CÁLCULO DIFERENCIAL EM CAMPOS ESCALARES E VECTORIAIS

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1 Capítulo II CÁLCULO DIFERENCIAL EM CAMPOS ESCALARES E VECTORIAIS

2 Capítulo II Até agora trabalhamos sempre com unções de uma única variável real mas eistem muitas situações nas quais a unção depende de dierentes variáveis Eemplo- A área de um rectângulo de lados e é dada pela órmula S A cada par de valores de e corresponde um valor bem determinado da superície S S é assim unção de duas variáveis Eemplo O volume V dum paralelipípedo rectângulo cujo comprimento das arestas é respectivamente z é dado pela órmula V z Aqui V é uma unção de três variáveis z Eemplo O alcance R da trajectória dum projéctil lançado à velocidade inicial v v sin ϕ sob um ângulo ϕ com o horizonte é dado pela órmula R - se se g desprezar a resistência do ar g designa aqui a aceleração da gravidade A cada par de valores v e ϕ corresponde um valor bem determinado de R por outras palavras R é uma unção de duas variáveis v e ϕ Deinição Uma unção real a duas variáveis reais é uma relação que transorma num único elemento real z cada par ordenado ( de números reais de um certo conjunto D chamado de domínio da unção Se a relação transorma no número real z o par ordenado ( em D então escrevemos z ( Na equação z ( z é a variável dependente e e variáveis independentes O conjunto de valores possíveis de z que pode ser obtido aplicando a relação aos pares ordenados ( em D é denominado imagem da unção O gráico de uma unção a duas variáveis é o conjunto dos pontos ( no espaço cartesiano tridimensional tal que ( pertence ao domínio D de e

3 ( z O domínio D pode ser representado através de um conjunto de pontos no plano e o gráico de como uma superície cuja projecção perpendicular ao plano é D Na igura o ponto z ( indicado como ( é na verdade o ponto ( ) ; no entanto a terceira coordenada oi omitida de propósito Pode ver-se O que quando o ponto ( varia em D o ponto que lhe vai corresponder varia domínio D sobre a superície É o ponto z ( ) ( ( )) z Eemplo A unção cujo domínio D é o plano e que está deinida pela equação ( ( ) que gráico apresenta? O ponto ( pertence ao gráico de se e somente se z ( ) ; isto é + + z z Portanto o gráico de consiste num plano z que intercepta os eios nos pontos ( ) ( ) e ( ) Na igura seguinte apresenta-se uma parte deste plano e mostra-se as intersecções com os planos z e z : Embora o esboço de gráicos de unções a duas variáveis eija maior cuidado do que o esboço a uma variável a ideia básica é a mesma Deinição Uma unção real a n variáveis é uma relação que transorma num único número real w cada n -upla ordenada ( ) n de números reais de um certo conjunto D chamado de domínio da unção Se a relação transorma 4

4 no número w a n -upla ordenada ( ) ( ) w n n então escreve-se Já sabemos que w é a variável dependente n são variáveis independentes e o conjunto de todos os valores possíveis de w que pode ser obtido aplicando a relação às n -uplas ordenadas ( ) imagem da unção No caso de representado na orma z ( n em D é denominado n temos w ( ) como já vimos Se geralmente n então w ( Eemplo Se está deinida por ( + encontre a) ( ) e b) ( sin t cost) para todos os valores de e a) ( ) + 7 b) ( sin tcost) sin t + cost Se uma unção a várias variáveis está deinida por uma equação ou uma órmula então a não ser que esteja estipulado o contrário entende-se por domínio de o conjunto de todas as n -uplas de variáveis independentes para as quais a equação ou órmula admitem resposta Eemplo Determine o domínio de ( sin z + Visto que sin z está deinido somente quando z o domínio de consiste em todos os termos ordenados ( tais que + e z Campo Escalar Vimos que um unção a duas variáveis independentes pode ser considerada através do seu gráico que é uma superície no espaço z Há um segundo modo de representar essa unção: a unção é considerada um campo escalar num domínio 5

5 bi-dimensional D Assim o domínio D é visualizado como um conjunto de pontos ( cada ponto ( numa certa região do plano e a D encontra-se associado um escalar correspondente ( pela unção : O valor de cada escalar ( ponto ( corresponde a cada do O domínio D e está apresentado na igura como uma bandeira que é incada no ponto Como o ponto ( se move no interior da região D a bandeira desloca-se com ele e o número ( nela indicado varia O escalar ( associado ao ponto ( pode representar por eemplo a temperatura em ( ou a pressão atmosérica em ( a velocidade do vento em ( a intensidade do campo magnético em ( e assim por diante Uma curva ao longo da qual o campo escalar tem valor constante é denominada curva de nível do campo ou da unção que deine o campo A equação da curva de nível ao longo da qual a unção assume valor constante k é ( k As curvas de nível recebem nomes especíicos dependendo do tipo de campo: isotérmicas quando são reerentes a um campo de temperatura linhas equipotenciais quando dizem respeito a um campo de potencial eléctrico etc Suponhamos que através de uma unção se estabelece a altura ( k de uma certa superície S do plano no ponto ( - S é então o gráico da unção A intersecção da z superície S com o plano horizontal z k produz a curva C que é constituída por todos os pontos da superície que z ( estejam a k unidades acima do O S plano : A projecção perpendicular da plano resulta ( k unção Esta curva de nível cuja equação no plano é ( k curva C sobre o na curva de nível da é denominada linha de contorno da superície S Se desenharmos um certo número de linhas de 6

6 contorno cada uma identiicada pelo próprio valor de k a ela associado obtemos um mapa de contorno da superície S : 5 O mapa de contorno acilita-nos a visualização da 5 superície como se na prática estivéssemos sobre ela observando as intersecções com planos horizontais de alturas variadas Se as alturas orem O consideradas de modo a dierirem por quantidades iguais então uma grande quantidade de linhas de contorno sucessivas indica uma parte relativamente íngreme da superície Eemplo Seja a superície S dada por z + para Desenhe as linhas de contorno para esta superície correpondentes a z z z z e z 4 Para z obtemos + ou que é a equação de uma hipérbole com eio transverso vertical Desde que obtemos somente as partes desta hipérbole situadas no primeiro e quarto quadrantes como as linhas de contorno para z Para z obtemos + ou outra hipérbole Para z a equação é + 4 Curvas de nível de z + para ou ± duas rectas passando pela origem Prosseguindo deste modo encontramos o mapa de contorno que pretendíamos Limites e Continuidade O conceito de limite estende-se acilmente para unções de duas ou mais variáveis 7

7 Por eemplo airmar que ( tende para o limite L quando ( tende para ( ) signiica que o número ( deseja pela escolha do ponto ( suicientemente próimo do ponto ( ) que ( ( ) pode estar tão perto do número L quanto se desde A notação é a seguinte: lim visto ( ) ( ) 4 4 que 4 se aproima de quando o ponto ( se aproima de ( ) Todas as propriedades de limites de unções de uma variável se estendem às unções a várias variáveis; por eemplo o limite da soma dierença produto ou quociente é a soma dierença produto ou quociente dos limites respectivamente contanto que esses limites eistam e que os denominadores não se anulem Então desde que lim ( ) e lim g( eistam lim ( ) lim ( ) e lim g( lim g( [ ] sin [ 4 + ] e + cos[ ] e + cos sin Eemplo - ( 5 + lim e ) + cos ( ) ( ) ( Já estudamos que o lim ( ) eiste se e apenas se os limites laterais lim ( ) e lim ( ) a a + a eistem e são iguais Tratando com limites de uma unção a duas variáveis isto é tendo-se que ( lim devemos supor que o ponto ( ) ( a b) ( ) ( se aproime do ponto ( b) ( ab) a não apenas pela direita ou pela esquerda mas também por uma qualquer outra direcção: O Podemos ainda supor que ( se aproime de ( b) a por eemplo ao longo de uma curva: Dizer que o limite lim ( ) ( a b) ( L ( ) ( ) signiica que quando ( ab tende para ( a b) por qualquer direcção ( tende para o mesmo O limite L Um meio conveniente de mostrar que um determinado limite lim ( ) ( ) ( a b não eiste é 8

8 mostrar que ( tende para dois limites dierentes quando ( tende para ( a b) por duas direcções dierentes Eemplo Seja a unção deinida por ( + se se a) Calcule o limite de ( quando ( tende para ( ) m b) Calcule o limite de ( quando ( tende para ( ) c) O ( ) ( ) ( lim eiste? ao longo da recta ao longo da parábola a) Sobre a recta m lim para ou seja ( ( m) + ( m) ( m) lim + ( m) lim( m + m ) para assim b) Ao longo da parábola ( + lim 4 ( lim + lim( + ) c) Uma vez que os limites de a) e b) são dierentes lim ( ) ( ) ( não eiste As deinições e propriedades dos limites são acilmente generalizadas para as unções a três ou mais variáveis Por eemplo se o valor ( se aproima do valor L tanto quanto queremos pela escolha de um ponto suicientemente próimo de ( z ) mas dierente do mesmo escrevemos então: lim ( ) ( ) ( L ou lim ( L z z z z Deinição Seja uma unção a duas variáveis e seja o ponto ( ) no plano Suponhamos que eiste um disco circular e com raio positivo de modo que qualquer 9

9 ponto do interior do círculo ecepto possivelmente o centro ( ) pertença ao domínio de Diz-se então que o limite quando ( tende para ( ) é o número L e escreve-se lim ( ) ( ) ( L ou lim ( L desde que para cada número positivo ε eista um número positivo δ tal que ( L < ε qualquer ( ( ) e a distância entre ( e ( ) outro modo: para cada ε > eiste > implica ( L < ε para seja menor que δ De δ tal que < ( ) + ( ) < δ Eemplo Mostre que lim ( + 7 por aplicação directa da deinição anterior Seja ε > dado Precisamos encontrar δ > tal que + 7 < ε sempre que ( ) + ( ) < < δ Então ( ) + ( ) + ; daí se ε e ε então ε ε ε < + ε A condição < é equivalente a 9 4 ε ( ) < ou a ( ) 4 ε ε < enquanto a condição 6 ε < é equivalente a ( ) < ou a ( ) < Portanto se ( ) < e ( ) teremos 4 ε < ε Assim escolhemos ε 6 ε + ( ) < δ ε 6 então ( ) ( ) + ( ) ε 6 ε 6 ε < 6 δ e note-se que se < ( ) + ε < e também 6 ( ) ( ) + ( ) < < ; portanto ( ) < ε 6 ( ) < ε 6 6 ou seja + 7 < ε e também Continuidade A deinição de continuidade para unções a uma variável pode generalizar-se

10 acilmente para unções a várias variáveis Deinição Supondo que seja uma unção a duas variáveis e que o ponto ( ) seja o centro de um disco circular de raio positivo contido no domínio de dizemos que é contínua em ( ) se: i) lim ( ii) ( ) ( ) eiste; lim ( ) ( ) ( ( ) Eemplo Veriique se ( + é contínua no ponto ( ) Das propriedades dos limites lim ( ) ( ) ( + ( ) + ( ) ( ) logo é contínua em ( ) Seja D um conjunto de pontos no plano Um ponto ( ) será denominado ponto interior a D se eistir um disco circular de raio positivo e centro em ( ) contido em D : Por outro lado um ponto ( a b) será denominado ponto ( ) ronteira de D a b um ponto se qualquer disco circular de raio ronteira de D positivo com centro ( a b) contiver ( ) pelo menos um ponto um ponto pertencente a D interior de D e pelo menos um não pertencente Não se eige que um ponto ronteira ( a b) pertença ao conjunto D Um conjunto é aberto se ele não contém nenhum dos seus próprios pontos ronteira sendo echado se os contém todos A deinição que vimos aplica-se apenas à continuidade de uma unção num ponto interior do seu domínio Para deinir a continuidade num ponto ronteira é necessária outra deinição É claro que uma unção é contínua se o or para qualquer ponto do seu domínio Para demonstrar que um conjunto D de pontos num plano é aberto é necessário mostrar que qualquer ponto em D é ponto interior

11 As unções a duas variáveis têm muitas propriedades relacionadas com a continuidade análogas às das unções de uma só variável Propriedades da Continuidade para Funções a Duas Variáveis Suponha-se que ( ) seja um ponto interior aos domínios das unções e g a duas variáveis e suponhamos ainda que e g são contínuas em ( ) Temos assim: h ( ( + g( é contínua em ( ) k ( ( g( é contínua em ( ) p ( ( g( é contínua em ( ) 4 Se g ( ) então ( ) ( q é contínua em ( ) g( 5 Se w é uma unção a uma variável que é contínua e está deinida no ponto ( ) e se ( ) é ponto interior ao domínio de v ( w[ ( ] então v é contínua em ( ) As deinições e propriedades das unções contínuas são acilmente generalizadas para unções a três ou mais variáveis Naturalmente toda a unção polinomial a várias variáveis é contínua Derivadas Parciais As técnicas regras e órmulas já aprendidas para dierenciar unções a uma variável podem generalizar-se para unções a duas ou mais variáveis considerando uma das variáveis constante e dierenciando as outras em relação à variável remanescente Eemplo Consideremos a unção a duas variáveis dada por ( + 4 Consideremos temporariamente a segunda variável como constante e vamos dierenciar em relação à primeira variável Sendo que é d d d d constante tem-se ( ( ) d d e ( 4 ) d ; portanto ( d

12 d d ( ) + ( + ( 4 ) d A im de enatizar que d d d apenas pode variar ou seja que deve ser mantido constante quando a derivada é calculada é usual substituir-se o símbolo d d por Portanto teremos ( ( + 4 ) + A derivada calculada em relação a enquanto é mantido temporariamente constante é denominada derivada parcial em relação a e é chamado de operador derivada parcial em relação a Do mesmo modo se desejarmos manter a variável ia e dierenciarmos em relação a usamos o símbolo Temos assim para a unção deinida por ( + 4 : ( ( + 4 ) ( ) + ( + ( 4 ) Deinição Se é uma unção a duas variáveis e ( é um ponto no domínio de então as derivadas parciais ( e ( primeira e à segunda variável são deinidas por ( ( + ( de em ( em relação à ( ( + ( lim e lim desde que os limites eistam O procedimento para encontrar as derivadas parciais chama-se dierenciação parcial Convém eistir uma notação para derivadas parciais semelhante à notação ( ) para unções de uma variável Então se z ( escreve-se ( ou ( em vez de z ou ( para a derivada parcial de em relação a O índice e respectivamente o índice - reere-se à dierenciação parcial em relação à primeira variável ou em relação a A notação do operador D para derivadas ordinárias pode ser adaptada para derivadas parciais e teremos ( ( ( D ( D ( Analogamente para a derivada parcial em relação a teremos: ( ( ( D ( D (

13 Deinição Seja uma unção a n variáveis e suponha que ( ) k n pertence ao domínio de Se k n então a derivada parcial de em relação à k -ésima variável k é notada por k lim k eista ( + ) ( ) k k n k e deinida por ( ) k n k k n desde que o limite Se w ( ) k n então usamos também as seguintes notações para a w derivada parcial de em relação à k -ésima variável k : ( ) ( ) D ( ) k n k k n k k n k k ( ) D Utiliza-se o termo derivada parcial quando nos k reerimos à unção k n e ao valor ( ) k desta unção No caso de k n as variáveis e da última deinição são substituidas por e z repectivamente e temos ( ) ( ) ( + ( z z lim ( ) ( ) ( + ( z z lim ( z ( ( z + ( lim z z n k Técnicas para o Cálculo das Derivadas Parciais As derivadas parciais podem ser calculadas pelo uso das mesmas técnicas que eram válidas para unções ordinárias ecepto que todas as variáveis independentes que não aquela em relação à qual eectuamos a derivação parcial são tomadas temporariamente como constantes Eemplo Encontre ( ) e ( ) se ( Tratando como constante e dierenciando em relação a temos ( 4

14 6 + 4 Tratando como constante e dierenciando em relação a temos ( ) 4 + Substituindo e nestas órmulas de derivação parcial temos então: ( ) 6( ) ( ) ( ) 4( ) ( ) + Eemplo Encontre z e z se 4 sin( ) z z [ sin( )] [ sin( )] + sin( ) ( ) cos( ) + sin( ) z 4 4 cos( ) + 4 sin( ) 4 4 [ sin( )] sin( ) ( ) ( ) cos( ) + sin( ) cos( ) + sin [ ]+ Eistem muitas versões da regra da cadeia aplicadas às derivadas parciais a mais simples de todas é virtualmente uma transcrição da regra da cadeia para unções a mais de uma variável suponhamos duas Se w ( v) e v g( [ g( ] ou seja w mantendo constante e utilizando a regra da cadeia conhecida temos w v [ g( ] g ( ( v) ; isto é w w v desde que as derivadas v w v e v eistam Analogamente mantendo-se constante temos w v [ g( ] g ( ( v) ; isto é w v e v eistam w w v desde que as derivadas v Eemplo Se z t t use a regra da cadeia para encontrar dz dt e veriique o resultado epressando z como unção de t e dierenciando directamente dz dt d dt d dt 5 4 Pela regra da cadeia + ( ( t) + ( )( t ) ( t )( t) + ( t )( t ) 6 7t Alternativamente podemos epressar z directamente como unção de t 7 ( t ) ( t ) t z e depois dierenciar para obter processo nem sempre é conveniente dz 6 7t mas este último dt 5

15 Eemplo Encontre w e w para w e w e e e w e ; e e Interpretação Geométrica das Derivadas Parciais Suponhamos que seja uma unção a duas variáveis e que tenha derivadas parciais e O gráico de é uma superície com equação z ( : Seja z ( ) z tal que o P ( z ) ponto P ( z ) seja um C ponto desta superície O plano A z ( é o que intercepta a superície na secção APB enquanto que o plano D β a intercepta na secção α B recta tangente CPD Quando um ponto se move ao à CPD recta tangente longo da curva APB as suas à APB coordenadas e z variam de acordo com a equação ( ) z enquanto a sua coordenada permanece constante com A inclinação da recta tangente à APB num ponto qualquer é a taa de variação da coordenada z em relação à coordenada ; a inclinação é dada por z ( ) Em particular ( ) representa o coeiciente da recta tangente à CPD no ponto P Pela igura temos assim: tanα ( ) ( ) calculado em ( ) e tan β ( ) ( ) calculado em ( ) Dierencial Total Suponha que seja uma unção a duas variáveis e seja z ( Se e 6

16 sorem pequenas variações quantidade de e respectivamente então z varia de uma z dada por z ( + + ( Considerando que seja dierenciável em ( sabemos que o erro resultante da aproimação linear ( + + ( + ( + ( será pequeno e segue-se que podemos aproimar z como z ( + ( Usando a notação alternativa z e z para as derivadas parciais ( e ( podemos escrever a aproimação como z + A variação e das duas variáveis e são às vezes chamadas de dierenciais destas variáveis e escritas como d e d respectivamente Desse modo se d e d são pequenos então a variação z do valor de z causada pela alteração de para + d e de + d é aproimada por z d + d Fazendo a analogia com unções a uma variável deine-se o dierencial total dz da variável dependente z por dz d + d Portanto se d e d são pequenos então z dz Uma vez que z ( escrevemos também dz como d ou seja d ( d ( d + + encontre o dierencial total d Eemplo Se ( ) Aqui ( 9 + e ( 6 + ( + d + ( )d 9 e assim d 6 Dierenciação Implícita O procedimento da dierenciação implícita já conhecido pode ser generalizado pelo uso de derivadas parciais Dada uma equação na qual igurem as variáveis e podemos transpor os termos para a esquerda do sinal de igualdade e a equação toma a orma ( onde é uma unção a duas variáveis Esta equação deine implicitamente como uma unção g de se ( g( ) ) é válida para todo o valor de no domínio de g Considerando que e g sejam dierenciáveis então 7

17 podemos dierenciar ambos os lados da equação ( g( ) ) d d d d em relação a e obter ( g( ) ) + ( g( ) ) g( ) ou ( + ( g( ) Se ( portanto d d ( ( d d onde d podemos resolver a última equação em obtendo d Eemplo Suponha que seja uma unção implícita de dada por 4 d Encontre o valor de quando e d Transpomos os termos da esquerda e colocamos a equação na orma ( 4 ( Aqui ( + + ( + 6 e assim Portanto quando e d d d d onde e ( + + ( + 6 Em geral dada uma equação na orma ( onde igurem três variáveis ela pode ser resolvida para uma das variáveis por eemplo em termos das outras duas variáveis e z Esta solução tem a orma g( então ( g( é válida para todos os pontos ( no domínio da unção g Dizemos também que a equação ( deine implicitamente como uma unção g de e z Assumindo que as unções e g sejam dierenciáveis podemos tomar as derivadas parciais em relação a e também em relação a z em ambos os lados da z z + z e equação ( para obter ( ) + ( ) ( ) ( + ( + ( Visto que e z são variáveis independentes temos e Portanto podemos representar a equação anterior sob a orma ( ( e 8

18 ( ( Então se ( obtendo ( ( e podemos resolver e ( ( Derivadas Direccionais e Gradiente no Plano Consideremos um campo escalar no plano descrito por uma unção dierenciável a duas variáveis Desse modo se z ( z ( z é o valor do campo escalar no ponto P ( então z Seja L uma recta no plano L Quando P se move ao longo de L z pode variar e az sentido perguntar pela P ( taa de variação dz ds de z em relação à distância s O medida ao longo de L : De modo a encontrarmos dz ds introduz-se um vector unitário u a i + bj paralelo a L na direcção do movimento de P ao longo de L : Se P ( está a s unidades de um z ponto iado P ( ) em L então s P P su ; isto é L ( ) i + ( ) j asi + bsj j u a i + bj Igualando os P ( ) termos tem-se as e bs ; isto O i é + as e + bs Portanto tem-se d d dz d d a e b seguindo-se a regra da cadeia + a + b A ds ds ds ds ds derivada dz ds que é a taa de variação do campo escalar z em relação à distância medida na direcção do vector unitário u é denominada derivada direccional de z - ou derivada direccional da unção - na direcção de u e é escrita como D u z - ou D u Temos assim: D z a + b u ou D u ( ( a + + ( b onde u a i + bj Em particular se u é o vector unitário que az um ângulo θ com o eio positivo de então u ( θ ) i ( θ )j cos + sin e D u z cosθ + 9

19 sinθ + ou D ( ( cosθ + ( ) sinθ u Eemplo Encontre a derivada direccional de ( no ponto ( ) direcção do vector a i + 4j na As derivadas parciais de são ( 6 ( portanto ( ) ( ) Assim a derivada direccional em ( ) é D ( ) ( ) u + ( ) u u u u + + onde u e u são componentes do vector unitário na direcção da dierenciação Então se a i + 4j a 4 u i 4j i j a ( + ) + i j 4 48 u + u Logo D u ( ) As derivadas direccionais de z nas direcções dos eios positivos de e são as derivadas parciais e z em relação a e respectivamente A derivada direccional D u z pode ser epressa no orma de produto escalar: D u z a + b a + + b ( ai + bj) i + j u i + j O vector i + j cujos componentes escalares são as derivadas parciais de z com respeito a e é denominado gradiente do campo escalar z - ou da unção e é escrito como z - ou como Tem-se assim: O símbolo um delta grego invertido é chamado de nabla z i + j ou ( ( i ( j a derivada direccional como + e podemos escrever Du z u z ou D u ( u ( Assim e traduzindo por palavras a derivada direccional de um campo escalar numa dada direcção é o produto escalar desta direcção pelo gradiente do campo escalar Eemplo Se z 4 5 encontre a) z b) o valor de c) a derivada direccional z D u no ponto ( ) z no ponto ( ) e e na direcção do vector unitário

20 ( cosπ ) i + ( sinπ )j u a) z i + j ( 8 5 ) i + ( j b) No ponto ( ) 8( ) 5( ) c) No ponto ( ) [ ] + ( )( ) [ ] j 9i + j z i 6 π π D u z u z cos i + sin j ( 9i + 6j) π π cos + 6sin ( 9) + ( 6) 6 9 Se iarmos um ponto ( ) no plano então a derivada direccional D ( ) u ( ) que o vector gradiente ( ) está iado Se α é o ângulo entre u e ( ) u depende apenas da escolha do vector unitário u visto O α ( ) : então pela deinição de produto escalar u direcções no ponto ( ) Tomando ( ) D u u ( ) ( ) u ( ) cosα Uma vez que u então D ( ) ( ) cosα u Quando variamos o ângulo α na última órmula obtemos o valor da derivada direccional em várias π α temos cos α ou seja Então podemos dizer que: i) A derivada direccional é nula quando tomamos a direcção perpendicular ao gradiente Desde que cos α assume o seu valor máimo ou seja quando α podemos dizer que: ii) A derivada direccional assume o seu valor máimo quando tomamos a direcção do gradiente e esse valor máimo é ( ) Por outras palavras o gradiente de um campo escalar calculado num ponto P é um vector cuja direcção indica a direcção na qual o campo escalar aumenta mais rapidamente enquanto o módulo do vector gradiente é numericamente igual à taa

21 instantânea de aumento do campo por unidade de distância nesta direcção quando no ponto P Vectores Normais e Curvas de Nível no Plano Consideremos um campo escalar no plano dado por z ( onde é uma unção dierenciável A curva no plano ao longo da qual z tem valor constante por eemplo k tem a equação ( k e tem um vector unitário T d d i + j onde ds ds s é o comprimento do arco medido ao longo da curva: Vector Dierenciando ambos os normal lados da equação π ( k em relação a s pela utilização ( da regra da cadeia T d d obtém-se a equação O ( + ( ds ds isto é ( ) T ( ) k O vector gradiente num ponto P de um campo escalar é normal à curva de nível do campo que passa por P se houver tal curva de nível em P Uma i vez que ( ) ( ) + ( )j é normal à recta tangente à curva de nível do campo escalar z ( no ponto ( ) ( )( ) + ( )( ) a equação da recta tangente é Eemplo Encontre um vector normal e a equação da recta tangente à curva no ponto ( ) A curva pode ser considerada como a curva de nível ( do campo escalar 5 ( onde ( 4 + Nesse caso ( 4 z 4 ( e o gradiente de no ponto ( ) é dado por ( ) ( ) i + ( ) j 4i 9j Logo 4i 9j é normal à curva em ( ) equação da recta tangente à curva em ( ) é 4 ( ) 9( ) Também a ou

22 Derivada Direccional e Gradiente no Espaço Tal como uma unção a duas variáveis pode ser considerada como um campo escalar no plano uma unção a três variáveis pode ser descrita como um campo escalar no espaço z w z isto é podemos pensar em z relacionando-a w com o escalar w dado por ( para cada ponto ( w do seu domínio: Como eemplo temos os O ( campos de temperatura pressão volume densidade potencial eléctrico etc Tudo o que vimos para campos escalares no plano estende-se naturalmente para campos escalares no espaço z Por eemplo se ( w onde é uma unção dierencial deinimos o gradiente de w - ou w w w de - por w i + j + k z z z ou ( ) ( ) i + ( ) j + + ( k Se u é um vector unitário no espaço z é ácil mostrar que a taa de ( ) variação do campo escalar w em relação à distância medida na direcção de u é dada pela derivada direccional Du w u w ou D u ( u ( Tal como para campos escalares no plano o gradiente de um campo escalar no espaço z indica a direcção para a qual a derivada direccional atinge o seu máimo e o seu módulo é numericamente igual a essa derivada máima Eemplo Encontre a derivada direccional de ( z + z ( ) P na direcção do vector a i + j k no ponto ( ( z ( z + ( z ) j + ( + )k i + z z Então ( a u a 9 ( ) 4i + j + k ( i + j k ) i + j k Portanto D ( ) ( ) u ( 4) + + () + () u

23 Derivada Total é tal que as variáveis u v dependem por sua vez da Se a unção z ( u v) única variável : ( ) ; u ϕ( ) ; v ψ ( ) ela é em suma unção duma só dz variável ; pode-se então propor calcular a derivada Esta derivada pode ser d calculada segundo a primeira das órmulas: dz d u v u v mas como u v não dependem senão de uma só variável as derivadas parciais dz correspondentes são de acto derivadas ordinárias; além disso logo d d du dv d u d v d É a órmula da derivada total dz - por oposição à d derivada parcial z Eemplo - z + sin Calcule a derivada total d dz d cos ; + + cos + d d d + sin cos Superícies de Nível Rectas normais e Planos Tangentes Seja uma unção dierenciável a três variáves Se k é uma constante pertence à imagem de então o gráico no espaço z da equação ( k é denominado uma superície de nível para - ou para o campo escalar ( determinado por Suponha-se que ( z ) w é um ponto sobre a superície de nível ou seja ( z ) k e considere-se que ( z ) Deinimos então a recta normal à superície de nível no ponto ( z ) sendo a recta contendo o ponto ( z ) como e paralela ao vector já 4

24 conhecido - gradiente ( z ) : Assim na orma escalar simétrica a equação da recta normal à superície z ( k recta normal z ( ) de nível ( k no ponto ( z ) é ( z ) O z z O ( z ) ( z ) plano contendo o ponto ( z ) e que é também perpendicular ao vector gradiente z ( z ) é denominado plano recta normal tangente à superície de nível ( k plano tangente ( k no ponto ( z ) : Na orma escalar a equação O do plano tangente à superície de equação ( k em ( z ) dada pela epressão ( z )( ) + ( z )( ) + ( z )( z z ) Agora seja C uma curva sobre a superície ( k é que se segue: ou seja as coordenadas e z de qualquer ponto P ( de C satisazem a equação ( k O z : Usando a regra da cadeia dierenciamos ambos os lados da última equação em relação ao comprimento de arco s medido ao longo de C para obter d ds + d ds + dz ds ; isto é d d T onde T i + j + ds ds dz + k Portanto o vector unitário tangente T à curva C sobre a superície ds ( k ( k recta normal é perpendicular ao vector gradiente O plano tangente à superície 5

25 ( k no ponto P contém o vector tangente a P para toda a curva sobre a superície que passa por P 4 Eemplo O gráico de g ( no ponto ( 6) Encontre as equações a) do plano tangente e b) da recta normal para a superície dada no ponto indicado 4 ( e g ( 7 daí ( ) g g ( ) + g e a) O plano tangente tem equação z g( ) + g ( )( ) + g ( )( ) ( ) ( ) 6 ou z b) A recta normal tem equação + 6 z g g ( ) ( ) z g ( ) ou 6