5.1 Noção de derivada. Interpretação geométrica de derivada.
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- Leonor Gonçalves Cesário
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1 Capítulo V Derivação 5 Noção de derivada Interpretação geométrica de derivada Seja uma unção real de variável real Deinição: Chama-se taa de variação média de uma unção entre os pontos a e b ao quociente: ( b ( a b a Geometricamente, a taa de variação média de uma unção entre os pontos a e b, é o declive da recta deinida por ( a, ( a e (, ( b b Suponhamos que um automóvel se desloca ao longo de um determinado trajecto e que se pretende saber a velocidade instantânea num instante P 99
2 Capítulo V: Derivação 00 Ideia: Considerar um instante Q dierente de P À medida que o ponto Q se aproima de P, a taa de variação média torna-se cada vez mais próimo da velocidade instantânea no instante P Obs: Neste caso particular, a taa de variação média dá-nos a velocidade média ( v m do veículo entre os instantes Q e P : s v m t espaço percorrido tempo gasto Notas: Recorrendo à deinição de limite é possível deinir o conceito de velocidade instantânea, ( v i, rigorosamente: v i s Q lim P t A velocidade instantânea no instante P é representada pelo declive da recta tangente em P Deinição: Seja O limite a D e deinida numa vizinhança do ponto a a a quando eiste (e é inito designa-se por derivada de em ( a ( ( a lim ( a e representa-se por
3 Capítulo V: Derivação 0 Deinição: A unção diz-se derivável ou dierenciável em ( a se eistir e or inito o limite em Eemplo: Calcule a partir da deinição, a derivada da unção ( Resolução: Seja a D IR Note-se que está sempre deinida numa vizinhança de qualquer ponto do domínio e portanto az sentido calcular ( ( a lim a a Assim, tem-se que: ( ( a a ( a( + a ( a lim lim lim lim ( + a a a a a a a a a ' D Logo ( Deinição: Uma unção diz-se derivável ou dierenciável se or dierenciável em todos os pontos do seu domínio Eemplo: Considere a unção deinida por ( Resolução: Mostre que é dierenciável + 5 Para mostrar que é dierenciável temos que provar que é dierenciável em qualquer ponto do D IR \ { 5} Consideremos um ponto a D A unção está sempre deinida à direita e a esquerda de qualquer ponto do domínio, pelo que az sentido determinar ( ( a lim a a
4 Capítulo V: Derivação 0 ( a lim a ( ( a a lim a + 5 a a + 5 lim a a + 5 ( + 5( a + 5 ( Como ( a eiste e é inita para qualquer D IR\ { 5} dierenciável a, concluímos que é Deinição: Seja uma unção dierenciável em a com derivada ( a A equação da recta tangente ao gráico de no ponto (, ( a a é: y ( a ( a( a Obs: Se ( a 0 então a recta tangente ao gráico de é uma recta horizontal Não eistem unções dierenciáveis cuja recta tangente seja vertical (porquê?! a razão é óbvia porque o declive das rectas verticais é e uma unção dierenciável tem derivada inita em cada ponto do seu domínio A recta tangente ao gráico de uma unção num ponto pode intersectar o gráico dessa unção mais que uma vez Pode até acontecer coincidir com a recta tangente noutro ponto como é ilustrado na igura abaio: a recta tangente em P coincide com a recta tangente em Q
5 Capítulo V: Derivação 03 5 Derivadas laterais Interpretação geométrica das derivadas laterais Como a derivada de uma unção num ponto a é um caso particular de um limite, então também az sentido calcular derivadas laterais: ( ( a ( a lim a a + ( ( a ( a lim a+ a quando tais limites eistem, eles são, denominados respectivamente, por derivada lateral de à esquerda de a e derivada lateral de à direita de a Notas: Se as derivadas laterais em a são iguais então eiste derivada em a e tem-se que ( a ( a ( a + Se as derivadas laterais em a são distintas então não eiste derivada em a Interpretação geométrica das derivadas laterais: A derivada à esquerda no ponto a identiica-se com o declive da semi-tangente à esquerda de no ponto a, ( t
6 Capítulo V: Derivação 04 A derivada à direita no ponto a identiica-se com o declive da semi-tangente à direita de no ponto a, ( t Uma unção tem derivada num ponto se as semi-tangentes nesse ponto estiveram no prolongamento uma da outra, isto é, ormarem uma recta Na igura acima as semi-tangentes ( t e ( pelo que não eiste derivada no ponto a t não estão contidas numa mesma recta Eemplo importante: A unção ( não é dierenciável em 0 O gráico de ( é: y De acto, tem-se que: (0 lim 0 ( ( 0 0 lim 0 0 lim 0 ( - para < 0 (0+ lim 0+ ( ( 0 0 lim 0+ 0 lim 0+ ( para > 0 Como (0 (0 +, não eiste '( 0 Logo a unção não é dierenciável (pois eiste pelo menos um ponto do domínio onde não eiste derivada apesar de ser contínua em todo o seu domínio Obs: O domínio da derivada de uma unção está sempre contido no domínio dessa unção, isto é, D D
7 Capítulo V: Derivação 05 Por eemplo: ( então ' ( D D ( D IR \ { 0} IR D Nota: Uma unção descontínua não pode ser dierenciável (porquê?! No entanto, o recíproco é sempre verdadeiro: Teorema Se é uma unção derivável em (ou equivalentemente, se é descontínua em a então é contínua em a a então não eiste derivada em a Eercício: ln( se Veriique se eiste ( onde ( e se < Resolução: Note que só az sentido veriicar se uma unção é derivável num ponto se ela or contínua nesse ponto Mas a unção é descontínua em pois os limites laterais são distintos: lim 0 ( lim e e 0 lim ln( lim ( pelo que não eiste derivada em + + Obs: A unção derivada não é necessariamente contínua Pode eventualmente nem eistir como acontece no eemplo seguinte A unção : IR IR deinida por
8 Capítulo V: Derivação 06 ( admite derivada em todos os pontos: 0 sen se se 0 0 ' ( sen cos 0 mas como se veriica acilmente não eiste '( lim 0 se se 0 0 Atenção!!! Para calcular '( 0 é necessário recorrer à deinição de derivada num ponto: lim 0 vale 0 sen(/ 0 lim sen(/ 0 0 que, pelo teorema do encaie dos limites (pág 79, 53 Regras de derivação Propriedades da derivação Notação ( de Leibniz para derivadas: Dado ( y para além da notação ' ou '( dy, usámos ou d d quisermos especiicar o valor num certo ponto a, além de ( a d d a Eemplos: d ( 3 + d d 3; d d d ; ( d d ou ( d d d ', usamos ( a Se ou Regras de derivação Calcular a derivada de uma unção ou a unção derivada a partir da sua deinição pode ser bastante trabalhoso Por essa razão, partindo da deinição de derivada podemos deduzir várias regras de derivação que adiante indicaremos
9 Capítulo V: Derivação 07 Teorema: Sejam e g duas unções deriváveis, então g + é derivável e tem-se ( + g ' ' + g' g é derivável e tem-se ( g ' ' g + g' c é derivável e tem-se ( c ' c ', c IR se g ( 0, g é derivável e tem-se g, ' g g g' Derivadas de unções elementares: unção constante c IR ( c '( 0 unção linear c IR ( c '( c 3 potência: ( n '( n n 4 unção eponencial a > 0 : ( a '( a ln( a 5 unção sen ( sen( '( cos( 6 unção cos ( cos( '( sen( 7 unção tg ( tg( '( sec ( cos ( 8 unção cotg ( cotg( '( cos ec ( sen ( Eercício: Calcular as derivadas das seguintes unções: a ( b ( / n c ( (, n IN d ( e (, n n IN
10 Capítulo V: Derivação Derivada da unção composta (ou Regra da cadeia Teorema (Derivada da unção composta ou Regra da Cadeia: Sejam e g unções deriváveis nos respectivos domínios e seja ( o g ( ( g( então ( g '( '( g( g' ( o Na notação de Leibniz, se u g( então ( g( ( u, e temos d d d du du d Eercícios: Calcule a derivada das seguintes unções: a c ( e b 3 ( ln d ( 3 ( log 3 e ( ( sen(5 g ( tg( e Resolução e Podemos ver como ln ( ln e e Assim, ln ln ( e ' ( ln ' e [( 'ln + (ln ' ] ln ln ( ln + e ( ln + e ln + e ln De orma análoga, podemos deduzir a derivada de uma unção da orma unções que dependem de uma variável, por eemplo : v ' v v ( u v ' 443 u ln u + v 4 u 43 u' como eponencial como polinomial v u, onde u e v são
5.7 Aplicações da derivada ao estudo das funções.
Capítulo V: Derivação 0.. 4. 7. tg( ) 0 tg( π ( + + ) sen( ) + ) sen( ) Resolução: cos( ) Repare que não eiste sen( ). + 5. ( e + ) 6. 0 π ( + cos( )) cos( ) sen( ) sen( ) Mas, e como 0, então 0 + + +
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