5.1 Noção de derivada. Interpretação geométrica de derivada.

Tamanho: px
Começar a partir da página:

Download "5.1 Noção de derivada. Interpretação geométrica de derivada."

Transcrição

1 Capítulo V Derivação 5 Noção de derivada Interpretação geométrica de derivada Seja uma unção real de variável real Deinição: Chama-se taa de variação média de uma unção entre os pontos a e b ao quociente: ( b ( a b a Geometricamente, a taa de variação média de uma unção entre os pontos a e b, é o declive da recta deinida por ( a, ( a e (, ( b b Suponhamos que um automóvel se desloca ao longo de um determinado trajecto e que se pretende saber a velocidade instantânea num instante P 99

2 Capítulo V: Derivação 00 Ideia: Considerar um instante Q dierente de P À medida que o ponto Q se aproima de P, a taa de variação média torna-se cada vez mais próimo da velocidade instantânea no instante P Obs: Neste caso particular, a taa de variação média dá-nos a velocidade média ( v m do veículo entre os instantes Q e P : s v m t espaço percorrido tempo gasto Notas: Recorrendo à deinição de limite é possível deinir o conceito de velocidade instantânea, ( v i, rigorosamente: v i s Q lim P t A velocidade instantânea no instante P é representada pelo declive da recta tangente em P Deinição: Seja O limite a D e deinida numa vizinhança do ponto a a a quando eiste (e é inito designa-se por derivada de em ( a ( ( a lim ( a e representa-se por

3 Capítulo V: Derivação 0 Deinição: A unção diz-se derivável ou dierenciável em ( a se eistir e or inito o limite em Eemplo: Calcule a partir da deinição, a derivada da unção ( Resolução: Seja a D IR Note-se que está sempre deinida numa vizinhança de qualquer ponto do domínio e portanto az sentido calcular ( ( a lim a a Assim, tem-se que: ( ( a a ( a( + a ( a lim lim lim lim ( + a a a a a a a a a ' D Logo ( Deinição: Uma unção diz-se derivável ou dierenciável se or dierenciável em todos os pontos do seu domínio Eemplo: Considere a unção deinida por ( Resolução: Mostre que é dierenciável + 5 Para mostrar que é dierenciável temos que provar que é dierenciável em qualquer ponto do D IR \ { 5} Consideremos um ponto a D A unção está sempre deinida à direita e a esquerda de qualquer ponto do domínio, pelo que az sentido determinar ( ( a lim a a

4 Capítulo V: Derivação 0 ( a lim a ( ( a a lim a + 5 a a + 5 lim a a + 5 ( + 5( a + 5 ( Como ( a eiste e é inita para qualquer D IR\ { 5} dierenciável a, concluímos que é Deinição: Seja uma unção dierenciável em a com derivada ( a A equação da recta tangente ao gráico de no ponto (, ( a a é: y ( a ( a( a Obs: Se ( a 0 então a recta tangente ao gráico de é uma recta horizontal Não eistem unções dierenciáveis cuja recta tangente seja vertical (porquê?! a razão é óbvia porque o declive das rectas verticais é e uma unção dierenciável tem derivada inita em cada ponto do seu domínio A recta tangente ao gráico de uma unção num ponto pode intersectar o gráico dessa unção mais que uma vez Pode até acontecer coincidir com a recta tangente noutro ponto como é ilustrado na igura abaio: a recta tangente em P coincide com a recta tangente em Q

5 Capítulo V: Derivação 03 5 Derivadas laterais Interpretação geométrica das derivadas laterais Como a derivada de uma unção num ponto a é um caso particular de um limite, então também az sentido calcular derivadas laterais: ( ( a ( a lim a a + ( ( a ( a lim a+ a quando tais limites eistem, eles são, denominados respectivamente, por derivada lateral de à esquerda de a e derivada lateral de à direita de a Notas: Se as derivadas laterais em a são iguais então eiste derivada em a e tem-se que ( a ( a ( a + Se as derivadas laterais em a são distintas então não eiste derivada em a Interpretação geométrica das derivadas laterais: A derivada à esquerda no ponto a identiica-se com o declive da semi-tangente à esquerda de no ponto a, ( t

6 Capítulo V: Derivação 04 A derivada à direita no ponto a identiica-se com o declive da semi-tangente à direita de no ponto a, ( t Uma unção tem derivada num ponto se as semi-tangentes nesse ponto estiveram no prolongamento uma da outra, isto é, ormarem uma recta Na igura acima as semi-tangentes ( t e ( pelo que não eiste derivada no ponto a t não estão contidas numa mesma recta Eemplo importante: A unção ( não é dierenciável em 0 O gráico de ( é: y De acto, tem-se que: (0 lim 0 ( ( 0 0 lim 0 0 lim 0 ( - para < 0 (0+ lim 0+ ( ( 0 0 lim 0+ 0 lim 0+ ( para > 0 Como (0 (0 +, não eiste '( 0 Logo a unção não é dierenciável (pois eiste pelo menos um ponto do domínio onde não eiste derivada apesar de ser contínua em todo o seu domínio Obs: O domínio da derivada de uma unção está sempre contido no domínio dessa unção, isto é, D D

7 Capítulo V: Derivação 05 Por eemplo: ( então ' ( D D ( D IR \ { 0} IR D Nota: Uma unção descontínua não pode ser dierenciável (porquê?! No entanto, o recíproco é sempre verdadeiro: Teorema Se é uma unção derivável em (ou equivalentemente, se é descontínua em a então é contínua em a a então não eiste derivada em a Eercício: ln( se Veriique se eiste ( onde ( e se < Resolução: Note que só az sentido veriicar se uma unção é derivável num ponto se ela or contínua nesse ponto Mas a unção é descontínua em pois os limites laterais são distintos: lim 0 ( lim e e 0 lim ln( lim ( pelo que não eiste derivada em + + Obs: A unção derivada não é necessariamente contínua Pode eventualmente nem eistir como acontece no eemplo seguinte A unção : IR IR deinida por

8 Capítulo V: Derivação 06 ( admite derivada em todos os pontos: 0 sen se se 0 0 ' ( sen cos 0 mas como se veriica acilmente não eiste '( lim 0 se se 0 0 Atenção!!! Para calcular '( 0 é necessário recorrer à deinição de derivada num ponto: lim 0 vale 0 sen(/ 0 lim sen(/ 0 0 que, pelo teorema do encaie dos limites (pág 79, 53 Regras de derivação Propriedades da derivação Notação ( de Leibniz para derivadas: Dado ( y para além da notação ' ou '( dy, usámos ou d d quisermos especiicar o valor num certo ponto a, além de ( a d d a Eemplos: d ( 3 + d d 3; d d d ; ( d d ou ( d d d ', usamos ( a Se ou Regras de derivação Calcular a derivada de uma unção ou a unção derivada a partir da sua deinição pode ser bastante trabalhoso Por essa razão, partindo da deinição de derivada podemos deduzir várias regras de derivação que adiante indicaremos

9 Capítulo V: Derivação 07 Teorema: Sejam e g duas unções deriváveis, então g + é derivável e tem-se ( + g ' ' + g' g é derivável e tem-se ( g ' ' g + g' c é derivável e tem-se ( c ' c ', c IR se g ( 0, g é derivável e tem-se g, ' g g g' Derivadas de unções elementares: unção constante c IR ( c '( 0 unção linear c IR ( c '( c 3 potência: ( n '( n n 4 unção eponencial a > 0 : ( a '( a ln( a 5 unção sen ( sen( '( cos( 6 unção cos ( cos( '( sen( 7 unção tg ( tg( '( sec ( cos ( 8 unção cotg ( cotg( '( cos ec ( sen ( Eercício: Calcular as derivadas das seguintes unções: a ( b ( / n c ( (, n IN d ( e (, n n IN

10 Capítulo V: Derivação Derivada da unção composta (ou Regra da cadeia Teorema (Derivada da unção composta ou Regra da Cadeia: Sejam e g unções deriváveis nos respectivos domínios e seja ( o g ( ( g( então ( g '( '( g( g' ( o Na notação de Leibniz, se u g( então ( g( ( u, e temos d d d du du d Eercícios: Calcule a derivada das seguintes unções: a c ( e b 3 ( ln d ( 3 ( log 3 e ( ( sen(5 g ( tg( e Resolução e Podemos ver como ln ( ln e e Assim, ln ln ( e ' ( ln ' e [( 'ln + (ln ' ] ln ln ( ln + e ( ln + e ln + e ln De orma análoga, podemos deduzir a derivada de uma unção da orma unções que dependem de uma variável, por eemplo : v ' v v ( u v ' 443 u ln u + v 4 u 43 u' como eponencial como polinomial v u, onde u e v são

5.7 Aplicações da derivada ao estudo das funções.

5.7 Aplicações da derivada ao estudo das funções. Capítulo V: Derivação 0.. 4. 7. tg( ) 0 tg( π ( + + ) sen( ) + ) sen( ) Resolução: cos( ) Repare que não eiste sen( ). + 5. ( e + ) 6. 0 π ( + cos( )) cos( ) sen( ) sen( ) Mas, e como 0, então 0 + + +

Leia mais

s: damasceno.

s:  damasceno. Matemática II 6. Pro.: Luiz Gonzaga Damasceno E-mails: damasceno@yahoo.com.br damasceno@interjato.com.br damasceno@hotmail.com http://www.damasceno.ino www.damasceno.ino damasceno.ino - Derivadas Considere

Leia mais

CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL. Prof. Rodrigo Carvalho

CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL. Prof. Rodrigo Carvalho CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL LIMITES Uma noção intuitiva de Limite Considere a unção () = 2 + 3. Quando assume uma ininidade de valores, aproimando cada vez mais de zero, 2 + 3 assume uma ininidade de

Leia mais

Na aula anterior vimos a noção de derivada de uma função. Suponha que uma variável y seja dada como uma função f de uma outra variável x,

Na aula anterior vimos a noção de derivada de uma função. Suponha que uma variável y seja dada como uma função f de uma outra variável x, Elementos de Cálculo Dierencial Na aula anterior vimos a noção de derivada de uma unção. Supona que uma variável y seja dada como uma unção de uma outra variável, y ( ). Por eemplo, a variável y pode ser

Leia mais

Capítulo III. Limite de Funções. 3.1 Noção de Limite. Dada uma função f, o que é que significa lim f ( x) = 5

Capítulo III. Limite de Funções. 3.1 Noção de Limite. Dada uma função f, o que é que significa lim f ( x) = 5 Capítulo III Limite de Funções. Noção de Limite Dada uma unção, o que é que signiica ( 5? A ideia intuitiva do que queremos dizer com isto é: quando toma valores cada vez mais próimos de, a respectiva

Leia mais

Capítulo III. Limite de Funções. 3.1 Noção de Limite. Dada uma função f, o que é que significa lim f ( x) = 5

Capítulo III. Limite de Funções. 3.1 Noção de Limite. Dada uma função f, o que é que significa lim f ( x) = 5 Capítulo III Limite de Funções. Noção de Limite Dada uma unção, o que é que signiica ( 5? A ideia intuitiva do que queremos dizer com isto é: quando toma valores cada vez mais próimos de, a respectiva

Leia mais

AULA 13 Aproximações Lineares e Diferenciais (página 226)

AULA 13 Aproximações Lineares e Diferenciais (página 226) Belém, de maio de 05 Caro aluno, Nesta nota de aula você aprenderá que pode calcular imagem de qualquer unção dierenciável num ponto próimo de a usando epressão mais simples que a epressão original da.

Leia mais

1 Roteiro Atividades Mat146 Semana4: 22/08/16 a 26/08/2016

1 Roteiro Atividades Mat146 Semana4: 22/08/16 a 26/08/2016 1 Roteiro Atividades Mat146 Semana4: /08/16 a 6/08/016 1. Matéria dessa semana de acordo com o Plano de ensino oicial: Assíntotas Horizontais e Verticais. Continuidade. Material para estudar: Assíntotas

Leia mais

Para ilustrar o conceito de limite, vamos supor que estejamos interessados em saber o que acontece à

Para ilustrar o conceito de limite, vamos supor que estejamos interessados em saber o que acontece à Limite I) Noção intuitiva de Limite Os limites aparecem em um grande número de situações da vida real: - O zero absoluto, por eemplo, a temperatura T C na qual toda a agitação molecular cessa, é a temperatura

Leia mais

1. Considere a representação gráfica da função f. Determine: 1.1. A variação de f em 2, A variação de f em 0,6.

1. Considere a representação gráfica da função f. Determine: 1.1. A variação de f em 2, A variação de f em 0,6. mata Considere a representação gráica da unção Determine: A variação de em,4 A variação de em 0,6 tmv 0,6 4 Indique um intervalo do domínio onde a taa média de variação é A igura representa um reservatório

Leia mais

Cálculo diferencial. Motivação - exemplos de aplicações à física

Cálculo diferencial. Motivação - exemplos de aplicações à física Cálculo diferencial Motivação - eemplos de aplicações à física Considere-se um ponto móvel sobre um eio orientado, cuja posição em relação à origem é dada, em função do tempo, pela função s. st posição

Leia mais

Apostila de Cálculo I

Apostila de Cálculo I Limites Diz-se que uma variável tende a um número real a se a dierença em módulo de -a tende a zero. ( a ). Escreve-se: a ( tende a a). Eemplo : Se, N,,,4,... quando N aumenta, diminui, tendendo a zero.

Leia mais

FUNÇÕES REAIS DE UMA VARIÁVEL REAL

FUNÇÕES REAIS DE UMA VARIÁVEL REAL FUNÇÕES REAIS DE UMA VARIÁVEL REAL Deinição inormal de unção Uma unção é uma regra que a cada elemento de um dado conjunto A associa um e um só elemento de um outro conjunto B. : A B ( ) Simbolicamente,

Leia mais

Cálculo Diferencial em

Cálculo Diferencial em Cálculo Diferencial em Definição de Derivada Seja f uma função real de variável real definida num intervalo aberto que contém c. Chama-se derivada de f em c a caso este limite eista. f c lim ffc c, c Esta

Leia mais

DERIVADA. A Reta Tangente

DERIVADA. A Reta Tangente DERIVADA A Reta Tangente Seja f uma função definida numa vizinança de a. Para definir a reta tangente de uma curva = f() num ponto P(a, f(a)), consideramos um ponto vizino Q(,), em que a e traçamos a S,

Leia mais

Capítulo II. Funções reais de variável real. 2.1 Conceitos Básicos sobre Funções. ( x)

Capítulo II. Funções reais de variável real. 2.1 Conceitos Básicos sobre Funções. ( x) Capítulo II Funções reais de variável real. Conceitos Básicos sobre Funções Sejam D e B dois conjuntos. Uma unção deinida em D e tomando valores em B é uma regra que a cada elemento de D az corresponder

Leia mais

Unidade 5 Diferenciação Incremento e taxa média de variação

Unidade 5 Diferenciação Incremento e taxa média de variação Unidade 5 Diferenciação Incremento e taa média de variação Consideremos uma função f dada por y f ( ) Quando varia de um valor inicial de para um valor final de, temos o incremento em O símbolo matemático

Leia mais

FUNÇÕES DE VÁRIAS VARIÁVEIS

FUNÇÕES DE VÁRIAS VARIÁVEIS FUNÇÕES DE VÁRIAS VARIÁVEIS Introdução Considere os seguintes enunciados: O volume V de um cilindro é dado por V r h onde r é o raio e h é a altura. Um circuito tem cinco resistores. A corrente deste circuito

Leia mais

Funções de varias variáveis

Funções de varias variáveis F : R n R (1,,..., n ) w Funções de varias variáveis F( 1,,.., 3 ) Dom n ( F) S R S é um subconjunto de R n Eemplo 1: Seja F tal que F : R R (, ) w 1 Identiique o domínio e a imagem de F Eemplos Eemplos

Leia mais

CÁLCULO I. Apresentar e aplicar a Regra de L'Hospital.

CÁLCULO I. Apresentar e aplicar a Regra de L'Hospital. CÁLCULO I Prof. Edilson Neri Júnior Prof. André Almeida Aula n o : Limites Innitos e no Innito. Assíntotas. Regra de L'Hospital Objetivos da Aula Denir ite no innito e ites innitos; Apresentar alguns tipos

Leia mais

ESCOLA SECUNDÁRIA COM 3º CICLO D. DINIS COIMBRA 12º ANO DE ESCOLARIDADE MATEMÁTICA A. Aula nº 1 do plano nº 12

ESCOLA SECUNDÁRIA COM 3º CICLO D. DINIS COIMBRA 12º ANO DE ESCOLARIDADE MATEMÁTICA A. Aula nº 1 do plano nº 12 ESCOLA SECUNDÁRIA COM 3º CICLO D. DINIS COIMBRA º ANO DE ESCOLARIDADE MATEMÁTICA A Aula nº do plano nº Resolver os eercícios 35, 355, 358, 360, 36, 364 das páginas 67 a 7 Conceito de derivada de uma função

Leia mais

Acadêmico(a) Turma: Capítulo 7: Limites

Acadêmico(a) Turma: Capítulo 7: Limites Acadêmico(a) Turma: Capítulo 7: Limites 7.1. Noção Intuitiva de ite Considere a função f(), em que f() = 2 + 1. Para valores de que se aproima de 1, por valores maiores que 1 (Direita) e por valores menores

Leia mais

Capítulo II. Funções reais de variável real. 2.1 Conceitos Básicos sobre Funções. ( x)

Capítulo II. Funções reais de variável real. 2.1 Conceitos Básicos sobre Funções. ( x) Capítulo II Funções reais de variável real.1 Conceitos Básicos sobre Funções Sejam D e B dois conjuntos. Uma unção deinida em D e tomando valores em B é uma regra que a cada elemento de D az corresponder

Leia mais

Estudar mudança no valor de funções na vizinhança de pontos.

Estudar mudança no valor de funções na vizinhança de pontos. Universidade Federal de Alagoas Faculdade de Arquitetura e Urbanismo Curso de Arquitetura e Urbanismo Disciplina: Fundamentos para a Análise Estrutural Código: AURB006 Turma: A Período Letivo: 007- Professor:

Leia mais

Se tanto o numerador como o denominador tendem para valores finitos quando x a, digamos α e β, e β 0, então pela álgebra dos limites sabemos que.

Se tanto o numerador como o denominador tendem para valores finitos quando x a, digamos α e β, e β 0, então pela álgebra dos limites sabemos que. FORMAS INDETERMINADAS E A REGRA DE L HÔPITAL RICARDO MAMEDE Consideremos o ite. Se tanto o numerador como o denominador tendem para valores initos quando a, digamos α e β, e β, então pela álgebra dos ites

Leia mais

Derivadas e suas Aplicações

Derivadas e suas Aplicações Capítulo 4 Derivadas e suas Aplicações Ao final deste capítulo você deverá: Compreender taa média de variação; Enunciar a definição de derivada de uma função interpretar seu significado geométrico; Calcular

Leia mais

Unidade 3. Funções de uma variável

Unidade 3. Funções de uma variável Unidade 3 Funções de uma variável Funções Um dos conceitos mais importantes da matemática é o conceito de unção. Em muitas situações práticas, o valor de uma quantidade pode depender do valor de uma segunda.

Leia mais

Capítulo 6 - Derivação de Funções Reais de Variável Real

Capítulo 6 - Derivação de Funções Reais de Variável Real Capítulo 6 - Derivação de Funções Reais de Variável Real Carlos Balsa balsa@ipb.pt Departamento de Matemática Escola Superior de Tecnologia e Gestão de Bragança Matemática I - 1 o Semestre 2010/2011 Matemática

Leia mais

CÁLCULO I. 1 Aproximações Lineares. Objetivos da Aula. Aula n o 16: Aproximações Lineares e Diferenciais. Regra de L'Hôspital.

CÁLCULO I. 1 Aproximações Lineares. Objetivos da Aula. Aula n o 16: Aproximações Lineares e Diferenciais. Regra de L'Hôspital. CÁLCULO I Prof Marcos Diniz Prof André Almeida Prof Edilson Neri Júnior Prof Emerson Veiga Prof Tiago Coelho Aula n o 6: Aproimações Lineares e Diferenciais Regra de L'Hôspital Objetivos da Aula Denir

Leia mais

Derivadas. Capítulo O problema da reta tangente

Derivadas. Capítulo O problema da reta tangente Capítulo 5 Derivadas Este capítulo é sobre derivada, um conceito fundamental do cálculo que é muito útil em problemas aplicados. Este conceito relaciona-se com o problema de determinar a reta tangente

Leia mais

Derivadas. Slides de apoio sobre Derivadas. Prof. Ronaldo Carlotto Batista. 21 de outubro de 2013

Derivadas. Slides de apoio sobre Derivadas. Prof. Ronaldo Carlotto Batista. 21 de outubro de 2013 Cálculo 1 ECT1113 Slides de apoio sobre Derivadas Prof. Ronaldo Carlotto Batista 21 de outubro de 2013 AVISO IMPORTANTE Estes slides foram criados como material de apoio às aulas e não devem ser utilizados

Leia mais

Capítulo 5 Derivadas

Capítulo 5 Derivadas Departamento de Matemática - ICE - UFJF Disciplina MAT54 - Cálculo Capítulo 5 Derivadas Este capítulo é sobre derivada, um conceito fundamental do cálculo que é muito útil em problemas aplicados. Este

Leia mais

Universidade Federal Fluminense. Matemática I. Professora Maria Emilia Neves Cardoso

Universidade Federal Fluminense. Matemática I. Professora Maria Emilia Neves Cardoso Universidade Federal Fluminense Matemática I Professora Maria Emilia Neves Cardoso Notas de Aula / º semestre de Capítulo : Limite de uma função real O conceito de ite é o ponto de partida para definir

Leia mais

TÉCNICAS DE DIFERENCIAÇÃO13

TÉCNICAS DE DIFERENCIAÇÃO13 TÉCNICAS DE DIFERENCIAÇÃO3 Gil da Costa Marques 3. Introdução 3. Derivada da soma ou da diferença de funções 3.3 Derivada do produto de funções 3.4 Derivada de uma função composta: a Regra da Cadeia 3.5

Leia mais

TÓPICOS DE CORRECÇÃO

TÓPICOS DE CORRECÇÃO Faculdade de Economia Universidade Nova de Lisboa EXAME E CÁLCULO I Ano Lectivo 007-08 - º Semestre Eame Final de ª Época em de Junho de 008 Duração: horas e 30 minutos É proibido usar máquinas de calcular

Leia mais

Exercícios de exames e provas oficiais

Exercícios de exames e provas oficiais Eercícios de eames e provas oiciais. Considere as unções e g, de domínio,0, deinidas por ln e g Recorrendo a processos eclusivamente analíticos, estude a unção quanto à eistência de do seu gráico e, caso

Leia mais

Módulo 3 FUNÇÕES (1ª Parte)

Módulo 3 FUNÇÕES (1ª Parte) . Módulo 3 FUNÇÕES (ª Parte) Eercícios ) O esquema seguinte representa uma página da agenda teleónica da Maalda Objectivos Recordar: A (nomes) Médico (João) B (teleones) 397345 (casa) 3973456 (consultório)

Leia mais

Lista de Exercícios 2 1

Lista de Exercícios 2 1 Universidade Federal de Ouro Preto Departamento de Matemática MTM - CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL I Lista de Eercícios Mostre, utilizando a definição formal, que os ites abaio eistem e são iguais ao valor

Leia mais

cotg ( α ) corresponde ao valor da abcissa do

cotg ( α ) corresponde ao valor da abcissa do Capítulo II: Funções Reais de Variável Real 59 Função co-tangente Seja α um ângulo representado no círculo trigonométrico. ( α ) corresponde ao valor da abcissa do ponto que resulta de projectar o lado

Leia mais

TÓPICO. Fundamentos da Matemática II DERIVADAS PARCIAIS. Licenciatura em Ciências USP/ Univesp. Gil da Costa Marques

TÓPICO. Fundamentos da Matemática II DERIVADAS PARCIAIS. Licenciatura em Ciências USP/ Univesp. Gil da Costa Marques 7 DERIVADAS PARCIAIS TÓPICO Gil da Costa Marques Fundamentos da Matemática II 7.1 Introdução 7. Taas de Variação: Funções de uma Variável 7.3 Taas de variação: Funções de duas Variáveis 7.4 Taas de Variação:

Leia mais

CÁLCULO DIFERENCIAL EM CAMPOS ESCALARES E VECTORIAIS

CÁLCULO DIFERENCIAL EM CAMPOS ESCALARES E VECTORIAIS Capítulo II CÁLCULO DIFERENCIAL EM CAMPOS ESCALARES E VECTORIAIS Capítulo II Até agora trabalhamos sempre com unções de uma única variável real mas eistem muitas situações nas quais a unção depende de

Leia mais

ANEXO A: Critérios para determinar o comportamento de uma função através do estudo da derivada.

ANEXO A: Critérios para determinar o comportamento de uma função através do estudo da derivada. ANEXO A: Critérios para determinar o comportamento de uma unção através do estudo da derivada. Vamos relembrar critérios que permitem determinar o comportamento de uma unção nas proimidades de um ponto

Leia mais

Exercícios de exames e provas oficiais

Exercícios de exames e provas oficiais Eercícios de eames e provas oiciais. Considere a unção, de domínio, deinida por ln. Utilizando eclusivamente métodos analíticos, estude a unção quanto à eistência de do seu gráico paralelas aos eios coordenados.

Leia mais

CÁLCULO I. 1 Primitivas. Objetivos da Aula. Aula n o 18: Primitivas. Denir primitiva de uma função; Calcular as primitivas elementares.

CÁLCULO I. 1 Primitivas. Objetivos da Aula. Aula n o 18: Primitivas. Denir primitiva de uma função; Calcular as primitivas elementares. CÁLCULO I Prof. Edilson Neri Júnior Prof. André Almeida Aula n o 8: Primitivas. Objetivos da Aula Denir primitiva de uma função; Calcular as primitivas elementares. Primitivas Em alguns problemas, é necessário

Leia mais

Estudar tendências no comportamento de funções.

Estudar tendências no comportamento de funções. Universidade Federal de Alagoas Faculdade de Arquitetura e Urbanismo Curso de Arquitetura e Urbanismo Disciplina: Fundamentos para a Análise Estrutural Código: AURB006 Turma: A Período Letivo: 2007-2 Proessor:

Leia mais

Matemática Exercícios

Matemática Exercícios 03/0 DIFERENCIAÇÃO EM R Matemática Eercícios A. Regras de Derivação Calcular a derivada de f( considerando que toma unicamente os valores para os quais a fórmula que define f( tem significado:. f ( 3 5

Leia mais

1 Definição de Derivada

1 Definição de Derivada Departamento de Computação é Matemática Cálculo I USP- FFCLRP Prof. Rafael A. Rosales 5 de março de 2014 Lista 5 Derivada 1 Definição de Derivada Eercício 1. O que é f (a)? Eplique com suas palavras o

Leia mais

1. FUNÇÕES REAIS DE VARIÁVEL REAL

1. FUNÇÕES REAIS DE VARIÁVEL REAL 1 1 FUNÇÕES REAIS DE VARIÁVEL REAL 11 Funções trigonométricas inversas 111 As funções arco-seno e arco-cosseno Como as funções seno e cosseno não são injectivas em IR, só poderemos definir as suas funções

Leia mais

MATEMÁTICA A - 12o Ano Funções - 2 a Derivada (concavidades e pontos de inflexão)

MATEMÁTICA A - 12o Ano Funções - 2 a Derivada (concavidades e pontos de inflexão) MATEMÁTICA A - 12o Ano Funções - 2 a Derivada (concavidades e pontos de inleão) Eercícios de eames e testes intermédios 1. Na igura ao lado, está representada, num reerencial o.n., parte do gráico de uma

Leia mais

A Derivada. Derivadas Aula 16. Alexandre Nolasco de Carvalho Universidade de São Paulo São Carlos SP, Brazil

A Derivada. Derivadas Aula 16. Alexandre Nolasco de Carvalho Universidade de São Paulo São Carlos SP, Brazil Derivadas Aula 16 Alexandre Nolasco de Carvalho Universidade de São Paulo São Carlos SP, Brazil 04 de Abril de 2014 Primeiro Semestre de 2014 Turma 2014104 - Engenharia Mecânica A Derivada Seja x = f(t)

Leia mais

Fundamentos de Matemática II DERIVADAS PARCIAIS7. Licenciatura em Ciências USP/ Univesp. Gil da Costa Marques

Fundamentos de Matemática II DERIVADAS PARCIAIS7. Licenciatura em Ciências USP/ Univesp. Gil da Costa Marques DERIVADAS PARCIAIS7 Gil da Costa Marques 7.1 Introdução 7. Taas de Variação: Funções de uma Variável 7.3 Taas de variação: Funções de duas Variáveis 7.4 Taas de Variação: Funções de mais do que duas Variáveis

Leia mais

3 Cálculo Diferencial

3 Cálculo Diferencial Aula 6 26/0/206 (cont.) 3 Cálculo Diferencial Entramos agora num dos tópicos principais desta cadeira: o Cálculo Diferencial. usar derivadas como ferramentas no estudo de funções, em particular, cálculo

Leia mais

Derivada. Aula 09 Cálculo Diferencial. Professor: Éwerton Veríssimo

Derivada. Aula 09 Cálculo Diferencial. Professor: Éwerton Veríssimo Derivada Ala 09 Cálclo Dierencial Proessor: Éwerton Veríssimo Derivada: Conceito Físico Taa de Variação A dosagem de m medicamento pode variar conorme o tempo de tratamento do paciente. O desgaste das

Leia mais

Nos pontos (x, y), x 0 ou y 0, f(x, y) não está definida, logo nestes pontos f não é diferenciável. Seja, então, (x, y), com x 0 e y 0.

Nos pontos (x, y), x 0 ou y 0, f(x, y) não está definida, logo nestes pontos f não é diferenciável. Seja, então, (x, y), com x 0 e y 0. CAPÍTULO Eercícios d) (, y) y Nos pontos (, y), ou y, (, y) não está deinida, logo nestes pontos não é dierenciável Seja, então, (, y), com e y Ï Ôa) admite derivadas parciais em (, y) Ô é dierenciável

Leia mais

Resolução dos Exercícios sobre Derivadas

Resolução dos Exercícios sobre Derivadas Resolução dos Eercícios sobre Derivadas Eercício Utilizando a idéia do eemplo anterior, encontre a reta tangente à curva = 0 e = y = nos pontos onde Vamos determinar a reta tangente à curva y = nos pontos

Leia mais

Integrais indefinidas

Integrais indefinidas Integrais indefinidas que: Sendo f() e F() definidas em um intervalo I R, para todo I, dizemos F é uma antiderivada ou uma primitiva de f, em I, se F () = f() F() = é uma antiderivada (primitiv de f()

Leia mais

MAT Cálculo Diferencial e Integral I Bacharelado em Matemática

MAT Cálculo Diferencial e Integral I Bacharelado em Matemática MAT- - Cálculo Diferencial e Integral I Bacharelado em Matemática - 200 a Lista de eercícios I. Limite de funções. Calcule os seguintes ites, caso eistam: 2 3 + 9 2 + 2 + 4 2 + 6 5 ) 2 3 2 2 2) + 4 + 8

Leia mais

Universidade Federal de Viçosa Centro de Ciências Exatas e Tecnológicas Departamento de Matemática

Universidade Federal de Viçosa Centro de Ciências Exatas e Tecnológicas Departamento de Matemática Universidade Federal de Viçosa Centro de Ciências Eatas e Tecnológicas Departamento de Matemática MAT 040 Estudo Dirigido de Cálculo I 07/II Encontro 5 - /09/07: Eercício : Seja f a função cujo gráfico

Leia mais

ESCOLA SUPERIOR DE TECNOLOGIA

ESCOLA SUPERIOR DE TECNOLOGIA Departamento Matemática Disciplina Análi Matemática II Curso Engenharia do Ambiente º Semestre º Ficha nº : Funções de várias variáveis: derivadas parciais, dierenciais e regra da cadeia DERIVADAS PARCIAIS

Leia mais

Exercícios de exames e provas oficiais

Exercícios de exames e provas oficiais Eercícios de eames e provas oiciais. Seja a unção, de domínio 0 e., deinida por Recorrendo a métodos analíticos, sem utilizar a calculadora, estude a unção quanto à eistência de assíntota horizontal. matemática

Leia mais

c) R 2 e f é decrescente no intervalo 1,. , e f é crescente no intervalo 2, 2

c) R 2 e f é decrescente no intervalo 1,. , e f é crescente no intervalo 2, 2 UFJF ICE Departamento de Matemática CÁLCULO I - LISTA DE EXERCÍCIOS Nº As questões de números a 9 referem-se à função f ( ). - O domínio da função f é o conjunto: a) R b) R c) R R, 0 e) R 0 - A derivada

Leia mais

Respostas sem justificativas não serão aceitas. Além disso, não é permitido o uso de aparelhos eletrônicos. x 1 x 1. 1 sen x 1 (x 2 1) 2 (x 2 1) 2 sen

Respostas sem justificativas não serão aceitas. Além disso, não é permitido o uso de aparelhos eletrônicos. x 1 x 1. 1 sen x 1 (x 2 1) 2 (x 2 1) 2 sen UNIVERSIDADE FEDERAL RURAL DE PERNAMBUCO UNIDADE ACADÊMICA DO CABO DE SANTO AGOSTINHO CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL - 07. A VERIFICAÇÃO DE APRENDIZAGEM - TURMA EL Nome Legível RG CPF Respostas sem justificativas

Leia mais

Plano tangente a uma superficie: G(f).

Plano tangente a uma superficie: G(f). Plano tangente a uma supericie: G. O plano tangente ao gráico de uma unção num ponto é o plano que contem todas as retas tangentes ao gráico de que passam pelo ponto. Se todas as retas tangente a esse

Leia mais

MAT001 Cálculo Diferencial e Integral I

MAT001 Cálculo Diferencial e Integral I 1 MAT001 Cálculo Dierencial e Integral I RESUMO DA AULA TEÓRICA 1 Livro do Stewart: Seções 4.1 a 4.. MÁXIMOS E MÍNIMOS ABSOLUTOS: revisão da aula teórica 6 Deinição: O máximo absoluto de uma unção em um

Leia mais

Resolução dos Exercícios Propostos no Livro

Resolução dos Exercícios Propostos no Livro Resolução dos Eercícios Propostos no Livro Eercício : Considere agora uma função f cujo gráfico é dado por y 0 O que ocorre com f() quando se aproima de por valores maiores que? E quando se aproima de

Leia mais

MATEMÁTICA A - 12o Ano Funções - 2 a Derivada (concavidades e pontos de inflexão)

MATEMÁTICA A - 12o Ano Funções - 2 a Derivada (concavidades e pontos de inflexão) MATEMÁTICA A - 12o Ano Funções - 2 a Derivada (concavidades e pontos de inleão) Eercícios de eames e testes intermédios 1. Na igura ao lado, está representada, num reerencial o.n., parte do gráico de uma

Leia mais

UFRJ - Instituto de Matemática Programa de Pós-Graduação em Ensino de Matemática Mestrado em Ensino de Matemática

UFRJ - Instituto de Matemática Programa de Pós-Graduação em Ensino de Matemática  Mestrado em Ensino de Matemática UFRJ - Instituto de Matemática Programa de Pós-Graduação em Ensino de Matemática www.pg.im.ufrj.br/pemat Mestrado em Ensino de Matemática Seleção 0 Etapa Questão. Considere f : [, ] R a função cujo gráfico

Leia mais

Teste de Aferição de Competências

Teste de Aferição de Competências UNIVERSIDADE DE SANTIAGO Departamento de Ciências da Saúde, Ambiente e Tecnologias Teste de Aferição de Competências Matemática Escola Superior de Tecnologias e Gestão Praia Tlf. +38 6 96 50 Fa: +38 6

Leia mais

Cálculo diferencial, primitivas e cálculo integral de funções de uma variável

Cálculo diferencial, primitivas e cálculo integral de funções de uma variável Análise Matemática Cálculo diferencial, primitivas e cálculo integral de funções de uma variável (Soluções) Jorge Orestes Cerdeira, Isabel Martins, Ana Isabel Mesquita Instituto Superior de Agronomia -

Leia mais

UNIVERSIDADE FEDERAL DO CEARÁ CENTRO DE TECNOLOGIA PROGRAMA DE EDUCAÇÃO TUTORIAL APOSTILA DE CÁLCULO. Realização:

UNIVERSIDADE FEDERAL DO CEARÁ CENTRO DE TECNOLOGIA PROGRAMA DE EDUCAÇÃO TUTORIAL APOSTILA DE CÁLCULO. Realização: UNIVERSIDADE FEDERAL DO CEARÁ CENTRO DE TECNOLOGIA PROGRAMA DE EDUCAÇÃO TUTORIAL APOSTILA DE CÁLCULO Realização: Fortaleza, Fevereiro/2010 1. LIMITES 1.1. Definição Geral Se os valores de f(x) puderem

Leia mais

CÁLCULO II Prof. Jerônimo Monteiro

CÁLCULO II Prof. Jerônimo Monteiro CÁLCULO II Pro. Jerônimo Monteiro Gabarito - Lista Semanal 08 Questão 1. Calcule 2 para (x, y, onde x = r cos θ e y = r sen θ. 2 Solução: Primeiro, calculamos pela regra da cadeia, como segue: = + = (

Leia mais

A Prática. Perfeição. Cálculo. William D. Clark, Ph.D e Sandra Luna McCune, Ph.D

A Prática. Perfeição. Cálculo. William D. Clark, Ph.D e Sandra Luna McCune, Ph.D A Prática Leva à Perfeição Cálculo William D. Clark, P.D e Sandra Luna McCune, P.D Rio de Janeiro, 01 Para Sirley e Donice. Vocês estão sempre em nossos corações. Sumário Prefácio i I Limites 1 1 O conceito

Leia mais

1 Capítulo 4 Comp m l p e l me m ntos de d Funçõ ç es

1 Capítulo 4 Comp m l p e l me m ntos de d Funçõ ç es Capítulo 4 Complementos de Funções SUMÁRIO Estrutura e cardinalidade em R Topologia Limites e continuidade de unções num ponto pela deinição (vizinhanças Teorema de Bolzano e Teorema de Weierstrass Teorema

Leia mais

MAT-2453 CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL I - BCC Prof. Juan Carlos Gutiérrez Fernández

MAT-2453 CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL I - BCC Prof. Juan Carlos Gutiérrez Fernández MAT-2453 CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL I - BCC Prof. Juan Carlos Gutiérrez Fernández Lista 3: Introdução à Derivada, Limites e continuidade. Ano 207. Determine a função derivada e seu domínio para a função

Leia mais

de ponto para ponto. Por exemplo, consideremos o seguinte gráfico: (x 2, y 2 ) (x 4, y 4 ) x

de ponto para ponto. Por exemplo, consideremos o seguinte gráfico: (x 2, y 2 ) (x 4, y 4 ) x .3. Derivadas.3.1. Definição e Interpretação Geométrica Anteriormente já mostrámos como o coeficiente angular de uma recta - declive de uma recta - indica a taa à qual a recta sobe ou desce. para uma recta,

Leia mais

LIMITES E CONTINIDADE

LIMITES E CONTINIDADE MATEMÁTICA I LIMITES E CONTINIDADE Prof. Dr. Nelson J. Peruzzi Profa. Dra. Amanda L. P. M. Perticarrari Parte 1 Parte 2 Limites Infinitos Definição de vizinhança e ite Limites laterais Limite de função

Leia mais

COMISSÃO DE EXAMES DE ADMISSÃO. Prova de Matemática

COMISSÃO DE EXAMES DE ADMISSÃO. Prova de Matemática COMISSÃO DE EXAMES DE ADMISSÃO Prova de Matemática Ano Acadêmico: 9 Duração : Minutos Curso: Engenharia de Minas. Sejam dados os pontos A ( ; ) e B ( m ; ). Sabendo que a distância entre eles é igual a

Leia mais

2 - Generalidades sobre funções reais de variável real

2 - Generalidades sobre funções reais de variável real Análise Matemática - 009/010 - Generalidades sobre unções reais de variável real.1-deinição e Propriedades De..1 Sejam A e B conjuntos, e uma correspondência de A para B, isto é um processo de associar

Leia mais

Derivada da função composta, derivada da função inversa, derivada da função implícita e derivada de funções definidas parametricamente.

Derivada da função composta, derivada da função inversa, derivada da função implícita e derivada de funções definidas parametricamente. Análise Matemática - 007/008.5.- Derivada da função composta, derivada da função inversa, derivada da função implícita e derivada de funções definidas parametricamente. Teorema.31 Derivada da Função Composta

Leia mais

ESCOLA SECUNDÁRIA COM 3º CICLO D. DINIS 12º ANO DE ESCOLARIDADE DE MATEMÁTICA A

ESCOLA SECUNDÁRIA COM 3º CICLO D. DINIS 12º ANO DE ESCOLARIDADE DE MATEMÁTICA A ESCOLA SECUNDÁRIA COM º CICLO D. DINIS º ANO DE ESCOLARIDADE DE MATEMÁTICA A Tema III Trigonometria e Números Compleos TPC nº. Seja f = + ln (entregar até 7/0/009).. Determine f ( ), usando a definição

Leia mais

Limites, derivadas e máximos e mínimos

Limites, derivadas e máximos e mínimos Limites, derivadas e máimos e mínimos Psicologia eperimental Definição lim a f ( ) b Eemplo: Seja f()=5-3. Mostre que o limite de f() quando tende a 1 é igual a 2. Propriedades dos Limites Se L, M, a,

Leia mais

UNIVERSIDADE FEDERAL DA BAHIA INSTITUTO DE MATEMÁTICA DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA MAT B33 Limites e Derivadas Prof a. Graça Luzia Dominguez Santos

UNIVERSIDADE FEDERAL DA BAHIA INSTITUTO DE MATEMÁTICA DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA MAT B33 Limites e Derivadas Prof a. Graça Luzia Dominguez Santos UNIVERSIDADE FEDERAL DA BAHIA INSTITUTO DE MATEMÁTICA DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA MAT B Limites e Derivadas Prof a Graça Luzia Dominguez Santos LISTA DE EXERCÍCIOS( Questões de Provas a UNIDADE) Derivada

Leia mais

Matemática A. Previsão 3. Duração do teste: 180 minutos º Ano de Escolaridade. Previsão Exame Nacional de Matemática A 2013

Matemática A. Previsão 3. Duração do teste: 180 minutos º Ano de Escolaridade. Previsão Exame Nacional de Matemática A 2013 revisão Eame Nacional de Matemática A 01 revisão 1ª ase Matemática A revisão Duração do teste: 180 minutos 7.0.01 1.º Ano de Escolaridade Resoluções em vídeo em www.eplicamat.pt revisão de Eame página1/9

Leia mais

Itens para resolver (CONTINUAÇÃO)

Itens para resolver (CONTINUAÇÃO) PREPARAR EXAME NACINAL Itens para resolver (CNTINUAÇÃ) e. Seja g a função, de domínio IR\{}, definida por g(). Sem usar a calculadora, determine, se eistirem, as equações das assíntotas do gráfico de g.

Leia mais

Conceitos: Função. Domínio, contradomínio e imagem de uma função. Funções potência, exponencial e

Conceitos: Função. Domínio, contradomínio e imagem de uma função. Funções potência, exponencial e Matemática II 05/6 Curso: Gestão Departamento de Matemática ESTG-IPBragança Ficha Prática : Revisões: Funções, Derivadas. Primitivas -------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

Leia mais

FUNÇÕES DE DUAS OU MAIS VARIÁVEIS

FUNÇÕES DE DUAS OU MAIS VARIÁVEIS FUNÇÕES DE DUAS OU MAIS VARIÁVEIS Uma unção de duas ou mais variáveis é simbolizada por uma epressão do tipo w z... que siniica que w é uma unção de z... Como ocorre nas unções de uma variável nas unções

Leia mais

Universidade Federal de Viçosa Centro de Ciências Exatas e Tecnológicas-CCE Departamento de Matemática

Universidade Federal de Viçosa Centro de Ciências Exatas e Tecnológicas-CCE Departamento de Matemática Monitor: Renno Santos Guedes Universidade Federal de Viçosa Centro de Ciências Eatas e Tecnológicas-CCE Departamento de Matemática MAT 40-CÁLCULO Lista de Eercícios. Para a função g(), encontrar os seguintes

Leia mais

(x 2,y 2 ) (x 4,y 4 ) x

(x 2,y 2 ) (x 4,y 4 ) x 2.3. Derivadas 2.3.1. Definição e Interpretação Geométrica Anteriormente já mostrámos como o coeficiente angular de uma recta - declive de uma recta - indica a taa à qual a recta sobe ou desce. para uma

Leia mais

Disciplina: Cálculo Diferencial e Integral I

Disciplina: Cálculo Diferencial e Integral I Disciplina: Cálculo Dierencial e Integral I Pro. Dr. Frederico de Oliveira Matias Curso de Licenciatura em Matemática UFPBVIRTUAL red@mat.upb.br Curso de Matemática UFPBVIRTUAL Ambiente Virtual de Aprendizagem:

Leia mais

UFRJ - Instituto de Matemática

UFRJ - Instituto de Matemática UFRJ - Instituto de Matemática Programa de Pós-Graduação em Ensino de Matemática www.pg.im.ufrj.br/pemat Mestrado em Ensino de Matemática Seleção 9 Etapa Questão. Determine se as afirmações abaio são verdadeiras

Leia mais

Capítulo 1 Funções reais de uma variável 1.3 Derivadas de funções definidas implicitamente

Capítulo 1 Funções reais de uma variável 1.3 Derivadas de funções definidas implicitamente 11-1-13 1.3 Derivadas de funções definidas implicitamente Uma equação do tipo f(,y) = nem sempre permite obter eplicitamente y como função de. Por eemplo, y 1 y 1 não é uma função y 1 y 1 y 1 y 1 3 1.3

Leia mais

3 Limites e Continuidade(Soluções)

3 Limites e Continuidade(Soluções) 3 Limites e Continuidade(Soluções). a) Como e é crescente, com contradomínio ]0, + [, o contradomínio de f é ]e, + [. Para > 0 e y ] e, + [, temos Logo, a inversa de f é f () = y e = y = log y = log y

Leia mais

Limites: Noção intuitiva e geométrica

Limites: Noção intuitiva e geométrica Eemplo : f : R {} R, f sen a Gráfico de f b Ampliação do gráfico de f perto da origem Limites: Noção intuitiva e geométrica f Apesar de f não estar definida em, faz sentido questionar o que acontece com

Leia mais

Seja f : D R uma função, a R um ponto de acumulação D ) diz-se que f(x) tende para b quando x tende para a ou { }

Seja f : D R uma função, a R um ponto de acumulação D ) diz-se que f(x) tende para b quando x tende para a ou { } .4- Limites e continuidde de unções. De. Deinição de Limite Sej : D R um unção, R um ponto de cumulção D diz-se que tende pr b qundo tende pr ou b se : { } > ε > V ε D \ V b b b b ε ε De.. Dd um unção

Leia mais

Matemática 2 Engenharia Eletrotécnica e de Computadores

Matemática 2 Engenharia Eletrotécnica e de Computadores Matemática Engenharia Eletrotécnica e de Computadores Eercícios Compilados por: Alzira Faria Ana Cristina Meira Ana Júlia Viamonte Carla Pinto Jorge Mendonça Teórico-prática. Indique o domínio das funções:

Leia mais

Para a definição de derivada de uma função num ponto que aqui apresentaremos, a seguinte definição será indispensável: ), tal que ( ) 0

Para a definição de derivada de uma função num ponto que aqui apresentaremos, a seguinte definição será indispensável: ), tal que ( ) 0 ABORDAGEM DO CONCEITO DE DERIVADA SEM LIMITES Maria Clara Martins, ESEC; Jaime Carvalho e Silva, UC Introdução O conceito de derivada é abordado pela primeira vez na disciplina de Matemática no º ano do

Leia mais

Profª Cristiane Guedes LIMITE DE UMA FUNÇÃO. Cristianeguedes.pro.br/cefet

Profª Cristiane Guedes LIMITE DE UMA FUNÇÃO. Cristianeguedes.pro.br/cefet LIMITE DE UMA FUNÇÃO Cristineguedes.pro.br/ceet Vizinhnç de um ponto Pr um vlor rbitrrimente pequeno >, vizinhnç de é o conjunto dos vlores de pertencentes o intervlo: - + OBS: d AB = I A B I Limite de

Leia mais

1ª LISTA DE EXERCÍCIOS DE MÉTODOS NUMÉRICOS Prof.: Magnus Melo

1ª LISTA DE EXERCÍCIOS DE MÉTODOS NUMÉRICOS Prof.: Magnus Melo ª LISTA DE EXERCÍCIOS DE MÉTODOS NUMÉRICOS Pro.: Magnus Melo Eercício. Sejam os polinômios dados abaio. Use a regra de sinais de descartes e o teorema da cota de Augustin Cauchy para pesquisar a eistência

Leia mais

Derivadas de funções reais de variável real; Aplicação das derivadas ao estudo de funções e problemas de optimização. x ;

Derivadas de funções reais de variável real; Aplicação das derivadas ao estudo de funções e problemas de optimização. x ; Instituto Politécnico de Bragança Escola Superior de Tecnologia e Gestão Análise Matemática I 003/004 Ficha Prática nº. 5: Derivadas de funções reais de variável real; Aplicação das derivadas ao estudo

Leia mais