Aula 02 Álgebra Complexa

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1 Campus I Jã Pessa Disciplina: Análise de Circuits Curs Técnic Integrad em Eletrônica Prfª: Rafaelle Felician Aula 02 Álgebra Cmplexa 1. Númers Cmplexs Intrduçã Circuits CC smas algébricas de tensões e crrentes; Circuits CA cm se smam tensões e crrentes senidais? Aplicaçã de númers cmplexs a frmas de nda senidais para determinar smas algébricas; Um númer cmplex pde ser representad pr: Um sistema de eixs cartesians = eix real + eix imaginári; Um pnt em um plan = frma retangular; Um rai vetr a partir da rigem = frma plar; O símbl j (u algumas vezes i) é usad para dentar a parte imaginária Frma Retangular Representaçã (C = X +jy) Ex01 Represente s seguintes númers n plan cmplex: a. C = 3 + j4 b. C = 0 j6 Frma Plar Figura 1 - Frma retangular de um númer cmplex Representaçã (C = Z θ ), Z = ( + ) é módul e θ é ângul medid n sentid anti-hrári a partir d eix real psitiv; Figura 2 - Frma plar de um númer cmplex 1

2 Para ânguls medids n sentid hrári, ângul tem sinal negativ (-θ); Númers cmplexs cm sinal negativ = nº cmplex OPOSTO a cmplex psitiv, se (C = Z θ ), entã (-C = Z θ±180 ) Figura 3 Efeit de um sinal negativ sbre a frma plar Ex02 Represente s seguintes númers n plan cmplex: a. C = 5 30 b. C = Cnversã entre as duas frmas Retangular para plar Z = ( + ) e = Plar para retangular =. e =. Ex03 Cnverta s númers cmplexs abaix para a frma plar: a. C = 3 + j4 b. C = -6 + j3 Ex04 Cnverta s númers cmplexs abaix para a frma retangular: a. C = b. C = Definições Pr definiçã: = 1 = 1 Entã, =. = ; =. = 1; =. = E, =. = = 2

3 Cmplex Cnjugad Númer cmplex btid quand se trca sinal da parte imaginária (frma retangular) u sinal d ângul (frma plar); a. C = 2 + j3 = 2 3 b. C = 2 30 = 2/ 30 Figura 4 Exempls de cmplexs cnjugads Invers u Recíprc Invers u recíprc de um númer cmplex é 1 dividid pel cmplex; = u = / Operações matemáticas cm cmplexs Adiçã = + + = + + = (+ ) + ( + ) Subtraçã = + - = + = ( ) + ( ) 3

4 Multiplicaçã a. Frma Retangular = + X = +. = ( ) + ( + ) b. Frma Plar ( = / ) x ( = / ). = (. )/( + ) Divisã a. Frma Retangular = + + = + +. = ( + ) + ( ) + b. Frma Plar ( = / ) ( = / ) = / / = /( ) Ex05 Efetue as seguintes perações: a. (C 1 = 2+j4) + (C 2 = 3+j) b. (C 1 = 3+j3) - (C 2 = -2+j5) c. (C 1 = 2+j3). (C 2 = 5+j10) d. ( = 5/20 ) x ( = 10/30 ) e. ( = 50/0 ) x (C 2 = j6) f. (C 1 = 1+j4) (C 2 = 4+j5) g. ( = 15/10 ) ( = 2/7 ) 4

5 2. Fasres Intrduçã A adiçã de tensões e crrentes senidais é necessária quand analisams circuits CA; Métd lng traçar as duas frmas de nda senidais n mesm gráfic e smar algebricamente as rdenadas em cada pnt (figura 3); Figura 5-- Adiçã pnt a pnt de duas frmas de nda senidais Métd mais rápid us de vetr radial girante cm módul (cmpriment) cnstante e extremidade fixa na rigem (FASOR); Fasr É um númer cmplex assciad a uma nda sen de fase deslcada tal que seu módul é valr eficaz (rms) da tensã u crrente, e seu ângul é ângul de fase da nda sen de fase deslcada (frma plar); Frma fasrial de uma tensã u crrente senidal (freqüência nã é representada) = = Figura 6 - Representaçã fasrial de ndas senidais 5

6 Álgebra de fasres (vetrial) só pde ser aplicada a frmas freqüência; de nda de mesma Pr razões práticas, se usam valres rms e nã valres de pic na análise de circuits CA, prtant, módul d fasr é definid igual a valr rms da funçã senidal que representa; Diagrama de Fasres Representaçã (móduls e psições relativas) ds fasres envlvids na álgebra vetrial em t = 0s; Para adicinar duas funções senidais de tensã u crrente, faz-se a cnversã para a frma fasrial e calcula-se a sma usand álgebra de númers cmplexs; Resultad pde u nã ser transfrmad para bter uma funçã n dmíni d temp; Fasr é uma cnstante cmplexa e a senóide é uma funçã real d temp, prtant; 3/30 3 2( + 30 ) Ex01 (Bylestad, pg.432) Escreva a expressã senidal para s fasres a seguir se a freqüência fr 60Hz: a. = b. = Ex02 (Bylestad, pg.432) Calcule a tensã de entrada n circuit abaix, se: = 50 ( ) e = 30 ( ) + e in - + v a - + v b - Ex03 (Bylestad, pg.441) sabend que: Determine a expressã senidal para a crrentee i s n circuit abaix, Ex04 (Bylestad, pg.441) Escreva as expressões a seguir na frma de fasres: a. 2(100) ( + 30 ) 6

7 b. 100 ( 90 ) c. 42 ( ) d. 610 () Ex05 (O Malley, pg.359) Se duas crrentes crrespndem as fasres = 10 0 ma e = 7 30 ma, qual ângul e valr rms da crrente ttal que é a sma dessas crrentes? Ex06 (O Malley, pg.359) Um mtr síncrn slicita uma crrente de 9 A de uma fnte de 240V, 60 Hz. Um mtr de induçã em paralel slicita 8 A. Se a crrente d mtr síncrn está adiantada da tensã aplicada de 20 e a crrente d mtr de induçã está atrasada dessa tensã de 30, qual a crrente ttal slicitada da fnte? Fntes: BOYLESTAD, R. L. Intrduçã à Análise de Circuits, 2004, 10ª ediçã, Ed. Prentice-Hall O MALLEY, J. Análise de Circuits, ª ediçã, Ed. McGraw-Hill 7