Aula 8. Transformadas de Fourier

Transcrição

1 Aula 8

2 Jean Baptiste Jseph Furier (francês, )

3 extracts ds riginais de Furier

4 Enquant que as Séries de Furier eram definidas apenas para sinais periódics, as sã definidas para uma classe de sinais muit mais ampla. Devid a fact que s sinais sinusidais sã diferenciáveis, a Transfrmada de Furier permite representar equações diferenciais lineares cm ceficientes cnstantes na frma de equações algébricas rdinárias. Outr detalhe, as satisfazem prpriedades cmuns a utras transfrmadas que já vims, cm a linearidade pr exempl, e trnam a peraçã de cnvluçã em multiplicações simples.

5 para sinais cntínus A Série de Furier só se aplica a sinais periódics. Sinais que NÃO sã periódics (dits sinais aperiódics ) têm uma utra representaçã cm a Transfrmada de Furier. Um sinal aperiódic pde ser vist cm um sinal periódic cm um períd infinit. Na Série de Furier, imagine que períd T de um sinal periódic aumenta, pr cnseguinte a frequência diminui, e terms harmnicamente relacinads ficam mais próxims na frequência. π T Ou seja, quand períd T cresce, T a frequência π diminui 0 T as cmpnentes em frequência (i.e., s c k s) frmam um cntínu, e smatóri da Série de Furier deste sinal se cnverte em uma integral.

6 A Transfrmada de Furier deste sinal x(t), nrmalmente simblizada pr: F { x(t) } X(j) permite expressar sinal x(t), cm: x(t) π X( j ) e j t d equaçã de síntese nde: X ( j) x(t) e j t dt equaçã de análise é a Transfrmada de Furier d sinal x(t). (iss nã era pssível cm a Série de Furier se sinal nã fsse periódic)

7 Prtant, a Transfrmada de Furier é uma funçã de (u de j) e, de certa frma, generaliza a Série de Furier. Pr utr lad, as, de certa frma, particularizam as Transfrmadas de Laplace X(s), pis fazend-se s 0 + j btém-se X(j) que sã as. É pssível mstrar que estas fórmulas sã válidas / estas integrais cnvergem para uma classe bastante ampla de sinais de duraçã infinita.

8 Exempl 8. 0 a (t), u (t) x t a > e t ) j (a t j at ) j (a dt ) j X ( e e e

9 e prtant a Transfrmada de Furier deste sinal x(t) é dada pr: X ( j), a > (a + j) Cm a Transfrmada de Furier tem valres cmplexs, para expressá-la através de um gráfic é necessári decmpr em diagrama de módul X(j), e diagrama de fase X(j). 0 diagrama de módul X(j) X ( j) a +

10 X ( j) arctg a diagrama de fase X(j).

11 Exempl 8. x(t) e a t, a > 0

12 0 0 a t j t X ( j ) e e dt a t j t a t j t e e dt + e e dt 0 0 (a j ) t (a+ j ) t e + (a j ) (a + j ) + (a j ) (a + j ) e 0 X ( j ) a (a + ) Nte que esta Transfrmada de Furier X(j)nã tem valres cmplexs, i.e., X(j) R,. Lg, é pssível traçar gráfic de X(j) x, que nã é pssível ns cass em que X(j) é cmplex.

13 X ( j ) a (a + )

14 Exempl 8.3 x(t), 0, se se t t < > a a

15 ( ) j a j a a a t ) j ( j j ) (j dt ) j X ( a a t e e e e ) sen ( a ) j X ( Nvamente, esta Transfrmada de Furier X(j) R,. Entã é pssível traçar gráfic de X(j) x, que nã é pssível ns cass em que X(j) é cmplex.

16 X ( j) sen ( a ) Nte que para 0 valr de X(j) X(j0) a pis lim 0 sen (a ) a Mas nada impede que também sejam traçads diagrama de módul X(j) e diagrama de fase X(j), cm farems a seguir.

17 diagrama de módul X(j)

18 X ( j) 0 π se se X ( X ( j) > 0 j) < 0 diagrama de fase X(j)

19 para sinais periódics Se x(t) é um sinal periódic, entã a sua será X ( nde j) k π c k u ( k ) também chamada de cadeia de impulss ( train f impulses ) c k s s ceficientes da Série de Furier expnencial. Exempl de uma cadeia de impulss ( train f impulses )

20 Ist crre prque: Se X ( j) π u ( ) entã x (t ) π π u ( ) e j t d u ( ) e j t d e j t lg, se: X ( j) k π c k u ( k ) x(t) entã será: x (t ) ck X ( j) k e j k k t π c k u ( k ) que é a Série de Furier expnencial para sinais periódics.

21 Exempl 8.4 x(t) sen( t) Neste cas s ceficientes c k s da série expnencial de Furier sã: se k c j se k c j se k {, } c k 0 e a Transfrmada de Furier ( cadeia de impulss u train f impulses ) neste cas é: X ( j) π j u ( π ) j u ( + )

22 A Transfrmada de Furier deste sinal x(t) ( cadeia de impulss u train f impulses ) Esta cadeia tem apenas impulss.

23 Exempl 8.5 x(t) cs( t) Neste cas s ceficientes c k s da série expnencial de Furier sã: se k c se k c {, } se k c k 0 e a Transfrmada de Furier ( cadeia de impulss u train f impulses ) neste cas é: X ( j) π u ( + ) + π u ( )

24 A Transfrmada de Furier d sinal x(t) ( cadeia de impulss u train f impulses ) Esta cadeia tem apenas impulss.

25 Exempl 8.6 Cnsidere sinal x(t) d exempl 7., capítul 7 (nda quadrada). x(t),, se se < t < 0 0 < t < que após ser repetid (u estendid) para a direita de t e para esquerda de t, ns dá um sinal periódic para t ( < t < ), ilustrad abaix

26 Este sinal tem frequência natural π T π s ceficientes c k s da Série de Furier cmplexa (u expnencial) sã: c k 0, πk j, se se k k 0, ±, ± 4,... ±, ± 3, ± 5,... (ver exempl 7. d capítul 7)

27 Lg a Transfrmada de Furier deste sinal x(t) será dada pr X ( j ) π c u ( k ) k k π j u ( k π ) k±, ± 3, ± 5, πk 4 j u ( k π ) k k±, ± 3, ± 5, γ u ( k π) k±, ± 3, ± 5, Lg, X(j) é uma cadeia de impulss (u train f impulses ) cmplexs cm áreas γ k lcalizadas em ±π, ±3π, ±5π, ±7π, k

28 nde γ k j 4/k, para k, 3, 5,, 0, para k 0, ±, ±4,, e j 4/k, para k, 3, 5,, Nte que s ceficientes γ k sã númers imagináris purs. γ k : j (4/9), para k 9 j (4/7), para k 7 j (4/5), para k 5 j (4/3), para k 3 j 4, para k 0, para k 0, ±, ±4, j 4, para k j (4/3), para k 3 j (4/5), para k 5 j (4/7), para k 7 j (4/9), para k 9 :

29 A transfrmada de Furier d sinal x(t)

30 diagrama de módul X(j)

31 diagrama de fase X(j) Ou seja, neste cas, a fase X(j) 0, para 0. π/, para π, 3π, 5π,, π/, para π, 3π, 5π, e

32 Exempl 8.7, x(t) 0, se se t a < < a t < T e, s ceficientes c k s da Série de Furier para este sinal periódic é sen ( k a c c k, k 0 T k π a )

33 Lg, a Transfrmada de Furier X(j) deste sinal periódic x(t) é uma cadeia de impulss (u train f impulses ) X ( j) π a T u (a) + k k 0 sen ( k k a ) u ( k ) k γ k u ( k ) nde: 4πa se k 0 T γ k sen ( k a ) k se k 0

34 N cas (T 4a), π/, e s valres ds c k s e ds γ k s sã: c c c π c c 0 c 3π c3 3 c c 4 4 c 5π c5 5 c c γ γ γ γ γ γ γ π γ γ 0 3 γ 3 4 γ 4 5 γ 5 6 γ etc.

35 A transfrmada de Furier d sinal x(t) T a cadeia de impulss ( train f impulses )

36 A transfrmada de Furier d sinal x(t) T a cadeia de impulss ( train f impulses )

37 Prpriedades da Transfrmada de Furier para sinais cntínus Linearidade: F { α (t) + β x (t) } α F { x (t) } + β { x (t) } x F Translaçã n temp ( time shifting ) F j t { x(t t ) } e F { x(t) } O módul d sinal transladad nã se altera pela translaçã. Smente a fase. Ou seja, escrevend-se a Transfrmada de Furier de x(t) na frma plar (módul e ângul): F X( j) { x(t) } X( j) X( j) e

38 tems que a Transfrmada de Furier de x(t t ) pde ser expressa cm: F { x(t t ) } e j t X( j) X(j) e j [( X( j) ] t Uma translaçã u shift (de t ) n sinal x(t) uma translaçã u shift (de t ) na transfrmada X(j) deste sinal.

39 Exempl 8.8: Cnsidere este sinal a lad. Este sinal pde ser reescrit cm a cmbinaçã de dis sinais: Nte que x(t)pde ser escrit cm a sma de 0,5 x (t,5) e x (t,5), transladads de,5 unidades para direita, u seja, ist é, x(t) 0,5 x (t,5) + x (t,5)

40 Cm as de x (t) e de x (t) sã respectivamente X (j) e X (j): X ( j ) ( ) sen e X ( j ) ( 3 ) sen entã, usand as prpriedades da linearidade e da translaçã (time shifting) tems que: 5 j 5 j j,5 ( ) ( ) sen / sen 3 / X( j ) e 0,5 + ( ) + ( ) sen / sen 3 / e e + { sen ( 0,5 ) sen (,5 ) }

41 Outras Prpriedades da Transfrmada de Furier Cnjugaçã: F Lg, se x(t) R, entã { } x * (t) X ( j) X( j) X ( j) Se a Transfrmada de Furier de x(t) é expressa na frma cartesiana (parte real e parte imaginária) F { x(t) } X(j) Re{ X(j) } + Im{ X(j) } entã, cm x(t) R, tems que Re { X(j) } Re{ X( j) } a parte real de X(j) é par Im { X(j) } Im{ X( j) } a parte imaginária de X(j) é ímpar

42 Entretant, se a Transfrmada de Furier de x(t) é expressa na frma plar (módul e ângul): F { } X( j) x(t) X(j) X(j) e X( j) X ( j) módul de X(j) é par X( j) X ( j) a fase de X(j) é ímpar Lg, se x(t) R, entã só é necessári calcular a Transfrmada de Furier, para frequências > 0 ( X( j) e X( j) ) tant n cas de módul e fase. cm n cas de parte real e parte imaginária ( Re{ X( j) } e Im{ X( j) })

43 pis estes valres para frequências negativas < 0 pdem ser determinads usand as relações acima. Outr detalhe: Se x(t) R é um sinal par(x(t) x( t) ) X(j) R, ist é, X(j) eix real X(j) X( j), ist é, X(j) é par (a Transfrmada de Furier é uma funçã real e par). Se x(t) R é um sinal ímpar(x(t) x( t)) X(j) é um imaginári pur, ist é, X(j) eix imaginári, e X(j) X( j), ist é, X(j) é ímpar

44 Finalmente, a decmpsiçã de um sinal x(t) em parte par Ev(X(j) e ímpar Od(X(j). F F { Ev{ x(t) }} Re{ F { x(t) }} Re{ X( j) } { Od{ x(t) }} j Im{ F { x(t) }} j Im{ X(j) } Exempl 8.9 x(t) e a t, a > 0 Pel resultad d Exempl 8. sabems que: F { (t) u (t) } x ( a + j)

45 e cm < > 0 t 0 t x(t) se se t a t a e e pdems escrever que: { } (t) u Ev t) ( u (t) u t) ( u (t) u x(t) t t t a t a a t a a + + e e e e e Agra, usand resultad acima (para as funções pares), tems que: { } { } ( ) + j a Re (t) u Ev t a e F

46 lg, X( j) F { { a t Ev e u (t) } } Re ( a + j) a ( a + ) que fi resultad btid n Exempl 8..

47 Derivadas dx F (t) j F dt { x(t) } Para cas de derivadas de rdem u mais, pde-se aplicar esta regra sucessivas vezes. Pr exempl, n cas da segunda derivada, d x F F dt { x(t) } Integral F { } t x( τ) dτ F { x(t) } + πx(0) u ( ) j

48 Exempl 8.0 ATransfrmada de Furier d impuls unitári u (t) F jt { u (t) } u (t) e dt e usand a prpriedade da integral para impuls unitári u (t), ist é, β α x(t) u (t a)dt x(a), α < a < β btems que: F jt { u (t) } e t 0 Ou seja, a Transfrmada de Furier d impuls unitári u (t) é igual a.

49 Exempl 8. Cnsidere sinal x(t) degrau unitári u (t): x(t) u (t) Cm x(t) t u ( τ) dτ e, cm F { u (t) } entã, usand a prpriedade da integral para a Transfrmada de Furier, tems que X( j) + π u ( ) j u seja, a Transfrmada de Furier d degrau unitári u (t) é F { u (t) } + π u ( ) j

50 Pr utr lad, cm du u (t) dt usand a prpriedade da derivada para a Transfrmada de Furier, tems que F (t) { u (t) } j F { u (t) } j j + π u ( ) + j π u ( ) Entretant, sabems que u () 0, 0 e iss implica que: e prtant: u ( ) 0, F { u (t) }

51 Outras Prpriedades da Transfrmada de Furier Escalnament n temp ( time scaling ): F { } x( α t) X α j α Sinal reflectid / reversã n temp ( time reversal ) em trn de t 0: F { x( t) } X( j)

52 Relaçã de Parseval: Supnha que x(t) é um sinal. Entã, mstra-se que a energia ttal d sinal E x (t) dt que vims na eq. (.6) d capítul, pde ser expressa em terms da Transfrmada de Furier pela relaçã de Parseval: E x (t) dt π X( j) d

53 Dualidade: Supnha que x (t) e x (t) sã sinais cntínus e que F { (t) } X ( j ) x F { (t) } X ( j ) x se entã, x (t) X ( j ) t X ( j ) π x (t t )

54 Exempl 8. Usand resultad btid n Exempl 8., se entã: f (t) e t F(j) F { f (t) } ( + )

55 f (t) e t F(j) F { f (t) } ( + ) Lg, se g(t) ( + t ) entã, pela prpriedade da dualidade: G(j) F { g(t) } π e

56 Cnvluçã: u seja, F ( j) X ( j) Y(j) X { x (t) x (t) } F { x (t) } { x (t) } F X ( j) X ( j) Interpretaçã da prpriedade da Cnvluçã Y(j) H ( j) X( j)

57 H(j) F {h(t)} a Transfrmada de Furier de h(t), também chamad de respsta na frequência. h(t) [respsta impulsinal d sistema] Multiplicaçã (dual da cnvluçã): F x π { (t) x (t) } X ( jθ) X ( j ( θ )) dθ

58 Tabela da Transfrmada de Furier de alguns sinais cntínus cnhecids

59 Tabela da Transfrmada de Furier de alguns sinais cntínus cnhecids

60 Departament de Engenharia Eletrmecânica Obrigad! Felippe de Suza