Exame 1/Teste 2. ε 1 ε o

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1 Grup I Exame 1/Teste 1 - Um anel circular de rai c m está unifrmemente eletrizad cm uma carga ttal Q 10 n C Qual é trabalh τ que uma frça exterir realiza para transprtar uma carga pntual q n C, d infinit até a centr d anel? - O cndensadr plan indicad na Figura 1 tem armaduras de área S l separadas pr uma distância d l e está preenchid cm dis dielétrics de permitividades ϵ e ϵ 1, de espessuras d d d Entre s dielétrics está clcada uma placa cndutra descarregada de espessura e, send d e + d + d 1 l d 1 d e 0 x d a) Quand cndensadr está carregad cm uma carga Q, qual é ptencial V p da placa cndutra intermédia, sabend que uma das armaduras se encntra ligada à Terra Determine a energia eletrstática (energia das cargas verdadeiras) armazenada n cndensadr b) Supnha agra que ϵ 1 ϵ e que a placa é deslcada de uma distância x de dentr d cndensadr, paralelamente às armaduras, mantend-se a carga Q cnstante Determine a capacidade d cndensadr em funçã da crdenada x de deslcament da placa Qual a frça exterir que é precis exercer sbre a placa cndutra para a manter nessa psiçã ( x < l)? espstas: 1-1) [15] Uma frça exterir sbre a carga q realiza trabalh quasi-estátic cntra camp elétric quand F = -F e = -q E O ptencial n centr d anel, assumind V = 0, é V = 1 dq 4 π anel = 1 Q 4 π τ = 0 F dr = q E dr = q V = 1 q Q 0 4 π = J 1-a) [0] A densidade de carga na armadura superir é σ = Q, pel que camp D = σ em ambs s dielétrics pela lei de l Gauss, dnde E 1 = σ e E = σ Cm a placa cndutra está tda a mesm ptencial, prque camp elétric EO MEFT,MEBim, MAC - IST -1-6/17/15

2 n seu interir é E = 0, seu ptencial deve ser V p = E d = σ d A armadura superir está a ptencial V + = E 1 d 1 + V p = σ d 1 armazenada pelas cargas verdadeiras n cndensadr é W c = 1 Q V + = 1 Outra frma seria calcular W c = 1 ε E dv = 1 E 1 l d E l d = l σ 1-b) [15] Grup II + σ d = σ d 1 + d, pel que a energia d 1 + d = 1 A capacidade d cndensadr verifica, relembrand que e = d - d - d 1 = d 10, C (x) = l x + l (l - x) = l (10 l - x) d d - e 9 d A energia armazenada nestas cndições é W e (x) = 1 C (x) A frça elétrica exercida pel cndensadr na placa é atrativa F e (x) = - W e x Q = + 1 dc (x) C (x) dx 9 d = - l (10 l - x) l d 1 + d = 9 d Q ( + ) 40 l A frça exercida sbre a placa para a manter imóvel deve ser simétrica F p (x) = -F e (x) l d 1 + d = 9 d Q ( + ) 40 l Dis cilindrs cndutres de rais a e b, cndutividade elétrica σ c e cmpriment, estã separads pr uma distância d entre s seus eixs paralels Uma bateria de fem E a liga s dis cilindrs pr uma extremidade, enquant um fi sem resistância fecha circuit ligand-s pela utra extremidade, cm indicad na Figura : E a σ c σ c d a b a) Determine a intensidade de crrente i n circuit e camp elétric E n interir de cada cndutr, numa regiã afastada das extremidades, assumind aí uma distribuiçã unifrme de crrente b) Determine, nestas cndições, camp de induçã magnética B n pnt médi P, a igual distância ds eixs ds cilindrs, assumind que d (u seja s cilindrs sã praticamente infinits para efeit) 6/17/15 -- EO MEFT, MEBim, MAC - IST

3 3 c) Determine flux d camp B n espaç entre s dis cndutres, pr unidade de cmpriment, e ceficiente de aut-induçã d sistema referente à mesma regiã Dads: ϵ π 10-9 F m -1 ; μ 0 4 π 10-7 H m -1 espstas: -a) [0] A resistência de cada cilindr é a = As densidades de crrente sã: J a = i π a e E z = σ a c J b = - i π b e z = -σ c E a u seja, E a = Ea -b) [15] b a +b e z = σ c E a a a +b e z = σ c E b, σ c π a e b = b a +b e z dentr d cilindr de rai a e E b = - Ea pel que a crrente i = Ea σ c π b Usand a ei de Ampére para camp em P btém-se B = B 1 + B = está n sentid de E a em crdenadas cilíndricas {r, ϕ, z} -c) [15] Grup III = Ea a + b a a +b e z n cilindr de rai b σ c π a b a +b μ i π d/ e ϕ = μ E a σ c a b e d a +b ϕ quand e z Cm B 1 (r) = μ i π r e ϕ quand e z está n sentid de E a, caxial cm cilindr de rai a, e B (r ) = μ i π r e ϕ quand e z está n sentid E b, caxial cm cilindr de rai b, pdems mstrar que d-b μ i ϕ 1 = a π r dr = μ i π ln d - b a d-a μ i ϕ = b π r dr = μ i π ln d - a b ; ϕ = ϕ 1 + ϕ = μ i π ln (d - a) (d - b) a b pel que ceficiente de aut-induçã pr unidade de cmpriment é = μ π (d-a) (d-b) ln a b Uma espira quadrada de lad l, resistência elétrica e ceficiente de induçã, deslca-se n plan x O y cm uma velcidade unifrme v v e y, tal cm se indica na Figura 3 para instante t 0 Perpendicularmente à espira existe um camp de induçã magnética dad pr B (y) B 0 (1 + a y) e z, send B 0 e a duas cnstantes a) Determine a intensidade e sentid da crrente elétrica induzida na espira EO MEFT,MEBim, MAC - IST -3-6/17/15

4 4 b) Determine a resultante das frças magnéticas que atuam a espira e verifique que a energia se cnserva neste prblema c) Determine a diferença de ptencial entre s pnts A e B, para um instante t genéric espstas 3-a) [0] O flux através da espira n instante t, quand a psiçã da aresta da esquerda é y e (t) = v t, e n = e z, é ϕ (t) = B e y z ds = l B e (t)+l ye (1 + a y) dy = l B (t) y + 1 a y l+v t = l B v t 1 + a v t + a l Nte que a esclha de n = e z implica que sentid diret (psitiv) na espira é anti-hrári A frça eletrmtriz induzida é assim cnstante, E m = - dϕ dt = -a v l B < 0 A intensidade da crrente induzida passad regime transitóri (para t ) é também cnstante, i Em 3-b) [15] = - a v l B < 0, e percrre a espira n sentid hrári As frça magnéticas sbre um element de crrente i dl sã dadas pr df = i dl B, pel que ns lads cm y = c te F l (y e ) = i dx e x B (1 + a y e ) e z = -i B (1 + a v t) l e y = a v (1 + a v t) l3 B e y 0 F (l + y e ) = l -i dx e x B (1 + a (l + y e )) e z = i B (1 + a (l + v t)) l e y = - a v (1 + a (l + v t)) l3 B e y 0 As frças sbre s lads paralels a e y anulam-se pr serem simétricas A frça ttal é assim F = - a v l 4 B e y Para manter a velcidade cnstante é necessári aplicar uma frça exterir F = -F, frnecend assim a ptência e = F v = a v l 4 B Pr sua vez a ptência dissipada pr efeit Jule na espira é J = i = a v l 4 B, verificand-se assim a cnservaçã de energia e = J 3-c) [15] A frça eletrmtriz n segment AB é E AB (t) = v B (y e (t)) d l l = v B (1 + a v t) e y e z e x dx = v B l (1 + a v t) AB 0 Cm a rientaçã esclhida anterirmente, e tend em cnta que 4 i = J d l AB σ c = E e + E d l = V AB (t) + E AB AB Neste cas i = - a v l B, e a queda de ptencial V AB (t) = 4 i - E AB m (t) = - v B l 1 + a v t + l < 0 4 Nte-se que lad AB cmprta-se cm uma bateria a ser carregada, nde a densidade de crrente J que a atravessa é psta a camp nã-cnservativ E m n seu interir (t) Grup IV 1 - A seçã de um cndutr cilíndric de rai é atravessada unifrmemente pr uma crrente variável n temp i (t) i 0 sin (ω t) Determine: a) camp de induçã magnética n interir d cndutr, na aprximaçã H J ; 6/17/15-4- EO MEFT, MEBim, MAC - IST

5 5 b) a partir de que valr de ω a aprximaçã anterir deixa de ser válida, para cada pnt da seçã d cndutr à distância r d seu eix E 1 E z r ϕ - E ϕ e r + E r z z - E z e ϕ + 1 (r E ϕ ) - E r r r r ϕ e z - Uma nda eletrmagnética, plana e mncrmática, cm camp elétric dad pr E (z, t) 100 csω t z e x + 00 sinω t z e y V m -1 prpaga-se n ar e incide na superfície de separaçã de um mei, de permitividade e permeabilidade relativas ϵ r 4 e μ r 1, segund um ângul em que a nda refletida fica plarizada linearmente (ver Figura 4) c) Determine vetr de nda, a frequência, estad de plarizaçã, e camp de induçã magnética da nda incidente d) Determine a amplitude d camp elétric da nda refletida e a fraçã de energia, relativamente à nda incidente, que acmpanha a nda refletida z x y k i θ i Fórmulas de Fresnel: E 0 r sin(θ i - θ t ) E 0 i sin(θ i + θ t ) ; E 0 r tan(θ i - θ t ) E 0 i tan(θ i + θ t ) ; E 0 t E 0 i 1 - E 0 r E 0 i E 0 t E 0 i n 1 n 1 + E 0 r E 0 i espstas: 4-1) [15] A densidade de crrente de cnduçã é J (t) = i (t) π e z, e a ei de Ampére para um círcul de rai r < permite deduzir que H ϕ (r) π r = J π r pel que dentr d cndutr H = i (t) r π e ϕ, u B = μ i (t) r e π ϕ Da equaçã de Maxwell E = - B Uma sluçã é E z (r, t) = μ r d i (t) 4 π dt D z = E z = μ r 4 π d i (t) btém-se - E z r = - μ r di (t) π dt + E z (0), dnde = - i r ω sin(ω t) dt 4 π c Para a aprximaçã indicada ser válida é necessári que que i r ω 4 π c i π 4-a) [0], u seja ω c r De acrd cm a figura, k = e z rad direita O camp magnétic B r, t = 1 c -e z E r, t pel que se btém m D z J z em cada instante e para cada r <, pel e ω = k c = rad, send a nda elíticamente plarizada s EO MEFT,MEBim, MAC - IST -5-6/17/15

6 6 B r, t = E y c e x - E x c e y = sin t z e x cs t z e y (T) 4-b) [15] O ângul de incidência pretendid é ângul de Brewster Neste cas n 1 = 1, n = ε r = e tan(θ B ) = n n 1 = Pelas fórmulas de Fresnel, E r = 0 e E r = sin(θ E B - θ t ) = sin θ B - π i = -cs( θ B) = 1 - cs(θ B ) = 1-1+tan(θ B ) = 1-5 = 3 5 = 06 Assim E r = 06 E i = 60 V m e a intensidade refletida I r = c E r A intensidade incidente é I i = c + E i pel que a fraçã de energia refletida é I r I i = E r = +E i E i E i = 007 6/17/15-6- EO MEFT, MEBim, MAC - IST