Observadores de Estado

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1 Observadres de Estad 1 I N R O D U Ç Ã O O B S E R V D O R E S DE L U E N B E R G E R rdem cmpleta D E D U Ç Ã O : G N H O DO O B S E R V D O R S I N O N I DO O B S E R V D O R lcaçã D U L I D D E O N R O L D O R / O B S E R V D O R LQ P R I N I P I O D S E P R Ç Ã O

2 Realimentaçã negativa d vetr de estads 2 Malha berta Malha Fechada Prblema d reguladr: (t f ) 0 Inicialmente admitims que td vetr de estad (VE) está dispnível (tdas as variáveis d VE sã sensriadas gast desnecessári.)

3 Intrduçã: necessidade ds bservadres Fazend uma realimenta çã negativa d VE : nde K alcaçã Na realidade Em geral : y ist é, Bu, u K é a matriz u pel : (0) m u medims apenas Métd LQ. y enquant 3 vetr de ganhs de cntrle determinada pr, n m uma parte d VE. n Para cntrle em malha fechada será precis recnstruir a partir de y. Ist só é pssível se sistema fr bservável.

4 Observadres 4 Luenberger (sistemas determinístics) Kalman (sistemas estcástics) Ordem mpleta: td VE é recnstruíd, mesm a parte d VE medida: cmputacinalmente mais car. Ordem Reduzida: só a parte d VE nã medida é recnstruída: mais difícil de verificar a cnvergência d bservadr. sensres y OBSERVDOR

5 Deduçã : Ganh d Observadr Estimadr de Malha berta: Seja estimativa de (t): u (0) cnhecid (nã estimad) Ocrreque senã, B e u Bu, nã cnvergepara. 5 nã sã perfeitamente cnhecids: Para evitar iss, vams usar as VE medidas para sintnizar bservadr. Vams realimentar as VE medidas (y), ist é, vams fechar uma malha usand as medidas dispníveis: Bu K y K matriz/vetr de ganhs d bservadr. (uma pnderaçã de y)

6 6 Fechand a malha cm y pnderad: Esclhend cnvenientemente s autvalres de (-K ) e0 assintticamente! Quand e=0: e = K Bu K e e e e e e K Bu y K Bu tenda assintóticamente para zer : que : Para Seja. 0 Deduçã : Ganh d Observadr

7 Observadr Luenberger de Ordem mpleta 7 u e K

8 Observadr 8 Para reslver prblema d bservadr precisams determinar K, a matriz de ganhs d bservadr: K deve ser tal que leve (-K ) à estabilidade e de frma ótima (rapidamente, sem grandes scilações), u seja K deve fazer cm que err de bservaçã e, qualquer que seja err inicial, cnvirja para zer mais rapidamente pssível. É muit imprtante que bservadr seja mais rápid que sistema que ele bserva, assim ele nã intrduz errs significativs na dinâmica d sistema cntrlad. (-K ) pde ser esclhida pela metdlgia da alcaçã de pls.

9 Observadr 9 Para garantir que bservadr funcine satisfatriamente devems satisfazer inicialmente duas cisas: 1. O bservadr deve ser mais rápid d que a planta que ele tenta estimar Se pssível ODOS s pls d bservadr devem estar esquerda ds pls da planta (melhr nã haver mistura ds dis cnjunts de pls) bservadr planta Obs.: falar quand huver algum pl da planta muit grande.

10 Observadr 2. O bservadr deve funcinar bem para qualquer cndiçã inicial de err: e 0 (0): e (t ) (t É imprtante que as cndições iniciais d bservadr sejam diferentes das cndições iniciais da planta. 10 ) (t ) 0 Sluçã de um eempl simples cm cntrladr e bsevadr pr alcaçã de pls.

11 Observadr: cálcul de K 11 K pde ser calculad pr alcaçã de pls usand s mesms cmands usads para a alcaçã de pls da planta: ppl (Scilab) e place (Matlab) BK K ppl(, B, p) e K e K ppl(,,p ) Obs.: Se transpuserms a equaçã da dinâmica d err (e) a rdem de apareciment da matriz/vetr de ganh será a mesma que na equaçã da dinâmica d sistema (). m essa ideia Kalman cria s ssitemas duais (dualidade entre cntrle e bservaçã).

12 Dualidade 12 O reguladr (cntrladr que leva estad para zer) e bservadr (que pde ser pensand cm um cntrle d err de bservaçã, de frma a leval para zer) sã duais. Em ambs s cas prcurams determinar matrizes de ganh (K u K ) que levem estad u err de bservaçã para zer. Kalman criu um sistema fictíci, que ele chamu de dual, para clcar prblema de bservaçã na mesma estrutura d prblema de cntrle e assim pder usar tdas as ferramentas desenvlvidas para s cntrladres ns bservadres.

13 13 Dualidade ] [ ] [ bservaçã cntrle z K z z K υ z B μ υ z z B B B BK K u y Bu 2 2 O

14 Sistema Linear: Bu y u K BK Índice Quadrátic: eventualme nte Equaçã de Riccatti: LQR J 14 tf 0 ( t) B( t) u Q u Pu dt R R R Q RBP 1 B R ; R( t f ) 0

15 LQR Equaçã lgébrica de Riccati: sb cndições bastante fracas: R(t)R (matriz cnstante) 15 R R Q RBP 1 B R 0 Sluçã de hriznte infinit: u 1 ( t) P B R( t) K( t) Scilab: cmand ricc(,bpb,q) R Matlab: cmand lq(,b,q,p) K K

16 Observadr sintetizad pr LQ 16 Ideia: usand sistema dual, prjetar um cntrladr que leve err para zer. dual z z υ Bu μ υ z K B I dual K z e K e BK 0 tf z dual y z dual u K riand um indíce quadrátic para este prblema, lembrand que n reguladr realimenta ms e pnderams u( t) n bservadr realimenta ms e vams pnderar e(t) υ( t) : tf dual zq z υp υ dt J Q u Pu 0 dt

17 Observadr sintetizad pr LQ 17 I tf 0 zq z υp υ dt u minimizar errs n estad z=e minimizar υ Equaçã lgébrica de Riccati assciada: 1 R R Q R P R 0 Q reguladr 0 P 0 R 0 matrizes simétricas. 1 ( t) P B R( t) K K cmands : K lq(, B, Q,P) K R lq( P 1, e reguladr,q, P K e ) bservadr

18 Princípi da Separaçã 18 O Princípi da Separaçã estabelece que a lei de cntrle d reguladr é btida pel mesm cntrladr linear : u = - K perand prém sbre estad recnstruíd: u = - K

19 Princípi da Separaçã 19 u e -K K

20 Princípi da Separaçã Bu u K BK BK K e e e ( K )e si- Λ 0 BK BKe e ( K )e BK BK e K e 0 Λ Equaçã característ ica : 20 det BK BK 0 0 si K si BK si K 0 si BK detsi K 0 si det autvalres d cntrladr autvalres d bservadr

21 Princípi da Separaçã 21 Os pls de um sistema cntrlad que tenha ainda um bservadr para estimar as variáveis de estad sã dads pel cnjunt de pls d cntrladr e pls d bservadr: pdems prjetar cada um separadamente.