Lista 8: Análise do comportamento de funções - Cálculo Diferencial e Integral I - Turma D. Professora: Elisandra Bär de Figueiredo

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1 Lista 8: Análise do comportamento de funções - Cálculo Diferencial e Integral I - Turma D Professora: Elisandra Bär de Figueiredo 1. Seja f() = Justique a armação: f tem pelo menos uma raiz no intervalo [ 1, 0]. Determine um intervalo de amplitude 0,25 que contenha a raiz. 2. Prove que a equação = 0 admite ao menos uma raiz real. Determine um intervalo de amplitude + 1 0,25 que contenha a raiz. 3. Prove que cada um dos conjuntos abaio admite máimo e mínimo absolutos. { } (a) A = / 2 2 { 2 } + (b) A = / Prove a seguinte Proposição: Sejam f() uma função denida em um intervalo aberto (a, b) e c (a, b) um ponto etremo relativo de f(). Se f () eiste para todo (a, b), então f (c) = Seja f : [ 1, 1] R dada por f() = (a) Prove que f(1) é o valor máimo de f. (b) Prove que eiste c ( 1, 0) tal que f(c) seja o valor de mínimo absoluto de f. 6. Considere a função f() = (a) Verique que f() é contínua em [0, + ). (b) Determine todas as raízes de f. (c) Determine os intervalos em que f() > 0 e f() < Prove que a equação = 0 admite uma única raiz real. Determine o intervalo de amplitude 1 que contenha a raiz. 8. Prove que a equação = 0 admite três raízes reais distintas. Localize intervalos de amplitude 1 que contenham tais raízes. 9. Determine condições sobre a R para que a equação a = 0 admita: (a) uma única raiz real. (b) duas raízes reais distintas. (c) três raízes reais distintas. 10. Considere f() = 3. Eiste c [ 2, 1] tal que f(c) = 0? Justique Considere f() = 2. Podemos usar o Teorema de Rolle para concluir que eiste c [ 2, 2] tal que f (c) = 0? Justique. 12. Em cada caso, eamine se as funções satisfazem as condições e vericam o Teorema de Rolle e justique sua resposta. (a) f () = sobre o intervalo [ 1 2, 1] ; (b) f () = sobre o intervalo [ 1, 1]; 1

2 (c) f () = tan () sobre o intervalo [0, π]; (d) f () = ( 1) ( 2) ( 3) sobre o intervalo [1, 3]; (e) f () = sin 2 () sobre o intervalo [0, π]. 13. Sabendo que f () = tem raízes 1 e 1, pelo teorema de Rolle é possível armar que a derivada tem alguma raiz entre 1 e 1? Justique. 14. Em cada caso, eamine se as funções satisfazem as condições e vericam o Teorema do Valor Médio (de Lagrange). Justique. (a) f () = sobre o intervalo [ 3, 4]; (b) f () = sobre o intervalo [0, 2]; (c) f () = 4 3 sobre o intervalo [ 1, 1]; ( π ) (d) f () = sin sobre o intervalo [0, 1]; 2 (e) f () = 1 sobre o intervalo [ 1, 1]; 1 (f) f () = 2 sobre o intervalo [0, 1]. ( 2) 15. Através do teorema de Rolle é possível armar que a função f () = 2 3 possui um ponto crítico no intervalo [1, 5]? Justique. 16. Use algum dos teoremas estudados para determinar em que ponto da curva f () = a reta normal a esta curva é perpendicular a reta que passa pelos pontos A (1, 2) e B (0, 1). 17. Utilize o Teorema de Lagrange para demonstrar as desigualdades: (a) e 1 +, para 0; (b) arctan () <, para > 0; (c) b n a n < nb n 1 (b a), para b > a, n N; (d) sin θ sin α θ α, para α e θ R. 3, se = Para que valores de a, m e b a função f () = a, 0 < < 1 m + b, se 1 2 Médio no intervalo [0, 2]? Justique. satisfaz o teorema do Valor 19. Em que ponto da curva f () = n a tangente a curva é paralela a corda que une os pontos A (0, 0) e B (a, a n )? 20. Seja g a função denida por g () = 4 2. (a) Usando um dos teoremas estudados, determine o ponto em que a reta normal à curva = g () também é normal a reta que passa pelos pontos A ( 2, 0) e B (0, 2). (b) A função = f () = 16 4.g (), verica o teorema de Rolle entre as raízes da função g? Justique. 21. Seja p () = A 2 + B + C, onde A, B e C são constante reais e A 0. Mostre que para qualquer intervalo [a, b], o valor de c cuja eistência é garantida pelo Teorema de Lagrange, é o ponto médio do intervalo. 22. Arma-se que f (0) = 3 e f () 5, para todo real, então pelo Teorema do Valor Médio (ou de Lagrange) o maior valor possível para f (2) é 7. Pergunta-se: é verdade? Justique. 2

3 23. Em cada caso, determine os intervalos onde f () é crescente e decrescente bem como todos os pontos de máimo e mínimo: 16 (a) f () = (e) f () = ( 8)( + 2) (4 2 ) (b) f () = + sin ( 2) (8 ) (f) f () = (c) f () = ln 2 (d) f () = e 2 (g) f () = Em cada caso, determine todos os intervalos de concavidade para baio e para cima bem como os pontos de ineão. 16 (c) f () = (a) f () = (4 ( 8)( + 2) 2 ) (b) f () = e 2 (d) f () = Em cada caso, determine a equação de todas as assíntotas. 16 (a) f () = (4 2 ) (c) f() = sin 2 2 (b) f () = (d) f() = cos(2 1) Faça a análise e construa o gráco de cada uma das funções: (a) f () = ln (i) f () = e 2 (b) f () = (c) f () = 4 4 (d) f () = (e) f () = 1 1 e (f) f () = e (g) f () = e 1 1 (h) f () = ( 2) 2 (j) f () = + 1 (k) f () = e (l) f () = 2 e 1 (m) f () = (n) f () = 2 (o) f () = (p) f () = (q) f () = ( 1) e (r) f () = (s) f () = 1 (t) f () = ln( 2 ) (u) f () = e (v) f () = + ln (w) f () = cot (), ( π, π) () f () = sec () ( 2π, 2π) () f () = ln (cos (2)), (0, 2π) 27. Dada a função f () = ln ( ), eplique, usando o Teorema de Rolle, porque é possível armar que eiste um possível ponto de ineão no gráco da curva de = f (), no intervalo [ 1 2, 2]. 28. Seja f () = 2a 3 + b 2 c + d uma função. (a) Determine uma relação entre as constantes a, b, c e d para que f () tenha pontos críticos em = 0 e = 1. (b) Se a > 0 em qual dos pontos críticos a função terá máimo e/ou mínimo? 29. Considere a função f () = Arma-se que no intervalo (0, 1) esta função tem pelo menos um ponto crítico. Pergunta-se: é verdade? Justique sua resposta. 30. Determinar os coecientes a e b de forma que a função f () = 3 + a 2 + b tenha um etremo relativo no ponto ( 2, 1). 31. Esboce o gráco da função f () que satisfaz as seguintes condições: i. f (0) = 1; ii. = 1 é uma assíntota horizontal de f; 3

4 iii. f não possui assíntota vertical. iv. f () > 0 para todo (, 1) (1, + ) ; v. f () < 0 para todo ( 1, 1) ; vi. f () > 0 para todo (, 3 ) ( 0, 3 ) ; vii. f () < 0 para todo ( 3, 0 ) ( 3, + ). Determine os pontos de máimo(s) e/ou mínimo(s) e o(s) ponto(s) de ineão. Justique cada um desses itens. 32. Construa o gráco de uma função que satisfaz as seguintes condições: f ( 1) = f (1) = 0; f () < 0 se < 1; f () > 0 se 1 < < 2; f () = 1 se > 2; f () < 0 se 2 < < 0; o ponto P (0, 1) é um ponto de ineão. 33. Construa o gráco de uma função contínua em R que satisfaz as seguintes condições: i. f () > 0 se < 2; f () < 0 se > 2; f (2) = 0; ii. lim f () = 1 e f ( ) = f () ; + iii. f () < 0 se 0 < < 3; iv. P (3, f (3)) é ponto de ineão. 34. Seja f a função cujo gráco está representado na gura a seguir. Faça a análise gráca de f, observando, se eistir(em), assíntota(s) vertical(is) e assíntota(s) horizontal(is), os intervalos em que f () > 0 e f () < 0, os intervalos em que f () > 0 e f () < 0, pontos de máimo(s) e/ ou mínimo(s) relativos, o(s) ponto(s) de ineão, descontinuidades e raízes. Justique cada item. 35. Sabe-se que f é uma função contínua em R. Construa o gráco de f de tal forma que sua primeira derivada apresente o comportamento abaio ilustrado. Além disso, descreva o que pode ser concluído sobre o gráco de f (). Justique suas conclusões. 4

5 36. Esboce o gráco da função f,, contínua em R, sabendo que o gráco da primeira derivada de f está representado na gura a seguir e as raízes de f estão em = 2, = 0 e = 2. Respostas: 1. Use o TVM ou o Teorema Bolzano; c ( 1, 0.75) 2. Use o TVM ou o Teorema Bolzano; c (0.75, 1) 3. Use o Teorema de Weiertrass. 4. Dica: Suponha que = c é um ponto de mínimo local, use a denição de ponto de mínimo e a denição de derivadas laterais para concluir que f (c) 0 e f +(c) 0, logo f (c) = Use o Eercício 4 e o Teorema de Weiertrass Use o Teorema de Bolzano e o Eercício 4; [ 2, 1] 8. Use o Teorema de Bolzano ou o Eercício 4; [ 3, 2], [0, 1], [1, 2] Não. (a) a < 27 ou a > 5. (b) a = 27 ou a = 5. (c) 27 < a < 5. 5

6 11. Não. 12. (a) não; (b) não; (c) não; (d) sim; (e) sim. 13. Sim. 14. (a) não; (b) sim; (c) sim; (d) sim; (e) não; (f) sim. 15. Não. f não eiste em = ( 1 3, 32 ) Dica: Primeiro encontre a função e o intervalo para aplicar o TVM. 18. a = 3, b = 4 e m = 1. ( a 19. n 1 n, a n ) n 1 n n 20. (a) ( 2, 2 ) ; (b) não A armação é verdadeira (a) Decrescente no domínio (b) Crescente no domínio (c) Decrescente em (0, e 1 ] e crescente em [e 1, + ) (d) Decrescente em [1, + ) e crescente em (, 1] ( ) ( ) (e) Crescente em, , + e decrescente em (f) Decrescente em (, 0) [3.2, + ) e crescente em (0, 3.2) ( ) 2 2 3, 3 (g) Decrescente em (, 2) (1, 2) e crescente em ( 2, 1) ( 2, + ). (a) Côncava para cima em ( 2, 0] (8, + ) e côncava para baio em (, 2) (0, 8) (b) Côncava para baio em (, 2] e côncava para cima em [2, + ) (c) Côncava para cima em (, 2) (0, 2) e côncava para baio em ( 2, 0) (2, + ) (d) Côncava para cima em todo seu domínio (a) = 0, = 2, = 0 e = 2 (b) =, =, = 1 e = 1 (c) = 0 e = 0 (d) = 2 e = Estão no nal. 27. Sugestão: Aplique o Teorema de Rolle para a função g () = f (). 28. (a) b = 3a, c = 0 e d R. (b) P 1 (0, f (0)) e P 2 (1, f (1)) são pontos de máimo e mínimo relativo, respectivamente. 29. Armação verdadeira. 6

7 30. a = 3 e b = ˆ Assíntotas verticais: = 1 e = 0 ˆ Assíntotas Horizontais: não tem ˆ f () < 0 (, 2] [ 1 2, 0) ˆ f () > 0 [ 2, 1) ( 1, 1 2 ] (0, + ) ˆ f () < 0 (, 3.1] [ 2, 0) (0, + ) ˆ f () > 0 [ 3.1, 2) ˆ Ponto de mínimo: ( 2, f( 2)) ˆ Ponto de máimo: ( 1/2, f( 1/2)) ˆ Ponto de ineão: ( 3.1, f( 3.1)) ˆ Descontinuidades: = 1 e = 0 ˆ Raiz: = 5/4 35. Pelo gráco de f () pode-se concluir que f() tem um mínimo em = 0 e pontos de ineão em ( 1, f( 1)) e (1, f(1)). Sendo côncava para baio em (, 1] [1, + ) e côncava para cima em [ 1, 1]. Também podemos concluir que as únicas raízes de f () são = 1 e = 1, sendo f () < 0 se (, 1) (1, + ) e f () > 0 se ( 1, 1). 36. Temos que ˆ f( 2) = f(0) = f( 2) = 0 ˆ f() < 0 se (, 2) (0, 2) ˆ f() > 0 se ( 2, 0) (2, + ) ˆ f() é crescente se (, 1] [1.5, + ) ˆ f() é decrescente se [ 1, 1.5] ˆ Ponto de mínimo: (1.5, f(1.5)) ˆ Ponto de máimo: ( 1, f( 1)) ˆ Pontos de ineão: (0, 0), (2, 0) e (3, f(3)) ˆ f() tem um "pico"em = 0 e uma tangente vertical em = 2 7

8 (a) (b) (c ) (d) (e) (f) (g) 8

9 (h) (i) (j) (k) (l) (m) (n) (o) 9

10 (p) (q) (r) (s) (t) (u) 10

11 (v) (w) () () 11