CONTINUIDADE DE FUNÇÕES REAIS DE UMA VARIÁVEL

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1 BÁRBARA DENICOL DO AMARAL RODRIGUEZ CINTHYA MARIA SCHNEIDER MENEGHETTI CRISTIANA ANDRADE POFFAL CONTINUIDADE DE FUNÇÕES REAIS DE UMA VARIÁVEL a Edição Rio Grande Editora da FURG 206

2 Universidade Federal do Rio Grande - FURG NOTAS DE AULA DE CÁLCULO Instituto de Matemática, Estatística e Física - IMEF Bárbara Rodriguez Cinthya Meneghetti Cristiana Poffal sites.google.com/site/calculofurg 2 Notas de aula de Cálculo - FURG

3 Sumário Continuidade de funções reais de uma variável 4. Definição de continuidade Propriedades das funções contínuas Continuidade unilateral Continuidade em um intervalo fechado Tipos de descontinuidade Descontinuidade evitável ou removível ( a espécie) Descontinuidade essencial (2 a espécie) Lista de eercícios Teoremas relativos às funções contínuas Teorema do Valor Intermediário Teorema de Weierstrass

4 Capítulo Continuidade de funções reais de uma variável Neste capítulo estudam-se os conceitos de continuidade e descontinuidade de funções. Através do estudo dos limites, é definida a continuidade de uma função real em um ponto, que é a base das propriedades e definições envolvendo continuidade. Na modelagem de diversos fenômenos é importante investigar a eistência de pontos de descontinuidade de uma função e também classificá-los.. Definição de continuidade Definição.. (Definição Usual). Uma função f() é contínua em = a (ponto de acumulação do domínio de f) se: a) lim f() eiste, ou seja, lim f() = lim f(); a a a + b) lim a f() = f(a). de f(). Caso contrário, f() é descontínua no ponto a pertencente ao domínio Observação... Não se discute continuidade de funções em pontos que não pertencem ao domínio da função. 4

5 .. DEFINIÇÃO DE CONTINUIDADE Definição..2 (Definição Formal). Diz-se que uma função f() é contínua em um ponto a se, dado um ɛ > 0, eiste δ > 0 tal que se 0 < a < δ, então f() f(a) < ɛ. Logo, para a função ser contínua em = a, lim a f() = f(a). Eemplo... Prove formalmente que a função f() = é contínua em =. Primeiramente, tem-se que f() = 8. Logo, deve-se mostrar que lim (5 + 3) = 8. Pela definição formal de continuidade, tome δ = ε 5 pois: f() f() = = 5 5 = 5 < ε < ε 5. Portanto, dado um ε > 0, eiste δ = ε 5 então f() f() < ε. > 0 tal que se 0 < < δ, Eemplo..2. Verifique se f() = 9 2 é contínua em = 4. Não se discute a continuidade de f() em = 4, pois este ponto não pertence ao domínio da função. Eemplo..3. Observe os gráficos das funções na Figura.. a) Determine em quais delas é possível discutir a continuidade em = 4. b) Nas funções em que é possível discutir a continuidade em = 4, determine quais são contínuas em = 4. a) Discute-se a continuidade em = 4 das funções f() e g(), pois = 4 pertence ao domínio dessas duas funções. b) As funções f() e g() não são contínuas em = 4, pois lim f() 4 f(4) e lim g() não eiste. Não se discute a continuidade das funções h() e i() 4 em = 4, pois este ponto não pertence ao domínio das mesmas , se > Eemplo..4. Verifique se a função f() = é contínua 2, se em =. 5 Notas de aula de Cálculo - FURG

6 .. DEFINIÇÃO DE CONTINUIDADE Figura.: Gráficos de f(), g(), h() e i(). 6 Notas de aula de Cálculo - FURG

7 .. DEFINIÇÃO DE CONTINUIDADE Primeiramente, tem-se que f() = 2 =. Para concluir se f() é contínua, devem-se calcular os limites laterais. Se o limite eistir e for igual a f() =, então f() será contínua em =. Como trata-se de uma função definida por partes, para calcular o limite é necessário calcular os limites laterais: lim f() = lim + + lim = lim + ( + 2)( ) f() = lim (2 ) =. = lim +( + 2) = 3, Portanto, como os limites laterais são distintos, tem-se que lim f() e consequentemente f() não é contínua em = , se > Eemplo..5. Verifique se a função f() = é contínua + 2, se em =. Primeiramente, tem-se que f() = 3. Para concluir se f() é contínua em =, devem-se calcular os limites laterais. Se o limite eistir e for igual a f() = 3, então f() será contínua em =. Como trata-se de uma função definida por partes, para calcular o limite é necessário calcular os limites laterais. O limite lateral à direita de = já foi calculado no eemplo..4 onde obteve-se lim f() = lim + + Para o limite lateral à esquerda, tem-se: lim f() = lim + 2 = 3. Portanto, como os limites laterais são iguais, tem-se que lim f() = 3. Além disso, f() = 3 e isto implica que a função é contínua em =. sen(2)tg(3), se > 0 2 Eercício Resolvido... Verifique se a função f() = 2, se = 0 é contínua em = 0. = 3. ln( + ), se < 0 7 Notas de aula de Cálculo - FURG

8 .. DEFINIÇÃO DE CONTINUIDADE Note que f(0) = 2. Para saber se f() é contínua em = 0, deve-se primeiramente calcular os limites laterais: sen(2)tg(3) lim f() = lim lim [ln( ) ln( + )] 0 = lim 0 2sen(2) = lim 3sen(3) [ ] ln( ) ln( + ) = lim 0 ln( )/ ln( + ) / = ln(e ) ln(e) = cos(3) = 6, = 2. Portanto, como os limites laterais são distintos, tem-se que lim 0 f() e como consequência f() não é contínua em = 0. Eercício... Para cada afirmação, assinale V, se ela for verdadeira, ou F, se ela for falsa. continuidade. Em ambos casos, justifique sua resposta utilizando a definição de a) ( ) f() = 2 3 é contínua em = 0; b) ( ) g() = é contínua em = 0; + 2, se 3 c) ( ) h() = é contínua em = 3;, se < 3, se 2 d) ( ) i() =, se < 2 é contínua em = 2. Eercício..2. Determine se as seguintes funções são contínuas em seu domínio. a) f() = b) g() = 2, se 2 3, se = c) h() = 2, se 2 4, se = 2. 8 Notas de aula de Cálculo - FURG

9 .2. PROPRIEDADES DAS FUNÇÕES CONTÍNUAS 2 2, se < Eercício..3. Seja f() = A + B, se [, ] , se > a) Determine os valores de A e B tais que f() seja uma função contínua em R. b) Uma vez calculados A e B, esboce o gráfico da função f().... a) V b) F c) F d) F. Respostas dos eercícios..2. a) Sim. b) Não é contínua em = 2. c) Sim...3. a) A = 8, B = 4..2 Propriedades das funções contínuas As funções contínuas satisfazem as propriedades:. Se k é uma constante e f e g são funções contínuas em = a, então f + g, f g, k f e f g são funções contínuas em = a. Se g(a) 0, então f g também é contínua em = a. 2. Os polinômios são contínuos em R. 3. Toda função racional é contínua em seu domínio. Nos pontos onde o denominador for igual a zero, não se discute a continuidade. 4. Uma função é contínua em um intervalo aberto se ela for contínua em todos os pontos do intervalo. Eemplo.2.. Mostre que se f e g são funções contínuas em = a, então f + g também é contínua em = a. Deseja-se mostrar que lim a [f() + g()] = f(a) + g(a). 9 Notas de aula de Cálculo - FURG

10 .3. CONTINUIDADE UNILATERAL Como f e g são contínuas em = a, então pela definição de continuidade tem-se que lim f() = f(a) e lim g() = g(a). Utilizando a propriedade do limite a a da soma: lim [f() + g()] = lim f() + lim g() = f(a) + g(a). a a a Assim, lim a [f() + g()] = f(a) + g(a), por isso pode-se afirmar que f() + g() é contínua em = a..3 Continuidade unilateral Definição.3. (Continuidade Unilateral). Uma função f() tem continuidade unilateral à direita de um ponto a se lim f() = f(a). Da mesma forma, uma a + função f() tem continuidade unilateral à esquerda de um ponto a se lim f() = a f(a). Eemplo.3.. Sendo f() = 9 2, verifique se f() tem continuidade unilateral: a) à direita de = 3; b) à esquerda de = 3; c) à direita de = 3; d) à esquerda de = 3. Primeiramente, tem-se que o domínio da função f() é o intervalo [ 3, 3]. Além disso, tem-se que f( 3) = 0 e f(3) = 0. a) À direita de = 3, tem-se lim 9 2 = 0. Portanto, como f( 3) = 3 + lim f() conclui-se que f() tem continuidade unilateral à direita de = b) À esquerda de = 3, tem-se lim 9 2 = 0. Portanto, como f(3) = lim f() 3 3 conclui-se que f() tem continuidade unilateral à esquerda de = 3. c) O limite à direita de = 3 da função f() não eiste. Portanto, a função não tem continuidade unilateral à direita de = 3. 0 Notas de aula de Cálculo - FURG

11 .4. CONTINUIDADE EM UM INTERVALO FECHADO d) O limite à esquerda de = 3 da função f() não eiste. Portanto, a função não tem continuidade unilateral à esquerda de = 3. sen(2)tg(3), se > 0 2 Eemplo.3.2. Verifique se a função f() = 2, se = 0 continuidade unilateral em = 0. ln( + ), se < 0 tem Note que f(0) = 2. Para saber se f() tem continuidade unilateral em = 0, deve-se primeiramente calcular os limites laterais: sen(2)tg(3) lim lim [ln( ) ln( + )] 0 = 2sen(2) = lim 3sen(3) cos(3) = 6 f(0), [ ] ln( ) lim ln( + ) 0 = lim 0 ln( )/ ln( + ) / = ln(e ) ln(e) = = 2 = f(0). Portanto, como o limite lateral à esquerda de = 0 é igual a f(0) tem-se que lim f() = f(0), isto é, f() tem continuidade unilateral à esquerda de = Continuidade em um intervalo fechado Definição.4. (Continuidade em um intervalo fechado). Uma função é dita contínua em um intervalo fechado [a, b] se as seguintes condições são satisfeitas: a) f() é contínua em (a, b); b) f() é contínua à direita em a, isto é, f(a) = lim a + f(); c) f() é contínua à esquerda em b, isto é, f(b) = lim f(). b 2 se 0 < Eemplo.4.. Considere a função f() =, se < 2. Determine 2, se = 2 o domínio da função f() e o intervalo onde ela é contínua. Notas de aula de Cálculo - FURG

12 .4. CONTINUIDADE EM UM INTERVALO FECHADO O domínio da função f() é o intervalo [0, 2]. Decorre das propriedades de limites e do fato de que a função polinomial 2 é contínua em seu domínio que f() é contínua em ]0, [ ], 2[. Deve-se verificar a continuidade de f() em cada um dos intervalos, isto é, com relação ao intervalo ]0, [: i) se f() tem continuidade unilateral à direita de = 0; ii) se f() tem continuidade unilateral à esquerda de =. De fato, com relação ao intervalo ]0, [, note que f(0) = e lim f() = 0 + lim 2 =. Portanto, f() tem continuidade unilateral à direita de = Este fato inclui = 0 no intervalo de pontos em que f() é contínua, isto é, f() é contínua em [0, [. Além disso, tem-se que f() = e lim f() = lim 2 = 0. Portanto, f() não tem continuidade unilateral à esquerda de =. Com relação ao intervalo ], 2[, deve-se verificar: ii) se f() tem continuidade unilateral à direita de = ; iii) se f() tem continuidade unilateral à esquerda de = 2. Como f() = e lim f() = lim =, f() tem continuidade unilateral à direita de =. Além disso, f(2) = 2 e lim f() = lim =. Portanto, f() não tem continuidade unilateral à esquerda em = 2. Portanto, a função f() é contínua nos intervalos [0, [ e [, 2[. Observe que não é correto escrever que f() é contínua em [0, 2[ pois f() não possui continuidade unilateral à esquerda de = e portanto não é contínua em =. Eercício.4.. Verifique se a função f() = 2 2 é contínua no intervalo [ 2, 2]. Eercício.4.2. Verifique se f() é contínua em [0, ], onde f() = 2, se 0 <. 2, se = Eercício.4.3. Mostre que a função f() = 2 é contínua no intervalo [, ]. 2 Notas de aula de Cálculo - FURG

13 .5. TIPOS DE DESCONTINUIDADE.4.. Sim Não, f() é contínua em [0, [. Respostas dos eercícios.5 Tipos de descontinuidade.5. Descontinuidade evitável ou removível ( a espécie) Definição.5. (Descontinuidade Evitável). Uma função apresenta descontinuidade evitável no ponto = a, se eiste o limite finito de f() quando tende a a e este é diferente de f(a), ou seja, lim a a f() = lim f() f(a). + Tal descontinuidade é dita evitável ou removível, uma vez que redefinindo o valor da função no ponto = a, de tal forma que lim f() = f(a), pode-se evitar a ou remover a descontinuidade nesse ponto , se 4 Eemplo.5.. Seja f() = 4. Verifique que = 4 é 5, se = 4 uma descontinuidade evitável de f(). Primeiramente, tem-se que = 4 D(f) e f(4) = 5. Além disso, lim f() = lim = lim 4 ( 4)( ) 4 = lim 4 ( ) = 3. Portanto, f() tem uma descontinuidade evitável em = Descontinuidade essencial (2 a espécie) Definição.5.2 (Descontinuidade Essencial). Uma função apresenta descontinuidade essencial no ponto = a se não eiste o limite (finito) de f() quando tende a a, ou seja, lim f() lim f(). a + a 3 Notas de aula de Cálculo - FURG

14 .5. TIPOS DE DESCONTINUIDADE Eemplo.5.2. Considere a função f() =, se > 0 e 2, se < 0 2, se = 0. Determine se f() é contínua em = 0. Caso contrário, classifique a descontinuidade e verifique a eistência de continuidade unilateral. A função f() é definida por partes, por isso para calcular lim 0 f() é necessário calcular os limites laterais. lim 0 + e lim 0 2 O limite lateral à direita de = 0 é = lim 0 + = lim 0 + ( ) ( + ) =. O limite lateral à esquerda é = lim e 0 2 = 2 ln(e) = 2. ( + ) ( + ) Como f(0) =, f() não é contínua em = 0. A descontinuidade é 2 do tipo essencial, pois lim f() não eiste. A função não apresenta continuidade 0 unilateral. 2, se < 0 2, se 0 < Eercício Resolvido.5.. Considere a função f() =, se = a) Determine o domínio de f(). b) Encontre e classifique os pontos de descontinuidade de f() , se < 2 0, se > 2. 4 Notas de aula de Cálculo - FURG

15 .5. TIPOS DE DESCONTINUIDADE c) Determine os intervalos em que a função é contínua. a) O domínio da função f() é o intervalo [, + [. Note que os candidatos a pontos de descontinuidade são =, 0, e 2. b) Primeiramente, deve-se verificar se f() é contínua em = 0. Note que f(0) = 0 e lim 0 0 f() = lim 2 = 0, + + lim f() = lim ) =. 0 0 (2 Como lim f() não eite, tem-se que f() não é contínua em = 0 0 e a descontinuidade é essencial. No entanto, como f(0) = lim f(), f() 0 + apresenta continuidade unilateral à direita de = 0. f() = e ainda Para concluir sobre a continuidade de f() em =, note que lim f() = lim + +( 2 + 4) = 2, lim f() = lim 2 = 2. Como lim f() = 2 f(), tem-se que f() é descontínua em = e a descontinuidade é evitável. No ponto = 2, tem-se que f(2) = 0 e ainda lim 2 lim f() = lim 0 = 0, f() = lim = 0. Como lim 2 f() = 0 = f(2), tem-se que f() é contínua em = 2. Note que lim ) = 0 = f( ). Logo f() apresenta continuidade unilateral à direita de = +(2. c) De acordo com os limites calculados no item b), tem-se que f() é contínua nos intervalos [, 0[, [0, [ e ], + [. Eercício.5.. Para cada uma das seguintes funções, analise-as quanto à continuidade e classifique os pontos de descontinuidade, caso eistam: 5 Notas de aula de Cálculo - FURG

16 .6. LISTA DE EXERCÍCIOS a) f() = e e b) g() = c) h() = 5 2 log( + 3) tg(), se 0 +, se = 0 d) i() = 3 sen(), se 0 e) j() =, se = f) l() = 3, se 3 3, se = a) Contínua em seu domínio.. Respostas do eercício b) Não é contínua em = 0; descontinuidade removível. c) Contínua em seu domínio. d) Contínua em seu domínio. e) Contínua em seu domínio. f) Não é contínua em = 3; descontinuidade removível..6 Lista de eercícios. Para cada afirmação, assinale V, se ela for verdadeira, ou F, se ela for falsa. a) ( ) Toda função polinomial é contínua em R. b) ( ) Se f() for contínua em a, então lim a f() = f(a). c) ( ) Para uma função f, se D(f) = R, então f é contínua em toda parte. d) ( ) Toda função racional possui descontinuidade onde o denominador é zero. 6 Notas de aula de Cálculo - FURG

17 .6. LISTA DE EXERCÍCIOS 2. Determine se as seguintes funções são contínuas em D(f): a) f() = b) g() = c) h() = 2 9 3, se 3 3, se = , se 3 6, se = Observando o gráfico de f() na Figura.2, determine se a função é contínua ou descontínua para cada um dos seguintes valores de : a) = d) = 3 b) = 4 e) = 4. c) = Figura.2: Gráfico de f(). y 2, se < 0 2, se 0 < < 4. Considere a função f() =, se = 2 + 4, se < < 2 0, se 2 < < 3 a) Eiste f( )? e) Eiste f()?, responda: b) Eiste lim f()? f) Eiste lim f()? + c) lim f() = f( )? g) lim f() = f()? + d) f() é contínua em =? h) f() é contínua em =? 7 Notas de aula de Cálculo - FURG

18 .6. LISTA DE EXERCÍCIOS 5. Para cada gráfico na Figura.3, determine se a função traçada é contínua no intervalo [, 3]. Se não for contínua, aponte onde ela deia de ser contínua e diga qual o tipo de descontinuidade em questão y y = f ( ) y y = h ( ) y 2 y y = g ( ) y = k ( ) Figura.3: Gráficos de f(), g(), h() e k(), eercício Determine um valor para a constante k, se possível, que torna a função k 2, se 2 f() = contínua. 2 + k, se > 2 7. Determine, se eistirem, os valores de para os quais cada uma das seguintes funções são descontínuas: 3, se < a) f() = 4, se = 2 +, se > +, se > b) g() =, se = +, se < 3, se 3 c) h() = 2, se = 3 d) i() = 5, se 5. 0, se = 5 8 Notas de aula de Cálculo - FURG

19 .6. LISTA DE EXERCÍCIOS 8. Considere a função f() = a) Calcule lim f() e lim f() , se > 0 ln ( ) , se < , se = 0 b) Analise a continuidade de f() em = 0. Justifique sua resposta. 9. Analise a continuidade da função: cos(2) (e + e), se > 0 2 g() = e, se = ( ), se < 0 e 3 0. A aceleração devido a gravidade G varia com a altitude em relação à superfície terrestre. G é uma função de r, a distância ao centro da Terra, e pode ser escrita como: G(r) = gmr R, 3 se r < R gm R, 2, se r R onde R é o raio da Terra, M a massa da Terra e g a aceleração da gravidade. Verifique se G é contínua.. Considere a função f() = +, se 0 c, se > 0. a) Eiste uma constante c para a qual a função é contínua em = 0? Justifique sua resposta. b) Se eistir uma constante c tal que f() seja contínua em = 0, esboce o gráfico de f().. 9 Notas de aula de Cálculo - FURG

20 .6. LISTA DE EXERCÍCIOS 2. Considere a função f() = +, se < c, se. a) Eiste uma constante c para a qual a função é contínua em =? Justifique sua resposta. b) Se eistir uma constante c tal que f() seja contínua em =, esboce o gráfico de f().. a) V b) V c) F d) F 2. a) Não. b) Não. c) Sim. Respostas dos eercícios 3. a) Sim. b) Sim. c) Não. d)não. e) Sim. 4. a) Sim. b) Sim. c) Sim. d) Sim (só eiste limite à direita). e) Sim. f) Sim. g) Não. h)não. 5. ) É contínua no seu domínio. 2) Não é contínua; descontinuidade evitável em = 2. 3) É contínua. 4) Não é contínua; descontinuidade essencial em = k = a) Descontínua em =. b) Descontínua em =. c) Descontínua em = 3. d) Descontínua em = 5. ( ) 3 8. a) ln, b) A função é descontínua em = 0 e apresenta continuidade unilateral à esquerda. 20 Notas de aula de Cálculo - FURG

21 .7. TEOREMAS RELATIVOS ÀS FUNÇÕES CONTÍNUAS 9. Não é contínua em = É contínua em = R.. Não eiste uma constante c. 2. Basta escolher c = 2..7 Teoremas relativos às funções contínuas Funções contínuas em intervalos apresentam propriedades que as tornam particularmente úteis em Matemática e suas aplicações. Nesta seção serão enunciados dois importantes resultados: o Teorema do Valor Intermediário e o Teorema de Weierstrass. Cabe salientar que as suas demonstrações estão fora do escopo deste teto..7. Teorema do Valor Intermediário Teorema.7.. Seja f uma função contínua em um intervalo fechado [a, b]. Então dado qualquer número d, entre f(a) e f(b), eiste pelo menos um número c entre a e b, tal que d = f(c). Geometricamente, este teorema afirma que qualquer reta horizontal y = d cruzando o eio y entre f(a) e f(b) cruza a curva y = f() pelo menos uma vez no intervalo [a, b]. Eemplo.7.. Mostre que eiste um número c que satisfaz 0 < c < tal que c 3 + c =. A função f() = 3 + é contínua em [0, 2], pois é uma função polinomial. Pelo Teorema do Valor Intermediário, tem-se que para d =, eiste c tal que f(c) =, isto é, c 3 + c =. Eemplo.7.2. Justifique por que o Teorema do Valor Intermediário não pode ser aplicado para a função 2 2, se < 2 f() = 3, se Notas de aula de Cálculo - FURG

22 .7. TEOREMAS RELATIVOS ÀS FUNÇÕES CONTÍNUAS Figura.4: Teorema do Valor Intermediário. A função f() está definida no intervalo [, 4], mas não é contínua em = 2. De fato, f(2) = 3, lim 3 = 3 e lim (2 2) = 2. Como f() não é contínua em = 2, certamente não é contínua em [, 4]. Precisamente, como f() tem continuidade unilateral a direita de = 2, tem-se que f() é contínua nos intervalos [, 2[ e [2, 4]. Portanto, somente restringindo a função ao intervalo [2, 4] é possível aplicar o Teorema do Valor Intermediário. Observação.7.. O Teorema do Valor Intermediário é útil para determinar as raízes de funções contínuas. Se f é uma função contínua em [a, b] e se f(a) e f(b) possuem sinais opostos então eiste uma raiz de f no intervalo (a, b)..7.2 Teorema de Weierstrass Teorema.7.2. Seja f uma função contínua em um intervalo fechado [a, b], então eistem e 2 pertencentes ao intervalo [a, b] tais que f( ) f() f( 2 ) para todo [a, b]. 22 Notas de aula de Cálculo - FURG

23 .7. TEOREMAS RELATIVOS ÀS FUNÇÕES CONTÍNUAS Geometricamente este teorema afirma que toda função contínua definida em um intervalo fechado assume pelo menos um valor mínimo e um valor máimo. Eemplo.7.3. Mostre que a função f() = ln() + sen() + e +2 possui um máimo e um mínimo no intervalo [2, 0]. A função f() é uma soma de funções contínuas no intervalo [2, 0], e portanto, é contínua no intervalo [2, 0]. Pelo Teorema de Weierstrass, f() possui um máimo e um mínimo neste intervalo. Eemplo.7.4. Considere a função f() = 2. Mostre que a função f possui máimo e mínimo nos intervalos: a) [, ]; b) [0, ]; c) Determine esses pontos. a) A função f() é contínua em [, ], pois está definida em todos os pontos do intervalo e f( ) = = lim 2 e f() = = lim 2. Pelo Teorema de + Weierstrass, f() possui um máimo e um mínimo neste intervalo. b) A função f() é contínua em [0, ], pois está definida em todos os pontos do intervalo, f(0) = 0 = lim 2 e f() = = lim 2. Pelo Teorema de Weierstrass, 0 + f() possui um máimo e um mínimo neste intervalo. c) Analisando o gráfico de f(), tem-se que o valor mínimo é assumido em f(0) e os valores máimos em f( ) e f(). Veja a Figura Notas de aula de Cálculo - FURG

24 .7. TEOREMAS RELATIVOS ÀS FUNÇÕES CONTÍNUAS Figura.5: Gráfico de f() = 2 24 Notas de aula de Cálculo - FURG