PESQUISA '.. :.' Um auxílio na Identificação Paramétrica por Filtragem de Kalman 1. INTRODUÇÃO

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1 '-.... '.. :.'... : Um auxíli na Identificaçã Paramétrica pr Filtragem de Kalman Paul César Pellanda* Gerald Magela Pinheir Gmes** 1. INTRODUÇÃO A filtragem de Kalman é uma ferramenta útil na identificaçã paramétrica. A implementaçã é feita a. partir d cnheciment de seqüências ds sinais de excitaçã e de saída d sistema a identificar. Cntud, uma pbre identificaçã pde resultar cas nã seja esclhid um adequad cnjunt de medidas [1]. Este trabalh tem pr bjetiv investigar um critéri a ser impst a sinal de entrada para que se garanta uma efetiva iden ti fi caçã. A estratégia visa utilizar a respsta a um ruíd branc de um filtr linear cm excitaçã d sistema a ser identificad. A idéia é ajustar filtr de maneira a gerar um sinal que prprcine uma rápida cnvergência da matriz de cvariância d err de estimaçã paramétrica. Nessa hipótese a utilizaçã d critéri invers a Cap QEM. MSc - Prf. IME Cel R/1 - Dr. - Prl. IME da síntese de cntrle rbust "Parameter Rbust Cntrl by Bayesian Identificatin" (PRCBI) [2,3,4,5,6] pde auxiliar n ajuste e melhrar a identificaçã de um sistema invariante. 2. IDENTIFICAÇÃO COMO UM PROBLEMA DE FILTRAGEM DE KALMAN [1] Seja seguinte sistema d tip ARMA: Y + a}y - l ClnY-n = (2.1) A partir d cnheciment, em temp real u nã, d cnjunt de entradas {u } e das respectivas saídas {Y }, é pssível estimar s valres ds ceficientes a. e b. utilizand um filtr de I I Kalman.

2 Primeiramente cnsidera-se que sistema (2.1) está sujeit a ruíds d sensr de medidas e que a transiçã d vetr de parâmetrs 8 = [ai... a n b I... b m ] f está sujeita a perturbações aleatórias: (2.2) nde {w/ il } e v sã cnsiderads prcesss gaussians, brancs, de média nula e independentes. É cnsiderada também a independência entre {w/ l } e {w/ il } para i 7:- j. Assim mdel (2.2) pde ser rescrit na frma de estad, nde este passa a ser vetr de parâmetrs 8 : 8+1 =!(n+i11):t(n+i11), 8 +w F Y = ~-Y-l -Y-2 U-mJ8 +v v~ ~ H( (2.3) nde F = I é a matriz de transiçã de estads e H I a matriz de saída. Para se aplicar a teria de filtragem de Kalman a mdel (2.3), quand sistema (2.1) é invariante, a variância Q = E[ w w I] é cnsiderada nula e valr da variância R = E[v/] é esclhid cm base n que se cnhece d sensr de medida. Assume-se também que 8 é um vetr de variáveis aleatórias de valr estimad 8 0 / 0, A Figura 1 ilustra algritm d Filtr de Kalman a ser utilizad, nde x = 8 e F = 1. L.~L = F_ 1 L. -y,;_1 F I -I + Q-I K = L. 5{~ 1 L.5{ = [I - K HI ] L.K, H [H I L.K, H + R ri (1) (2) (3) (4) (5) Figura 1 - Fluxgrama d Filtr de Kalman discret. 16 REVISTA MILITAR DE CIÊNCIA E TECNOLOGIA I -~~I

3 UM AUXÍLIO NA IDENTIFICA ÇÃO PARAMÉTRICA POR FILTRAGEM DE KALMAN 3. A SÍNTESE PRCBI [2, 3] A síntese PReBI é uma síntese de cntrle rbust paramétric, desenvlvida recentemente (1991), que explra fat de que uma má qualidade de identificaçã paramétrica é geralmente assciada a um sistema que apresenta excelentes qualidades de estabilidade. O métd PReBI utiliza a mesma estrutura de cntrle a malha fechada d métd Linear Quadrátic Gaussian (LQG), mstrada na Figura 2. O sistema SUl) é representad pelas matrizesa, B e C, d mdel de estad, dependentes de um vetr paramétric fl, incógnit u variável. O filtr de Kalman é ajustad sbre valr nminal, cnhecid a priri, fl. O reguladr é caracterizad pr uma matriz de ganhs Kc' ç Estrutura LQG - LI - Cálcul de: Prgramaçã nã linear Figura 2 - A síntese PRCBI. O bjetiv fundamental da síntese PReBI cnsiste na pesquisa das matrizes de ganh d filtr de Kalman e d reguladr (Kc) que cnduzem à pir qualidade de identificaçã paramétrica em malha fechada. Assim a dinâmica de malha fechada, para s ganhs calculads; será rbusta em relaçã à variaçã paramétrica. A medida de rbustez é, prtant, influenciada pelas matrizes D (matriz de entrada d ruíd ç da planta), Q (matriz de cvariância d ruíd da planta), que é funçã de D, e R (matriz de cvariância d ruíd 11 das medidas), que determinam ganh d filtr de Kalman, e pela matriz Kc ds ganhs de realimentaçã ds estads estimads. Pde-se mstrar que a qualidade da identificaçã Bayesiana está assciada à matriz de cvariância d err de estimaçã paramétrica (G e )' Uma medida desta qualidade, que cnstitui critéri de rbustez J r, pde ser btída pel traç da inversa desta Vl. XV - NQ 3-3 Q Trimestre de

4 matriz: J;t' T r (G 00-1 ). O critéri de rbustez da síntese PRCBI cnsiste da minimizaçã deste traç. Os ~lements diagnais da matriz sã btids a partir da sluçã, para cada element, de três equações matriciais auxiliares da frmax = 1XW + Y, nde as matrizes T, W, e Y dependem c).e ganhs e de cvariâncias calculadas pr filtrs de Kalman em regime assintótic [2]. O rbusteciment em relaçã a cnjunt de parâmetrs incerts deve cnduzir a um cntrladr capaz de sustentar a estabilidade d sistema para uma larga faixa de variaçã paramétrica em trn ds valres cnsiderads nminais. 4. A SÍNTESE PRCBI COMO AUXÍLIO NA IDENTIFICAÇÃO POR FILTRAGEM DEKALMAN Desde que exista um cnjunt de parâmetrs para s quais se deseja calcular Índice que mede a qualidade de identificaçã Bayesiana, a síntese PRCBI pde ser aplicada a sistemas de malha aberta. N entant, para que se pssa cnduzir prcess de timizaçã, mdel deve cnter, além de tais parâmetrs, elements passíveis de ajuste, de maneira a cnstituírem as variáveis de prjet, das quais depende a funçã cust. Essa idéia pde ser ilustrada pela Figura 2. Supnd a inexistência da realimentaçã (bservadr e reguladr) resta cm variável de prjet a matriz D, que determina s zers d sistema. Em suma, a minimizar J r, a síntese prcura alcar s zers de malha aberta de frma a prejudicar a identificaçã Bayesiana de 8. Cm a identificaçã Bayesiana é feita pr um banc de filtrs de Kalman em paralel, ajustads em váris pnts d espaç paramétric discretizad< I) [1, 2], existe uma ligaçã entre a qualidade da identificaçã Bayesiana e a qualidade da identificaçã feita pela filtragem de Kalman, apresentada na Seçã 2. Entã, a utilizaçã da síntese PRCBI de frma inversa, u seja, maximizand cust J r, pde cntribuir para uma efetiva identificaçã pel métd descrit naquela Seçã. Cntud, nem sempre se pde interferir u fazer ajustes num sistema d tip "caixa preta", d qual se cnhece mdel nminal. Pr iss vams cnsiderar um filtr linear em cascata cm sistema descnhecid e submeter filtr as ajustes. A síntese PRCBI admite a hipótese d cnheciment a priri d mdel nminal de um sistema que fi mdificad de maneira descnhecida pr um mtiv qualquer. Cnsiderems que esse sistema seja (2.1) cm m = 11 =2, descrit agra pela sua funçã de transferência discreta: G(z) Y(z) U(z) = ( 4.1) 1 ANDERSON & MOORE. Optimal Filtering. (Ver Capítul 10- Parameter Identificatin and Adaptative Estimatin. em particular Fig ) 18 REVISTA MILITAR DE CIÊNCIA E TE C N O L O G I A "-;:: ~ I'

5 UM AUXÍL IO NA IDENTIFICAÇÃO PARAMÉTRICA POR FILTRAGEM DE KALMAN Ou, na frma de estad: (4.2) nde vetr de parâmetrs descnhecids seja 8 = [ai a 2 b l b 2 Y- Seja filtr linear discret H(z) = Z(z) /~(z) de mesma dimensã d sistema (4.1), representad pela sua frma de estad: r f 10 - a2 l f I ~ 2 l ~ x + 1 = II - a1 J X + l ~I J ~ lz = [ l] x{ (4.2) Cnsiderand s elements em cascata, a entrada d sistema é igual à sarda d filtr, u seja, U = Z. Assim sistema glbal pde ser escrit numa única frma de estad aumentada cm entrada ~ e saída Y : r 10 -a2 l 1~ 2 l I I 1 -ai O I I I ~J I~ Ja x+1 =1 x l a b 2 O -a2 I +1 O I I ly = [O l b l I -(li J l O J v '---v-' (4.3) A(8) D O O 1] xí: + v nde ~ e v sã prcesss gaussians, brancs, de média nul a e independentes, send ~ supst gerad em labratóri a fim de excitar sistema glbal. O sistema (4.3) enquadra-se naquele da Figura 2 sem levar em cnta a realimentaçã. As variáveis de prjet cnsideradas para aplicaçã da síntese PRCBI sã ai ' a 2, /3 1 e /3 2 e algumas estã presentes também na matriz A. Vl. XV - NQ 3-3 Q Trimestre de

6 5. RESULTADOS (4.3): Fram cnsiderads s seguintes valres para aplicaçã da síntese PRCBI a sistema vetr paramétric nminal: 8 = [ IY; variância d ruíd de medidas: R = ; variância d ruíd de entrada: Q = 10. Cm resultad da minimizaçã d cust PRCBI invers (1/J,), bteve-se dis cnjunts de valres de variáveis de prjet: um crrespndente a cust mínim e utr a um nã-mínim. Prcedeu-se dessa frma a fim de facilitar a cmparaçã da qualidade de identificaçã prveniente da excitaçã de dis cnjunts de entradas d sistema. As vari áveis prjetadas pel valr mínim (melhr qualidade) crrespndem a a) = , a 2 = , /3) = e /3 2 = O filtr digital implementad cm estes valres e excitad cm um ruíd branc geru a saída z(l\ da Figura 3. As variáveis prjetadas para um cust invers nã-mínim (qualidade deterirada) crrespndem a a) = , a 2 = , /3 1 = e /3 2 = A saída :c(2) da Figura 3 fi gerada pel filtr excitad cm mesm ruíd e cm estes nvs valres prjetads. N <U 10 "O 'iü f/) Figura 3 - Saídas d filtr linear z(l ) Z (2) As saídas d filtr fram utilizadas cm entradas d sistema (4.2) perturbad cm a seguir: (5,1) 20 REVI STA MI LI TA R DE CI ÊNCIA E TEC NOLO GIA I --;::~I

7 UM AU XÍLIO NA IDENTIFICAÇÃO PARAMÉTRICA POR FILTRAGEM DE KALMAN nde p = 1.2 determina um vetr paramétric perturbad e = [ )1 a ser identificad. As saídas y/j relativas às entradas z/j sã mstradas na Figura ,---- -,-- --,- ~---~ Figura 4 - Saídas d sistema. _,::V~ y(l) (2) Y A Figura 5 mstra resultad da estimaçã paramétrica para as duas hipóteses discutidas e também para um ruíd branc na entrada d sistema. Os estimadres cnvergiram para s seguintes valres em = 20: z{] ).. Z{2\: ruíd"branc: ê =[ )1 ê =[ l]1 ê =[ ]/ 5~~==~~==~~==~~==~~ I ~ ~ - }~ ~ 4 u r /.' E * 3 Estimaçã para Z(l ) cm entrada Cf) e ãí E 2,r ~. Estimaçã para Z (2) cm entrada Estimaçã para ruíd branc cm entrada -2!c-----';-~- ;.-""-;',;----.;'-;- 7c;c :;';;, :d Figura 5 - Estimaçã ds parâmetrs pel filtr de Kalman. Vl. XV - NQ 3-3 Q Trimestre de

8 A estimaçã cm ruíd branc na entrada d sistema teve melhr cnvergência em relaçã a z(2\. Prém, a entrada Z(l ) prprcinu excelente estimaçã, cm era esperad. As Figuras 6 e 7 cnfirmam resultad anterir, embra para s primeir passs (até = 7) exista uma discrepância entre s valres teórics (Figura 6) e s valres prátics (Figura 7) relativs a Z(2)' e ruíd branc. "(3.. cu E.~ Q) Q) TI g 4 Q) TI :> ~ 2.5 TI - ~ 2 ~ ) !lf----a---l :( Evluçã para Z(l ) cm entrada E I - (2 )... v uça para z cm entrada Evluçã para ruíd branc cm entrada Figura 6 - Evluçã d traç da matriz de cvariância d err de estimaçã. --- Evluçã para Z(l) cm entrada... Evluçã para Z(2) cm entrada Evluçã para ruíd branc cm entrada (/) TI (/) 1"'-.. \ ~ 20 1 \ TI cu :J O' 1 \ (/).g 15 I \ cu ~ 1 \ (/) 10 1 \ 1 \ \,.\ \. "'-.. _-. ~---'4; ";6' _ :12-_.:.. _~~-=16 _- _ _-18==-.: 20 Figura 7 - Evluçã da sma ds quadrads ds errs de estimaçã. 22 REVISTA MILITAR DE CIÊNCIA E TECNOLOGIA I '-;:;~I

9 UM AUXÍLIO NA IDENTIFICAÇÃO PARAMÉTRICA POR FILTRAGEM DE KALMAN A Figura 8 ilustra uma pbre identificaçã prcedida pela excitaçã d sistema através de um degrau aplicad em = O. Observa-se que huve uma ba excitaçã ds póls d sistema, pela cnvergência de ai e a 2, prém zer (b l e b 2 ) nã fi identificad. Cf) "lil 1.5 E 1] Ql 2, r-_-==-=--=-=~-~-~-~~~;,-~- -~ -~ --=- -A=F' - -~- -=..._=--~. =-=.'9 b 1 = b 2 = â 2 = â 1 = ~-~5----~1~O----~15~---~20 Figura 8 - Estimaçã ds parâmetrs cm excitaçã em degrau (u = 50). 6. CONCLUSÕES E PERSPECTIVAS É pssível calcular, através da síntese PRCBI, uma seqüência de entradas que facilita a identificaçã pr filtragem de Kalman de um sistema perturbad, d qual se cnhece a priri mdel nminal. N exempl utilizad verificu-se que a funçã cust PRCBI e traç de L,/ estã relacinads. Esta relaçã deve ser investigada cm mair prfundidade pis a dificuldade em se cmputar traç de L,/ é menr para sistemas cm pucas entradas e saídas e muits parâmetrs. Cas venha a se cncluir sbre a equivalência ds dis índices, a síntese PRCBI pderá ser simplificada, e nv índice pderá servir para cálcul de cntrladres parametricamente rbusts. 7. REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS 1. Andersn, B.D.O. and l.b. Mre (1979). Optimal Filtering. Prentice-Hall, New Jersey. 2. G. M. P. Gmes. Synthese d'une Cmmande Rbuste Liée à la Qualité de l'identificatin Bayesienne, Ph.D. Dissertatin, ENSAE, Tuluse, France, Vl. XV - NQ Trimestre de

10 3. M. Gauvrit and G. M. P. Gmes. "Parameter Rbust Cntrl Design Based n Parametric Identificatin Quality", Prceedings fthe 9th Internatinal Cnference in Analysis and Optinúzatin f Systems, Antibes, France, pp , M. Gauvrit and G. M. P. Gmes. "Lins Between Parameter Rbust CntrI Design and Bayesian Parameter Identificatin", Eurpean Cntrl Cnference- ECC/9 J, Grenble Alpes- Cngres, France, P.c. Pellanda, J.Y.M. de Suza, G.M.P. Gmes e A.L. Veiga Filh. "Síntese PRCBI Generalizada Para Aplicaçã na Piltagem Autmática de Mísseis", Revista Militar de Ciência e Tecnlgia, VI. XIII, nº 4, pp. 5-15, ut/dez/ F. L. Tit, G. N. Tarant and P. C. Pellanda. "A Hybrid Rbust Pwer System Cntrl Design Cmbining System Identificatin and Genetic AIgrithms", paper FMJ4-3 t be presented at the J 998 IEEE Autmatic Cntrl Cnference-ACC, PhiIadelphia, PA, USA, June REVISTA MILITAR DE CIÊNCIA E TE C N O L O G I A " -::; ~ I'