) Impossível pois teríamos que ter a =, que não é um número real. (f) a = 3/4. Prob.: Temos que resolver o sistema a + b = =, a + b = = 3. Obtemos a = /, b =. Prob.3: (a) Note que f(0) = 0 < 0 e que f() = Logo eiste M > 0 tal que f(m) > 0. Pelo TVI eiste c [0, M] tal que f(c) = 0. (b) Dena h() = log() e. Queremos encontrar b > 0 tal que h(b) = 0. Quando 0 +, log() e e. Logo, h() =. 0 + Quando, log() e e 0. Logo, h() =. Assim eistem M, N com 0 < M < N e tais que h(m) < 0 e h(n) > 0. Como h é contínua, pelo TVI eiste d [M, N] tal que h(b) = 0. (c) Dena g() = f(). Se g(c) = 0, então f(c) = c. Note que g(0) = f(0) 0 = f(0) 0 e g() = f() 0. Se em um dos etremos g se anular nos teremos obtido o c. Caso contrário, g() < 0 < g(0). Pelo TVI (g é contínua pois é a subtração de duas funções contínuas), eiste c [0, ] com g(c) = 0. Este resultado é uma versão simplicado do Teorema do Ponto Fio de Brower. (d) Suponha, por contradição, que não é verdade que f() < 0. Assim, eistiria um t [0, ] com f(t) 0. Como f não se anula em [0, ], na verdade f(t) > 0. Como f( ) = 3, aplicando o TVI em [, t] (f é negativa em e positiva em t) concluímos que eiste um c [, ] tal que f(c) = 0. Como isto é um absurdo, concluímos que f() < no intervalo [0, ]. Prob.4: Suponha que não e que eistam a, b R, a b, tais que f(a) f(b). Como os irracionais estão em todo lugar em R (são densos em R), eiste um irracional k entre f(a) e f(b). Como f é contínua, pelo TVI eiste c R tal que f(c) = k é irracional. Contradição pois assumimos que f() é racional para todo. 0