Universidade de Mogi das Cruzes UMC. Cálculo Diferencial e Integral II Parte I
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1 Cálcul Diferencial e Integral II Página 1 Universidade de Mgi das Cruzes UMC Camps Villa Lbs Cálcul Diferencial e Integral II Parte I Engenharia Civil Engenharia Mecânica marilia@umc.br 1º semestre de 15
2 Cálcul Diferencial e Integral II Página ÍNDICE 1. Estud da Variaçã das Funções Máim e Mínim Definições Terema de Fermat Derivada Cresciment e Decréscim Terema de Rlle Terema de Lagrange u Terema d Valr Médi Definições Terema Determinaçã ds Etremantes Análise da derivada primeira Terema Critéri geral para determinaçã de etremantes Cncavidade Definiçã Terema Pnt de infleã Definiçã Terema Terema Variaçã das funções Eempl Eercícis Prblemas de Otimizaçã Terema de Fermat Terema Verificaçã Aplicaçã Eercícis Anes Tabela de Derivadas Bibligrafia...
3 Cálcul Diferencial e Integral II Página 1. Estud da Variaçã das Funções Segund Iezzi, Murakami e Machad (199), apresentams as seguintes definições: 1.1. Máim e Mínim Definições 1. Seja a funçã f : D R e seja D. Chamams vizinhança de um interval V ], [, em que é um númer real psitiv. vizinhança V de máim lcal de f. vizinhança V de mínim lcal de f.. Dizems que é um pnt de máim lcal de f se eistir uma, tal que: ( )( V f ( ) f ( )) e nesse cas, valr f( ) é chamad. Dizems que é um pnt de mínim lcal de f se eistir uma, tal que: ( )( V f ( ) f ( )) e nesse cas, valr f( ) é chamad 4. Dizems que é um pnt etrem u etemante de f se fr um pnt de máim lcal u de mínim lcal de f. Nesse cas, valr de f( ) é chamad valr etrem de f. 5. Os pnts de máim u mínim lcais que nã sã etrems d interval em que a funçã está definida sã chamads pnts de máim e mínim lcais interires. 6. Dizems que f( ) é um valr máim abslut de f se f é mair valr que f assume. f ( ) f ( ) para td d dmíni de f, ist é, ( ) 7. Dizems que f( ) é um valr mínim abslut de f se f ( ) f ( ) para td d dmíni de f, ist é, f( ) é menr valr que f assume Terema de Fermat Se f : D R é uma funçã derivável n pnt D e é pnt etrem lcal interir de f, entã f '( ). Interpretaçã gemétrica: num etrem lcal interir de uma funçã derivável f, a reta tangente a gráfic de f é paralela a ei ds. 1.. Derivada Cresciment e Decréscim Terema de Rlle Se f é uma funçã cntínua em [ ab, ] e derivável em ] ab, [ e f ( a) f ( b), entã eiste a mens um pnt ] a, b[ tal que ' f ( ). Interpretaçã Gemétrica: se uma funçã é derivável em ] abcntínua, [ em [ ab, ] e assume valres iguais ns etems d interval, entã em algum pnt de ] ab, [ a tangente a gráfic de f é paralela a ei ds.
4 Cálcul Diferencial e Integral II Página Terema de Lagrange u Terema d Valr Médi Se f é uma funçã cntínua em [ ab, ] e derivável em ] ab,, [ entã f ( b) f ( a) ' eiste a mens um pnt ] a, b[ tal que f ( ). b a Interpretaçã gemétrica: se f é funçã cntínua em [ ab, ] e derivável em ] ab,, [ entã eiste um pnt ] a, b[ tal que a reta tangente a gráfic de f n pnt P(, f ( )) é paralela à reta determinada pels pnts A( a, f ( a)) e B( b, f ( b )) pr terem ceficientes angulares iguais. qualquer que seja Definições 1. Uma funçã f : D R é crescente num interval I ( I D) quand, I, I, tems 1 f ( 1 ) f ( ).. Uma funçã f : D R é decrescente num interval I ( I D) quand, qualquer que seja 1 I, I, tems 1 f ( 1 ) f ( ) Terema Se f é uma funçã cntínua em [ ab, ] e derivável em ] ab., [ Entã: Se f '( ) em ] ab, [ f é crescente em [ ab., ] Se f '( ) em ] ab, [ f é decrescente em [ ab., ] equivale a f '( ) para td ] a, b[ a gráfic de f sã psitivs. Interpretaçã gemétrica: 1. Uma funçã f ser crescente em [ ab,, ] quand f é derivável,, ist é, s ceficientes angulares das retas tangentes. Uma funçã f ser decrescente em [ ab,, ] quand f é derivável, equivale a f '( ) para td ] a, b[, ist é, s ceficientes angulares das retas tangentes a gráfic de f sã negativs. 1.. Determinaçã ds Etremantes Análise da derivada primeira Dada uma funçã f, definida e derivável em I [ a, b] e dad ] a, b[ tal que f '( ) tems: é pnt de máim lcal de f se eistir uma vizinhança V de tal que f '( ) é psitiva à esquerda e negativa à direita de.
5 Cálcul Diferencial e Integral II Página 5 é pnt de mínim lcal de f se eistir uma vizinhança V de tal que f '( ) negativa à esquerda e psitiva à direita de. nã é etremante de f se eistir uma vizinhança V de tal que para td V e tem-se f '( ) sempre cm mesm sinal. é 1... Terema Seja interval I ] a, b[, cm derivadas ' f uma funçã cntínua e derivável até segunda rdem n f e f '( ). Nessas cndições, tems: Se f "( ), entã é pnt de máim lcal de f. Se f "( ), entã é pnt de mínim lcal de f. f '' também cntínuas em I. Seja I tal que deriváveis em I ] a, b[ 1... Critéri geral para determinaçã de etremantes Seja f uma funçã derivável cm derivadas sucessivas também I tal que. Seja n1 n f '( ) f ''( )... f ( ) e f ( ) Nessas cndições, tems: mínim lcal de f. n I se n é par e f ( ), entã n II se n é par e f ( ), entã é pnt de máim lcal de f. é pnt de mínim lcal de f. III se n é impar, entã nã é pnt de máim lcal nem de 1.4. Cncavidade Definiçã Seja f uma funçã cntínua n interval I [ a, b] e derivável n pnt ] a, b[. Dizems que gráfic de f tem cncavidade psitiva (u para cima) em se, e smente se, eiste uma vizinhança V de tal que, para V, s pnts d gráfic de f estã acima da reta tangente à curva n pnt. Analgamente, se eiste uma vizinhança V de tal que, para V, s pnts d gráfic de f estã abai da reta tangente à curva n pnt, dizems que gráfic de f tem cncavidade negativa (u para bai) Terema Se f é uma funçã derivável até segunda rdem n interval I [ a, b], é intern a [ abe, ] f "( ), entã:
6 Cálcul Diferencial e Integral II Página 6 Quand f "( ), gráfic de f tem cncavidade psitiva (u para cima) em. Quand f "( ), gráfic de f tem cncavidade negativa (u para bai) em Pnt de infleã Definiçã Seja f uma funçã cntínua n interval I [ a, b] e derivável n pnt P (, f ( )) é um pnt de infleã d gráfic de f se, e smente ] a, b[. Dizems que se, eiste uma vizinhança V de tal que ns pnts d gráfic f para V e a cncavidade tem sempre mesm sinal, que é cntrári a sinal da cncavidade ns pnts d gráfic para Terema Seja f uma funçã cm derivadas até terceira rdem em I ] a, b[ Seja ] a, b[. Se f ''( ) e f '''( ), entã é abcissa de um pnt de infleã. f ''( ) f '''( ) nada se pde cncluir. Obs:. ] a, b[ e Terema Se f é uma funçã derivável até segunda rdem em I ] a, b[ é abcissa de pnt de infleã d gráfic de f, entã f ''( )., 1.6. Variaçã das funções Para caracterizar cm varia uma funçã f, prcurams determinar: 1. dmíni;. s pnts de descntinuidade;. as intersecções d gráfic cm s eis e y; 4. cmprtament n infinit; 5. cresciment u decréscim; 6. s etemantes; 7. s pnts de infleã e a cncavidade; 8. gráfic Eempl Estudar a variaçã da funçã f ( ) dmíni: D( ) R.. s pnts de descntinuidade: a funçã plinmial é cntínua em R.. as intersecções d gráfic cm s eis e y:
7 Cálcul Diferencial e Integral II Página 7 Para, tems f( ). Pnt P (,) Para y f ( ) : 5 ( 5) u 5 5 b 1 4ac ( 5) b a 1 1 As raízes sã: ' 1 1 '' 1 1 e 1 1 Pnts Q( 1 1,) e R(,) 4. cmprtament n infinit: lim e lim 5. cresciment u decréscim; Cálcul da primeira derivada: f '( ) 5 Reslvend a equaçã f '( ) : 5 b 4ac 4..( 5) b a 64. As raízes sã: ' e '' Analisand cmprtament da derivada primeira f '( ) 5 : ' 1 '' 5 Prtant: 5 u 1, tems f '( ). Lg f é crescente 5 1, tems f '( ). Lg f é decrescente
8 Cálcul Diferencial e Integral II Página 8 6. s etremantes; Cálcul da segunda derivada: f ''( ) 6 segunda: Substituind as raízes da derivada primeira ' 1 e '' 5, na funçã derivada f ''( ) 6 f ''(1) Lg, para 1, tems f ''( ) f ''( ) f ''( ) 6.( ) 8 Lg, para 5, tems f ''( ) Cnclusã: a funçã f tem um pnt de mínim em 1 e um pnt de máim em 5. Substituind as raízes da derivada primeira em f, tems s pnts S(1, ) e T(, ) s pnts de infleã e cncavidade; Reslvend a equaçã f ''( ) : Analisand cmprtament da derivada segunda f ''( ) 6 : 1 Prtant: 1, tems f ''( ). Lg a cncavidade de f é negativa 1, tems f ''( ). Lg a cncavidade de f é psitiva 1 Em há um pnt de infleã. Substituind a raiz da derivada segunda em f tems
9 Cálcul Diferencial e Integral II Página 9 pnt 1 47 U(, ) gráfic Verificaçã:
10 Cálcul Diferencial e Integral II Página 1 1. f ( ) Eercícis 4 Estudar a variaçã das funções:
11 Cálcul Diferencial e Integral II Página 11
12 Cálcul Diferencial e Integral II Página 1. f ( ) 6
13 Cálcul Diferencial e Integral II Página 1
14 Cálcul Diferencial e Integral II Página 14. f ( ) 4 4 1
15 Cálcul Diferencial e Integral II Página 15
16 Cálcul Diferencial e Integral II Página f( ),
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18 Cálcul Diferencial e Integral II Página f( ) 5, 5
19 Cálcul Diferencial e Integral II Página 19
20 Cálcul Diferencial e Integral II Página 6. f ( ) 4
21 Cálcul Diferencial e Integral II Página 1
22 Cálcul Diferencial e Integral II Página Respstas:
23 Cálcul Diferencial e Integral II Página. Prblemas de Otimizaçã.1.1. Terema de Fermat Se f : D R é uma funçã derivável n pnt D e é pnt etrem lcal interir de f, entã f '( ). Interpretaçã gemétrica: num etrem lcal interir de uma funçã derivável f, a reta tangente a gráfic de f é paralela a ei ds..1.. Terema Seja interval I ] a, b[, cm derivadas ' f uma funçã cntínua e derivável até segunda rdem n f e f '( ). Nessas cndições, tems: Se f "( ), entã é pnt de máim lcal de f. Se f "( ), entã é pnt de mínim lcal de f. f '' também cntínuas em I. Seja I tal que.1.. Verificaçã Analise cmprtament da funçã f ( ). crítics de f : f '( ) a. Calcular a derivada primeira: b. Igualar f '( ) e reslver a equaçã para identificar s pnts f '( ) 1 1 c. calcular s pnts crítics de f : f ( ) f (1) 1.1 f (1) S(1, ) f ( ) f ( 1) ( 1).( 1) f ( 1) 1 f ( 1) T( 1,) c. Calcular a derivada segunda: f ''( ) 6 d. Substituir as raízes da derivada primeira na funçã derivada segunda: f ''(1) 6.1 6
24 Cálcul Diferencial e Integral II Página 4 f ''( 1) 6.( 1) 6 e. Análise da derivada segunda: f ''(1), pnt é pnt de mínim. f ''( 1), pnt é pnt de máim. g. Gráfic:.1.4. Aplicaçã 1. Achar dis númers psitivs cuja sma seja 7 e cuj prdut seja mair pssível. y 7 e P. y a.escrever a funçã P em funçã de : y7 y 7 P. y P( ).(7 ) P( ) 7 b.calcular a derivada primeira de P ( ): P( ) 7 P '( ) 7. c.igualar P'( ) e reslver a equaçã para identificar s pnts crítics da funçã: P'( ) d. Calcular valr de y :
25 Cálcul Diferencial e Integral II Página 5 y 7 y 7 5 y 5 e. Calcular a derivada segunda: P''( ) f. Análise da derivada segunda: f ''( ), pnt é pnt de máim. Respsta: s númers que maimizam valr d prdut P sã 5 e 5.. Um galpã deve ser cnstruíd tend uma área retangular de 11 m. A prefeitura eige que eista um espaç livre de 5 m na frente, m atrás e 1 m em cada lad. Encntre as dimensões d lte que tenha a área mínima na qual pssa ser cnstruíd este galpã. A 1. y 11 y. A b. h A (1 1).( y 5) A (4 ).(45 y) a.escrever a funçã A em funçã de : 11 y. 11 y b. Calcular a derivada primeira de A ( ): A (4 ).(45 y) 11 A( ) (4 ).(45 ) A( ) A( ) A( ) A( ) A'( ) A'( ) A'( )
26 Cálcul Diferencial e Integral II Página 6 c. Igualar A'( ) e reslver a equaçã para identificar s pnts crítics da funçã: A'( ) , d. Calcular valr de y : 11 y 11 y 8, y 15, 6 e. Calcular a derivada segunda: A A''( ) ( ).( 94). '( ) A''( ) f. Calcular valr da derivada segunda n pnt : 588 A''( ) 588 A''(8,) (8,) A''(8,) 1,1 g. Análise da derivada segunda: f ''(8,), pnt é pnt de mínim. h. Cálcul das dimensões, em m, d terren: largura: 1 8, 1 1, e prfundidade: 15, ,6. Respsta: a área d terren é mínima quand suas dimensões frem, aprimadamente, 14,m e 196,6m.
27 Cálcul Diferencial e Integral II Página Eercícis 1. Achar dis númers psitivs cuja sma é 16 e prdut é máim pssível.. Um jardim retangular de 5m de área deve ser prtegid cntra animais. Se um lad d jardim já está prtegid pr uma parede de celeir, quais as dimensões da cerca de menr cmpriment?
28 Cálcul Diferencial e Integral II Página 8. Uma página para impressã deve cnter cm de área impressa, uma margem de cm nas partes superir e inferir e uma margem de 1,5 cm nas laterais. Quais sã as dimensões da página de menr área que preenche essas cndições? 4. Uma flha de papel cntém 75 cm de matéria impressa, uma margem superir de,5 cm, margem inferir de cm, margem lateral direita de cm e margem lateral esquerda de,5 cm. Determine quais devem ser as dimensões da flha para que haja máim de ecnmia de papel?
29 Cálcul Diferencial e Integral II Página 9 5. Um fabricante a cmprar caias de embalagens, retangulares, eige que cmpriment de cada caia seja m e vlume m. Para gastar a menr quantidade de material pssível na fabricaçã das caias, quais devem ser suas dimensões?
30 Cálcul Diferencial e Integral II Página 6. Um fabricante precisa prduzir caias de papelã, cm tampa, tend na base um retângul cm cmpriment igual a tripl da largura. Calcule as dimensões que permitem a máima ecnmia de papelã para prduzir caia de vlume V dad e igual a 6 m. Respstas: 1. 8 e 8. 5m e 1m. 18 cm e 4 cm 4.,1 cm e 6,91 cm 6. m, m e 6m 5. 6 m, 6 m e m
31 Cálcul Diferencial e Integral II Página 1. Anes.1. Tabela de Derivadas DERIVADAS 1 funçã cnstante f ( ) c f '( ), c R funçã ptência f ( ) n, n N * f ( ) n f '( ) n. funçã epnencial f ( ) a, a R f ( ) a f '( ) a.ln a, a R e 1 4 funçã epnencial de base e, f ( ) e f ( ) e f ( )' e 5 funçã sen f ( ) sen f '( ) cs 6 funçã cssen f ( ) cs f '( ) sen 7 funçã tangente n 1 f ( ) tg f '( ) sec 8 funçã ctangente f ( ) ctg f '( ) cssec 9 funçã secante f ( ) sec f '( ) sec. tg 1 funçã cssecante f ( ) cssec f '( ) cs sec.ct g 11 funçã lgarítmica 1 f ( ) lg a f '( ).ln a, 1 funçã lgarítmica de base e 1 f ( ) ln f '( ) 1 n 1 funçã ptência f ( ), cm ( ) n n f f '( ) n. epente real, n R e 14 funçã arc sen 1 f ( ) arcsen f '( ) 1 15 funçã arc cssen 1 f ( ) arccs f '( ) 1 16 funçã arc tangente 1 f ( ) arctg f '( ) 1 17 funçã f u ( ) ( ) n, n Z DERIVADAS DE FUNÇÕES COMPOSTAS n n 1 a e a 1 f ( ) u( ) f '( ) n. u( ). u '( ) 18 funçã epnencial cm a e a 1. u( ) u( ) f ( ) a f '( ) a.ln a. u '( ) 19 funçã epnencial de base e u( ) u( ) f ( ) e f '( ) e. u'( ) funçã lgarítmica u'( ) f ( ) lg a u( ) f '( ) u( ).ln a 1 funçã lgarítmica de base e u'( ) f ( ) ln u( ) f '( ) u ( ) funçã f ( ) u( ) v ( ) v( ) v( ) 1 v( ) f ( ) u( ) f '( ) v( ). u( ). u'( ) u( ).ln u( ). v'( ) funçã sen f ( ) sen( u( )) f '( ) cs( u( )). u'( ) 4 funçã cssen f ( ) cs( u( )) f '( ) sen( u( )). u'( ) 5 funçã tangente f ( ) tg( u( )) f '( ) sec ( u( )). u'( ) 6 funçã ctangente f ( ) ct g( u( )) f '( ) cs sec ( u( )). u'( )
32 Cálcul Diferencial e Integral II Página 7 funçã secante f ( ) sec( u( )) f '( ) tg( u( )).sec( u( )). u'( ) 8 funçã cssecante f ( ) cssec( u( )) f '( ) cssec( u( )).ct g( u( )). u'( ) ee REGRAS DE DERIVAÇÃO 1 Derivada d Prdut de uma cnstante f ( ) c. v( ) f '( ) c. v'( ) c, c R,pr uma funçã Derivada da Sma f ( ) u( ) v( ) f '( ) u'( ) v'( ) Derivada da Diferença f ( ) u( ) v( ) f '( ) u'( ) v'( ) 4 A derivada da sma (u diferença) pde ser estendida para uma sma de n funções: ' ' ' ' f ( ) u ( ) u ( )... u ( ) f ( ) u ( ) u ( )... u ( ) 1 n 1 5 Derivada d Prdut f ( ) u( ). v( ) f '( ) u'( ). v( ) u( ). v'( ) 6 A derivada d prdut pde ser estendida para um prdut de n fatres: f ( ) u ( ). u ( )... u ( ) f ( ) u ( ). u ( )... u ( ) u ( ). u ( )... u ( )... u ( ). u ( )... u ( ) ' ' ' ' 1 n 1 n 1 n 1 n 7 Derivada d Quciente TT Se y g( u), u f ( ), tems y g f ( ) n ' ' u( ) ' u ( ). v( ) u( ). v ( ) f ( ) f ( ), v ( ) v ( ) v ( ) REGRA DA CADEIA dy dy du. d du d
33 Cálcul Diferencial e Integral II Página 4. Bibligrafia DEMANA et al. Pré-Cálcul. Traduçã de Aldy Fernandes da Silva e Eliana Crepaldi Uazawa. Sã Paul: Pearsn, 9. IEZZI, G. Cmples, Plinômis e Equações. 6 e. Sã Paul: Atual, 199. v.6. Fundaments de Matemática Elementar. IEZZI, G. Trignmetria. 7 e. Sã Paul: Atual, 199. v.. Fundaments de Matemática Elementar. IEZZI, G; DOLCE, O; MURAKAMI, C. Lgaritms. 8 e. Sã Paul: Atual, 199. v.. Fundaments de Matemática Elementar. POOLE, DAVID. Álgebra Linear I. Sã Paul: Pineira Thmsn Learning, 4. SAFIR, F. Pré-Cálcul. 5 ed. Prt Alegre: Bkman,.
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Matemática Elementar B Lista de Exercícios 2
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Cálculo diferencial. Motivação - exemplos de aplicações à física
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Derivadas de uma Função de uma Variável
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matemática 2 Questão 7
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2. Diferenciação Logarítmica A diferenciação logarítmica é uma técnica útil para diferenciar funções compostas de potências, produtos e quocientes de funções. Esta técnica consiste em executar os seguintes
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5.7 Aplicações da derivada ao estudo das funções.
Capítulo V: Derivação 0.. 4. 7. tg( ) 0 tg( π ( + + ) sen( ) + ) sen( ) Resolução: cos( ) Repare que não eiste sen( ). + 5. ( e + ) 6. 0 π ( + cos( )) cos( ) sen( ) sen( ) Mas, e como 0, então 0 + + +
Lista 6 Gráficos: Pontos críticos, máximos e mínimos, partes crescentes e decrescentes. L Hôpital. Diferencial. Polinômio de Taylor
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MATEMÁTICA 1 An Duds 1. (Ufsm 011) A figura a seguir apresenta delta d ri Jacuí, situad na regiã metrplitana de Prt Alegre. Nele se encntra parque estadual Delta d Jacuí, imprtante parque de preservaçã
Questão 1. Questão 3. Questão 2. Resposta. Resposta. Resposta. a) calcule a área do triângulo OAB. b) determine OC e CD.
Questã Se Amélia der R$,00 a Lúcia, entã ambas ficarã cm a mesma quantia. Se Maria der um terç d que tem a Lúcia, entã esta ficará cm R$ 6,00 a mais d que Amélia. Se Amélia perder a metade d que tem, ficará
Problemas de Otimização
UNIVERSIDADE DO ESTADO DE MATO GROSSO CAMPUS UNIVERSITÁRIO DE SINOP FACULDADE DE CIÊNCIAS EXATAS E TECNOLÓGICAS CURSO DE ENGENHARIA CIVIL DISCIPLINA: CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL I Problemas de Otimização
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