Aula 3 Propriedades de limites. Limites laterais.

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1 Propriedades de ites. Limites laterais. MÓDULO - AULA 3 Aula 3 Propriedades de ites. Limites laterais. Objetivos Estudar propriedades elementares de ites, tais como: soma, produto, quociente e confronto. Compreender, a partir da discussão de eemplos concretos, a noção de ite lateral. Referências: Aulas e 2, e aula 34 de Pré-Cálculo. Iniciaremos esta aula estudando algumas propriedades básicas de ites que contribuirão para simplificar o cálculo dos mesmos, e a concluiremos introduzindo a noção de ite lateral. Dadas duas funções f, g : D R, podemos a elas associar uma nova função, f + g, definida por (f + g( f( + g( para todo D. Por eemplo, se f, g : R R são definidas por f( + 2 e g( 3, então (f + g( f( + g( para todo R. Proposição 3. Sejam f, g : D R e a R tal que todo intervalo aberto contendo a intercepte D {a}. Se então f( l e g( l 2, a a (f + g( l + l 2. a Demonstração: Seja ( n uma seqüência arbitrária de elementos de D tal que n a para todo n e n a. Como f( l, f( n l e, a como g( l 2, g( n l 2. Pela Proposição 2., obtemos: a (f + g( n (f( n + g( n f( n + g( n l + l 2. Portanto, pela definição de ite, a (f + g( l + l 2, como havíamos afirmado. Eemplo 3. Calculemos 2 ( 3 +. Para todo R, podemos escrever 3 + (f + g(, onde f( 3 e g(. Além disso, já sabemos que f( f( e g( g( CEDERJ

2 Propriedades de ites. Limites laterais. Portanto, pela Proposição 3., ( Dadas duas funções f, g : D R, podemos a elas associar uma nova função, fg, definida por (fg( f(g( para todo D. Por eemplo, se f, g : R R são definidas por f( 4 e g( sen, então (fg( 4 sen para todo R. Proposição 3.2 Sejam f, g : D R e a R tal que todo intervalo aberto contendo a intercepte D {a}. Se então f( l e g( l 2, a a (fg( l l 2. a Demonstração: Argumentaremos como na demonstração da Proposição 3.. De fato, seja ( n uma seqüência arbitrária de elementos de D tal que n a para todo n e n a. Como f( l, f( n l e, como a g( l 2, g( n l 2. Pela Proposição 2.2, obtemos: a (fg( n (f( n g( n ( f( n ( g( n l l 2. Portanto, pela definição de ite, a (fg( l l 2. Eemplo 3.2 Calculemos ( Para isto, consideremos o polinômio p( Já sabemos que Portanto, pela Proposição 3.2, p( p(0 3. ( (p( 2 ( p(( p( Você também poderia observar que ( é um polinômio, para daí concluir que ( CEDERJ 30

3 Propriedades de ites. Limites laterais. MÓDULO - AULA 3 Eemplo 3.3 Calculemos ( Como no eemplo anterior, você poderia notar que ( é um polinômio para obter o valor do ite. Ou então, lançar mão da Proposição 3.2 e do Eemplo 3.2. Senão vejamos: ( (p( 3 ((p( 2 p( ((p( 2 ( p( De modo geral, podemos afirmar que para todo inteiro k, (2 + 3 k 3 k. Suponhamos f( l e g( l 2, sendo f e g duas funções a a de D em R e a como na definição de ite. Aplicando as Proposições 3. e 3.2, é possível garantir que Este fato decorre da Proposição 3.2 e do príncipio de indução finita. cf( ( c ( f( cl a a a para todo c R (olhando c como a função constante e igual a c e (f( g( a (f( + ( g( a f( + ( g( l l 2. a a Temos ainda a seguinte Proposição 3.3 Sejam g : D R e a R tal que todo intervalo aberto contendo a intercepte D {a}, e suponhamos g( 0 para todo D. Se g( l 2 e l 2 0, a então ( (. a g l 2 Se g( l 2 0, é a possível verificar que g( 0 para D {a} próimo de a. Assim, faz sentido considerar a função definida para D {a} g próimo de a, e a conclusão da Proposição 3.3 permanece verdadeira. ( g No enunciado da Proposição 3.3, representa a função definida por g ( para todo D. g( Notemos que a condição de g nunca se anular em D não implica, em geral, que l 2 0. Por eemplo, a função g( 2, definida em R {0}, satisfaz g( > 0 para todo R {0}; entretanto, g( 0. A demonstração da Proposição 3.3 é análoga às das Proposições 3. e 3.2. Sugerimos que você a faça, lembrando que a Proposição 2.3 deverá ser utilizada. 3 CEDERJ

4 Propriedades de ites. Limites laterais. Dada uma função f : D R e sendo g como no enunciado da Proposição 3.3, representemos por f a função definida por ( f g g ( f( para g( todo D. Por eemplo, se f( sen e g( 4 +, então ( f g ( f( sen para todo R. g( 4 + Notando que f f e supondo f( l g g e g( l 2, com a a l 2 0, podemos aplicar as Proposições 3.2 e 3.3 para garantir que Eemplo 3.4 a Calculemos 3 ( ( f ( f. ( g a g ( f( ( ( ( a a g l l 2 l l 2. Para isto, consideremos os polinômios p( 3 7+ e q( 2 +, o segundo dos quais nunca se anula. Então ( p ( para todo R. 2 + q Como p( p( 3 3 ( 33 7( e segue que q( q( 3 3 ( , Eemplo 3.5 Calculemos 2 2. Para isto, escrevamos ( f 2 g (, onde f( e g( 2. Para todo R {, }, 2 ( ( + 0, isto é, g( 0. Além disso, 2 f( f(2 2 e 2 g( g( CEDERJ 32

5 Portanto, Propriedades de ites. Limites laterais A próima proposição, conhecida como propriedade do confronto, é muito útil para o cálculo de certos ites. Proposição 3.4 Sejam f, g, h : D R tais que f( g( h( para todo D e seja a R tal que todo intervalo aberto contendo a intercepte D {a}. Se MÓDULO - AULA 3 Na Proposição 3.4 basta supor f( g( h( para D próimo de a. então f( h( l, a a g( l. a Este resultado é bastante natural e intuitivo, e decorre do fato de que se (u n, (v n e (w n são três seqüências tais que u n v n w n para todo n e u n w n u, então v n u. Eemplo 3.6 ( Vejamos que cos 0. De fato, como cos para todo R, segue que cos ( cos ( para todo R {0}. Isto significa que ( cos para todo R {0}. Como ( 0, a Proposição 3.4 fornece ( cos 0. Consideremos agora o seguinte Eemplo 3.7 Seja f a função definida em R {0} por f( se < 0 e f( 2 + se > 0, cujo gráfico é esboçado na Figura CEDERJ

6 Propriedades de ites. Limites laterais n y n 0 n y n Figura 3. Você já deve ter percebido que f( não eiste, o que pode ser justificado da seguinte forma: as seqüências ( n e ( n convergem para zero, a seqüência ( f ( n ( n converge para zero e a seqüência ( f ( n ( n 2 + converge para. Por outro lado, se tomarmos qualquer seqüência ( n de números negativos tal que n 0, teremos f( n n 0; e, se tomarmos qualquer seqüência (y n de números positivos tal que y n 0, teremos f(y n (y 2 n +. Isto significa que, se se aproimar de zero apenas por valores menores do que zero, f( se aproimará de 0; e, se se aproimar de zero apenas por valores maiores do que zero, f( se aproimará de. Vamos a mais um eemplo, no qual ocorre um fenômeno parecido. Eemplo 3.8 Seja f( para todo R {0}. Para todo < 0, f( ; e, para todo > 0, f(. Assim, o gráfico de f é, na verdade, muito simples (ver a Figura 3.2. CEDERJ 34

7 Propriedades de ites. Limites laterais. MÓDULO - AULA 3 n 0 yn Figura 3.2 Como no Eemplo 3.7, f( não eiste (justifique esta afirmação detalhadamente. Por outro lado, dada uma seqüência ( n qualquer tal que n < 0 para todo n e n 0, tem-se f( n para todo n; logo, f( n. E, dada uma seqüência (y n qualquer tal que y n > 0 para todo n e y n 0, tem-se f(y n para todo n; logo, f(y n. Vimos, nos Eemplos 3.7 e 3.8, que apesar de f( não eistir, ocorre um fenômeno simpático se nos restringirmos eclusivamente a valores de menores do que zero ou a valores de maiores do que zero. Isto caracteriza o fato dos ites laterais à esquerda e à direita eistirem, para ambas as funções, quando tende a zero. No caso da função f do Eemplo 3.7, o ite lateral à esquerda em questão (denotado por f( é zero e o ite lateral à direita em questão (denotado por f( é. No + caso da função f do Eemplo 3.8, tem-se f( e No caso geral, usaremos as notações a f( e f(. + a + f( para representar, respectivamente, os ites laterais à esquerda e à direita de f em a. a Cabe mencionar que f( eiste se, e somente se, os ites laterais a f( e f( eistem e são iguais. a + Este fato poderia ser usado para garantir que, se f é a função do Eemplo 2.3, então f( 0. Com efeito, dada qualquer seqüência f( l lê-se: ite a de f( quando tende a a pela esquerda é igual a l. f( l lê-se: ite a + de f( quando tendo a a pela direita é igual a l. Para que f( faça a sentido, é preciso assegurar que eistam elementos do domínio de f, menores do que a, tão próimos de a quanto desejarmos, valendo observação análoga para f(. a + 35 CEDERJ

8 Propriedades de ites. Limites laterais. ( n tal que n < 0 para todo n e n (pois f( n 0 para todo n; logo uma seqüência (y n qualquer tal que y n 0, tem-se f( n 0 f( 0. Por outro lado, dada > 0 para todo n e y n 0, tem-se f(y n y n 0; logo, f( 0. Conseqüentemente, + f( 0. Finalmente, observemos que as propriedades sobre ites, vistas nesta aula, permanecem verdadeiras tanto para o ite lateral à esquerda quanto para o ite lateral à direita. Resumo Nesta aula você estudou certas propriedades elementares de ites, bem como a noção de ite lateral. Eercícios. Calcule os seguintes ites: (a (b ; ( ; (c ; (d. 2. Sejam k um inteiro positivo e a um número real. (a Mostre que a ( k a k 0. k a k (b Mostre que a a kak. (c Escrevendo k a k k a k partir de (b. a 3. Use a definição de ite para mostrar que cos ( a para a, obtenha (a a ( (a Use a definição de ite para mostrar que ( 2 sen 0 e 2 sen 0. CEDERJ 36

9 Propriedades de ites. Limites laterais. MÓDULO - AULA 3 (b Use a propriedade do confronto para mostrar que ( 2 sen 0 e 2 sen Defina f : R {0} R por f( 2 + se < 0 e f( se > 0. (a Esboce o gráfico de f. (b Calcule f( e f(. + (c Decida se f( eiste. 6. Defina g : R R por g( 2 + se < 0, g(0 0 e g( + se > 0. (a Esboce o gráfico de g. (b Calcule g( e g(. + (c Decida se g( eiste. Em caso afirmativo, g( g(0? 7. Sejam f e g as funções dos Eercícios 5 e 6. (a Forneça (f+g(, +(f+g(, (fg( e +(fg(. (b Decida se (f + g( e (fg( eistem. 8. Defina f : R {0} R por f( 2 ++2c se > 0 e f( c se < 0, onde c é um número real. Determine o valor de c para que f( eista. 9. (a Sejam f, g : D R e a R tal que todo intervalo aberto contendo a intercepte D {a}. Se a f( 0 e eiste M > 0 tal que g( M para todo D (ou apenas para D próimo de a, mostre que a (fg( 0. (b Obtenha o Eemplo 3.6 e o Eercício 4 a partir de (a. Auto-avaliação As propriedades discutidas nesta aula serão usadas freqüentemente durante o curso. Por esta razão, é importante que você tenha feito corretamente os eercícios propostos, pois eles visam a assimilação das referidas propriedades. Caso haja alguma dúvida nos eercícios, releia a aula com atenção e depois volte a eles. Caso ainda persista alguma dúvida, consulte os tutores. 37 CEDERJ

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11 Um ite fundamental. MÓDULO - AULA 4 Aula 4 Um ite fundamental. Objetivos fato. sen Compreender porque, e ver algumas conseqüências deste Referências: Aula 3, e aula 34 de Pré-Cálculo. eemplos: Antes de justificar a validade do fato mencionado acima, vejamos alguns Eemplo 4. sen 0 ( sen0. De fato, consideremos a função f( sen, cujo gráfico esboçamos na Figura 4.. π 2 3π 2 2π 2π 3π 2 π 0 π 2 π Figura 4. Para qualquer seqüência ( n tal que n < 0 para todo n e n 0, temos f( n sen n 0; logo, sen 0. Por outro lado, para qualquer seqüência (y n tal que y n > 0 para todo n e y n 0, temos f(y n sen y n 0; logo, sen 0. Portanto, sen 0. + Eemplo 4.2 cos ( cos 0. De fato, consideremos a função f( cos, cujo gráfico esboçamos na Figura CEDERJ

12 Um ite fundamental. 2π 3π 2 π π 2 0 π 2 π 3π 2 2π Figura 4.2 Para qualquer seqüência ( n tal que n < 0 para todo n e n 0, temos f( n cos n ; logo, cos. Por outro lado, para qualquer seqüência (y n tal que y n > 0 para todo n e f(y n Eemplo 4.3 y n 0, temos cos y n 0; logo cos. Portanto, cos. + O domínio da função tangente é o conjunto dos R tais que cos 0. tg 0. De fato, como tg sen, e como cos do que vimos na aula 3 que sen 0 e cos, segue Teorema 4. sen. tg 0 0. Demonstração: Provemos, inicialmente, que sen +. De fato, consideremos o < < π, e comparemos as áreas dos triângulos 2 OAB e ODC e do setor circular ODB (ver a Figura 4.3. C B 0 A D CEDERJ 40 Figura 4.3

13 Um ite fundamental. MÓDULO - AULA 4 é 2 sen cos Como a área do triângulo OAB é, a área do setor circular ODB 2 tg e a área do triângulo ODC é sen, obtemos 2 2 cos sen cos 2 < 2 < sen 2 cos. Como sen > 0 para 0 < < π, segue que 2 cos < Mas, pela Proposição 3.3, temos sen < cos. + cos cos +. Podemos então aplicar a propriedade do confronto, vista na aula 3, para concluir que Portanto, sen + + sen + sen. + sen. Mostremos agora que sen. De fato, como sen( sen para todo R (a função seno é ímpar, podemos escrever para < 0, sen sen sen(, onde > 0. Logo, sen Em resumo, temos sen( sen + sen y 0 + sen y y.. Conseqüentemente, como queríamos demonstrar. sen, 4 CEDERJ

14 Um ite fundamental. Você deve ter notado que, para provar o Teorema 4., não poderíamos passar ao ite no numerador (sen e no denominador ( separadamente, pois neste caso temos sen 0 (Eemplo 4. e 0. Vamos dedicar o resto da aula a discutir alguns eemplos nos quais se faz uso do Teorema 4.. Eemplo 4.4 tg. De fato, como cos 0 para todo ( π 2, π 2, podemos escrever tg sen cos para todo ( π 2, π 2, 0. É possível então aplicar a Proposição 3.2 para concluir que tg ( ( sen. cos Eemplo 4.5 cos 0. De fato, observemos inicialmente que + cos 0 para todo ( π, ( π 2 2. Então, para todo π, π 2 2, 0, tem-se: cos ( cos ( + cos ( + cos cos2 ( + cos sen 2 ( + cos Como a Proposição 3.3 garante que sen sen + cos. ( + cos + cos + 2, + cos 2. CEDERJ 42

15 Um ite fundamental. MÓDULO - AULA 4 Portanto, pela Proposição 3.2, cos ( sen ( ( sen + cos Eemplo 4.6 cos 2 2. Realmente, como +cos 0 para todo ( π 2, π 2, podemos escrever cos 2 sen2 ( sen cos + cos para todo ( π 2, π 2, 0. Portanto, pela Proposição 3.2, ( 2 cos sen 2 + cos ( ( ( sen sen cos Eemplo 4.7 sen( 2 0. De fato, como sen(2 sen (2 para todo 0 e como 2 0, 2 temos sen ( 2 ( ( sen ( Eemplo 4.8 π sen π. Com efeito, tendo em vista a igualdade sen(z + w sen z cos w + sen w cos z, válida para quaisquer z, w R, segue que sen(π sen(π + ( sen π cos( + cos πsen( sen( ( sen sen para todo R. 43 CEDERJ

16 Um ite fundamental. Conseqüentemente, π sen π π sen(π. π Finalmente, como π (π 0, resulta do Teorema 4. que sen(π π π. Portanto, π sen π. Resumo Nesta aula você estudou um ite muito importante e viu algumas conseqüências do mesmo. Eercícios. Calcule os seguintes ites: 2 (a sen. sen ( 2 a 2 (b, a R. a a 3 2 (c tg sen. Sugestão: Escreva 3 2 ( 2 tg sen 3 cos. sen tg(2 (d sen(3. Sugestão: Escreva sen cos (e + sen. cos Sugestão: Escreva tg(2 sen(3 2 3 sen cos + sen cos sen(2 2 3 sen(3 sen cos + sen cos cos(2.. CEDERJ 44

17 Um ite fundamental. MÓDULO - AULA 4 sen(a (f, a, b R {0}. sen(b sen 2 (a 2 (g, a R {0}. 4 Sugestão: Escreva sen 2 (a 2 4 a 2 ( sen(a 2 a 2 2. (h cos(a 2, a R {0} (use o Eemplo 4.6. (i π sen(tg tg (note que π tg 0. sec (j. 2 tg 2 (a (k, a, b R {0}. cos(b Sugestão: Escreva Como sec cos, a função secante está definida no conjunto dos R tais que cos 0. e use (f. tg 2 (a ( sen(a 2 cos(b + cos(b sen(b cos 2 (a sec(a sec(b (l, a, b R {0}. 2 Sugestão: Escreva sec(a sec(b 2 e use (h. 2. Calcule os seguintes ites: sen sen(3 sen(5 (a tg(2 tg(4 tg(6. Sugestão: Escreva ( cos(a cos(b (cos(a(cos(b 2 2 sen sen(3 sen(5 tg(2 tg(4 tg(6 ( sen ( sen(3 ( sen(5 sen(2 cos(2 sen(4 cos(4 sen(6 cos(6 e use o Eercício (f. + sen (b 2 sen. 45 CEDERJ

18 Um ite fundamental. 3. Mostre que tg 3 ( sen( sen 2 ( 2 4. Sugestão: Escreva tg 3 ( sen( sen 2 ( 2 ( 2 ( sen( 2 2. cos 3 ( ( + 2 sen( 2 4. Lembrando que cos( π cos, mostre que π + cos ( π Mostre que cos 3 2 sen cos Mostre que sen( 2 + sen( 0. Sugestão: Escreva sen( 2 + sen( Auto-avaliação sen(2 cos( + cos(2 sen( sen( ( ( sen( 2 cos + 2 ( ( sen cos( 2 Esta aula gira em torno de um resultado importante: 2. sen. Nos eercícios propostos, além de aplicar este resultado, você deve demonstrar domínio das propriedades de ites bem como das propriedades básicas das funções seno e cosseno. Vários dos eercícios são acompanhados de sugestões que facilitam a sua resolução. Caso você tenha alguma dificuldade, releia a aula 3. CEDERJ 46