J. A. M. Felippe de Souza 3 Sinais Singulares. 3 Sinais Singulares

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1 J. A. M. Felippe de Sza 3 Sinais Singlares 3 Sinais Singlares 3. Intrdçã as sinais singlares 3 3. Sinais singlares discrets 4 O sinal impls nitári discret ( nit-implse ) 4 Prpriedades d impls nitári discret 5 O sinal degra nitári discret ( nit-step ) 5 Relaçã entre [n] e [n] 6 O sinal rampa nitária discreta ( nit-ramp ) 6 Relaçã entre [n] e [n] 8 A família de sinais singlares discrets 8 Exempl 3. 8 Exempl 3. 9 Exempl Exempl Exempl 3.5 Exempl Sinais singlares cntíns 3 O sinal impls nitári ( nit-implse ) 3 Prpriedades d impls nitári cntín 4 O sinal degra nitári ( nit-step ) 5 Relaçã entre (t) e (t) 6 O sinal rampa nitária ( nit-ramp ) 6 Relaçã entre s 3 sinais (t), (t) e (t) 7 A família de sinais singlares cntíns 7 Exempl 3.7 9

2 J. A. M. Felippe de Sza 3 Sinais Singlares Exempl Exempl Exempl 3.0 Exempl 3. Exempl 3. Exempl 3.3 3

3 J. A. M. Felippe de Sza 3 Sinais Singlares Sinais Singlares 3. Intrdçã as Sinais Singlares Os sinais singlares, também chamads sinais de excitaçã frmam ma família [n], [n], [n],..., n cas discret;, (t), (t), (t),..., n cas cntín; Eles sã sinais recrrentes, ist é, cada sinal desta família é definid em fnçã d anterir. Matematicamente é mesm pssível definir esta seqência de sinais infinitamente para s dis lads, intrdzind também s sinais - [n], - [n],..., - (t), - (t),..., mas ist, entretant, é sem grande interesse prátic. Apenas k [n] e k (t) para k 0 terã aplicações práticas em engenharia. Prtant, embra sejam m númer infinit de sinais nesta família, na prática apenas algns de mais interesse sã realmente tilizads, em especial dis deles: impls nitári (t) e degra nitári (t), nrmalmente sads cm sinais de excitaçã (i.e., de inpt de entrada) de sistemas qe estã send analisads. 3

4 J. A. M. Felippe de Sza 3 Sinais Singlares 3. Sinais singlares discrets O sinal impls nitári discret ( nit implse ): A ntaçã d impls nitári discret é: [n] δ[n] [ n] 0, =, n 0 n = 0 Fig. O sinal impls nitári discret [n]. Se mltiplicarms impls nitári [n] pr ma cnstante C 0 btems m impls também, mas neste cas m impls nã nitári, m impls de área C, nde C pde ser até mesm negativ. A figra ilstra estes cass. Obs.: A cnstante C é chamada de área d impls, inspirads n cas cntín qe será vist mais adiante, embra aqi n cas discret nã tenha significad qe terá n cas cntín. Fig. O sinal impls nitári discret mltiplicad pr ma cnstante: C [n]. À esqerda para C > 0, impls de área psitiva e à direita para C < 0, impls de área negativa. 4

5 J. A. M. Felippe de Sza 3 Sinais Singlares Prpriedades d impls nitári discret: É fácil de se verificar qe impls nitári (cas discret), cnfrme definid acima, satisfaz as segintes prpriedades: [n k] = 0, para n k eq. (3.) m k= l m k= l [n k] =, l < k < m x[n] [n k] = x[k], l < k < m eq. (3.) eq. (3.3) A eq. (3.3) é chamada de sma de cnvlçã e define a cnvlçã entre s sinais x[n] e [n]. O sinal degra nitári discret ( nit step ): A ntaçã d degra nitári discret é: [n] [n] [ n] = 0,, n =,, L n = 0,,, L Fig. 3 O sinal degra nitári discret [n]. Se mltiplicarms degra nitári [n] pr ma cnstante C 0 btems m degra também, mas neste cas m degra nã nitári, m degra de amplitde C, nde C pde ser até mesm negativ. A figra 4 ilstra estes cass. 5

6 J. A. M. Felippe de Sza 3 Sinais Singlares Fig. 4 O sinal degra nitári discret mltiplicad pr ma cnstante: C [n]. Para C > 0, degra de amplitde psitiva e C < 0, amplitde negativa. Relaçã entre [n] e [n]: Algmas eqações fáceis de serem verificadas e qe relacinam impls nitári discret [n] cm degra nitári discret [n] sã dadas abaix: [n] = [n] [n ], n eq. (3.4) n = m= [ n] [ m ], n eq. (3.5) 6

7 J. A. M. Felippe de Sza 3 Sinais Singlares O sinal rampa nitária discreta ( nit ramp ): A ntaçã da rampa nitária discreta é: [n] [ n] 0, = n, n =,, L n = 0,,, L Fig. 5 O sinal rampa nitária discreta [n]. Se mltiplicarms a rampa nitária [n] pr ma cnstante C 0 btems ma rampa também, mas neste cas nã nitária, e de declive ( inclinaçã) C, nde C pde ser até mesm negativ. A figra 6 ilstra estes cass. Prtant, m impls discret fica bem determinad pela sa área, degra pela sa amplitde e a rampa pel se declive ( inclinaçã). Estes terms farã mais sentid qand verms impls, degra e a rampa cntíns, seja, s sinais singlares cntíns. Fig. 6 O sinal rampa nitária discreta mltiplicad pr ma cnstante: C [n]. Para C > 0, rampa de declive psitiv e C < 0, rampa de declive negativ. 7

8 J. A. M. Felippe de Sza 3 Sinais Singlares Relaçã entre [n] e [n]: Algmas eqações fáceis de serem verificadas e qe relacinam degra nitári discret [n] cm a rampa nitária discret [n] sã dadas abaix. Nte qe: [n] = n [n], n eq. (3.6) também, na frma da eq. (3.5): n [ n ] = [ m ], n + m = eq. (3.7) Pr tr lad, na frma da eq. (3.4), [n] = [n+] [n], n eq. (3.8) A família de sinais singlares discrets: Observand-se bem a relaçã entre [n] e [n] dada pelas eq. (3.4) e eq. (3.5) e a relaçã entre [n] e [n] dada acima pelas eq. (3.6), eq. (3.7) e eq. (3.8), vems qe estes sinais sã recrrentes, seja, pderíams cntinar definind 3 [n], 4 [n], etc. cm ma família de sinais singlares discrets, nde: k [n] = k+ [n] k+ [n ], n, k = 0,, eq. (3.9) n [ n] [ m ], n, k 0,, L = k k = m= eq. (3.0) Exempl 3.: Algns sinais qe pdem ser escrits analiticamente em terms ds sinais d tip degra, impls e rampa. Os sinais x[n] e y[n] qe aparecem na figra 7 sã implss transladads e prtant pdem ser representads pr: 8

9 J. A. M. Felippe de Sza 3 Sinais Singlares x[n] = 3 [n ] e y[n] = [n+] Fig. 7 Sinais discrets implss transladads x[n] = 3 [n ] e y[n] = [n+]. Exempl 3.: O sinal x[n] da figra 8 pde ser express cm m degra revertid n temp e transladad: x[n] = [ n+] Fig. 8 Sinal discret degra revertid n temp e transladad x[n] = [ n+]. Exempl 3.3: Cnsidere sinal x[n] da figra 9. Este sinal tem valres nã nls à esqerda da rigem (ist é, x[n] 0 para valres de n < 0). A mltiplicarms x[n] pr [n] btems m sinal qe tem tds s ses valres nls à esqerda da rigem, ist é, x[n] [n] = 0, n =,,, a pass qe é idêntic à x[n] na rigem e à direita da rigem, seja, 9

10 J. A. M. Felippe de Sza 3 Sinais Singlares x[n] [n] = x[n], n = 0,,, (a) Fig. 9 (a) O sinal x[n] cm valres de x[n] 0 à esqerda da rigem e (b) sinal x[n] [n], qe tem tds s ses valres nls à esqerda da rigem mas é idêntic à x[n] na rigem e à sa direita. (b) Exempl 3.4: O sinal x[n] da figra 9 pde ser express cm: x 3 [ n] [n] k [ n k] = k= nde tem-se m degra nitári, e depis retira-se valres pntalmente cm implss em t =, t = e t = 3, para se ter s valres crrects de x[], x[] e x[3]. Fig. 9 Sinal discret x[n] = [n] [n] + [n 4] + [n 4]. 0

11 J. A. M. Felippe de Sza 3 Sinais Singlares Entretant, x[n] também pde ser representad, de frma eqivalente pela expressã: [ n] = [n] [ n] + [n 4] + [ n 4] x Exempl 3.5: Em mits cass s sinais têm mesm várias expressões diferentes. Os sinal x[n] qe aparece na figra 0 pde ser representad pr: x [ n] = [n] [n] [n ] nde tem-se m degra de amplitde, e depis tira-se valres pntalmente cm implss em t = 0, t = e t =, para se ter s valres crrects de x[], x[] e x[3]. Fig. 0 Sinal discret x[n] = [n] [n] [n-]. mas bserve qe x[n] também pde ser representad, de frma eqivalente pela expressã: x n = [n ] [n também pr: ainda, pela sbtracçã de das rampas: x [ ] ] [ n] = [n ] + [n ] [ n] = [n] + [n ] x

12 J. A. M. Felippe de Sza 3 Sinais Singlares Exempl 3.6: O sinal discret x[n] da figra é ma seqência de plss de largra 3. Este sinal pde ser escrit em terms de degras da seginte frma: x [ n] = [n] [n 3] + [n 6] [n 9] + L = [n] + k=,,3, L ( ) 3 k [n 3k] Fig. Sinal discret x[n], seqência de plss de largra 3. Alternativamente este sinal x[n] pde ser escrit em terms de implss da seginte frma: x [ n] = [n] + [n ] + [n ] + [n 6] + [n 7] + [n 8] + L = = k= 0,,,3, L k= 0,,,3, L l= 0,3, L [n 6k] + [n (6k + )] + [n (6k + l)] [n (6k + )]

13 J. A. M. Felippe de Sza 3 Sinais Singlares 3.3 Sinais singlares cntíns O sinal impls nitári ( nit implse ): O sinal impls nitári cntín também é chamad de fnçã delta delta de Dirac, em alsã a físic e matemátic britânic Pal Adrien Marice Dirac (90-98). O impls nitári tem a seginte ntaçã: (t) δ(t) (t) = 0, t 0 β α (t)dt =, α < 0 < β Fig. O sinal impls nitári cntín (t) O impls nitári (t) pde ser interpretad cm limite de ma seqência de plss de área. { x (t)} (t) n Fig. 3 Seqência de plss de área igal a qe cnvergem para sinal impls nitári cntín (t). 3

14 J. A. M. Felippe de Sza 3 Sinais Singlares Nte qe s sinais x n (t) (plss) acima sã cada vez mais magrs e mais alts, a medida qe n cresce, mas entretant, eles têm tds área sb a crva igal a. Desta frma é fácil de cmpreender qe impls nitári (t), send limite desta seqência de plss{ x n (t)}, vai a infinit em t = 0 e a área (i.e., a integral sb a crva) n interval [ α, β ] (para α < 0 < β) é igal a. Se mltiplicarms impls nitári (t) pr ma cnstante C 0 btems m impls também, mas neste cas nã nitári, de área C, nde C pde ser até mesm negativ. A figra 4 ilstra estes cass. Fig. 4 O sinal impls nitári cntín mltiplicad pr ma cnstante: C (t). À esqerda para C > 0, impls de área psitiva e à direita para C < 0, impls de área negativa. Prpriedades d impls nitári cntín: É fácil de se verificar qe impls nitári (cas cntín), cnfrme definid acima, satisfaz as segintes prpriedades: (t a) = 0, para t a eq. (3.) β α (t a) dt =, α < a < β eq. (3.) β α x(t) (t a) dt = x(a), α < a < β eq. (3.3) As expressões das eqações eq. (3.), eq. (3.) e eq. (3.3) crrespndem, n cas discret, às eqações: eq. (3.), eq. (3.) e eq. (3.3). 4

15 J. A. M. Felippe de Sza 3 Sinais Singlares A eq. (3.3) é chamada de integral de cnvlçã e define a cnvlçã entre s sinais x(t) e impls nitári (t). O sinal degra nitári ( nit step ): A ntaçã d degra nitári cntín é: (t) (t) 0, (t) =, t < 0 t 0 Fig. 5 O sinal degra nitári cntín (t) Se mltiplicarms degra nitári (t) pr ma cnstante C 0 btems m degra também, mas neste cas m degra nã nitári, m degra de amplitde C, nde C pde ser até mesm negativ. A figra 6 ilstra iss. Fig. 6 O sinal degra nitári cntín mltiplicad pr ma cnstante: C (t). À esqerda, para C > 0, degra de amplitde psitiva, e à direita. C < 0, degra de amplitde negativa. 5

16 J. A. M. Felippe de Sza 3 Sinais Singlares Relaçã entre (t) e (t): O degra nitári (t) é a integral d impls nitári (t), enqant qe, pr sa vez, impls nitári (t) é a derivada d degra nitári (t), seja: t (t) = (t)dt eq. (3.4) d (t) (t) = eq. (3.5) dt O sinal rampa nitária ( nit ramp ): A ntaçã da rampa nitária cntína é: (t) (t) = 0, t, t < 0 t 0 Fig. 7 O sinal rampa nitária cntína (t) Se mltiplicarms a rampa nitária (t) pr ma cnstante C 0 btems ma rampa, mas neste cas nã nitária, ma rampa de declive ( inclinaçã) C, nde C pde ser até mesm negativ. A figra 8 ilstra iss. Prtant, m impls, fnçã delta de Dirac, fica bem determinad pela sa área, degra pela sa amplitde e a rampa pel se declive ( inclinaçã). 6

17 J. A. M. Felippe de Sza 3 Sinais Singlares Fig. 8 O sinal rampa nitária cntína mltiplicad pr ma cnstante: C (t). À esqerda, para C > 0, rampa de declive psitiv, e à direita, para C < 0, rampa de declive negativ. Relaçã entre s 3 sinais (t), (t) e (t): A rampa nitária (t) é a integral d degra nitári (t), e a integral dpla d impls nitári (t). Pr tr lad, degra nitári (t) é a derivada da rampa nitária (t), e impls nitári é a derivada segnda da rampa nitária (t). O seja: d (t) (t) = eq. (3.6) dt d (t) (t) = eq. (3.7) t dt (t) = (t)dt eq. (3.8) (t) (t) dt eq. (3.9) = t t A família ds sinais singlares cntíns: Os sinais singlares na verdade sã ma família bem mais ampla d qe apenas (t), (t) e (t). Eles saem recrrentes ns ds trs pelas fórmlas: 7

18 J. A. M. Felippe de Sza 3 Sinais Singlares d k+ (t) k (t) =, k = 0,,,L dt eq. (3.0) t = k (t) k (t)dt, k =,,L eq. (3.) Desta frma pderíams cntinar definind 3 (t), 4 (t),, etc. Pr exempl, 3 (t) tem a expressã: t 3 (t) =, t > 0 seja, sinal 3 (t) é fnçã semi-parabólica. 0, (t) = t, 3 t < 0 t 0 Fig. 9 O sinal 3 (t), fnçã semi-parabólica. e facilmente se bserva qe a derivada de 3 (t) é (t). Pr tr lad, a expressã de 4 (t) é dada pr: 3 3 t t 4 (t) = =, t > 0 3 3! e nvamente se bserva qe a derivada de 4 (t) é 3 (t). Pr sa vez, a expressã de 5 (t) é dada pr: 4 4 t t 5 (t) = =, t > ! 8

19 J. A. M. Felippe de Sza 3 Sinais Singlares lg, a derivada de 5 (t) é 4 (t), e assim pr diante. Desta frma tems a expressã geral: n t n (t) =, t > 0 n! + n= 0,,, 3, eq. (3.) As expressões acima, definidas apenas para t > 0, assme-se qe n + (t) = 0, t < 0 para td n = 0,,, 3, pis as sinais singlares sã sempre nls à esqerda da rigem. Exempl 3.7: O sinal x(t) da figra 0 é a sma de dis sinais implss, de áreas π e - π, transladads. Facilmente verifica-se qe pde ser escrit na frma: x(t) = π [ (t t ) (t t )] + Fig. 0 Sinal x(t), sma de implss transladads. Exempl 3.8: O sinal x(t) da figra é a sma de infinits sinais implss transladads e facilmente verifica-se qe pde ser escrit na frma: seja, x(t) = (t) (t ) + (t ) (t 3) +L 9

20 J. A. M. Felippe de Sza 3 Sinais Singlares x(t) = k = 0 ( ) k (t k) Fig. Sinal x(t), sma de implss transladads. Exempl 3.9: Os sinais x(t), y(t) e v(t) qe aparecem na figra sã degras transladads qe pdem ser escrits em terms de sinais singlares d tip degra qe fram transladads. Fig. Os sinais x(t), y(t) e v(t), degras transladads. 0

21 J. A. M. Felippe de Sza 3 Sinais Singlares Facilmente bserva-se qe as expressões de x(t), y(t) e v(t) sã: x(t) = C (t + ) y(t) = C ( t) v(t) = (t a) 3 Exempl 3.0: Aqi vems dis sinais qe pdem ser escrits analiticamente em terms ds sinais singlares d tip degra e rampa. Em algns cass s sinais têm várias expressões diferentes. Facilmente bserva-se qe as expressões de x(t) e y(t) da figra 3 sã: x (t) = (t) (t ) + (t ) y (t) = (t) (t ) (t 3) Fig. 3 Os sinais x(t) e y(t) pdem ser expresss pr degras e rampas. Exempl 3.: Os sinais das figras 4 e 4 sã cnstitíds de plss também chamads, ndas qadradas e facilmente verifica-se qe eles pdem ser expresss exclsivamente em terms de degras. Pde-se expressar x(t) cm: x (t) = (t) (t ) + (t ) (t 3)

22 J. A. M. Felippe de Sza 3 Sinais Singlares e y(t) cm: y(t) = = Fig. 4 O sinal x(t) cnstitíd de plss. (t) (t) + k= (t ) + ( ) k (t ) (t k) (t 3) + L = Fig. 5 O sinal y(t) cnstitíd de infinits plss, nda qadrada. Exempl 3.: Os dis sinais qe aparecem nas figras 6 e 7 pdem ser escrits exclsivamente em terms de rampas. Facilmente verifica-se qe as expressões de x(t) da figra 5 é dada pr: (t) = (t ) (t ) + (t 3) x Fig. 6 O sinal x(t) pde ser express apenas pr rampas.

23 J. A. M. Felippe de Sza 3 Sinais Singlares enqant qe a expressã de y(t) da figra 6 é dada pr y(t) = = = (t ) (t ) + (t ) + k=,4, L k=,, L (t ) + ( ) ( ) (k / ) (k) (t 4) (t k) (t k) (t 6) + (t 8) L Fig. 7 O sinal y(t) pde ser express pr ma seqência infinita de rampas. Exempl 3.3: Cnsidere sinal x(t) da figra 6 (Exempl 3.), qe repetims abaix na figra 8 e impls transladad de a, (t a), ilstrad na figra 9. Fig. 8 O sinal x(t) d Exempl 3.. Fig. 9 O sinal impls transladad. Usand a eq. (3.3) tems abaix algns exempls d s da integral de cnvlçã para a =,5, a = e a =,5: 3 3 x(t) (t,5)dt = x(,5) = 0,5 x(t) (t,5)dt = x(,5) = 0,5 3 x(t) (t )dt = x() = x(t) (t,5)dt = 0 3