1) Determine e represente graficamente o domínio de cada uma das funções:

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1 UNIVESIDADE FEDEAL DA BAHIA INSTITUTO DE MATEMÁTICA DEPATAMENTO DE MATEMÁTICA ª LISTA DE EXECÍCIOS DE CÁLCULO II-A Última atualizaçã ) Determine e represente graficamente dmíni de cada uma das funções: a) f (, ) f (, ) 4.ln( ) c) f(, ) ln( ) d) f (, ) ln e) f (, ) arcsec( ) 4 ) Sejam a funçã f(,) arccs(-) e pnt P (, ½) d seu dmíni. Determine e represente graficamente a curva de nível que passa pr esse pnt. ) Determine e represente graficamente as curvas de nível k, k, k 5, k -, k -5 da funçã f(, ). 4) Determine dmíni; determine e trace as interseções d gráfic cm s plans crdenads; determine e trace as curvas de nível; e esbce gráfic das funções: a) f(,) 6 f(,) c) f(,) d) f (,) + 4 f) f (,) e) f(,) g) 4 f (,) 5) Determine s limites a seguir: a) lim (, ) (,) c) lim sen lim ( 4)( ) ( ) + ( ) (, ) (,) (, ) (,) (, ) (,) 6) Mstre que lim f (, ) nã eiste se: P P 4 + a) f (, ) e P (,) f (, ) e P (,) ( ) 4 ( ) ( + ) c) f (, ) e P (,) d) f (, ) e P (, ) ( + ) ( ) d) lim

2 e ) f (, ) + ( ) e P (, ) 7) Determine em que pnts (,) a funçã f é cntínua: ( + ) ; se (, ) (,) a) f (, ) ( + ) f (, ) ; se (, ) (, ) + ; ; se (, ) se (, ) (,) (,) 8) Calcule, cas eistam, as derivadas parciais das funções ns pnts indicads. a) f (, ) e ln(.) ; P (,) f (, ) cs( + π) ; P (,) c) f (, ) arctg 4 ; P (,) d) f (,, z) π π + (sen )tgz ; P (4,, ) 4 4 ; se e) f (, ) ; P (,) e P (,) f) f (, ) ; P (,) ; se 9) Cnsidere a funçã z. Mstre que z. ) Seja φ:, uma funçã diferenciável tal que φ () 4 e φ () - e seja g(, ) φ( ). Calcule: g g a) (,) (6,) ) Cnsidere a funçã em (,), w + z 4, cm z f(,). Se (,) 4 w (,). e f(,), calcule ) Seja f (, ) t e dt. Calcule : a) (, ) (,)

3 ) Determine a reta tangente, n pnt P (,), à curva que é intersecçã da superfície z f(,) e cm plan: a) 4) Uma placa de metal aquecida está situada em um plan O de md que a temperatura T n pnt (,) é dada pr T(, ) ( ). Determine a taa de variaçã de T em relaçã à distância, n pnt P (,) n sentid psitiv d ei: a) O O 5) A área, A, da superfície lateral de um cne circular ret de altura h e rai da base r é dada pr A π.r h + r. a) Se r é mantid fi em cm, enquant h varia, encntre a taa de variaçã de A em relaçã a h, n instante em que h 7cm. Se h é mantid fi em 7cm, enquant r varia, encntre a taa de variaçã de A em relaçã a r, n instante em que r cm. 6) Uma fábrica prduz mensalmente unidades de um prdut A e unidades de um prdut B, send cust mensal de prduçã cnjunta dad pr C (, ) reais. Num determinad mês, fram prduzidas unidades de A e de B. a) Calcule cust de prduçã neste mês. Determine C e C, neste mês. c) Usand resultad d ítem, que é mais cnveniente: aumentar a prduçã de A e manter a de B cnstante u a cntrári? Justifique-se. 7) Uma funçã f (,) é harmônica se f + f. Prve que a funçã f (, ) arctg é harmônica. 8) Send z e ln + sen cs, calcule z z e.

4 9) Cnsidere f (, ) ln( ) + arctg( ). f a) calcule (,). Se e sã funções de (u,v) tais que uv + v, (,), (,) calcule: i) (,) ii) (,) e (,) 4, ) Se w f ( at) + g( + at), cm f e g dtadas w w que w satisfaz a equaçã da nda a. t de derivadas mstre ) Encntre a diferencial das funções: z a ) f (, ) arcsen f (,, z) e e ) Determinar plan tangente e a reta nrmal à superfície z f(,) n pnt (, ). a) f (, ) arctg, (, ) (,). f (, ) ln, (, ) (e, ). ) Determine plan tangente à superfície z que é paralel a plan + 6 z 5 z z 4) Seja f (,, z) g( e, z ) β. Determine valr da cnstante β, sabend que f + z f. 5) Seja f(u,v) uma funçã diferenciável tal que (,7) e (,7), (5,) (5,). a) Se g(,) f(, g g ), calcule (,) (,). h h h Se h(,,z) f( z, + + z), calcule (,, ), (,, ), (,, ). e 4

5 6) Calcule f r (, ) send dads: a) f (,) e, (, ) ( r, ) e u é versr de (,4). f (,) arctg, ) (, ), ) ; ( r e u ( r c) f(, ) ; (, ) (, ) e u 5 r r i + j 7) Para cada funçã e pnt indicad determine: i) Um vetr unitári na direçã da derivada direcinal máima. ii) O valr máim da derivada direcinal. a) f (, ) 7 + 4, P (, ) f(, ) π sen, P (, ) 8) Uma chapa de metal aquecida está situada em um plan O de tal md que a temperatura T é inversamente prprcinal à distânciada rigem. Se a temperatura em P(,4) é de º, determine a r r r taa de variaçã de T em P na direçã d vetr u i + j. Em que direçã e sentid T cresce mais rapidamente em P? Em que direçã a taa de variaçã é nula? 9) O ptencial elétric V em um pnt P(,,z) num sistema de crdenadas retangulares é dad pr V z. Determine a taa de variaçã de V em P(,-,) na direçã de P para a rigem. Determine a direçã e sentid que prduz taa máima de variaçã de V em P. Qual a taa máima de variaçã em P? ) Se z é funçã de e definida implicitamente pela equaçã r z(,). + ( z ) z, determine ) Ache um vetr nrmal e a equaçã da reta tangente a cada curva n pnt indicad: a), P (,) e - + 4, P (,) ) Encntre a equaçã d plan tangente e da reta nrmal a cada superfície abai, ns pnts indicads: a) + z 6 em P (,,) z 6 n pnt cuja prjeçã n plan é (,,) c) cs() + sen(z) em P (, π 6,-) d) + + z - 6 para e) g(,) em (,,) 5

6 ) Dada a superfície + z, determine as equações ds plans tangentes que sã paralels a plan z. 4) Ache s pnts da superfície z para s quais s plans tangentes sã paralels as plans crdenads. 5) Encntre vetr direçã da reta tangente n pnt dad da curva C que é interseçã das superfícies: a) z + + 4z 5 e z 56, n pnt (,5, 6) z z e z 6, n pnt (,,) 6) Calcule as seguintes integrais iteradas: a) dd ( / ) e dd c) π sen( )dd d) e dd e) sen() dd f) 4 ( / ) dd g ) 6 π π π/ sen( )dd h) cs() 4 sen ()dd 7) Calcule: a) 9 da, nde é a regiã d plan limitada pela circunferência 9. sen.da, nde é a regiã d plan limitada pelas retas, / e π. c) + cs( ) da, nde é a regiã plana limitada pelas retas, π e. 6

7 8) Encntre (pr integraçã dupla), a área limitada pelas curvas: a) e 9 e 9 9) Calcule de duas maneiras da, nde é a regiã d plan limitada pr e +. 4) Encntre (pr integraçã dupla), vlume d sólid: a) n ctante limitad pel plan z abai d plan z 4 e acima d círcul 6 n plan. c) limitad pels cilindrs 4 e + z 4 d) limitad pr z + + ;, e z. a b c e) situad n ctante e limitad pr z 4, e. f) situad n ctante e limitad pr z 4,, e. 7