AULA 13 Aproximações Lineares e Diferenciais (página 226)

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1 Belém, de maio de 05 Caro aluno, Nesta nota de aula você aprenderá que pode calcular imagem de qualquer unção dierenciável num ponto próimo de a usando epressão mais simples que a epressão original da. A epressão mais simples é quando trabalhamos com a equação da reta (unção aim). Eistem outras aproimações simples que são os polinômios, contudo aproimação é sempre em torno de um ponto erro de aproimação. integrais. a. Sendo uma aproimação cometemos Estudaremos também as dierenciais de uma unção muito útil para resolver Bons estudos. AULA Aproimações Lineares e Dierenciais (página 6) Muitas vezes, para obter o valor de unção y num certo ponto a D substituímos essa unção por uma unção mais simples para obter valor aproimada de a. A unção mais simples de se trabalhar é uma reta. Dada uma y derivável (dierenciável) no intervalo I D então ela pode ser aproimada por reta tangente à curva do gráico de em torno de a para a I D

2 cujo coeiciente angular dessa reta é m a portanto: a a a. É denominada aproimação linear ou linearização de em torno de a denotado como: Veja o gráico na igura abaio: L a a a Figura Gráico da aproimação linear L da unção em torno de a. OBSERVAÇÃO: Quando alar de ponto é preciso ter cuidado. Na reta R (uma dimensão) a é um ponto enquanto que o ponto P no plano denotado por a a,. 4 Eemplo. Encontre linearização da unção Solução: Para obter L a a a coeiciente angular da reta tangente em achar o valor de a y tem duas coordenadas em torno de a. precisamos ter o ponto onde passa a reta e o a. Como a, temos a. Para achar o ponto a, a no plano basta 4 4 Para encontrar o coeiciente angular da reta tangente, derivando a unção em elação a

3 obtemos: e substituindo por valor de a temos: m Logo substituindo na equação da reta tangente obtemos: L Resposta: L (a) Calcule valor aproimado de 0,8 usando aproimação linear. 4 Solução. Como a reta L 6 0 aproima valor Calculando diretamente temos: Erro de 0,96. L 0, ,8 6 8 em torno de a o 4 0,8 0,8 0,8 0,4096 0,64 0,4096,9, 96 (b) Quanto mais perto do valor de a melhor é a aproimação. Calcular 0,9. Resposta: 0, ,9 6 9 L enquanto que 4 0,9 0,9 0,9 0,656 0,8 0,656,4, 086 Erro de 0,086. (c) Calcular 0,5 Solução. Usando aproimação linear Calculando diretamente temos: L 0, , ,5 0,5 0,5 0,065 0,5 0,065 0,75 0, 85

4 Erro de,85, a aproimação linear é péssima porque 0, 5 está longe de a. As aproimações são calculadas conhecida a para determinar para saber dy a. Geralmente os valores de são da ordem de 0, 0 no máimo na ordem de 0. Eemplo. Encontre a aproimação linear da unção g em torno de a 0 e use-a para aproimar os números 0, 95 e,. Ilustre, azendo os gráicos de g e da reta tangente. Solução. Para escrever a equação da reta que passanum ponto conhecendo asua direção, precisamos conhecer o valor de 0 0 g. Para determinar o coeiciente angular da reta tangente devemos encontrar a derivada da unção g. Como é uma radiciação, escrevemos na orma de potência. g Derivando em relação a e usando a regra da potência e a regra da cadeia obtemos: g Para calcular o coeiciente angular da reta tangente, basta substituir por 0. Logo m g 0 0 Logo a aproimação linear é: L g0 g0 0 De modo que (a) 0,95 0,05 L 0,05 0,05 0, 98 (b), 0, L 0, 0,, 0 4

5 (c) Graicamente: Eemplo. Seja aproimado de,0., encontre linearização de em 0 e calcule valor Resposta: Como 0 0 e derivando: e ou na orma de potência 0 6 Temos em 0 aproimação linear:

6 L,0 0,0 0 L. 0,0 0,0 0,, 88 Resposta: L 6 e, 88,0 Dierenciais Seja y uma unção derivável (dierenciável) então deinimos dierencial de y como sendo dy d. Dierencial de uma unção é a derivada dessa unção vezes a dierencial da variável. Signiicado geométrico da dierencial. A notação é usada para indicar uma distância entre dois pontos distintos na reta. Quando tomamos o limite em a quando aproima de a, a distância ica tão pequena que usamos a notação d, isto é lim a d 0 Também dizemos que d é uma ininitesimal da distância. Eemplo 4. Seja e, calcule dierencial de y. Resposta: Como dy d basta derivar a unção em relação a e substituir na epressão da dierencial. Temos e e 6

7 De modo que Eemplo 5. Seja cos Resposta: Como epressão da dierencial. Temos De modo que dy e d, calcule dierencial de y. dy d basta derivar a unção em relação a e substituir na cos cos Eemplo 6. Seja u ln dy cos sen d, calcule dierencial de u. sen cos sen Resposta: Como du ud, derivando u u em relação a temos: u 6 e substituir na epressão da dierencial resulta: du 6 d Eemplo 7. Seja sen Resposta: Como: temos:, calcule dierencial de. Eemplo 8. Seja t ln t sen cos cos d sen, calcule dierencial de. d 7

8 Resposta: Como: t t t t temos: d t t dt Eemplo 9. Sejam, g e e h ln (a) Encontre a linearização de, g e h em a 0. O que você percebe? Como eplicar o que aconteceu? Solução: (i) Linearização da Em 0 em a 0. Derivando em temos: a obtemos 0 0 e 0 0 linear de é: (ii) Linearização da g Em 0 é: 0 L e em a 0. Derivando em temos: g e a obtemos g 0 e e g 0 e 0 (iii)linearização da h ln 0 0 L g. Assim a aproimação. Assim a aproimação linear de g em a 0. Derivando em temos: h 8

9 a obtemos h 0 e h 0 ln 00 Em 0 aproimação linear de h é: 0 0 L h As três unções tem a mesma aproimação linear em a 0.. Assim a (b) Faça os gráicos de e de suas aproimações lineares. Para qual unção a aproimação é melhor? Para qual é pior? Eplique. Resposta: Em torno de a 0 as três unções tem aproimações iguais. Distante de a 0 a aproimação é melhor para ln h e pior para g e e. Porque as unções eponenciais e logarítmicas tem variações maiores que a unção quadrática de modo que cada vez que aasta do ponto a 0, as imagens de aasta muito da a. Aproimação linear do Erro nas aproimações Lineares. Deinição do erro absoluto Seja r o valor real e r o valor aproimado. Então o erro 9

10 absoluto é deinido por: Erro absoluto r r. Deinição do erro relativo Seja r o valor real e r o valor aproimado. Então o erro absoluto é deinido por: r r Erro relativo. r Deinição do erro relativo percentual Seja r o valor real e r o valor aproimado. Então o erro absoluto é deinido por: r r Erro relativo percentual 00%. r Podemos observar nas deinições do erro que devemos conhecer tanto os valores tanto de r como de r. Geralmente não conhecemos o valor de r, pois se tivermos o valor de r não há necessidade de calcular r. Cota superior do erro. Um valor 0 é dita cota superior do erro quando satisaz Erro r r Veja nos eemplos 0 a, problemas de erro com cota superior do erro. Eemplo 0: Sejam r 00 o valor real e r 99 o valor aproimado. Então : Erro absoluto r r r r Erro relativo 0,00. r Erro relativo percentual r r r % 00% 00%,0% Eemplo. Sejam r 0 o valor real e r 9 o valor aproimado. Então : Erro absoluto r r 0 9 r r 0 9 Erro relativo 0,. r 9 9 0

11 Erro relativo percentual r r r % 0,00% % 9 Observamos nos eemplos 0 e que o erro absoluto são iguais porém os erros relativos e percentuais dão ideia melhor da dierença eistente entre dois valores. Eemplo : Aresta de um cubo tem 0 cm, com possível erro de medida de 0,. Use dierencial para estimar o erro máimo possível no cálculo do volume do cubo. Solução. Sabemos que volume de um cubo é calculado pela órmula Seja V aresta. r valor da aresta real desconheci da e r valor da aresta medida 0cm. Como o possível erro de medida é e 0,cm (este é a cota superior do erro). Sabemos que: Erro absoluto da aresta Erro r r então temos r r dr 0, V VrV dv V r dr Como V r r r, temos V r r r 0. de modo que dv V r dr r dr Quando r r 0 dv Desta orma obtemos: Erro absoluto do volume: 0 V0dr 0cm 0, cm 00cm 0, cm 0cm dv 0cm Erro relativo do volume: dv 0cm V 0 0cm ,0 Erro relativo percentual do volume: dv 00% 0,000% % V 0 Eemplo : Para mesmo dados do eemplo, usando dierencial estime o erro máimo possível no cálculo da área da superície do cubo.

12 . Sabemos que um cubo tem 6 superícies planas de modo que Erro Como Ar 6r, temos A r r A área docubo 6r. e A Ar A0 da Ar dr e pelo visto no eemplo temos r r dr 0, Portanto, quando r r 0cm obtemos Desta orma temos: da Erro absoluto da área: 0 A0dr 0cm0, cm 00, cm da cm Erro relativo da área: da 6cm A 0 60cm 600 0,0 Erro relativo percentual da área: da 00% 0,000% % A 0 Apendice: Polinômio de Taylor. A aproimação pela reta tangente é a melhor aproimação de polinômio de primeiro grau (linear) próimo de a porque tanto como L L têm a mesma taa de variação (derivada) em a. Para uma aproimação melhor que a linear podemos usar aproimação por polinômio de segundo grau cujo gráico é uma parábola. Para isso a unção derivada em a, isto é devemos ter: P (unção quadrática) em torno de a deve possuir primeira e segunda a a ; P a a e P a a P Isto é, se polinômio de º grau tem a epressão geral Para satisazer as três condições acima. P

13 Eercício : Mostre que P que satisaz P a a ; P a a P a a é escrita por: P a a a a a Eemplo 4. Encontre aproimação quadrática para unção sen 0. Solução: Derivando temos cos e sen! e em torno de. Substituindo 0 e modo que obtemos 0 sen0 0, 0 cos0 e 0 sen0 0 aproimação quadrática de sen P é 0! sen Resposta: sen próimo da origem. Eercício: Mostre que: (I) cos (II) em torno de 0 e em torno de 0 é aproimada por P é aproimada por P.. Eemplo 5. Encontre aproimação quadrática para unção ln Solução: Derivando temos e obtemos ln 0, 0 e 0 quadrática de ln P é 0 em torno de.. Substituindo de modo que aproimação! 4

14 Resposta: ln 4 Polinômio de Taylor de grau n Se possui derivadas n,,, em a polinômio de grau n chamada polinômio de Taylor que aproima a dada por. P sendo n então eiste P P n próimo de a a a a a a a a a n a a P n, P! n n n a a, a a, a a P n P n!,..., n a n! n n n a Pn. Eercício : Encontre o polinômio de Taylor de 5º grau das unções sen e i e i i cos, e, ln e e, onde i. Mostre que cos isen chamado Fórmula de Euler e calcule i cos i sen e e. i e. Resposta: Série de Taylor Para uma unção dierenciável) em torno de própria que possui derivadas de ordem ininita (unção ininitamente. Dessa orma a, a soma ininita abaio é chamada Série de Taylor é a a a a a a a a n! n! P n n n n a a n! Quando a unção é aproimada por polinômio de Taylor de grau n, cometemos um erro cuja epressão é dada por: E n a n para próimo de a. n! 4