A) O volume de cada bloco é igual à área da base multiplicada pela altura, isto é, 4 1

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1 OBMEP Nível 3 ª Fase Sluções QUESTÃO. Quincas Brba uniu quatr blcs retangulares de madeira, cada um cm 4 cm de cmpriment, cm de largura e cm de altura, frmand bjet mstrad na figura. A) Qual é vlume deste bjet? B) Quantas arestas tem este bjet? C) Qual a área da superfície deste bjet? A) O vlume de cada blc é igual à área da base multiplicada pela altura, ist é, 4 = 4 cm 3. O vlume d bjet frmad pr estes blcs é igual à sma ds vlumes ds blcs, u seja, é 4 4 = 6 cm 3. Para apresentar a sluçã ds itens (b) e (c), vams imaginar bjet clcad sbre uma mesa, na psiçã indicada na figura. B) Cntams arestas em cntat cm a mesa, utras na parte superir d bjet e arestas perpendiculares à mesa, num ttal de + + = 36 arestas. C) A superfície d bjet em cntat cm a mesa cnsiste de quatr retânguls de área 4 = 4 cm cada um; mesm acntece cm a parte superir d bjet. As faces perpendiculares à mesa sã quatr retânguls de área 4 = 4 cm, utrs quatr de área 3 = 3 cm e quatr quadrads de área = cm. Assim, a área da superfície d bjet é = 64 cm. QUESTÃO. A seqüência 0, 3, 7, 0, 4, 7,,... é frmada a partir d numer 0 smand-se alternadamente 3 u 4 a term anterir, ist é: primeir term é 0, segund é 3 mais primeir, terceir é 4 mais segund, quart é 3 mais terceir, quint é 4 mais quart e assim sucessivamente. A) Escreva s 0 primeirs terms desta seqüência. B) Qual é 000 term desta seqüência? C) Algum term desta seqüência é igual a 000? Pr quê? A) Seguind a lei de frmaçã da seqüência, s 0 primeirs terms sã 0, 3, 7, 0, 4, 7,, 4, 8, 3, 35, 38, 4, 45, 49, 5, 56, 59, 63 e 66.

2 Para s itens (B) e (C), bservams que a seqüência dada pde ser decmpsta em duas seqüências, cm segue: (i) a seqüência I ds terms de rdem ímpar: 0, 7, 4,,. Esta seqüência cnsiste ds múltipls de 7; seu term geral é 7n para n 0. (ii) a seqüência P ds terms de rdem par: 3, 0, 7., 4,. Esta seqüência cnsiste ds múltipls de 7 smads cm 3; seu term geral é 7n + 3 para n 0. B) Cm 000 é par, vems que 000 term da seqüência riginal é 500 term da seqüência P. Este term crrespnde a n = 499, uma vez que primeir term de P crrespnde a n = 0. Lg, term prcurad é = C) Tems que 000 = Lg 000 nã pde ser escrit nem na frma 7n nem na frma 7 n + 3 para algum n 0, e prtant 000 nã é um term da seqüência, Outra maneira de reslver este item é ntar que as as sluções das equações 000 = 7n e 000 = 7n + 3 nã sã númers naturais. QUESTÃO 3. Numa certa cidade existem apenas duas empresas de táxi, a Dna Lepldina e a Dm Pedr II. A empresa Dna Lepldina cbra uma taxa fixa de R$3,00 reais mais R$0,50 pr quilômetr rdad. Já Dm Pedr II cbra uma taxa fixa de R$,00 mais R$0,75 pr quilômetr rdad. Os amigs Bent, Sfia e Helena trabalham nesta cidade e sempre vltam de taxi d trabalh para casa. Para pagar mens, Helena sempre usa s taxis da Dna Lepldina e, pel mesm mtiv, Bent só usa s da Dm Pedr II. Sfia usa s taxis das duas empresas, prque paga mesm preç em ambas. A) Quant Sfia paga para ir de táxi d trabalh para casa? B) Qual ds três amigs percrre, de táxi, a menr distância entre seu trabalh e sua casa? Segue imediatamente d enunciad que cust de uma crrida de x quilômetrs é 3 + 0,5x reais na Dna Lepldina e + 0,75x na Dm Pedr II. Um pnt a ser discutid aqui é se devems pensar em x cm um númer inteir u cm um númer real, pis taxímetr avança a cada quilômetr rdad, ignrand frações de quilômetr. A sluçã apresentada abaix supõe que x seja um númer real, u seja, que taxímetr rda cntinuamente, mas vale (cm pequenas mudanças) para cas em que restringims x as inteirs. A) Seja s a distância entre lcal de trabalh e a casa de Sfia. Cm Sfia paga mesm valr em ambas as empresas segue que 3 + 0,5 = + 0,75s, dnde s = 8. Lg Sfia paga 3 + 0,5 8 = 7 reais pela crrida. [Se pensarms em s cm um númer inteir, a cnclusã é que Sfia percrre de táxi pel mens 8 quilômetrs mas mens de 9 quilômetrs de seu trabalh até sua casa.] B) Sejam agra b e h, respectivamente, as distâncias entre lcal de trabalh e as casas de Bent e Helena. Cm Helena paga mens usand s táxis da Dna Lepldina, tems 3 + 0,5h < + 0, 75h, dnde 0,5h >, u seja, h > = 8. 0,5 Analgamente, cm Bent paga mens usand s táxis da Dm Pedr, tems 3 + 0,5b > + 0, 75b, e cncluíms que b < 8. Deste md, a crrida de Bent d trabalh para casa nã chega a 8 quilômetrs, e é ele quem percrre a menr distância

3 [Se pensarms em b e h cm númers inteirs, a cnclusã é que a crrida de táxi de Bent é de mens de 8 quilômetrs, enquant que a de Helena é de pel mens 9 quilômetrs.] QUESTÃO 4. Um prefeit quer cnstruir uma praça quadrada de 0m de lad, que terá canteirs triangulares de pedra e um canteir quadrad de grama, cm na figura. O prefeit ainda nã decidiu qual será a área d canteir de grama, e pr iss cmpriment deste segment AB está indicad pr x na figura. A) Calcule a área d canteir de grama para x =. B) Escreva a expressã sa área d canteir de grama em funçã de x. Sabe-se que canteir de grama custa R$ 4,00 pr metr quadrad e s canteirs de pedra custam R$ 3,00 pr metr quadrad. Use esta infrmaçã para respnder s dis itens a seguir:. C) Qual a menr quantia que prefeit deve ter para cnstruir s cincs canteirs? D) Se prefeit tem apenas R$358,00 para gastar cm s cincs canteirs, qual é a a área d mair canteir de grama que a praça pderá ter? A) Cada canteir triangular é um triângul retângul de catets x e 0 x ; quand x =, estes 8 catets valem e 8. Lg a área de cada canteir é = 8 m. Cm a área ttal da praça é 00 m segue que a área d canteir central é = 68 m. B) Cada canteir triangular é um triângul retângul de catets x e 0 x, tend assim área de x(0 x) m. Cm a área ttal da praça é 00 m, segue que a área d canteir central é 00 4 x (0 x) = x 0x + 00 m Pde-se também ntar que lad L d canteir de grama é a hiptenusa de um triângul retângul de catets x e 0 x. A área deste canteir é L. Pel terema de Pitágras, tems cm antes. C) O cust ttal ds canteirs é igual a O cust d canteir de grama é L = x + (0 x) = x x + x = x 0x + 00 cust d canteir de grama + 4 (cust de um canteir de pedra) 4(x 0x + 00) reais e de um canteir de pedra é 3 x(0 x) reais. Designand pr c(x) cust ttal ds canteirs em funçã de x, tems c ( x) = 4 (x 0x + 00) x(0 x) = x x + O gráfic da funçã c é a parábla representada a lad (atençã: este é apenas um esbç d gráfic, sem respeitar a escala a lng d eix ds y). O

4 valr mínim de c é assumid quand x = c(5) = = 350 reais. 0 = 5 ; cust mínim é entã D) Se prefeit cnstruir uma praça cuj canteir de grama tem área de a m, entã cust ttal da praça é 4 a + 3(00 a) = a reais. Vems assim que cust cresce quand a cresce, e deste md a área máxima d canteir de grama crrespnde a máxim que prefeit pde gastar, que é R$358,00. Neste cas tems a equaçã a = 58, dnde mair canteir de grama que prefeit pde cnstruir tem àrea de 58 m. QUESTÃO 5. Em um jg cada participante recebe um cartã cm 4 númers distints de a 0, dispsts em duas linhas e duas clunas. Os númers sã sucessivamente srteads de uma caixa que cntém 0 blas idênticas, que fram numeradas de a 0. Ganha participante que fr primeir a ter srteads dis númers de uma linha u dis númers de uma cluna. A) Os cartões 5 3 e 3 5 ganha também. Descreva tds s cartões equivalentes a sã equivalentes, prque se um deles ganha jg entã utr 5 B) Qual é a prbabilidade de que cartã ganhe lg na segunda bla srteada? 3 SOLUÇÃO: A) Dis cartões sã equivalentes quand suas linhas e clunas sã cmpstas pels mesms quatr 7 pares de númers. N cas d cartã, s quatr pares sã (7,), (,4), (4,9) e (9,7). Os utrs 9 4 cartões que pssuem estes mesms pares em suas linhas e clunas sã: ,,,,, e B) Sluçã : Existem 0 maneiras de srtear a primeira bla. Uma vez srteada a primeira bla, há 9 maneiras de srtear a segunda (pis nã há númers iguais ns cartões). Pel Princípi Fundamental da Cntagem, há 0 9 maneiras de srtear s dis primeirs númers. Este é 5 númer ttal de cass pssíveis para experiment. Para que cartã ganhe lg na 3 segunda bla srteada, s dis númers srteads devem frmar uma de suas linhas u clunas, em númer de quatr. Cm há duas maneiras de srtear uma linha u uma cluna, númer de 8 cass favráveis é 8. Lg, a prbabilidade pedida é = Sluçã : Para que cartã ganhe na segunda bla srteada, a primeira bla deve ter um ds 4 4 númers d cartã. Cm há 0 blas, a prbabilidade de ist crrer é =. Além diss, 0 5 númer da segunda bla deve ser um ds dis númers que estã na linha u na cluna d primeir; cm agra restam 9 blas na caixa, a prbabilidade dist crrer é 9. Assim, a prbabilidade d cartã ganhar lg na segunda bla srteada é =

5 Sluçã 3: Pdems pensar ns dis primeirs númers srteads cm um subcnjunt de dis 0 0! elements ds númers de a 0, que sã em númer de 0 9. Este é númer = =!8! ttal de cass pssíveis para este experiment. Pr utr lad, númer de cass favráveis é 4, que é númer de pares d cartã que estã na mesma linha u na mesma cluna. Deste md, a 4 prbabilidade pedida é = QUESTÃO 6. Capitu crtu uma flha de papel retangular em 9 quadrads de lads, 4, 7, 8, 9, 0, 4, 5 e 8 centímetrs cada um. a) Qual era a área da flha antes de ser crtada? b) Quais eram as medidas da flha antes de ser crtada? c) Capitu precisa mntar a flha de nv. Ajude-a mstrand, cm um desenh, cm fazer esta mntagem. A) A área da flha era igual a sma das áreas ds nve quadrads, que é = 056 cm B) Sejam a e b as dimensões da flha, cm a b. Cm a área de um retângul é prdut de suas dimensões, tems ab = 056. Além diss, cm as medidas ds lads ds quadrads sã númers inteirs, segue que a e b devem ser númers inteirs. Observams, finalmente, que a e b devem ser maires u iguais a 8, pis um ds quadrads em que a flha fi crtada tem lad cm esta medida. Cm a e b sã divisres de 056, a fatraçã em fatres prims 056 = 5 3 ns x y z mstra que a e b sã da frma 3, nde x, y e z sã inteirs tais que 0 x 5,0 y e 0 z. Lembrand que ab = 056 e que a e b sã maires que 8, btems s seguintes pssibilidades: a b = 4 3 = = 4 = 44 5 = 3 3 = 33 Tems agra que decidir quais destas pssibiliidades pdem crrer cm medidas da flha. Cm mair quadrad tem lad 8, que é menr que, 4 e 3, vems que nenhum quadrad pde encstar ns dis lads de cmpriment b da flha. Ist quer dizer que b pde ser express de duas maneiras cm uma sma na qual as parcelas sã medidas ds lads ds quadrads, send que (i) nã há parcelas repetidas em nenhuma das duas expressões e (ii) nã há parcelas cmuns às duas expressões. Este argument mstra que b , u seja, b 86. Lg b 43 e a única pssibilidade é b = 33. Segue que as dimensões da flha eram a = 3 e b = 33. Existem utras maneiras de eliminar s pares (,48) e (4,44), usand argument acima e mstrand, pr exempl, que nã existem duas maneiras de escrever e 4 cm sma ds lads ds quadrads de duas maneiras cm parcelas distintas e sem parcelas cmuns. Esta sluçã depende d fat de que, em qualquer decmpsiçã de um retângul em quadrads, s lads ds quadrads sã necessariamente paralels a um ds lads d retângul. Um argument intuitiv para demnstrar este fat cnsiste em selecinar um vértice d retângul e bservar que quadrad a qual este vértice pertence tem seus lads apiads sbre s lads d retângul. Qualquer quadrad que tca este primeir quadrad (mesm que em apenas um vértice) tem seus lads necessariamente paralels as lads d retângul, pis cas cntrári teríams

6 ânguls diferentes de 90 u 80 na decmpsiçã, e estes ânguls nã pdem ser preenchids cm quadrads. B) A única pssibilidade (a mens de rtações e simetrias) é mstrada abaix: