Análise de Circuitos em Regime Forçado Sinusoidal

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1 Teria ds Circuits e Fundaments de Electrónica Análise de Circuits em egime Frçad Sinusidal Teresa endes de Almeida TeresaAlmeida@ist.utl.pt DEEC Área Científica de Electrónica T..Almeida ST-DEEC- ACElectrónica atéria Grandezas sinusidais características psiçã relativa diagrama tempral egime frçad sinusidal epresentaçã cmplexa amplitude cmplexa diagrama vectrial aplicaçã as cmpnentes geradr de tensã e crrente resistência bbine cndensadr mpedância e Admitância Generalizaçã de Leis e Teremas Lei de Ohm, KL, KCL Divisres de tensã e crrente Terema da Sbrepsiçã Eq. Thévenin e Nrtn étd ds Nós Assciaçã de impedâncias Ptência édia espsta em frequência Filtrs passivs passa-baix e passa-alt passa-banda e rejeita-banda Exempls de aplicaçã

2 Grandeza sinusidal 3 Sinal sinusidal (tensã u crrente caracterizad pr 3 parâmetrs amplitude X [] u [A] frequência angular ω [rad / s] ω π f linear f [Hz] fase na rigem ds temps θ [rad] Gráfic tempral representaçã gráfica em funçã d temp escala hrizntal temp t [s] fase ωt [rad] Ntaçã (encntrada ns livrs π π i t t i t t t t 80º 4 ( 7cs( º ( 7cs º 7cs 0 + 7cs ( 0 + 0,785 Desfasagem 4 Desfasagem (psiçã relativa entre sinais sinais cm mesma frequência e escrits da mesma frma (sin( u cs( ( cs ( ω + θ ( cs( ω + θ x t X t x t X t x (t está em avanç relativamente a x (t: θ θ -θ x (t está em avanç relativamente a x (t: θ θ -θ ( cs( ω ( cs x t t π x t cs ω t + 4 x (t está em avanç -45º x (t está em atras +45º x (t está em avanç +45º x (t está em atras -45º Sinais em fase: θ 0º quadratura: θ ± 90º psiçã de fase: θ ± 80º

3 egime frçad sinusidal 5 Num circuit linear, se sinal d geradr é sinusidal, cm vã ser s sinais (tensões u crrentes n circuit? vai existir transitóri quand geradr é ligad extingue-se passad puc temp permanece apenas influência d sinal sinusidal ( cs( ω + θ v t t Se i(t fr a crrente numa resistência, bbine u num cndensadr, cm é a sua frma de nda? esistência Bbine Cndensadr ( ( v t i t dil vl ( t L dt v ( t dvc ic ( t C dt ( t ( cs ( ω + θ i t t sinusidal mesma frequência? θ? i ( t? egime frçad sinusidal 6 Cm calcular a crrente i(t d circuit? KL Lei Ohm relaçã entre v L (t e i L (t ( ( ( cs( ω v t t di t di t v( t + i ( t + L 0 L + i t cs ωt dt dt reslvend a equaçã diferencial btém-se a sluçã ( ( ωl i ( t cs [ ] ωt tan A + ( ωl para analisar um circuit simples (só malha! é precis reslver uma equaçã diferencial?!... cmparar cm a análise de circuit resistiv semelhante ( resistências... Cm analisar circuit sem ser necessári reslver equações diferenciais/integrais? utilizar cnceit de amplitude cmplexa reslver equações algébricas

4 Amplitude cmplexa (phasr 7 epresentaçã cmplexa crrespndente a sinal sinusidal jφ baseia-se na equaçã de Euler e cs( φ + j sin ( φ x( t X cs( ωt + θ para um sinal sinusidal real pde bter-se uma equivalência directa ( ( ω + θ ( ω + θ ( ( ( X e X cs ωt + θ + jx sin ωt + θ x t e X e j t j t x t em regime frçad sinusidal tds sinais têm mesma frequência (ω nã se cnsidera a infrmaçã da frequência apenas se cnsidera a infrmaçã da amplitude (X e da fase na rigem ds temps (θ ( cs( ω + θ jθ θ cs( θ + sin ( θ x t X t X X e X X jx atençã à frma cm é feita descriçã d sinal n dmíni d temp! X >0 cs( e se estiver escrit de utra frma? ( sin ( 00 + π 3 ( cs( 00 + π 3 π cs( 00 π 6 v t t v t t t Exempls de aplicaçã 8 Determinar a frequência e a desfasagem entre as tensões v(t sin(00t+60º v(t -6cs(000t+30º Determinar as amplitudes cmplexas e v(t cs(377t-45º v(t 8sin(53t+4,º Cnverter fasres para dmíni d temp 0 0º -60º Calcular fasres e desfasagem entre as várias crrentes i(tsin(377t+45º A i(t0,5cs(377t+0º A i3(t-0,5sin(377t+60º A i4(tsin(377t A

5 Analisar circuits cm amplitudes cmplexas 9 Analisar circuits usand amplitudes cmplexas transfrmar sinais d dmíni d temp para amplitudes cmplexas analisar circuit reslvend equações algébricas (cm númers cmplexs transfrmar amplitude cmplexa d resultad para dmíni d temp Geradr de Tensã Geradr de Crrente ( cs( v t ωt + θ θ v v ( cs( i t ωt + θ θ i i esistência generalizaçã da Lei de Ohm ( cs( ω + θv ( cs( ω + θ v t t i t t i θv θi ( θ θ j v i e Analisar circuits cm amplitudes cmplexas 0 Prpriedades Bbine ( cs( x t X ωt + θ X X θ ( + ( + ( a x t a x t a X a X d x t j ω X dt tensã está em avanç θv θi 90º jωl Cndensadr crrente está em avanç θi θv 90º jωc

6 Exempls de aplicaçã A crrente numa resistência de 4Ω é 60º A. Se a frequência da crrente é 4kHz, cm é a tensã as terminais da resistência, v(t? A crrente numa bbine (L0,05H é 4-30º A. Se a frequência da crrente é 50Hz, cm é a tensã as terminais da bbine, v(t? Calcular a crrente na bbine (i(t e quand a tensã as seus terminais é: v(t0cs(34t+45º -j5 f50hz mpedância e Admitância mpedância quciente entre amplitudes cmplexas da tensã e da crrente definida cm anterirmente fi definida a resistência [Ω] + jx cmpnente resistiva (resistência X cmpnente reactiva (reactância X>0 reactância d tip indutiv X<0 reactância d tip capacitiv X0 impedância é óhmica pura 0 jx impedância é reactiva pura Admitância Y invers da impedância G cndutância B susceptância Y Y G + jb θ ( θ θ v v θi jx G + jb + jx + X i

7 Generalizaçã de Leis e Teremas 3 Lei de Ohm pde ser generalizada esistência Bbine L jωl Cndensadr C /(jωc - j/(ωc Generalizaçã das Leis e Teremas leis e teremas usads na análise de circuits resistivs lineares cm fntes DC pdem ser generalizads Leis de Kirchhff (KCL e KL k 0 e s e s k Divisres de tensã e crrente étd ds Nós Equivalente de Thévenin Equivalente de Nrtn Terema da Sbrepsiçã Th Th OC Th N SC Exempl de aplicaçã 4 Cm calcular a crrente i(t d circuit? calcular a amplitude cmplexa d geradr de tensã passar a infrmaçã para dmíni da frequência ( ( ω ( cs( ω v t t v t cs t 0º? KL n sentid hrári + + L 0 + L + jωl tan + ( ωl passar resultad para dmíni d temp ( i t ( ωl cs ωt tan + ωl ωl esluçã de equaçã algébrica em vez de equaçã diferencial

8 Assciaçã de mpedâncias 5 mpedâncias assciam-se cm as resistências Assciaçã em série impedâncias em série smam-se Assciaçã em paralel admitâncias em paralel smam-se Exempls Y Y + Y + L+ Y P N f 50 Hz L C 5 Ω jωl 6,8 Ω j63,66 Ω jωc + + S L C S 5 j57,38 Ω + + L+ S + + L+ P N N ( eq + // Exempls de aplicaçã 6 Calcular a impedância/admitância equivalente f50hz f50hz f400hz

9 Exempls de aplicaçã 7 Calcular i(t, v(t e vc(t vs(tcs(00t Calcular quant vale L para que crrente esteja em fase cm sinal d geradr de tensã Calcular ic(t, i(t e v(t f50hz SA Calcular i(t, ic(t e v(t erificar KCL n nó superir Ptência édia 8 Ptência instantânea p t v t i t t ( ( ( cs( θ θ + cs( ω + θ + θ v i v i Ptência média (ptência activa P T p ( t dt cs( θv θi P cs( θv θi T esistência dissipa energia Bbine u Cndensadr ptência média é nula ( cs( ω + θi ( cs( ω + θ i t t v t t P cs( θ θ ef ef v i θv θi P ef ef ef em parte d períd armazena energia e n restante temp liberta energia nã há dissipaçã de energia ef θ θ ± 90º P P 0 v i C L + v

10 Exempls de aplicaçã 9 Calcular v(t e O Calcular v(t e Calcular v(t Qual a ptência dissipada nas resistências? ariaçã da impedância cm a frequência 0 esistência a impedância nã varia cm a frequência 0º Bbine e Cndensadr a impedância varia cm a frequência L jωl L ωl 90º C /(jωc C /(ωc -90º

11 ariaçã da impedância cm a frequência Cm varia eq em funçã da frequência? eq + L + C eq + j ωl ωc eq ω LC + ωc ω min LC ( eq tan ω LC ωc Os parâmetrs d circuit reactiv variam cm a frequência d sinal sinusidal d geradr A respsta d circuit vai depender da frequência d sinal É precis estudar a respsta em frequência d circuit espsta em frequência Exempl Escalas lgarítmicas s + + ( C L + + ω LC + ωc s ( s C L + j ωl ωc s 0-3 ω ω (rad/s ( ω ( ω v ( t 0cs t + 0º s v ( t 0cs t + 0º tan s ω LC ωc ω ω (rad/s ( ω v ( t 0cs t + 0º s π v ( t 7 cs ωt 50º 80º

12 Filtrs Passa-baix e Passa-alt 3 Usar a dependência da frequência para filtrar sinais de acrd cm um determinad critéri Filtr passa-baix deixa passar sinais de baixa frequência atenua (elimina sinais de alta frequência Filtr passa-alt deixa passar sinais de alta frequência atenua (elimina sinais de baixa frequência ediçã d módul em db db decibel /0 Bel i db 0lg db i ω 0 frequência de crte a -3dB 3dB 0, 707 (½ ptência Filtrs Passa-baix e Passa-alt 4 Filtr Passa-baix C + C + j ω C + j ωτ Filtr Passa-alt C τ C jωc -0dB/déc +0dB/déc j ω C jωτ + C + jωc + jωτ i db 0lg i

13 Filtrs Passa-banda e ejeita-banda 5 Filtr Passa-banda deixa passar uma banda de frequências ω 0 frequência central ω LO, ω H limites da banda de passagem (ω H -ω LO Filtr ejeita-banda rejeita uma banda de frequência (ω H -ω LO ( + L + C + j ω L ωc j ωl L + C ωc ( + L + C + j ωl ωc Exempls de aplicaçã 6 Qual a impedância equivalente de Thévenin vista pel geradr de entrada? Qual a respsta em frequência (módul e fase? Qual tip de filtragem realizada pel circuit? Ajuda para simplificar s cálculs quand circuits sã mais cmplexs cnsiderar variável s jω L sl C /(sc fazer cálculs cm variável s n fim substituir s pr jω