Notas de aula: Cálculo e Matemática Aplicados à Notas de aula: Gestão Ambiental

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1 Notas de aula: Cálculo e Matemática Aplicados à Notas de aula: Gestão Ambiental 3 Limites Considere a função f definida por: Qual o domínio dessa função? Se 1, então f () é dada por: (2 + 3)( 1) , com o respectivo gráfico: 1? O que acontece com a função quando se aproima de 1, por valores menores do que 0,9 0,99 0,999 0,9999 0,99999 f () 4,8 4,98 4,998 4,9998 4,99998 Vejamos agora, o que acontece com a função quando se aproima de 1, por valores maiores do que 1. 1,1 1,01 1,001 1,0001 1,00001 f () 5,2 5,02 5,002 5,0002 5,00002 Pode-se notar que em ambas as tabelas, quando se aproima de 1, f () se aproima de 5. E ainda, é possível fazer o valor f () tão próimo de 5 quanto desejarmos, bastando, para isso, fazer o valor de suficientemente próimo de 1. Observe, 1

2 4,8 < f () < 5,2 sempre que 0,9 < < 1,1 4,98 < f () < 5,02 sempre que 0,99 < < 1,01 4,998 < f () < 5,002 sempre que 0,999 < < 1,001 4,9998 < f () < 5,0002 sempre que 0,9999 < < 1,0001 4,99998 < f () < 5,00002 sempre que 0,99999 < < 1, Desse modo, 5 ε < f () < 5 + ε sempre que 1 δ < < 1 + δ, ou ainda, f () 5 < ε sempre que 0 < 1 < δ. Por eemplo, a primeira epressão acima ocorre fazendo-se ε = 0,2 e δ = 0,1. A segunda epressão corresponde a ε = 0,02 e δ = 0,01 e assim por diante. Note que o tamanho de δ depende do tamanho de ε. Dizemos que o ite de f () quando se aproima de 1 é igual a 5, ou em símbolos, 5. 1 Definição: Seja f uma função definida num intervalo aberto contendo a (eceto possivelmente o próprio a) e seja L um número real. Então, se para todo ε > 0, eiste um δ > 0, tal que L f () L < ε sempre que 0 < a < δ. Nota: f () pode tornar-se tão proimo de L quanto se deseja, escolhendo-se suficientemente próimo de a, mas não igual a a. Teorema (da unicidade): Se L 1 e L 2, então L 1 = L Propriedades dos ites de funções P1 Se m e b são constantes quaisquer, então: (m + b) = ma + b. C1 Se c é uma constante, então c = c. 2

3 C2 = a Eemplos: (a) 1 8 (b) 8 2 (c) (d) 4 (3 5) (e) (13 + 2) 2 P2 Se L e g() = M, então, [ f () ± g()] = f () ± g() = L ± M. C Se f 1 () = L 1, f 2 () = L 2,..., f n () = L n, então, P3 Se L e g() = M, então, [ f 1() ± f 2 () ±... ± f n ()] = L 1 ± L 2 ±... ± L n. [ f () g()] = L M. C1 Se f 1 () = L 1, f 2 () = L 2,..., f n () = L n, então, [ f 1() f 2 ()... f n ()] = L 1 L 2... L n. C2 Se L e n for um número inteiro positivo qualquer, então, [ ] n [ f ()]n = L n. P4 Se L e g() = M e M 0, então, f () g() = f () g() = L M. P5 Se L, então, n n Se L > 0 e n for um inteiro positivo qualquer, ou n L, Se L < 0 e n for um inteiro positivo ímpar qualquer. 3

4 P6 Se g é uma função tal que g() = f () é válida para todos os valores de pertencentes a algum intervalo ao redor de a, eceto = a, então, g() = f (), se os ites eistirem. Eemplos: Nos eercícios abaio, ache cada ite. (a) ( ) (b) π (c) π + π 2 49 (d) 7 7 (e) Limites Laterais Definição 1: Seja f definida em um intervalo (a, c). Então, o ite de f () quando tende a a pela direita será L, escrito L, + se, para qualquer ε > 0, eiste um δ > 0, tal que, f () L < ε sempre que 0 < a < δ. Definição 2: Seja f definida em um intervalo (d, a). Então, o ite de f () quando tende a a pela esquerda será L, escrito L, se, para qualquer ε > 0, eiste um δ > 0, tal que, f () L < ε sempre que δ < a < 0. 4

5 Então, L significa que podemos fazer f () L tão pequeno quanto desejarmos, tomando suficientemente próimo de a, porém maior do que a. + Analogamente, L significa que podemos fazer f () L tão pequeno quanto desejarmos, fazendo suficientemente próimo a a, porém menor do que a. Teorema: f () é igual a L se e somente se f () e f () eistirem e forem + ambos iguais a L. Eemplos: Em cada eemplo, trace o gráfico da função, ache os ites laterais da função quando a e quando a + e determine o ite da função quando a, se eistir. { + 1, se < 1 (a) a = , se 1 {, se 0 (b) a = 0. 2, se = 0 (c) {, se 0 1, se = 0 a = Limites no Infinito Considere a função f definida por: Com o seguinte esboço do gráfico: Na tabela a seguir, podemos observar alguns valores da função: 5

6 , ,9998 1, , ,9998 1, Observe que, a medida que cresce iitadamente através dos valores positivos ( + ), ou decresce iitadamente através dos valores negativos ( ), os valores da função f () se aproimam cada vez mais de 2. Logo, = 2 e = 2. Definição: Suponha que a função f esteja definida em um intervalo (a, + ) [respectivamente (, a)]. Dizemos que, [ L respectivamente + ] L, se para todo ε > 0, eiste um número positivo N [respectivamente, um número negativo N], tal que f () L < ε sempre que > N [respectivamente, < N]. Teorema: Se r é um numero inteiro positivo qualquer, então = 1 + r = 0 e 1 r = 0. Eemplos: Calcule os ites: (a) (b) (c) (d) Limites Infinitos Observe o gráfico da função 3 ( 2) 2. 6

7 Escrevemos, Portanto, 3 3 = + e 2 ( 2) ( 2) 2 = ( 2) 2 = +. Definição 1: Seja f definida num intervalo aberto contendo a, eceto possivelmente no próprio a. Dizemos que: +, se para qualquer N > 0 eistir um δ > 0 tal que f () > N sempre que 0 < a < δ. Observação análoga pode ser feita para, se para qualquer N < 0 eistir um δ > 0 tal que f () < N sempre que 0 < a < δ. Observações: (i) Definições semelhantes podem ser feitas ao trocarmos a por a. a + ou (ii) Limites infinitos no infinito podem ser considerados Propriedades: P1 Se ± e g() = c, c constante qualquer, então 7

8 (i) [ f () + g()] = ± (ii) Se c > 0, então [ f () g()] = ± (iii) Se c < 0, então [ f () g()] = g() (iv) 0 P2 Se 0 e g() = c, c constante não nula, então: (i) Se c > 0 e se f () 0 através de valores positivos de f (), g() + (ii) Se c > 0 e se f () 0 através de valores negativos de f (), g() (iii) Se c < 0 e se f () 0 através de valores positivos de f (), g() (iv) Se c < 0 e se f () 0 através de valores negativos de f (), g() + As propriedades acima continuam válidas se a for substituído por a +, a, + ou. Eemplos: 2 (a) (b) + 1 (c) (d) (e)

9 3.5 Assíntotas Horizontais e Verticais Observe o gráfico da função Note que, 5 + e. + 5 A reta vertical, = 5, é chamada assíntota vertical. Definição: Diz-se que a reta vertical = a é uma assíntota vertical do gráfico da função f se pelo menos uma das afirmações seguintes for verdadeira: (i) (ii) (iii) (iv) De modo análogo, no eemplo, a linha horizontal y = 2 é chamada assíntota horizontal do gráfico, pois 2 e 2. + Definição: Diz-se que a reta horizontal y = b é uma assíntota horizontal do gráfico de uma função f se pelo menos uma das afirmações seguintes for verdadeira: (i) + b (ii) b 9

10 Eemplos Nos eemplos abaio, ache as assíntotas horizontais e verticais do gráfico de f (se houverem) e trace o gráfico: (a) (b) (c) Teoremas Adicionais Sobre ites de Funções Teorema do confronto ou do sanduíche : Se f () g() h() para todo em um intervalo aberto contendo a, eceto possivelmente em a, e se h() = L, então g() = L. 1 o Limite Fundamental: sin = 1. Eemplos Calcule os ites abaio: (a) tan (b) sin5 (c) sin5 sin2 2 o Limite Fundamental: em que e = 2, Observação: Sendo y = 1 ( ) = e, +in fty e observando que y 0 quando ±, temos que, (1 + y) 1 y = e. y 0 Eemplos (a) Calcule os ites abaio: ( ) + 10

11 (b) (c) (d) ( ) +5 + ( 1 ) Continuidade Definição: Diz-se que f é contínua em um ponto a se são satisfeitas as três condições seguintes: (i) eiste f (a) (ii) eiste f () (iii) f (a). Se uma ou mais destas três condições não for verificada em a, dizemos que a função f é descontínua em a. Eercícios 1. Seja f definida por: { (2+1)( 2) 2 se 2 0 se = 2 2. Estude a continuidade de f no ponto = Seja a função definida por { 3 + se 1 3 se > 1 4. Seja f definida por { se < se > geq1 Estude a continuidade de f em = 1. 11