XXVIII OLIMPÍADA BRASILEIRA DE MATEMÁTICA PRIMEIRA FASE NÍVEL 2 (7 a. e 8 a. Ensino Fundamental) GABARITO

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1 GABARITO NÍVEL XXVIII OLIMPÍADA BRASILEIRA DE MATEMÁTICA PRIMEIRA FASE NÍVEL (7 a. e 8 a. Ensin Fundamental) GABARITO ) D 6) A ) D 6) C ) C ) C 7) C ) C 7) B ) E ) C 8) A ) E 8) C ) D 4) A 9) B 4) C 9) B 4) C 5) C 0) D 5) D 0) C 5) D Cada questã da Primeira Fase vale pnt. (Ttal de pnts n Nível = 5 pnts). Aguarde a publicaçã da Nta de Crte de prmçã à Segunda Fase n site ( ) ) (D) = = =. A sma ds algarisms ( + ) d númer 40 é 7. ) (C) Traçand-se retas paralelas as lads, verificams que perímetr da figura é mesm que de um quadrad de lad 0 cm, u seja, 80 cm. ) (C) 0a+ b= 5( a+ b) 5a = 4b a = 4, b= 5 54= 6 9 4) (A) O interval de temp entre a partida e primeir encntr é igual a interval de temp entre primeir encntr e segund encntr, n pnt de partida. Iss acntece prque a se inverterem as velcidades, a situaçã seria a mesma que se cada um deles retrnasse a pnt de partida pel caminh que vei, cm a mesma velcidade. Prtant, eles chegarã n mesm instante, u seja, temp que um irá esperar pel utr será igual a 0. 5) (C) ADE + x = 0 + ABD ADE = AED = 0 + ABD x = x + ACD x = 5. 6) (A) Sejam n, n e n + s três númers inteirs cnsecutivs. Tems ( n ) + n+ ( n+ ) = ( n ) n ( n+ ) n= n( n ) n = n = 4 n= Prtant s númers sã,, e a sma ds quadrads ds três númers cnsecutivs é + + = 4.

2 7) (C) Se x era a idade de Net n final de 994, entã an em que nasceu é 994 x ; de frma análga, an em que sua avó nasceu é 994 x. Assim, tems 994 x x = x = 844 x= 44 x= 48. Prtant, Net ( ) ( ) cmpleta em 006 a idade de ( ) + 48 = + 48 = 60 ans. 8) (A) Trace retas hrizntais pels vértices mais baixs ds três quadrads: 75º x 0º 6º Entã s ânguls à esquerda e à direita d vértice d quadrad da esquerda sã 60º e 0º, respectivamente; s ânguls à esquerda e à direita d vértice d quadrad d mei sã respectivamente 80º 6º 0º = 4º e 90º 4º = 66º; s ânguls à esquerda e à direita d vértice d quadrad da direita sã respectivamente 80º 75º 66º = 9º e 90º 9º = 5º. Enfim, n triângul retângul cm um ds ânguls igual a x, tems x = 90º 5º = 9º. 9) (B) O númer 4 = tem smente dis divisres cubs perfeits: e 8. Assim, se é pssível representar 4 na frma a b, entã b = u b = e, prtant, a = 4 u a =, que é impssível. Além diss, na alternativa a pdems tmar a = e b = ; na alternativa c, pdems tmar a = 4 e b = c = ; na alternativa d, pdems tmar a =, b = e c = ; e na alternativa e, pdems tmar a =, b = e c =. 0) (D) (veja as figuras acima) Cntagem: 9 quadradinhs 4 quadrads, mas cada um dele tem um inscrit, entã ttal é 4 = 8 quadrad, mas cm quadrads inscrits, entã ttal é Ttal: = 0

3 ) (D) Se Alexandre nã vai de carr e acmpanha Bent, que nã vai de aviã, entã ambs vã de trem. Carls nã acmpanha Dári e nã anda de aviã, lg é cmpanheir de Tmás, que nã anda de trem; assim, ambs vã de carr. André, que viaja de aviã, é cmpanheir de Dári; lg, ambs vã de aviã. Prtant, Alexandre vai de trem e Tmás vai de carr. a ) (C) R = 4 =, pis lad d hexágn é metade d lad d triângul. 6 a 6 Existe uma maneira bem gemétrica de reslver, basta bservar a figura! ) (E) Sabems que n n cmum prque = 6. é divisível pr 6 para td n =,,,..., e esse é máxim divisr 4) (C) Seja H númer de filhs hmens e M númer de filhas mulheres. As afirmações sã equivalentes à H = M + e H = (M ). Reslvend sistema, tems: M = 6 e H = 0, lg a quantidade de filhs é 6. 5) (D) Clcand Tangram sbre uma malha quadriculada, a regiã smbreada cupa quadradinhs da malha e sua área é, prtant, da área d Tangram, u seja, 64 = cm ) (C) Vams cntar primeir quants númers desse tip existem: cm dígit cm dígits

4 cm dígits Cada númer desejad pde ser paread cm utr trcand s dígits pr (e vice versa). Pr exempl, e. A sma ds númers em cada par é alg d tip:... Assim, a sma ttal é + + = (B) Pela desigualdade triangular, s númers reais a, b e c sã medidas ds lads de um triângul se, e smente se, c < a+ b> c c> c b+ c> a a> a a< c+ a> b b> b b < 8 (C) Devems ter c(c + ) = 0 entã c = 5. Agra para a + b = 5 tems 4 sluções diferentes para par (a, b). Daí, a respsta crreta seria 4. 9 (B) ) Existem 9 8 númers de dis dígits distints, exatamente metade deles é bnit e a utra metade nã é. Lg existem 9 8/ = 6 númers bnits. ) Existem 8 númers bnits que terminam em, 7 que terminam em,..., que termina em 8. Lg existem: = 6 númers bnits. 0 (C) A sma de tdas as ntas é = 400. A média de k númers é inteira quand a sma ds k númers é divisível pr k. Assim, cm 400 é divisível pr 4 e a sma das quatr primeiras ntas deve ser divisível pr 4, últim númer a ser digitad é múltipl de 4, u seja, é 76 u 80. Se últim númer é 76, a sma ds utrs quatr númers é = 4, que é múltipl de. Seguind um racicíni análg a anterir, btems que penúltim númer a ser digitad é múltipl de. Mas nenhum ds cinc númers é múltipl de, absurd. Lg últim númer é 80 (de fat, pdem crrer as rdens de digitaçã 76, 8, 9, 7, 80 e 8, 76, 9, 7, 80). (C) Multipliquems primeir s dis últims radicais Obtems : + Agra multipliquems este fatr encntrad pel segund fatr da expressã Obtems: Finalmente multipliquems este resultad pel primeir fatr da expressã. + =

5 (E) a 9 8 númers 8 algarisms númers 80 algarisms Ainda restam 88 algarisms e prtant ainda cnseguims frmar 606 númers de algarisms. Assim, livr de Ludmilsn tem = 705 páginas. (D) Se x + y + z = 0, entã x + y + z = xyz. Pr utr lad, ( x y x + y + z xyz + + ) = = =. x z y z x y z x y z x y z 4 (C) As hras pssíveis sã 00, 0, 04, 06, 08, 0 e, ttalizand 7 pssibilidades. Para cada uma dessas hras, s minuts pdem ser 00, 0,04,06,08,..., 40, 4,..., 48, etc, num ttal de 5= 5 pssibilidades. Prtant, númer de vezes em que relógi exibe apenas algarisms pares é 7 5 = 05. 5) (D) AG = AD AF = DAB GAF, cm razã de semelhança. AB LAL DAB = 60 + GAB = GAF Prtant. BD FG =