x(t) = e X(jω) = 2 π u o (ω ω o )

Transcrição

1 J. A. M. Felippe de Suza Análi de Sinais - Hmewrk 08 Análi de Sinais Hmewrk 09 (Transfrmadas de Furier) ) Mstre que s sinais x(t) abaix têm as transfrmadas de Furier X(j) crrespndentes, que também sã dada abaix. a) x(t), t X(j) u () b) j t x(t) e X(j) u ( ) c) x(t) n ( t) X(j ) [ u ( ) u ( + )] j (sugestã: usar s ceficientes c k s da série de Furier d n para achar X(j), u u a equaçã de Euler para expressar n e transfrme). d) x(t) cs ( t) X( j ) [ u ( ) + u ( + )] (sugestã: usar a prpriedade da derivada para transfrmada de Furier, uma vez que a derivada d n é c-n frequência d mesm). e) n ( x(t) t t), X (j) 0, < > (sugestã: usar a prpriedade da dualidade para transfrmada de Furier). f) x(t) u (t) X(j) g) x(t) u (t) X(j ) + u ( ) ( j ) (sugestã: usar a prpriedade da integral para transfrmada de Furier, uma vez que a integral d impuls é degrau). h) x(t) u (t t ) X(j) e j t (sugestã: usar a prpriedade da dualidade para transfrmada de Furier). ) Usand a prpriedade da cnjugaçã da transfrmada de Furier: * * { x (t) } X ( j) F, mstre que: Se x(t) R, t e é ímpar, entã: X(j) eix imaginári e X(j) X( j) (u ja, X(j), a transfrmada de Furier de x(t), é imaginári pur e ímpar).

2 J. A. M. Felippe de Suza Análi de Sinais - Hmewrk 08 Análi de Sinais Hmewrk 09 (Transfrmadas de Furier) 3) O sinal x(t) e a sua transfrmada de Furier X(j) sã dads abaix, nde símbl α* significa cnjugad de α. Achar s valres das cnstantes a, b, c e d. x(t) a n (ct) + b cs (ct) + r(t) α 3 + 4j X(j) j e j j + α u ( 5) + α* u ( + 5) 4) Ache a transfrmada de Furier d sinal x(t) dad abaix. Depis diss, usand as prpriedades da transfrmada de Furier (linearidade, sinal refletid u time reversal, etc.), ache as transfrmadas de Furier ds sinais x (t), x (t) e x 3 (t). (sugestã: usar resultad d Exempl 8.3, i.e., a transfrmada de Furier de x(t) abaix é dada pr X(j) também dada abaix; e a prpriedade da linearidade da transfrmada de Furier). X ( j) n (a ) 5) Ache as transfrmadas de Furier ds sinais x (t), x (t) e x 3 (t) abaix.

3 J. A. M. Felippe de Suza Análi de Sinais - Hmewrk 08 Análi de Sinais Hmewrk 09 (Transfrmadas de Furier) (sugestã: nvamente aqui, cm n exercíci anterir, usar resultad d Exempl 8.3 e as prpriedades da transfrmada de Furier da linearidade, translaçã n temp u time shifting, sinal refletid u time reversal, etc.). 6) Ache a transfrmada de Furier d sinal x(t) dad abaix. Depis diss, usand as prpriedades da transfrmada de Furier, ache uma relaçã entre x(t) e s sinais x (t) e x (t) cujas as transfrmadas de Furier X (j) e X (j) sã dadas abaix. Ou ja, expressar x(t) em terms ds sinais x (t) e x (t). X ( j) j 3 e n 3 X j ( j) e n Sluçã : x(t) x (t) x (t-). 7) Cnsidere sinal x(t) cuja transfrmada de Furier X(j) é dada pr:, < < X (j), Calcular a energia E deste sinal dx e y(0), nde y (t) (t). dt 0, E x(t) dt {,}

4 J. A. M. Felippe de Suza Análi de Sinais - Hmewrk 08 Análi de Sinais Hmewrk 09 (Transfrmadas de Furier) 8) Calcular a transfrmada de Furier X(j) d sinal periódic x(t) dad abaix Obrve que rá uma cadeia de impulss (u train f impuls ). Fazer diagrama de módul e de fa de X(j). x (t),, < t 0 0 < t 9) A derivada y(t) de um sinal periódic x(t) tem a sua transfrmada de Furier Y(j) dada pela cadeia de impulss (u train f impuls ) abaix. Ache a expressã d sinal x(t). Y(j ) [ u ( ) u ( + ) ] j 0) O sinal x(t) é periódic cm frequência fundamental e tem s ceficientes da série de Furier cmplexa dads pr c k abaix e y(t) é sinal x(t) transladad de a para direita, ist é, y(t) x(t a). Achar a transfrmada de Furier Y(j) de y(t). c 0,5, c, 3 k k±, ± 3, ± 5, L, c 0, k±, ± 4, 6,L k k ± ) x(t) é um sinal é periódic cm frequência fundamental e tem s ceficientes da série de Furier cmplexa dads pr c k abaix. Pr utr lad, y(t) é um sinal dad pela expressã abaix assim cm a sua transfrmada de Furier Y(). c, c, c c 0,5 e c { } k 0, k,,, x(t ) y(t) Y(j ) αu ( + ) +βu ( + ) + γ u ( ) +λ u ( ) +ρu ( ) Ache s valres de α, β, γ, λ e ρ. ) Achar a transfrmada de Furier X(j) d sinal periódic x(t) dad pel gráfic abaix. Obrve que X(j) rá uma cadeia de impulss (u train f impuls ). Esbçar diagrama X(j). Nte que X(j) R, lg, nã é necessári um diagrama de módul e utr de fa.

5 J. A. M. Felippe de Suza Análi de Sinais - Hmewrk 08 Análi de Sinais Hmewrk 09 (Transfrmadas de Furier) Obs.: A série de Furier deste sinal periódic x(t) fi calculada n exercíci 7 (b) d Hmewrk 7 (Séries de Furier Cntínuas). 3) Achar a transfrmada de Furier X(j) (cadeia de impulss, u train f impuls ) d sinal periódic x(t) dad pel gráfic abaix. Esbçar s diagramas de módul X(j) e de fa X(j) de X(j). Obs.: A série de Furier deste sinal periódic x(t) fi calculada n exercíci 7 (a) d Hmewrk 7 (Séries de Furier Cntínuas). 4) A derivada y(t) de um sinal periódic x(t) tem a sua transfrmada de Furier Y(j) dada abaix (cadeia de impulss, u train f impuls ). Ache a expressã d sinal x(t). Y(j ) [ u ( ) u ( + ) ] j 5) O sinal x(t) é a derivada de y(t) que é um sinal periódic e tem a sua transfrmada de Furier Y(j) dada abaix (cadeia de impulss, u train f impuls ). Ache a expressã d sinal x(t). Y( j ) ( + j) u ( + 3) + ( + j) u ( 3)