CÁLCULO DIFERENCIAL 2 o Semestre de 2012 Prof. Maurício Fabbri. Roteiro de aula e 1 a Série de Exercícios

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1 CÁLCULO DIFERENCIAL o Semestre de 1 Pro. Maurício Fabbri Roteiro de aula e 1 a Série de Eercícios,1 A unção linear; regiões no plano; inclinação e taas de variação RETAS E REGIÕES NO PLANO Escreva a equação da reta que passa pelos pontos marcados. A reta divide o plano em duas regiões. Deina essas regiões em termos das coordenadas (,) de seus pontos Eercício 1: Marque no plano (,) os pontos tais que (a) = (b) < + 1 (c) + 3 (d) < + (e) (+1) (7 ) e 1 () ( ) e (3 1) A EQUAÇÃO DA RETA (unção linear) = A + B A = inclinação da reta (coeiciente angular) B = ponto de zero ( oset ) (se a reta or paralela ao eio, sua equação será = ) A < A > A = A A < B A > Se A aumenta, a reta varia mais rapidamente A Se B varia, mudamos apenas o oset MFabbri, 1

2 Se uma reta passa pelos pontos ( 1, 1 ) e (, ), 1 sua inclinação será A = 1 1 = 1 RETA DETERMINADA POR DOIS DE SEUS PONTOS (r) Eercício : Escreva as equações das retas (r) e (s), e escreva um conjunto de relações entre e que deina a região sombreada R. R (s) Eercício 3: Determine a equação da reta que passa pelos pontos: (a) (1,) e (7,) (b) (1,) e ( 1,) TAXAS CONSTANTES DE VARIAÇÃO A reta modela uma taa de variação constante Eercício : A coluna de um termômetro de mercúrio tem 15cm de altura a 5 o C e 7cm a 35 o C. Supondo que a altura da coluna aumenta linearmente com a temperatura, (a) Escreva a órmula que dá a altura da coluna de mercúrio em unção da temperatura; (b) Qual será a altura da coluna quando a temperatura or de 3 o C? (c) Qual a temperatura em que a altura da coluna é de cm? (d) Se a escala do termômetro tiver um total de cm de comprimento, quais as temperaturas máima e mínima que ele será capaz de medir? Eercício 5: O gradiente de temperatura ao longo de uma barra de Alumínio de,5m de comprimento é de 1, o C/cm. A temperatura da etremidade ria é o C. (a) Qual a temperatura na etremidade quente? (b) Escreva a órmula que dá a temperatura em uma posição da barra em unção da distância à etremidade ria. (suponha que a etremidade ria está na posição ) (c) Qual a temperatura no meio da barra? (d) Em que posição a temperatura é de 5 o C? Eercício : O rebanho de um azendeiro A conta com quinhentas cabeças, e cresce à razão de cinquenta cabeças por ano. Já o rebanho de outro azendeiro B conta com mil cabeças, mas cresce apenas à razão de vinte cabeças por ano. Supondo que essas taas de crescimento se mantenham, depois de quanto tempo os dois rebanhos terão o mesmo tamanho? Quantas cabeças teríamos então em cada rebanho? MFabbri, 1

3 Eercício 7: Um recipiente contém mil litros de água, mas está aberto e a água evapora à taa de cinco litros por dia. Em outro recipiente, há duzentos litros de solvente, que absorve água da atmosera, de modo que seu volume aumenta à taa de dois litros por dia. Se essas taas permanecerem ias, depois de quanto tempo os dois recipientes terão o mesmo volume de líquido? Nesse instante, quantos litros teríamos em cada recipiente? INCLINAÇÃO E TRIGONOMETRIA α A = tan(α) = inclinação da reta (coeiciente angular) = taa de variação α Eercício : Esboce no plano cartesiano retas que passem pelo ponto (,1) e tenham inclinações (a), 1,, 5, 1 e (b) e (c) e 1/ (d) e A EQUAÇÃO DA RETA NA FORMA GERAL Qualquer reta no plano (,) pode ser descrita por uma relação do tipo a+b +c = - se a reta or paralela ao eio, teremos b= - se a reta or paralela ao eio, teremos a= - se c =, a reta passa pela origem (,) - nessa orma, a inclinação da reta será a/b C Eercício 9: (a) Encontre a equação das retas suportes de cada uma das B a arestas do polígono ABCDE. (b) Escreva um conjunto de relações entre e que deina o interior do polígono. (c) Encontre as coordenadas dos pontos a, b e c. (d) Calcule a área do polígono. A - E 1 c b - D -3 MFabbri, 1

4 TAXA MÉDIA DE VARIAÇÃO O incremento de () entre 1 e é () = ( ) ( 1 ) ( ) A taa média de variação de () entre 1 e é ( 1 ) β ( ) ( ) 1 = 1 = tan( β) 1 NOTE que essa taa média depende dos pontos escolhidos. A taa média é igual à inclinação da secante que passa pelos pontos ( 1, ( 1 )) e (, ( )). Eercício 1: (a) Encontre a inclinação da secante à parábola = que passe pelos pontos (1,1) e (, ). (b) Idem, pelos pontos (1,1) e (1,5 ;,5). Eercício 11: (a) Encontre a inclinação da secante ao gráico da unção () = + 9 pelos pontos com abscissas = e = 3. (b) Idem, pelos pontos com abscissas = e =. (c) Idem, pelos pontos com abscissas = e = 3. 1 Eercício 1: A curva característica de um determinado diodo de silício, com polarização direta, é mostrada ao lado. (a) Encontre a inclinação da reta secante a essa curva que passa pelos pontos com correntes de ma e 1mA. (b) Idem, pelos pontos com tensões de,v e,7v. Respostas com dois signiicativos. 1 ] A m [ 1 I d 1,5,5,55,,5,7,75 V d [ V ] Eercício 13: (a) Encontre a inclinação da secante à parábola = que passe pelos pontos (1,1) e ((1+δ), (1+δ) ), para δ = 1,,5,,1 e,1. (b) qual deve ser a inclinação da tangente à parábola = pelo ponto (1,1)? (c) aplique a mesma técnica para encontrar a inclinação da tangente ao gráico da unção = 3 pelo ponto (1,1). MFabbri, 1

5 RESPOSTAS 1.. (r) = + 3 (s) = (a) = + 1 (b) = 3 R (a) 7 15 h [cm] h = AT + B h 7 15 o A = = = 1, cm/ C T 35 5 h = 1,T + B 15 = 1,(5) + B B = 15 o T em C h = 1,T T [ o C] h em cm (b) h(3 o C) = 1,(3) 15 = 3,cm (c) = 1,T 15 T = 9, o C (d) no mínimo, teremos h = = 1,T 15 T min = 1,5 o C no máimo, teremos h = cm = 1,T 15 T ma = 79, o C 5. (a) como a temperatura varia 1, o C em cada cm, e a barra tem,5m = 5cm, segue que a temperatura na etremidade quente é de 1, 5 = 53 o C. (b) posicionando a barra de modo que a etremidade ria esteja em = e que a etremidade quente esteja ao longo do eio e na direção de positivo, teremos T = 1, + em cm o T em C MFabbri, 1

6 (c) como a variação é linear, a temperatura no meio da barra pode ser encontrada por uma média aritmética simples (ou seja, a temperatura no meio é o meio da temperatura ): 53 + o TM = = 35 C (d) 9,cm (conira que o resultado é o mesmo se voce utilizar a equação encontrada no item anterior). 1anos e meses ; cerca de 133 cabeças dias e 7 horas ; 9 litros. (a) (b) (c) (d) 9. (a) (b) AB : = BC : = CD : = + DE : = + 1 EA : = (c) a : = 17/5 = 3, b : = / 3,7 c : = /3 1,3 (d) área = 1 trapézio + 1 retângulo + 1 quadrado 1 metade do retângulo metade de outro retângulo = 5 (+3) / (1 )/ ( 3)/ = 7/ = 13,5 1. (a) 3 (b),5 11. (a) 1 (b) (c) 3 1. (a) 9mA/V = 9mΩ (b) 51mA/V = 51mΩ 13. (a) 3 ;,5;,1 ;,1 (b) (c) 3, 1 Maurício Fabbri MCT/INPE: Universidade São Francisco USF Itatiba/Campinas São Paulo - Brazil Permitido uso livre para ins educacionais, sem ônus, desde que seja citada a onte. MFabbri, 1