Matemática 2 Engenharia Eletrotécnica e de Computadores

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1 Matemática Engenharia Eletrotécnica e de Computadores Eercícios Compilados por: Alzira Faria Ana Cristina Meira Ana Júlia Viamonte Carla Pinto Jorge Mendonça

2 Teórico-prática. Indique o domínio das funções: a ) f e 4 b ) f 4 c ) f ln d f ) 4 e ) f e f ) f 5 6 g ) f 5 h ) f 4 4 log se e se i ) f j ) f se 9 se. Mostre, recorrendo às regras de derivação que se tem: a ) d d + - = - - b ) d d e - e + = e e +. Determine a derivada das funções a)f b ) f c)f d)f e ln e 4 e) f f ) f

3 Teórico-prática Soluções. a ) \, b D,, D f ) f c,, d ) \, ) D f e,, f D,,, ) D f g ) \ 5, 5 h D,, /, D f D f ) f ) f i,, j ) \ ) D f D f. ' a ) f b ) f ' 4 e e) f ' ' f ) f ' c ) f e 6 e d) f 4 4 5

4 Teórico-prática ) Determine e represente geometricamente os domínios de cada uma das seguintes funções: a) f, b) f, ln c) f, d) f, e) f, 4 4 f) f, g) f, f, e e e h) i) f, ln ) Determine e represente geometricamente os domínios e as curvas de nível de cada uma das seguintes funções: f, a) b) f, c) f, d) f, e) f, ln f) f, 4 ) Quais das seguintes funções f têm as seguintes curvas de nível, ; g, ; h,

5 Teórico-prática ) a) ( ) b) D f, c) D f, d) D f, e) ( ) ( ) : : : f) D f, : g) ( ) h) D f, i) D f, : e : Soluções e ) a) ( ) ; curvas de nível: rectas paralelas b) ( ) ; curvas de nível: elipses com centro na origem c) ( ) ; curvas de nível: circunferências com centro na origem d) ( ) ; curvas de nível: elipses com centro na origem e) D f, f) D f, origem : : ; curvas de nível: rectas paralelas 4 ; curvas de nível: circunferências com centro na ) f C e h - B

6 Teórico-prática ) Prove que não eistem os limites: a) lim,, b) lim,, ) Calcule, caso eistam, os seguintes limites: a) lim,, b) lim,, c) lim,, d) lim,, c) lim,, 4 d) lim,,,, = e ao longo da curva =. Que conclusão pode tirar? ) Considere a função f,. Calcule lim f, ao longo da recta 4) Prove que: a) lim,, lim,, b) 6 c) lim,, d) lim,, 5) Verifique se são contínuas as funções: a) f, f b), se se,,,, c ) f d ) f,, se se se,,,, se,,,, Soluções ) a) c) Não eiste limite b) Não eiste limite d) ) Não eiste limite 5) a) Contínua em R \{(, )} c) Contínua em R \{(,): } b) Contínua em R d) Contínua em R \{(,): }

7 Teórico-prática 4. Usando a definição de derivada parcial, determine f (, ) e f (, ) para f(, ) =. Determine as derivadas parciais de primeira ordem das funções definidas por a) f(, ) = -6 + e) f(, ) =sen(/) b) f(, ) = e + sen() f) f(, ) = c) f(, ) = ln(cos()) d) f(, ) =. Calcule as derivadas parciais de segunda ordem das funções definidas por a) f(, ) = sen( + ) sen ( ) c) f(, ) = sen() b) f(, ) = ln() d) f(, ) = ln()+ e 4. Mostre que as funções definidas a seguir verificam as igualdades indicadas '' '' '' a) f (, ) cos tg f f f / '' ' ' '' b) f (, ) e f f f f 4 c) f (, ) e sen f f ' '' d) g (, ) cos( ) log( ) g ' g '' ' ( ' e) h, ) ln h h h '' '' f) w (, ) ln w w 5. Usando o teorema de Schwarz, mostre que não eiste nenhuma função f : IR IR cujas derivadas parciais de primeira ordem são: ' ' a) f, ; f, ' b) f, sen ; f, sen 6. Seja f, lnsen, com (t) = t e t t. Calcule t 7. Considere f, e sen, onde (t, s) = s t t e t e 8. Sendo z F(u ), com u = - z z prove que. 9. Verifique que, para u = f(, ), se tem u + u =. ' ' '' df dt. Calcule f f e. t s. Mostre que as seguintes funções são homogéneas e satisfazem o Teorema de Euler. a) f(, ) = e / + d) f, b) f, c) f, sen

8 Teórico-prática 4 Soluções. f (, )= e f (, ) = -. a) f = 6 6 e f = 6 6 b) f = e + sen() + 4 cos() e f = e + sen() + cos() sen c) f = cos e f = d) f = - e f = ln() sen cos e) f = cos e f = cos f) f = e f =. a) f = f = sen(-) - sen(+) e f = f = -sen(+) - sen(-) b) f = e f = f = e f = c) f = - sen() e f = - sen() e f = f = cos() sen() d) f = ln () + e e f = e f = f = e df dt 6t 9t 6. t cot g t t f e t 7. f e s t t t t s s e cos s e e sen e e cos st com (t, s) = s t e t t e.

9 Teórico-prática 5 ) Sabendo que as equações seguintes definem como função implícita de, determine, para cada uma, a) b) ( ) ) Considere a equação ( + ) z = ln(z) a) Mostre que a equação define z como função implícita de e no ponto (, -, -) b) Calcule ( ) ( ) ( ) c) Calcule dz(, -) ) Determine os etremos relativos de cada uma das seguintes funções: a) f(, ) = b) f, c) f, 5 d) f, e) f, ) Usando a definição, calcule a transformada de Laplace de cada uma das seguintes funções: a) ( ) b) ( ) { d) ( ) { e) ( ) c) ( ) {

10 Teórico-prática 5 Soluções ) ; ( ) ( ) ) ( ) ( ) ( ) ( ) ) a) f(; ) = é mínimo e f(-;-) = 8 é máimo.; b) f(4; 4) = 48 é mínimo; c) f(; ) = é mínimo e f(;-5/) = 5/7 é máimo; d) f(-5;-5) = 5 é máimo; e) f(6; 5) = -86 é mínimo. 4) a) { ( )} d) { ( )} ( ) b) { ( )} ( ) c) { ( )} e) { ( )} ( )

11 Teórico-prática 6 ) Utilizando as propriedades, calcule a transformada de Laplace de cada uma das seguintes funções: a) ( ) b) ( ) ( ) c) ( ) d) ( ) ( ) ( ) ) Calcule a transformada de Laplace de cada uma das seguintes funções: a) ( ) b) ( ) c) ( ) ( ) d) ( ) ( ) ( ) e) ( ) ( ) f) ( ) ( ) ( ) g) ( ) ( ) ( ) ( ) ) Sabendo que ( ) {, calcule: a) ( ) b) { ( ) ( ) ( )( ) }

12 Teórico-prática 6 ) ) a) { ( )} b) { ( )} Soluções c) { ( )} d) { ( )} a) { ( )} ( ) e) { ( )} ( ) b) { ( )} f) { ( )} c) { ( )} ( ) g) { ( )} d) { ( )} ) a) ( ) b) ( ) ( ) ( )

13 Teórico-prática 6 ) Usando a definição, calcule a transformada de Laplace de cada uma das seguintes funções: a) ( ) b) ( ) { c) ( ) { d) ( ) { e) ( ) ) Utilizando as propriedades, calcule a transformada de Laplace de cada uma das seguintes funções: a) ( ) b) ( ) ( ) c) ( ) d) ( ) ( ) ( ) ) Calcule a transformada de Laplace de cada uma das seguintes funções: a) ( ) b) ( ) c) ( ) ( ) d) ( ) ( ) ( )

14 Teórico-prática 6 ) Soluções a) { ( )} b) { ( )} ( ) c) { ( )} d) { ( )} ( ) ) ) e) { ( )} a) { ( )} b) { ( )} c) { ( )} d) { ( )} a) { ( )} b) { ( )} c) { ( )} d) { ( )} ( ) ( ) ( )

15 Teórico-prática 7 ) Sabendo que { }, calcule: a) { } b) { } ) Calcule a transformada de Laplace inversa de cada uma das seguintes funções: a) d) b) e) c) f) ) Utilizando o teorema da convulsão, calcule: a) { } b) { } 4) Sabendo que { } e utilizando a transformada de Laplace da derivada, mostre que: a) { } b) { } 5) Utilizando a transformada de Laplace da derivada, mostre que { } { }

16 Teórico-prática 7 Soluções ) a) b) ) a) b) c) d) e) ) f) a) b)

17 Teórico-prática 7 ) Calcule a transformada de Laplace de cada uma das seguintes funções: a) ( ) ( ) b) ( ) ( ) ( ) c) ( ) ( ) ( ) ( ) ) Sabendo que ( ) {, calcule: a) ( ) b) { ( ) ( ) ( )( ) } ) Sabendo que { ( )} ( ) ( ), calcule: a) { } b) { ( )} 4) Considere as funções ( ) {, ( ) e ( ) ( ) Determine: a) { ( )} pela definição. b) { ( )} c) { ( )}

18 Licenciatura em Engenharia Electrotécnica e de Computadores Matemática / Teórico-prática 7 ) Soluções a) { ( )} ( ) b) { ( )} c) { ( )} ) ) a) ( ) b) ( ) ( ) ( ) a) ( ) b) ( )

19 Matemática - / Teórico-Prática 8. Vericar se as funções seguintes são soluções das equações diferenciais dadas a) ( + )d + d = ; = C b) + = ; = sen 4cos c) + = ; = e d) ( ) + + = ; = ln(). Formar as equações diferenciais das famílias de curvas dadas a) = C b) = C c) = Ce d) = C cos() + C sen(). Utilizando transformadas de Laplace, encontre a solução da equação diferencial que satisfaz a condição inicial dada: a) = e ; () = b) = ; () = c) = e ; () =, () = 6 d) 6 = 4; () =, () = SOLUÇÕES. a) Sim b) Sim c) Não d) Sim. a) = b) = c) = d) + 4 =. a) = e e b) = 5 4 e 4 c) = 4 e + e d) = e4 e 4 4

20 Licenciatura em Engenharia Electrotécnica e de Computadores Matemática / Teórico-prática 8 ) Calcule a transformada de Laplace inversa de cada uma das seguintes funções: a) ( ) d) ( ) ( ) b) ( ) e) ( ) ( ) c) ( ) ( )( )( ) f) ( ) ) Utilizando o teorema da convulsão, calcule: a) { ( )( ) } b) { ( ) } ) Sabendo que { ( )} e utilizando a transformada de Laplace da derivada, mostre que: a) { } b) { ( )} 4) Utilizando a transformada de Laplace da derivada, mostre que { ( )} { ( )} ) Soluções a) d) b) ( ) ( ) e) c) f) ) a) b) ( ) ( )

21 Matemática - / Teórico-Prática 9. Resolva as seguintes equações diferenciais de variáveis separáveis: a) ( ) d + ( + ) d = b) + ln() = c) + =. Resolva as seguintes equações diferenciais homogéneas: a) ( + ) d + d = b) =. Resolva as seguintes equações diferenciais eatas: a) sen + cos = e b) ( + ) + = ( + ) 4. Resolva as seguintes equações diferenciais lineares de a ordem: a) 6 = e b) + tg = cos c) + = e 5. Resolva as seguintes equações diferenciais: a) + = b) = cos c) (4 + )d + (4 + )d = d) = e sen e) = e f) = g) 4 + h) t d dt = e i) = + = ( + )5

22 Matemática - / Teórico-Prática Soluções. a) ln = ln + C b) ln = ln + C c) ln = ln + C. a) arctg ( ) = ln + C b) ln = ln + C. a) = sen e + C b) = ( + ) C 4. a) = e + e + C b) = sec + C c) = e e + e + C 5. a) (Eq. de Variáveis Separáveis); = e C b) (Eq. de Variáveis Separáveis); tg() = + C c) (Eq. Eata); = C d) (Eq. de Variáveis Separáveis); e = cos + C e) (Eq. Linear); = e e C f) (Eq. de Variáveis Separáveis) g) (Eq. Linear) h) (Eq. de Variáveis Separáveis); = + C i) (Eq. Linear); = (+) 4 + C j) (Eq. de Variáveis Separáveis); t k) (Eq. Homogénea); = ln + C = e e + C

23 Matemática - / Teórico-Prática. Considere a seguinte equação diferencial = cos ( ) a) Mostre que a mudança de variável v = transforma essa equação numa equação de variaveis separávéis. b) Determine a solução da equação dada que verica a condição inicial () = π 4.. Considere a seguinte equação diferencial ( + ) + ( + ) = a) Mostre que a equação não é eacta. b) Mostre que u(, ) = é um factor integrante. c) Determine a solução geral da equação dada.. Considere a seguinte equação diferencial (4 + ) + = a) Determine um factor integrante da forma n onde n é um número positivo. b) Determine a solução geral da equação dada. 4. Considere a equação diferencial = (ln ln ) + a) Mostre que a equação é homogénea. b) Resolva-a. 5. Resolver as seguintes equações diferenciais: a) + = tg b) + + = e c) = + d) =, com () = e () = Soluções. cotg( ) = +. F = + + C. F = C 4. = e CX 5. a) = C cos + C sen cos ln sec + tg b) = C e + C e + e ln c) + = CX 4 d) = e sen( )

24 Licenciatura em Engenharia Electrotécnica e de Computadores Teórico-prática ) Calcule os integrais duplos seguintes, sendo D o domínio plano limitado pelas condições indicadas: a) d d,,, e b) D D d d, d d,,,,, e, c) D d) d d,,,, D ) Invertendo a ordem de integração, calcule: e a) b) ln e c) d d d d d) sec d d d d ) Calcule, utilizando integrais duplos, a área dos domínios planos limitados por: a) =, = - e = b) = +, = -, = - e = - c) = e = d) = e = + e) = e + = e = f) = e = g) = + e =

25 Licenciatura em Engenharia Electrotécnica e de Computadores Teórico-prática Soluções ) a) 9 b) 67/ c) 6/8 d) arctg ) a) e e b) (e )/ c) / d) tg()/ ) a) b) 4 c) /6 d) / e) 5/6 f) 9/ g) /

26 Teórico-prática. Calcule os integrais duplos seguintes, sendo D o domínio plano limitado pelas condições indicadas: a. b. D d d d d D,,,,,, c. d d, D, D d. e d d, D, D e. 6 d d, D, D, :, : 4 :. Inverta a ordem de integração nos seguintes integrais: 4 a. d f, b. d f, d d c. d f, d. d f d, d d f, d. Calcule, Invertendo a ordem de integração: a. d d b. d e d c. d d

27 Teórico-prática. a) 4 b) ( ln )/ c) 6/ d) (e )/ e) 99/ Soluções. 4 a) d f, d b) d f, d c) d f, d). a) d b) (e 9 )/6 c ) ln 4 f, d d

28 Teórico-prática. Determinar a área da região limitada pelas curvas = e = 4 no º Quadrante. Determinar a área da região limitada pelas curvas =, = e =.. Calcule o valor de cada um dos seguintes integrais duplos passando a coordenadas polares: a. d d b. d d, D, D c. D + = 5. d. D d d : sendo D limitado pelas circunferências + = e 6 d d sendo D limitado pela circunferência + = 4. 4 e. d d 9 f. d d g. d d h. arctg d d, D D, : 4

29 Teórico-prática. 4. / 4. ln a. 4 b. /8 c e. 8/ f. 4/ g. / d. h. 64 Soluções

30 Matemática - / Teórico-Prática 4. Calcule a solução geral das equações diferenciais ordinárias seguintes: p a) = + p. + b) cos () + sin () = cos () sin ().. Considere a equação diferencial de a ordem ( + ) d d = a) Mostre que a equação dada não é eata. b) Mostre que () = c) Resolva a equação dada. é um fator integrante da equação dada.. Considere a equação diferencial de a ordem + b + = f () a) Determine o valor de b sabendo que a equação caraterística associada admite a raiz i. b) Escreva o integral geral da respectiva equação homogénea. c) Considere b =, f () = sec() e resolva a equação dada. 4. Inverta a ordem de integração do integral I = R R + p4 f (; ) d d. 5. Calcule R 4 R p e d d. (Sugestão: comece por inverter a ordem de integração) 6. Calcule: a) R R D b) R 4 p 4 d d sendo D = f(; ) R : + 4g. R p 4 ( ) d d. (Sugestão: comece por passar a coordenadas polares)