Respostas dos Exercícios

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1 Respostas dos Eercícios APÍULO EXERÍIOS. 9 a) ( ) / / + + b) ( + ) arctg( + ) + 5 t c) ln( e + ) + d) sen(5 ) + 5 7/ 5/ / 5/ / e) ( + ) ( + ) + ( + ) + ) ( + ) ( + ) / 8 / g) ( t ) + ( t ) + h) ln sec + 5 / /6 / i) j) ( ) / ( 6) / 7 / k) + 6 6ln( + ) + l) ( + 9) ( + 9) /5 5 /5 m) ( + ) (+ ) + n) arctg / 5/ / o) ( + e ) ( + e ) + ( + e ) EXERÍIOS.. a) (ln ) + b) e (sen cos ) + c) cos + sen + d) ln + e) ( cossec cotg + ln cossec cotg ) + ) arctg ln( + ) + e g) ( )cos + sen + h) + + / i) (ln ) 9 + j) cos ( ln(cos )) + k) sec ln sec + tg + l) e e m) sen5 cos5+ n) ( 9 6+ ) o) ( )sen+ cos+

2 . t e pt () t + + EXERÍIOS. 5 sen. a) + b) sen + sen cossec cossec 5 7 c) + + d) cos + cos cos cos tg tg e) + ) + tg g) cos cos + h) tg + tg + tg tg i) + j) tg cotg + k) sen sen + l) cossec cotg + cossec cotg ln cossec cotg EXERÍIOS.. a) arctg + b) ln + + c) e) 6 ln + + d) + + ) arcsen 5 (5 ) 9 arcsen ln + + EXERÍIOS.5 5 a) + 6ln + + b) ln + 5ln + + c) ln ln + + ln + d) + ln + + e) ln( + ) + arctg ln + ) 9 ln( + ) arctg + ln + g) + 5ln + + h) ln + + ln

3 EXERÍIOS EXRAS. ) 0 + 7ln + ) t + ) t 5) + + tg ) arcsen + 9 ln 6) tg ) + + 8) ln + sen 9) arctg + 0) tg5 + 5 ) arctg t+ ) arcsen + ) ( ) + ) e + (+ ) 5) + ln + ln( + ) arctg + 6) sen θ sen θ 7) + 5 8) + ln( + ) + arctg + e 9) + sen( ) cos( e e ) + 0) e + 5 ) cotg cotg cotg + ) 5ln + ln ) e 6 cos + ) + ln + + 5) + 6) e sen cos (6 ) ) e + + 8) tg + + 9) arctg + ( + + ). a),8 b) 7, c),85. 5/. pt () cos t cost+ 0t ,08 0) ( )tg+ ln cos +

4 APÍULO EXERÍIOS. 5. a) + ( ) + 0 b) e c) 0 d) ln( + ) + e) ln + sen 0 ) ± ln + + g) + e e + 0 h) i) j) + e ± + k) ± + l) 6. a) tg( ) b) e t ( t ) + 7. k - ou k. ln onsiderando 0 < temos a) t + () t. b), unidades de tempo. t, onde t 0 + e ( e ); quando. 8 8 EXERÍIOS.. t () ( e kt ), onde k é a constante de proporcionalidade. 0,0880 t. t () 00e t dias e meio. a) aproimadamente anos; b) 9,58 mg. Aproimadamente. anos 0 5. t () p, p p t + e α 0 6. t (), t + e β 0 0

5 7. Q(0) 60 bactérias 8. 9, gramas; 60 quando t + ; 0 grama de A e 0 gramas de B. 9. (0) 8; ( t) 000 quando t + EXERÍIOS.. a) c) e) g) sen (e ) b) + e + e d) e ( + ) cos( ) sen + + ) e ( ) + e + h) e ( ) 5 0,0 t. a) t e b) t 500 gr quando t +. t 7h, min. Levará aproimadamente 8 seg para atingir 90º e 6 seg para atingir 98º. 5. Aproimadamente 5º. 6. i t 00t 0,( e ), it 0, quando t ,0( t t qt e ), it 0,5e. EXERÍIOS EXRAS. a) a 0 ou a ; b) a 0 ou a -/ 5 /. a) e + e b) ( +) t t t c) t () e 5 + e d) ( + ) + 6 t t t e) t () e e 5 g) e ) e + e 5 5 h)

6 a) A solução é decrescente para 0 > /5 e crescente para 0 < /5. b) () /5 quando e independe do valor de a) > para 0 0 e - < < para 0 0. b) () 0 quando e independe do valor de A solução do PVI é dada implicitamente por d onde 0, ou seja, em -/. d anos. 8. 0/ gramas. t 9. a) Qt () e00 ( t + 00) b) 0. A solução tem um etremo local e 0 (0) gramas por litro t,7 h. t 0,5 h horas 5. (),67 F; Aproimadamente 0,06 min. t/0 60( e ), 0 t 0 7. it () t/0 60( e ) e, t > 0 ( t t )/ R 8. Et () Ee 0 k sen t 9. Pt () Pe estudantes inectados

7 APÍULO EXERÍIOS. (a) d 5 (b) d 86 9,7 EXERÍIOS. ( ). a), b) b, b+ +Δ,, c) d) Δ (, +Δ ) (, ) Δ { } 7 D, : ; (,) ; 8 b) D, : ± ;,5 ; {, : }. a) D, : + b) D { } {, : } c) D, : ± d) D >. a), 5 b) (, a a) 9a c) ( ) + ( ). a) t, t t t 0 b) {, : } 5. D 6. a) + ( ab a b) a b ( a b) 0, 0 0 6, 0 { },, + APÍULO EXERÍIOS. z ; z ln e ( ). a) z 5 ; z 5 b) c) z cos ; z sen d) e z 7 e ( + ) ; z 7e ( + )

8 6 8 e) z ; z ) z ; z g) z cos sen ; z sen h) z e ( ln ) ; z e ( ln ) i) j) k) z + ; z ( + ) ( + ) - z + z ; - z + z ; z z z + + z + z z ( + z) ( + z) ( + z) wz wz z z wz z w w w w ; ; ; z Vm R Vm R. ; P P P P 5. (, ), ( ;, ) 6,8 EXERÍIOS... d V dp P dv + dt R dt R dt d dp abv av dv R ( V b) + P+ dt dt V dt dv. a) 0,88 π cm / min b) dt da dt 0,6 π cm / min. ds dt 0,0766 cm / ano 5. a) A produção de trigo diminui a medida que a temperatura aumenta. A produção de trigo aumenta a medida que a chuva aumenta. dw b), (Nestas condições, a produção de trigo diminuirá cerca de, unidades por ano.) dt

9 6. di dt 5, 0 / A s dv 7. 0,7 dt dw 8. ( t 0) dt 0. 6 dz 6t. a) b) dt dz t dt. a) G '() t te t + cost b) d d G ' 0, 0, 0 +, 0 (, 0 ) 5 dt dt EXERÍIOS.. a) z b) z 5. z. 5 z + 5 z +., 8 (coeiciente angular da reta tangente à curva de nível gerada, no plano z, quando se ia ), (coeiciente angular da reta tangente à curva de nível gerada, no plano z, quando se ia ) 5. (a) 0 e (b) 0 e 9

10 6. (,), (a partir do ponto (,) do plano, para cada uma unidade que você anda (aumenta), na direção do eio, o valor de z diminui de, unidades), 9 (a partir do ponto (,) do plano, para cada uma unidade que você anda (aumenta), na direção do eio, o valor de z diminui de 9 unidades) I 7. (a) 0,885 +, h (taa de variação da temperatura aparente em relação a temperatura do ar, t h mantendo a umidade relativa do ar como constante). I, +,t h t mantendo a temperatura do ar como constante). (taa de variação da temperatura aparente em relação a umidade relativa do ar, (b) I I,85 e t h 0,8 h t o 6 EXERÍIOS.. a) {, : 0, } D V V> V b b) P R a + V ( V b) V P R ; ; V b V V ( V b) P R 6a + V V m R V m. P P P. a) Não satisaz o teorema ( ) b) Satisaz o teorema ( ) 6. a) b) c) d) + 8 ; 6 ; 6 ; ; 0 ; 0 ; e ; e + e ; e + e ; e ( ( + ) + + )

11 e) zz + ( z ) z EXERÍIOS.5. a) (0,0,0) é um ponto de mínimo relativo c) (0,0,5) é um ponto de sela e) não eistem pontos de máimo, mínimo ou sela. a) Máimo absoluto em, b) Máimo absoluto em (, ). (0,0,0) é um ponto de sela (,,) é um ponto de máimo relativo. Os números são: z 8 9. A antena deve ser instalada no ponto 5, EXERÍIOS.7 dv. a) V. b) Quando α 0 e β 0, tem se que V cte (que signiica que se trata de um luido (líquido) incompressível. c) d) αd βdp - bar V, 67 cm EXERÍIOS.9 a. onsidere F( P,, V) P+ ( V b) R 0 e utilize derivação implícita. V

12 ( b) av + R V V P a av b P + V V ( ) EXERÍIOS EXRAS z +. a) sen( ) z ; sen( + ) z b) e cos( + ) + sen( + ) ; e cos( + ) sen( ) z +. a) ; 5 + z b) ' ; z ' c) z ' cos sen ; z ' cos sen d) z + + ; z + z e) ln( ) ; z z + ) e [ ] z ; e [ + ] z g) sen + ; z sen w h) 7 ln w., 7 ; w 7, 7+ ln + + K.

13 5. a) 6 6 b) 6 c) 6e e d) + e e e) ) h h + e e ( + e ) g) h) e + ( ln ) e ( ln ) e + e i) e e ( ) j) sen cos cos 6. a) V R e Lh 5R P b) S Rln ( π mk) c) 5R R R + P d) P V 5R + P 7. V V nr e 0 P Pn, n, 8. H RI t,8 I calorias/s 9. ρ 760ρ ρ 760ρ e + 7P P P 7 P 0 0 A 0. a) h r π 58 b) A r h 9π 58. P B V β V V V P m μ m m μ μ V μ V V V V V μ V V μ μ V V P V P P B μ μ μ μ V μ V μ

14 H. é uma constante positiva H é unção crescente da temperatura e que H é linear. Portanto, a P isóbara é uma reta com coeiciente angular positivo e igual a possível saber se a reta passa pela origem ou não. 9. 0,%. Escreva a dierencial total para U e divida a equação obtida por dv, com P constante. 5 R. Somente com a inormação dada não é. (a) S V nr (b) omo n, R e V são grandezas positivas, segue que S V S crescentes. alculando a derivada segunda de S em relação a V, concluímos que V será côncava para baio. > 0 as isotermas são curvas monótonas < 0 e, portanto, a curva 6. U V V U U V U U V V V V U U U U V U V V U U V V U V omo U μj V V U V U segue que μj V V APÍULO 5 EXERÍIOS 5..,... ( + b) ab a

15 a 5. EXERÍIOS 5.. 0,. 8 0 (, ). a) dd, b) dd. a) Para uma unção contínua, a airmação é alsa. b) Verdadeira, pois dd dd 8 5. a) 0,07 b) 0,59 c) - d) 0, a) 5,7 b),7 c) 0,55 d) 0,57 e) 59,5 ),5 g),08 h) 0,5 i) 0,8 j),66 k),097 π e 7. a) b) c) d) 8 EXERÍIOS 5. EXERÍIOS 5. EXERÍIOS a) VM 6 b) VM c) VM 0 d) VM e EXERÍIOS 5.7 R { r, θ : 0 r + cos θ, 0 θ π}. a) π π R { r, : 0 r cos θ, - θ } b) ( θ) 5. A π

16 EXERÍIOS EXRAS. (a) e e e dd e (b) dd + (c) e cos dd 0,8 0 0 (a) (b). (a), (b) 9,06 d) cos6 e) 0,5 ) 0,05 g) 6π 5π 5. (a) (b) 5 ( ) e 0 6. (a) (b),6 7. (a) 8 (b),5 (c) 0,5

17 dd 8. a) (, ) b) (, ) c) (, ) + (, ) 0 0 dd e 0 e ln dd dd V π. 6π 5. V 6. e 7. Área 7,87 8. ( cos8) ,5.. ka e R. Falsa. V 8 dd APÍULO 6 EXERÍIOS 6.5, e,6. a) v() a() π π. a) v 0,87i 6,9 j e a 0,5i 8 j 6 6 j 9 v 0 i j e a 0 i + j. a) v( ) i j e a i + b) v 0, 6 v 0, r t i t t j t ) k t 5. a) () ( 6. b) r' () t i + tj t r t 7+ t + t i + t t j + + t k b) () 7. + t + t z 8+ t

18 EXERÍIOS b),9 EXERÍIOS 6.9 a) e b) c) π EXERÍIOS 7.0 ) EXERÍIOS EXRAS 9. ka