Matemática D Extensivo V. 1

Transcrição

1 Matemática Etensiv V. Eercícis 0) ) h 0 Pnteir pequen (hras) 0 hra 0 minuts? 0 0 min Prtant, hmin 0) 0 h0min 0 0 Lembrand que cada hra é equivalente a β 0 iferença β h β 0) Pnteir pequen n relógi: 0 0 min min , Observaçã: 0' 0, 0' 0 minuts Prtant, 0'. 0) ( + ) ( + ) ( " + 0 ") ( " + 0 ") i) " + 0 " " i Obs.: 0" ' '" '0" ii) " + 0" " Obs.: 0" ' '" '0" 0' '0" 0 '0" Prtant, i ii: 0" 0 0" 00 00" i ii ii Matemática

2 0) 0 nsiderand deslcament d pnteir a partir das h (pequen): Pnteir menr Pnteir mair 0 h 0 0 h min min ) Prtant, entre h e hmin pnteir deslca-se Send que pnteir mair deslca-se 0 em hra, lg: 0 h 0 min 0 0 min z min 0 0 z 0z 0. z Prtant, a diferença entre eles é menr ângul: 0 Pnteir menr Pnteir mair 0 h 0 0 min h 0 min 0 0' ' Obs.: ada hra 0 Lg, ) 0) 0) 0 Pnteir menr h0 Pnteir mair ' 0 Prtant, 0 Pnteir menr Pnteir mair min 0 0 min min min 0, 0' Menr ângul: 0 0' 0' 0 πrad rad 0 0 π, rad,., ) a) π rad 0 rad π 0 πrad π rad b) π rad 0 rad π 0πrad 0 πrad π rad Matemática

3 ) ) c) π rad 0 rad π πrad π rad d) 0 0 π rad πrad 0. 0 e), 0 rad π π rad 0., N prblema cnsiderar +. Ângul psts pel vértice sã iguais, lg: P Ô 0 π PÔ + MÔN Ô θ + β + π (θ + β + ) π θ + β + π rad N θ β β θ O M ) a) '" " + " " 0" ' '" 0" '" b) '0" 0" Transfrmand tud em segunds: 0' 0' + ' '0 ' 0" ' 0" + 0" 0" Prtant, 0 0" 0" 0" '0" 0 0 '0" '0" 0 c) '0" Primeir transfrmar tud em segunds: 0". 000" 00" 0" 0 0'0" 00 '0" 0 '0" d) '" " " Obs.: ' 0' + 0" " + 0" " 0 " " Obs.: + 0' 0' + 0' 0' 0 " " " Matemática

4 ) ) Falta indicar n prblema ângul 0'. ). ( + ) ) ( + ) ) + ) 0 Prtant, ( + ) + ( + ) ' ' + + 0' + + 0' ( 0 ) + 0,0 0 ' ) β. + 0 ) β r s r 0 ) + s 0 r t' t s Prtant, 0 Matemática

5 0) ) π π π π π π π π ) Onde r//u ) +? ) E 0 θ 0 e β +? ) θ θ 0 issetriz Um ds ânguls Outr ângul + 0 Só que este ângul é a metade da bissetriz, lg ângul é Matemática

6 ) ) mplement 0. (0 ) 0 Suplement 0 ) r//s ) G r E F I s t está para assim cm F E + EF está para EF. está para assim cm + está para 0. a + a a + a a 0 a 0 a 0 a 0 Send a a ( 0) ( + ) ' 0 " nã serve. está assim cm GI está para I Lg, Respsta: () entre e Matemática

7 0) ) ) nsecutivs + 0 ( + ) e 0 Obs.: Para s triânguls EF e EF, tems: m(ˆf) m( ĈE) + m(êf) + m(êf) + m(ê) m(ĉe) + m(ê) + E 0 ) ) Prtant, ˆF Se u' e t' que passam pels pnts e sã paralelas às retas r e s. i e 0( n ). 0 n n 0(n ). 0 n + n ) r u' t' s Observe F e F cnfrme a figura: E n d nn ( ) d ( ) ) F nn ( ) 0 n n 0 n n 0 0 n b± b ac a n ± ( )..( 0 ). ± + ± Matemática

8 ) E n' 0 n" i 0( 0 ) 0 nn ( ) n n n n n n n 0 n n 0 n(n ) 0 n 0 n" ) z + w 0 z + w ) 0 (n ) 0 n n + n nn ( ) ( ). diagnais iagnais que passam pel centr: n iagnais que nã passam pel centr: 0 0) E nn ( ) n + z w n n n + n n 0 n' n" Prtant, i 0( ) i 0 ) Quadrad e ddecágn. 0( ) 0( ) ( ). ( ) ( ). ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 0 0 ). Lg, : quadrad : ddecágn a + b + c + d Matemática

9 Onde, d e 0 d + e + f f 0 f 0 f ) sma ds ânguls interns de um plígn é dad pr (n )0. E cas este seja regular, a medida de cada ângul é dada pr ( n ) 0. N plígn regular, tds s ânguls interns sã iguais. n Lg, ( n ) 0 0 n 0n 0 0n 0n 0n 0 0n 0 n 0 0 n ) ) P I I I I Q dm Área d quadrad. e s lads sã iguais Área: ( + )( + ) Área: dm Respsta: + dm Si 0 (n ). 0 0 n. r 0 a a + ( ). 0 a a + 00 ( a + an). n Sn ( a a ). 0 a 0 Sn 0 Mair ângul etern d plígn: iagnal d plígn nn ( ) ( ). ) S F E R G P T T +. EFG dm Área PQRS? Q ( ) + 0 " Matemática

10 ) a), m b) Nte que, unind s vértices d plígn estrelad, btems um pentágn cuja sma ds ânguls interns é S i ( ). 0 0 e cuj ângul central é a c 0 0. Os ânguls, β, γ, δ e ε pssuem tds a mesma medida,, prtant + β + γ + δ + ε 0. 0) n n+ d d sen 0 0, ' 0, ' ' 0, sen 0 0, " 0, " " 0, EF Perímetr: E + EF + FG + G + P 0, EF + + 0, +, T P, + + EF P, + 0, + 0, P, m T" ) a) Plígn regular cm it lads iguais, ânguls interns iguais e ânguls eterns iguais. b) d nn ( ) d ( n+ )( n+ ) d n n nn ( ) n + n n n n n 0 n n 0 n n 0 n(n ) 0 n' 0 Nã serve n" ) álcul d ângul central: 0 n c) 00 Si (n )0 Si ( )0 Si 00, nde n 0 ) n n + n + Si 0(n ) Si 0 ( ) Si 0. Si 0 enunciad, tems: 0 I G F E 0 Matemática

11 Na figura, cada triângul pssui um ângul assinalad n enunciad e dis ânguls eterns d plígn EFGI. ssim, a sma pedida é ) 0 PG (0, 00, 0). Se n e n sã s númers de lads d segund e terceir plígns respectivamente, btém-se que: d nn ( ) 0( 0 ) 0 d nn ( ) ( ) 0 Ttal diagnais. ) sma ds ânguls interns desse plígn cnve é: E E 00 E ) 0 θ ) 0 ) ) S int 0 (n ), cm n númer de lads O menr ângul é.. O cmplement é valr que falta para 0 : 0. O mair ângul desses ânguls é.. O suplement é quant falta para 0 : 0. Prtant, sma: + Visand graus n sentid anti-hrári (esquerda), a cada metrs, frma-se um ângul de, que deve ser igual a ângul etern de um pentágn regular. ) a 00 b 0? P 0 0 R Prtant, 0 Q Ns passs I e II sã cnstruíds dis lads d pentágn. Prtant, é precis eecutar pass IV pel mens vezes, u seja,. Tems, entã, Matemática

12 ) 0 P Em, 0, pis é isósceles, lg + z 0. Em P, + + z ) Os triânguls M e M têm dis lads cngruentes e ângul cmpreendid entre eles também é cngruente. Lg,β. 0) z ) 0 Os triânguls VWS e URT sã equiláters e assim pssuem ânguls interns de 0. 0 V U w T 0 + G ) S R I. Falsa. II. Verdadeir. Se apenas um ângul fr agud, s utrs dis serã btuss (mair que 0 ), que é absurd, pis a sma ds ânguls interns seria mair d que 0. III. Falsa. V U G 0 S R w T V U 0 G 0 S R w T Matemática

13 Sma ds ânguls interns 0 N triângul PZ ) ) a b c a b + c + + a b c a b + c +, m em qualquer triângul um lad é sempre menr que a sma ds utrs dis, tems: < < u < < ) P θ (ângul) ssim: θ 0 + θ () z Observe a figura: E P G F O ) 0 z YO é bissetriz de YZ. aí, YO ZYO θ. Y Z. ssim, Δ YZ é isósceles de base YZ, ist é, ZY YZ θ. PO YO. ssim, Δ YPO é isósceles de base PY, ist é, YPO PYO YO ZYO θ. P PZ. aí, Δ PZ é isósceles de base Z, ist é, PZ ZP. N triângul YZ θ + θ + 0 θ β 0 β 0 β 0 Matemática

14 ) O triângul é acutângul, u seja, tds s ânguls sã < 0 (pssuem ânguls aguds). ) Errata: Para prblema cnsidere a figura: ) z c c E a 0 0) 0 z () 0 () 0 z 0 z z + z Prtant, k + k + k k k b enunciad, tems: a b 0 m em qualquer plígn a sma ds ânguls eterns é, tems: a + b + 0 a + b 0 Lg a b + 0 a 00 a 0 e b 0 a b 0 ssim, sen a sen 0 sen 0. ) m m m/ O mair lad mede k. 0 metrs. ) E a a b a + m m m m (m) m a m < + Área: b m m.. m Matemática