Exercícios de Cálculo Diferencial e Integral I, Amélia Bastos, António Bravo, Paulo Lopes 2011

Transcrição

1 Eercícios de Cálculo Diferencial e Integral I, Amélia Bastos, António Bravo, Paulo Lopes

2 Introdução Neste teto apresentam-se os enunciados de conjuntos de eercícios para as aulas de problemas do curso de Cálculo Diferencial e Integral I do Mestrado em Engenharia Aeroespacial e do Mestrado em Engenharia Mrcância. Complementam-se esses enunciados com conjuntos de eercícios resolvidos versando a matéria associada a cada um dos referidos conjuntos de eercícios.

3 a Ficha de problemas Princípio de indução matemática. O aioma do supremo e suas consequências. Usando o princípio de indução matemática, demonstre as seguintes afirmações: a) 5 n é divisivel por 8, qualquer que seja n N b) n < n, n N c) d) n (k ) = n, n N k= n(n + ) = n n +, n N. Mostre que o conjunto { R : + + < 5} é limitado. 3. Considere os seguintes conjuntos: A = { R : + > } B = { R : } C = R\Q (a) Mostre que A =], [ e B = [, ] {}. Verifique se os conjuntos A, B, C, A B C, são majorados ou minorados e caso sejam, indique em R o conjunto dos majorantes e dos minorantes dos mesmos. (b) Caso eistam, determine em R o supremo, infimo, máimo e minimo de cada um dos conjuntos A, B, C, A B C. 4. Mostre que, se X e Y são subconjuntos de R, tais que, sup X > inf Y, eistem X e y Y, tais que, y < 3

4 Eercícios resolvidos Recorrendo ao método de indução matemática, mostre que, para todo o n N, o natural n 3 + n é divisível por 3. Resolução. Pretende-se provar que n 3 + n = 3k para algum k Z, qualquer que seja n N. Para base da indução tem-se, com n =, 3 +. = 3 k = Z logo a base da indução é uma proposição verdadeira. Para o passo indutivo, n 3 + n = 3k (n + ) 3 + (n + ) = 3k (k, k Z), tem-se (n+) 3 +(n+) = (n 3 +n)+(3n +3n+3) = 3(k+n +n+) k = k+n +n+ Z Logo o passo indutivo é verdadeiro e proposição é verdadeira para todo o n N. 4

5 a Ficha de problemas Sucessões de números reais. Considere a sucessão n = 3 n+ = 3 ( n + ) a) Recorrendo ao princípio de indução matemática, verifique que < n <, n N. b) Mostre que a sucessão é decrescente. c) A sucessão n é convergente em R? Justifique.. Seja u n o termo geral de uma sucessão tal que, para qualquer n N, u n > e u n+ u n < a) Justifique que a sucessão u n é convergente. Mostre ainda, recorrendo à definição de limite, que o limite de u n não pode ser um número negativo. b) Indique o supremo e o ínfimo do conjuntos dos termos da sucessão e conclua se este conjunto tem máimo ou mínimo? Justifique abreviadamente as respostas. 3. Determine, se eistirem, os limites das sucessões que têm por termo de ordem n: a) n n 4 + 3, b) n + n+, c) n + n n 3 + (n + ) 5, d)( + n n ), e) ( 4 ) n 9 n. 3 ( 4 ) n + 9 n 4. Considere as sucessões n e y n, tais que n é uma sucessão monótona, y n é uma sucessão limitada n y n < n n N. a) Mostre que a sucessão n é limitada. b) Mostre que as sucessões n e y n são convergentes e que lim n = lim y n = a R n + n + 5

6 3 a Ficha de problemas Sucessões de números reais. Determine, se eistirem em R, os limites das sucessões que têm por termo de ordem n: a) nn 3 n n!, b)3n n, c) n8 + n! n n + 5n!, d) n (n + )! n!. Analise as sucessões u n, v n e w n do ponto de vista da convergência e determine, caso eistam, os seus sublimites a)u n = cos(n!π), b)v n = n cos(nπ) n +, c)w n = sen( nπ ) + cos(nπ ) 3. a) Mostre que se u n converge para a R e u n+ converge para b R, então a e b são os únicos sublimites de u n. b) Mostre que se u n, u n+, u 3n são convergentes então u n é convergente. 4. Considere a sucessão de termos positivos, n, definida por = 3 n+ = 3( + n) n + 3 a) Mostre que n+ n+ = 6 n+ n ( n + 3)( n+ + 3). b) Mostre que a sucessão n é contrativa ou seja que eiste < c < tal que n+ n+ c n+ n c) Sendo n convergente, determine o valor de lim n. 6

7 Eercícios resolvidos Considere a sucessão majorada u n, definida por u =, u n+ = 3u n + n N i) Mostre por indução matemática que a sucessão u n é estritamente crescente. ii) A sucessão u n é convergente? Justifique. iii) Determine o limite da sucessão v n = 3n+ + 3 n n+, n N. Resolução. i) Pretende-se provar que u n+ u n > qualquer que seja n N. Para n =, u u = 3 + >. A base da indução é, portanto, verdadeira. Para m N mostre-se que se u m+ u m > então u m+ u m+ >. Da definição da sucessão, tem-se u m+ u m+ = 3u m+ + 3u m + = Pelo princípio de indução matemática u n+ u n >, u n é estritamente crescente. (da hipótese de indução) > {}}{ u m+ u m 3um u m + >, isto é, a sucessão n N ii) Da alínea anterior, como u n é estritamente crescente é limitada inferiormente, sendo o seu primeiro termo, u, um dos minorantes do conjunto dos seus termos. Sendo u n também majorada conclui-se que a sucessão u n é uma sucessão limitada. A sucessão u n é assim convergente pois é uma sucessão monótona e limitada. iii) v n = 3n+ + 3 n = 3 9 n n n n Dividindo ambos os membros da fracção pela eponencial dominante (de maior base), 9 n, vem n n = 8 7 7

8 Considere a sucessão u n = ( ) n sen(nπ/) n, n N i) Indique, caso eistam em R, o supremo, ínfimo, máimo e mínimo do conjunto dos termos da sucessão u n. ii) A sucessão é convergente? Justifique. iii) A subsucessão u 3n é convergente? Justifique e em caso afirmativo determine o sublimite. Resolução. i) Tem-se u 4n = u 4n+ = u n =, u 4n+ = 4n + e u 4n+3 = 4n + 3 Como as subsucessões indicadas contêm todos os termos da sucessão u n, u 4n+ é crescente e u 4n+3 é decrescente resulta que, qualquer que seja n N, Então, sendo U = {u n : n N}, u = u n /3 = u 3 sup U = ma U = /3 e inf U = min U = ii) Como u n é o produto de uma sucessão limitada, a n = ( ) n sen(nπ/), por um infinitésimo, b n = /n, u n logo trata-se de uma sucessão convergente. iii) Dado que, pela alínea anterior, u n é uma sucessão convergente, qualquer subsucessão de u n é convergente para o limite de u n. Logo u 3n é convergente e o seu limite é. Considere a sucessão convergente v n = n + y n, n N em que e n = n+5 3 n (n + )! 3 n+ + + n n n! + y n+ = ) (y n + 5yn, y = Determine o limite da sucessão v n 8

9 Resolução. Tem-se e n+5 3 n 3 n+ + = n+5 (3/4) n n 3(3/4) n + (n + 3)! (n + )! + (n + )! n! + = 3 + = (n + 3)! n! + (n + )! (n + )! + = + 3n + n + n! + (n+)! + + (n + )! + + = n n! + Logo n + =. Então, como y n = v n n, y n é uma sucessão convergente. Sendo a R o seu limite, y n+ a pois é uma subsucessão de y n. Aplicando limites a ambos os termos da igualdade que define, por recorrência, y n, tem-se, visto que todas as sucessões envolvidas são convergentes, a = ( a + 5 ) a = 5 a = ± 5 a Como y > e y n > y n+ >, y n é, por indução, uma sucessão de termos positivos. Assim, o seu limite não pode ser negativo e a = 5. Conclui-se, assim, que v n + 5 9

10 4 a Ficha de problemas Funções reais de variável real. Continuidade e limites.. Considere a função f :], [ R a) Calcule f() = + lim f() e lim f() b) Mostre que f é estritamente crescente e indique, justificando, se é majorada ou mínorada e se tem máimo ou mínimo em ], [. c) Se n for uma sucessão com termos em ], [, convergente para, qual será o limite de f( n )? Justifique. d) Dê um eemplo de uma sucessão y n, de termos em ], [, tal que a sucessão f(y n ) não seja limitada.. Mostre, usando a definição de limite, que lim ( sen( )) = 3. Seja a função f : R R, contínua no ponto, a sen( π ) se f() = arcsen() se < < a) Determine a. se. b) Determine f( 4 arccos( 4 5π )) e f(cos( )). π 5 c) Estude a função f do ponto de vista da continuidade, em cada ponto R. Indique o contradomínio da função f. Indique ainda se a função tem no domínio máimo, mínimo, supremo ou ínfimo e, no caso de eistência, indique o valor. d) Diga se eistem e, no caso de eistência, calcule os limites lim f() e lim f() + 4. Sendo g : [, ] R, uma função contínua, justifique que:

11 a) Não eiste qualquer sucessão n de termos em [, ] tal que qualquer que seja n N, g( n ) = n. b) Se eiste uma sucessão n de termos em [, ] tal que qualquer que seja n N, g( n ) =, então eiste c [, ] tal que g(c) =. n 5. Seja f : [, ] [ π, π ], uma função contínua, verificando a condição 4 4 f( ) = f() = π. 4 a) A equação f() = tem solução em [, ]? Justifique. b) Determine, justificando, o limite da sucessão v n = tg(f(u n )), em que u n = n n.

12 5 a Ficha de problemas Funções reais. Diferenciabilidade.. Defina a derivada das seguintes funções, definidas em R: a) f() = + 3, b) g() = 3 +, c) h() = sen( ).. Determine, conhecendo as derivadas das funções tangente e seno, as derivadas das funções: a) h () = arctg, R b) h () = arcsen, [, ] 3. Determine a derivada para cada uma das seguintes funções: a) e arctg, R b) (ln ), ], + [ c), R + 4. Seja a função f : R R f() = se < arctg() se a) Sendo a < e b >, calcule f (a) e f (b) e escreva equações das tangentes ao gráfico de f nos pontos de abcissa a e b. b) Justifique que f () =. c) Utilize os resultados de a) e b) para justificar que f não tem etremos locais. 5. Considere a função f definida em R, contínua no ponto e tal que f() =, + e Determine as derivadas laterais de f no ponto. 6. Seja a função definida por y = ch. Indique para a função referida o domínio, o domínio de diferenciabilidade e a função derivada. Determine as derivadas laterais em. 7. Determine o domínio, o domínio de diferenciabilidade e a função derivada das funções: e + a) ln ( sh ); b) arcsen(arctg ); c) ; d) ln(arcsen( + )) 8. Sejam a, b reais e f uma função contínua em [a, b] duas vezes diferenciável em ]a, b[. Suponha que o gráfico de f e o segmento de recta de etremos (a, f(a)) e (b, f(b)) se intersectam um ponto (, f( )) com pertencente a ]a, b[. Mostre que eiste c pertencente a ]a, b[ tal que f (c) =.

13 6 a Ficha de problemas Funções reais. Diferenciabilidade. Determine os seguintes limites: a) lim 5 b) lim + sen ( ) sen e + c) lim d) lim +. Calcule a) lim + (ln ) b) lim + (sen )sen c) lim + ln e ln d) lim (ch ) coth 3. Seja f : [, ] R tal que f() = arctg( ) + a) Determine o polinómio de Taylor de o grau em potências de. b) Determine um majorante para o erro que se comete em [ /, /] ao aproimar f pelo polinómio indicado em a). 4. Prove que se g : R R é três vezes diferenciável e se g () >, R, então g não pode ter mais do que dois pontos de etremo local. Admitindo agora que g tem de facto etremos locais em α e β, com α < β, indique se g(α) e g(β) são máimos ou mínimos da função. Justifique. Escreva a fórmula de Taylor para g e com resto de Lagrange de segunda ordem e aproveite-a para mostrar que g() > g(β) para > β. 5. Seja f : R R, f() = e a) Estude a função f do ponto de vista da continuidade e da diferenciabilidade. Em cada ponto em que f não seja diferenciável, calcule as derivadas laterais. b) Complete o estudo da função f, considerando em particular os aspectos seguintes: crescimento, etremos, concavidade, infleões e assíntotas. Esboce o gráfico da função f. 3

14 Eercícios resolvidos Seja f : R R a função definida por { α arctg se f() = e se < i) Determine para que valores de α R a função é contínua no ponto. ii) Sendo α = 4, determine a função derivada de f. π iii) Verifique que f é uma função crescente. Determine, justificando, o seu contradomínio. Resolução. i) Como f está definida à esquerda e à direita do ponto por epressões diferentes, f é contínua nesse ponto sse eistirem e forem iguais os limites laterais f( ) e f( + ). Tem-se f( + ) = lim + α arctg = α arctg = απ 4 f( ) = lim e = e = Logo f é contínua em sse α π 4 = isto é sse α = 4 π. ii) Comece-se por notar que f é diferenciável em todos os pontos pois coincide numa vizinhança de qualquer desses pontos com o produto ou a composta de funções diferenciáveis em todo o seu domínio (neste caso a eponencial, o arco-tangente e funções polinomiais). Assim sendo, podem aplicar-se as regras de derivaáão e obtém-se (sempre para e α = 4 π ): 4 () f se > () = π + ( ) e se < 4 se > = π + e se < Falta verificar se eiste derivada em. Como, novamente, a função é definida por epressões diferentes à esquerda e à direita do ponto, f é diferenciável em 4

15 sse f e() = f d (). Tem-se (note-se que f() = ) f e() f() f() = lim f d f() f() () = lim + e = lim = 4 = lim arctg π + = lim y π y π tg y = 4 π lim y π + 4 = 4 4 π = π (tg y) y= cos π ( π) = π 4 4 em que o primeiro limite é um limite notável e no segundo limite se fez a mudança de variável y = arctg e se reconheceu o inverso do limite que dá a derivada da função tg y no ponto π. Então f não é diferenciável no ponto e 4 a derivada de f é definida por f : R \ {} R 4 se > f () = π + e se < iii) Como 4 > para todo o R, f é positiva em ], + [ e, como f π + é contínua em, f é crescente em [, + [. Por outro lado, como e > para todo o R, f é positiva em ], [ e, como f é contínua em, f é crescente em ], ]. Então, f é crescente em R. Assim sendo, tendo em conta que as desigualdades anteriores são estritas e, portanto f é estritamente crescente, f(r) =]f[ ), f[+ )[. Tem-se, ainda, 4 f(+ ) = lim + arctg = 4 π = π π f( ) = lim e = e, portanto, o contradomínio de f é f(r) =], [. Sendo f : R \ {} R a função definida por: ( ) f() = arctg y π 4 tg y = i) Escreva o polinómio de Taylor de o grau em potências de + associado à funáão f. ii) Determine Resolução. 3 f()d 5

16 i) Dado que é a composta de um arctg com uma função racional, a função f é pelo menos vezes diferenciável numa vizinhança do ponto. O polinómio de Taylor de o grau, p (), em potências de + associado à função f, define-se a partir do teorema de Taylor por: com P () = f( ) + f ( )( + ) + f ( ) ( + )! ( f ( ) = arctg ) = = ( f ( ) = + i.e. P () = π 4 (+) (+) 4. f( ) = π 4, ( + ) = ) ( ) = + = ( ) = = ( + ) = =, ii) Usando o método de integração por partes e fazendo u = e v = arctg vem u =, v = e + 3 f()d = [ arctg ] d = ( 3 arctg arctg ) d = ( π = 3 6 π ) [ ] ln( + 3 ) + = 4 ( π = 3 6 π ) + 4 (ln 4 ln ) = π ( ) ln 6

17 Considere a função definida em R pela epressão ( ) ln se F () = arctg se > i) Determine o domínio de diferenciabilidade de F e calcule F. ii) Determine os intervalos de monotonia, os etremos e o contradomínio da função F. iii) Considere a sucessão w n = + n. Determine o limite da sucessão F (w n ). iv) A função F restrita a ], + [ é invertível? Justifique e, em caso afirmativo, determine a derivada da função inversa em F (). v) Justifique que eiste c ], 3[ tal que F (c) = π/4. Resolução. i) F é diferenciável em R R + pois coincide numa vizinhança de qualquer desses pontos com a composta e o produto de funções diferenciáveis nos pontos correspondentes (neste caso, funções racionais cujos denominadores não se anulam, função logaritmo, função módulo cujo argumento não se anula, função arco-tangente e função raíz quadrada cujo argumento não se anula). a Resolução Para saber se F é diferenciável na origem calculam-se as derivadas laterais usando a definição: F e() = lim F () F () usando o limite notável lim ln(+) F d() = lim + F () F () = lim ( ) ln arctg = lim + = e π ) = lim ( )ln( y π/ lim y π/ cotg y = fazendo a mudança de variável y = arctg e reconhecendo o limite assim obtido como o inverso do limite que define a derivada da função cotg y no ponto y = π/. Como F tem uma derivada lateral infinita na origem não é diferenciável na origem e o seu domínio de diferenciabilidade é R \ {}, sendo = ( ). = cotg y sen y = y=π/ 7

18 a sua derivada definida, nesse conjunto, através das regras de derivação: ln( ) + se < ln( ) + se < F () = = se > 3/ + ( / ) se > / ( + ) a Resolução Em R \ {} podem-se usar as regras de derivação, obtendo: ln( ) + se < ln( ) + se < F () = = se > 3/ + ( / ) se > / ( + ) Como F ( ) = lim ( ) ln = = F () e F ( + ) = lim + arctg π e = π/ π/ =, F é contínua na origem. Tem-se, ainda F ( + ) = lim + / ( + ) = F ( ) = lim ln( ) + = Assim, pelo Teorema de Lagrange, como F é contínua em [ ɛ, ɛ] e diferenciável em ] ɛ, ɛ[, para algum ɛ >, e eistem os limites laterais F ( + ) e F ( ), tem-se que F d () = F ( + ) = e F e() = F ( ) = logo F não é diferenciável na origem. Então o domínio de diferenciabilidade é R \ {} e F está definida, nesse conjunto, pela epressão obtida pelas regras de derivação. ii) Pela alínea anterior, F () < para R + e F () > para R. Logo, dado que F é contínua na origem, F é estritamente decrescente em [, + [ e estritamente crescente em ], ] e tem um máimo na origem com F () = que é o único etremo da função. Como F (+ ) = lim arctg + π = π = π e F ( ) = lim ( ) ln = (+ ) = tem-se que, pelo estudo da monotonia apresentado, o contradomínio de F é F (R) = F (R ) F (R + ) =], ] ] π, [=], ]. iii) Como w n = + n + = e F é contínua em, visto que é diferenciável nesse ponto (alínea (i)), o limite da sucessão F (w n ) é lim F (w n ) = F () = arctg() π = π 4 π = π 4 8

19 iv) Pela alínea (ii), F é estritamente decrescente em ], + [ logo é injectiva nesse intervalo e, portanto, F restrita a esse intervalo é invertível. Pelo teorema da derivada da função inversa tem-se, sendo G a inversa dessa restrição, G (F ()) = F (G(F ())) = F () = 4 = 4 v) Pela alínea (i), F é contínua em [, 3] e diferenciável em ], 3[ pois é diferenciável em R +. Então pelo teorema de Lagrange eiste um c ], 3[ tal que F F (3) F () arctg arctg 3 π/6 π/4 (c) = = = = π 3 4 Seja f : R R uma função diferenciável em R. Suponha que f é par e que eiste, emr, o limite lim + f() = L. i) Mostre que f é limitada em R. ii) Supondo adicionalmente que a função satisfaz Resolução. f(n + ) = f(n) n, n N mostre que, necessariamente, se tem que verificar L =. i) Como f é diferenciável em R é contínua em R e, portanto, limitada em qualquer intervalo limitado. Por outro lado, como f(+ ) = L, qualquer que seja δ > eiste ɛ > tal que f() ]L δ, L + δ[ para >. Por simetria, visto ɛ que f é par, f() ]L δ, L + δ[ para <. Então f é limitada em R. ɛ ii) Como eiste f(+ ) = L, pela definição de limite segundo Heine, eistem e têm o mesmo valor os limites das sucessões f(n + ) e f(n). Aplicando limites a ambos os membros da igualdade, visto que tratarem de sucessões convergentes e n, tem-se lim f(n + ) = lim f(n) n L = 9

20 7 a Ficha de problemas Primitivação. Determine uma primitiva de cada uma das seguintes funções, indicando os domínios correspondentes: a), b), c) 4, d) m) e), f) cos 3 sen, g) 4 + sen, h) ( ) i) cotg, j) tg 5, k) + + (arctg )4 + v), n) + r) e 4, s) 4 +, l) sen cos, o) 4 3 +, q) , t) e + e, ) e cos sen, y) ln, u) + e 4 + e, z) 4,. Determine a função f que verifica as seguintes condições: f : R\{} R, f () = ( ), f() =, lim + f () =, f(e + ) = e f () = 3. Usando o método de primitivação por partes, determine uma primitiva de cada uma das seguintes funções, indicando os domínios correspondentes: a) cos, b) ln, c) arctg, d) 3 ch e) arcsen, f) cos sen, g) ( + ) i) ln, j) e, k), h) cos(ln ) ln, l) arctg

21 8 a Ficha de problemas Integral de Riemann. Calcule os seguintes integrais: π 6 a) π 36 cos( ) e e d, b) ln(ln ) e ln π d, c) 4 π 6 cotg( )d,. Calcule os seguintes integrais: a) e d, b) arctg()d, c) e ln ()d, 3. Calcule os seguintes integrais: a) 4 d, b) + d, c) 3 + d, d) 3 ( + ) d, 4. Justifique a diferenciabilidade de cada uma das seguintes funções e calcule as respectivas derivadas. a) e 4t dt, b) cos e t + dt, c) ln( + t ) dt 5. Considere a função ϕ : ], + [ R, definida por a) Calcule ϕ(). ϕ() = t ( + t ) ln(t)dt. b) Justifique que ϕ é diferenciável em R + e calcule ϕ (), para >. c) Estude ϕ quanto à monotonia e verifique que eiste um e um só ponto c > tal que ϕ(c) =.

22 a Ficha de problemas Integral de Riemann e aplicações. Calcule os seguintes integrais: a) d, b) 8 + ( + ) 3 e ln d, c) e (ln + 3 ln + ) d,. Calcule os seguintes integrais: a) 4 d, b) + 4 d, c) π sen + cos + d, 3. Determine as áreas das regiões planas de R limitadas pelas curvas i) y = ln, y =, y =. ii) y = π /4, y = cos. 4. Determine a área dos subconjuntos de R i) {(, y) R : π/ y cos }. ii) {(, y) R : y [( + 3) + ] }.

23 Eercícios resolvidos Determine o valor dos integrais i) ii) iii) iv) Resolução. e / e ln d 4 d ( ln + ) d arctg d i) Dado que (ln ) =, a função integranda é imediatamente primitivável e, usando a fórmula de Barrow, tem-se e ln d = e (ln ) d = [ ln 3 3 ] e = ln3 e 3 ln3 3 = 3. ii) Através da fórmula de Barrow tem-se / d = / 4 [ arcsen( ( ) d = ) ] / = π iii) Usando o método da integração por partes e fazendo u = e v = ln ( + vem u =, v = = e (+) e + ( ln + ) [ ( d = ln + )] e e = e ln e + e ln + e 3 + d ( + ) d = )

24 Efectuando a divisão inteira entre os polinómios da última fracção vem logo + e ln = e ( + ) d = e e ln(e + ) ln + = e e ln(e + ) ln [ + ln(e + ) e ln + = [ e ln(e + ) e ] e ln + ] ( (e ) ln(e + ) e + e ). + d [ ln ] = + iv) Usando o método de integração por partes e fazendo u = e v = arctg vem u =, v = + e = π 4 arctg d = [ arctg ] + d + + d + + d = π 4 + [ + arctg ] = π 4 + ( + arctg ) (arctg ) = π. Determine a área da região limitada pelas linhas, definidas por: Resolução. y = 4 3, y + = Para >, + = + e 4 3 = ( + ) =, logo as linhas intersetam-se em (, ). Sendo a região acima representada simétrica relativamente a =, a sua área é obtida por: 4

25 ( 4 3 ) [( + ) ] d = 5 + d = Determine o valor dos integrais: (i) ] = [ = d (ii) d Resolução. (i) Determine-se uma primitiva, usando o método de primitivação por partes e a primitivação por decomposição 3 + d = 3 ( + ) 3 3 ( + ) 3 d = 3 ( + ) 3 5 ( + ) 5 pela fórmula de Barrow tem-se 3 + d = [ + ] + 3 = 3 (ii) A função integranda é uma função racional que se decompõe em fracções simples d = ( + )( + ) d = A = A[ln( + )] + B[ln( + )]. + d+b ( + ) d = A determinação das constantes A, B é feita pelo método dos coeficientes indeterminados já que = (A + B) + (A + B) Tem-se A =, B = 3 concluindo-se que: d = ln(5 ( + )( + ) 4 ). 5

26 Determine a área da região plana D R limitada pelas curvas y = sh, y = e = e e Resolução. As linhas y =, y = sh intersetam-se em (, ). Sendo a área da região obtida por: e e sh d = [ch ] sh = ch(sh ). Seja φ : [, + [ R a função definida por φ() = ln i) Defina, se eistirem, as funções φ e φ. e t dt. ii) Determine Resolução. lim ( cos )/ ln φ() + lim + e e i) A função F () := et dt é um integral indefinido de uma função contínua em R e portanto diferenciável em R, pelo Teorema Fundamental do Cálculo. Como φ() = ln e t dt = F (ln ) é resulta da composição e produto de funções diferenciáveis em [, + [ será também diferenciável em [, + [. A sua derivada é dada por: φ () = (ln ) e (ln ) + ln e t dt = e (ln ) + ln e t dt, 6

27 pela regra da derivada do produto e pelo Teorema Fundamental do Cálculo. Por sua vez, φ é a soma de duas funções diferenciáveis em [, + [ e portanto diferenciável em [, + [ tendo-se: φ () = ln e(ln ) + e(ln ) ) = e(ln ( ln + ). ii) lim ( cos )/ ln = + (indeterminação) lim ( cos )/ ln = e lim + ln ( cos ) ln ( cos ) ln e lim + + ln (ln ( cos )) lim + (ln ) = lim + = lim + ( + cos ) sen cos = (ind.) sen = lim + cos = lim (+cos ) + sen cos = lim + Tem-se, finalmente, que lim + ( cos ) / ln = e. Da regra de Cauchy lim e lim e φ() e = φ() e = lim e e cos(t ) dt ( + cos ) sen =. = (ind.) φ () = lim ( e) e (ln ) + = e ln e t dt φ() Assim lim e e + lim + / = cos +. i) Determine, utilizando a mudança de variável = t, o integral π /4 ii) Indique uma solução da equação Resolução. (h()) = sen( ) d. h(t) dt + π /4 sen( ) d. sen =. em que h : [, ] R é uma função diferenciável que não se anula em ], [. 7

28 i) Aplicando o método de integração por substituição, = t = ϕ(t) = t π /4 integrando por partes, ( = sen( ) d = [ t. cos t] π/ π/ π/ cos t dt sen t.t dt = ) = [sen t] π/ = ii) Tem-se h()h () = h() h() (h () ) = Como de h () =, deduz-se que h() = + C, ( + C) = donde C =. (t + C)dt + + C + C = [ t / + Ct ] + 8

29 a Ficha de problemas Séries numéricas. Estude a natureza das seguintes séries numéricas: a) n= (n + )(n + ), b) n= + cos(nπ), c) n= n + n3 +,. Estude a natureza das seguintes séries numéricas e determine o valor da soma de uma das séries: e n n a), b), c) arctg( e n 3 n n! n ), n= n= n= 3. Estude a natureza das seguintes séries numéricas e determine o valor da soma de uma das séries: (n ) n + a), b), c) n sen( 5 n n + n n ), n= n= n= 4. Sendo a n > e a n +, estude a natureza das seguintes séries numéricas: a) n= a n, b) + a n n= 3 n + a n 5. Sendo a n > e + n= a n convergente, mostre que a série é também convergente. n= a n n 9

30 a Ficha de problemas Séries numéricas e séries de potências. Considere a série n= n. Determine a sua soma. (n + )!. Estude a natureza de cada uma das séries seguintes. Verifique se a convergência é absoluta. ( + ) n3 + n 3 n= n= ( ) n n + n= n + n 4 e n + n 3 3. Determine o maior intervalo aberto onde são convergentes as séries i) n= ( ) n n + n, ii) n= ( 3) n 5 n (n + ) 4. Considere a série n= ( n) ( + ) n+, R a) Determine o intervalo de R, onde a convergência da série é absoluta b) Determine a soma da série quando =. 3

31 Eercícios resolvidos Analise a natureza das séries numéricas e em caso de convergência determine a soma de uma delas. i) n= 3 n + n + n ii) n= n 6 n+ iii) n= (n)! (n!). Resolução. i) As sucessões a n = 3 n+ n+n e b n = 3 n n = n 3 quando n +. Uma vez que a série lim 3 n+ n+n 3 n n = lim n= têm o mesmo comportamento 3 + n = R +, + n 3 n + n + n é uma série divergente pelo critério de comparação, já que a série + n= b n é uma série divergente, pois é uma série de Dirichlet, n=, com p. n p ii) A série n 6 = /6 + n+ n= n= ( 3 ) n é uma série geométrica de termos positivos convergente uma vez que tem razão, /3, de módulo inferior a um. O valor da sua soma é : /6 n= ( 3 ) n iii) Do critério de D Alembert, uma vez que lim a n+ (n + )! = lim a n ((n + )!). (n!) (n)! a série (n)! n= (n!) é divergente. = /6 /3 /3 = 3 = lim (n + )(n + ) (n + ) = lim ( + n )( + n ) ( + n ) = 4 >, 3

32 donde Determine a N, tal que n=a 3 n = 3. n Resolução. A série é uma série geométrica convergente de razão 3 4, n=a n n = 4 3 n=a ( ) a 3 = 3 4 resultando a =. (i) Analise a natureza das séries ( ) n 3 = 4 ( 3 a 4) ( ) a 3 = 4 ( ) 3 4 n= 3 + n n + n= cos(nπ) n+ e n (ii) Determine um número real que seja majorante do módulo da soma de uma das séries anteriores. Resolução. i) Considerem-se as sucessões a n = 3+ n n+ e b n = n n = lim a n b n = lim 3 n + + n n = R +,. Tem-se n= b n têm a mesma natu- com Do critério de comparação as séries n= a n e reza. Como a série n= b n é uma série de Dirichlet divergente, p = / <, a série A série n= n= 3 + n n + é também divergente. cos(nπ) n+ + e n = ( ) n e é uma série geométrica convergente de razão e <, sendo a série + cos(nπ) n+ n= e n consequentemente absolutamente convergente. n= n= n p 3

33 ii) n= cos(nπ) n+ + e n ( ) n = e e e n= (i) Determine o intervalo de R onde a série de potências: é absolutamente convergente. n= (ii) Indique a soma da série em =. Resolução. i) Tem-se para o raio de convergência r = lim a n a n+ = lim ( ) n ( ) n (n + )(n + ) (n+)(n+) (n+)(n+3) = lim n + 3 n + = Assim série converge absolutamente se < i.e < < 3. Para = 3, n= + (n + )(n + ) = ( n + ) n + n= é uma série de Mengoli convergente, pois a sucessão u n = n + é convergente. Para = ( ) n (n + )(n + ) n= é uma série absolutamente convergente. ii) Sendo uma série de Mengoli convergente a sua soma é /, uma vez que, considerando a sucessão das somas parciais S m, tem-se S m = m n= ( n + ) ( = / ) n + m + / m + 33

34 Seja + n= b n uma série de termos positivos divergente e s n = b b n a sua sucessão das somas parciais. Conclua, justificando, qual a natureza da série Sugestão: Mostre que b n s n Resolução. Tem-se s n s n s n s n = Como s n s n s n já que b n >. Assim b n s n b n s n= n b n s n s n s n s n e + n= ( ) é s n s n uma série de Mengoli convergente, pois tem-se v n =. Consequentemente s n pelo critério geral de comparação, conclui-se que a série dada é convergente. 34